(精讲册)第14讲 二次函数的实际应用（课件PPT）-【练客中考】2025年甘肃中考数学提优方案

精讲册 第14讲 二次函数的实际应用 (省卷：5年2考；兰州：3年3考) 1 考点梳理 3 甘肃5年中考真题及拓展 2 重难点突破 目录 CONTENTS 考点梳理 会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，(新增)能解决相应的实际问题．(改动) 2022年版课标重要变化 返回目录 考点 1 1 建立二次函数模型解决实际问题 常见类型 关键步骤 【温馨提示】 (1)求函数的最值时，要注意实际问题中自变量的取值范围对最值的影响．若对称轴的取值不在自变量的取值范围内，则最值一般在自变量取值的端点处取得； (2)建立平面直角坐标系的标准是易于求二次函数的解析式 抛物线型 问题 (1)建立方便求解析式的平面直角坐标系； (2)找到图象上三个点的坐标； (3)用待定系数法求二次函数的解析式 返回目录 常见类型 关键步骤 【温馨提示】 (1)求函数的最值时，要注意实际问题中自变量的取值范围对最值的影响．若对称轴的取值不在自变量的取值范围内，则最值一般在自变量取值的端点处取得； (2)建立平面直角坐标系的标准是易于求二次函数的解析式 销售利润 问题 (1)理清各个量之间的关系，找出等量关系求得解析式； (2)根据要求确定函数的最值或建立方程求解 图形面积 问题 (1)利用几何知识用变量x表示出图形的面积y； (2)根据要求确定函数的最值或建立方程求解 返回目录 抛物线型问题 [2024省卷15题]如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度y(单位：m)与距离停车棚支柱AO的水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y＝－0.02x2＋0.3x＋1.6的图象，点B(6，2.68)在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长CD＝4 m，高DE＝1.8 m的矩形，则可判定货车__完全停到车棚内．(填“能”或“不能”) 重难点突破 重难点 例 1 能 返回目录 判断货车能否完全停到车棚内的一般方法： 方法一：固定货车的宽，看抛物线的车棚是否足够高(相当于已知x的值，根据函数表达式求y的值，再与限制的高的值比较大小)． 方法二：固定货车的高，看抛物线形的车棚是否足够宽(相当于已知y的值，根据函数表达式求x的值，再与限制的宽的值比较大小)． 方法总结 返回目录 [2024兰州22题]在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图1是某型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线．为了解水火箭的相关性能，同学们进一步展开研究．如图2建立直角坐标系，水火箭发射后落在水平地面A处．科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面OA的竖直高度y(m)与离发射点O的水平距离x(m)的几组关系数据如下： 例 2 水平距离x(m) 0 3 4 10 15 20 22 27 竖直高度y(m) 0 3.24 4.16 8 9 8 7.04 3.24 返回目录 (1)根据上表，请确定抛物线的表达式； 【自主作答】 解：由题意可得，抛物线的对称轴是直线 返回目录 (2)请计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为5 m时，水火箭距离地面的竖直高度． 返回目录 解决此类题的一般方法： ①设出适当的函数表达式，代入已知点，利用待定系数法求出未知量，从而得出函数表达式． ②已知水平距离，求竖直高度，转化为已知x的值，求y的值，即把x的值代入函数表达式，求出y值，就是所求的竖直高度； 已知竖直高度，求水平距离，转化为已知y的值，求x的值，即把y的值代入函数表达式，求出x值，就是所求的水平距离． 方法总结 返回目录 甘肃5年中考真题及拓展 抛物线型问题(省卷：5年2考；兰州：3年3考) 1．[2022省卷17题]如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系：h＝－5t2＋20t，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间t＝__s. 命题点 1 2 返回目录 2．[2023兰州23题]一名运动员在10 m高的跳台进行跳水，身体(看成一点)在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB的高度y(m)与离起跳点A的水平距离x(m)之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为1 m时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为3 m时离水面的距离为7 m. 