(精讲册)第7讲 一元二次方程及其应用（课件PPT）-【练客中考】2025年甘肃中考数学提优方案

精讲册 第7讲 一元二次方程及其应用 (省卷：5年 4考；兰州：3年3 考) 1 考点梳理 2 甘肃5年中考真题及拓展 目录 CONTENTS 了解一元二次方程的根与系数的关系．(删除“*”，改为必学) 考点