返回目录 (1)求y关于x的函数表达式； 解：根据题意可得，抛物线过(0，10)和(3，7)， 对称轴为直线x＝1， 设y关于x的函数表达式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 返回目录 (2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长． 解：在y＝－x2＋2x＋10中， 令y＝0，得0＝－x2＋2x＋10， 返回目录 3.[2022兰州24题]掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为 m，当水平距离为3 m时，实心球行进至最高点3 m处． 返回目录 (1)求y关于x的函数表达式； 返回目录 (2)根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准(女生)，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70 m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． 解：该女生在此项考试中得满分．理由如下： 令y＝0，则－ (x－3)2＋3＝0， 解得x1＝7.5，x2＝－1.5(舍去)， ∵7.5＞6.70， ∴该女生在此项考试中得满分． 返回目录 4．[2024兰州一诊25题]如图1，从远处看兰州深安黄河大桥似张开的翅膀，宛如一只“蝴蝶”停留在黄河上，它采用叠合梁拱桥方案设计．深安黄河大桥主拱形OAB呈抛物线状，从上垂下若干个吊杆，与桥面相连．如图2所示，建立平面直角坐标系，吊杆CD到原点O的水平距离OC＝26 m，吊杆EF到原点O的水平距离OE＝134 m，且CD＝EF，主拱形离桥面的距离y(m)与水平距离x(m)近似满足二次函数关系y＝－0.006(x－h)2＋k，其对称轴为直线x＝h. 返回目录 (1)求OH的长度； 解：∵OC＝26 m，OE＝134 m，CD＝EF， ∴CE＝OE－OC＝108(m)，CH＝EH， ∴CH＝54 m， ∴OH＝OC＋CH＝80(m)． 返回目录 (2)求主拱形到桥面的最大高度AH的长． 解：由题意，得h＝ ＝80，∴y＝－0.006(x－80)2＋k. ∵直线x＝80是其对称轴， ∴B(160，0)． 将点B代入y＝－0.006(x－80)2＋k， 解得k＝38.4， ∴y＝－0.006(x－80)2＋38.4， ∴A(80，38.4)，即AH＝38.4 m. ∴主拱形到桥面的最大高度AH的长为38.4 m． 返回目录 销售利润问题 命题点 2 5．[2024天水秦安县莲花中学三模]一家商店于春节后购进了一批新款春装，从销售记录中发现，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为把握换季营销，商店决定采取适当的降价活动，以扩大销售量，增加盈利．市场调研认为，若每件降价1元，则平均每天就可多售出2件． (1)若活动期间平均每天的销售量为38件，求每件春装的盈利是多少元？ 解：根据题意，得40－(38－20)÷2＝31(元)． 答：每件新款春装盈利31元． 拓 展 练 训 返回目录 (2)要想平均每天销售这款春装能盈利1200元，又能尽量减少库存，那么每件应降价多少元？ 解：设每件新款春装应降价x元，则每件盈利(40－x)元，平均每天可售出(20＋2x)件， 根据题意，得(40－x)(20＋2x)＝1200， 整理得x2－30x＋200＝0， 解得x1＝10，x2＝20. 又∵要尽量减少库存， ∴x＝20. 答：每件新款春装应降价20元． 返回目录 (3)平均每天销售这款春装盈利的最大值是多少元？ 解：设每件新款春装应降价x元，每天销售这款春装盈利y元，根据题意，得 y＝(40－x)(20＋2x)＝－2x2＋60x＋800＝ －2(x－15)2＋1250， ∵－2<0， ∴当x＝15时，y取最大值，最大值为1250. 答：平均每天销售这款春装盈利的最大值是1250元． 返回目录 图形面积问题 6．[2024湖北省卷]学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42米，篱笆长80米．设垂直于墙的边AB长为x米，平行于墙的边BC长为y米，围成的矩形面积为S平方米． 命题点 2 拓 展 练 训 返回目录 (1)求y与x，S与x的关系式； 解：由题意，得2x＋y＝80， ∴y＝－2x＋80. ∵0＜－2x＋80≤42，且x＞0， ∴19≤x＜40. 由题意，得S＝AB·BC＝x(－2x＋80)， ∴S＝－2x2＋80x(19≤x＜40)． 返回目录 (2)围成的矩形花圃面积能否为750平方米？若能，求出x的值； 解：能．令S＝－2x2＋80x＝750， 解得x＝15(舍去)或x＝25. 答：当x＝25时，围成的矩形花圃的面积为750平方米． 返回目录 (3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时x的值． 解：存在． ∵S＝－2x2＋80x＝－2(x－20)2＋800，－2＜0，且19≤x＜40， ∴当x＝20时，S取最大值，最大值为800. 答：围成的矩形花圃面积存在最大值，最大值为800平方米，此时x的值为20. 请完成《课后提升练》P22～23习题 返回目录 解：c令x＝5，则y＝－(5－15)2＋9＝5， ∴水火箭距离地面的竖直高度为5 m． $$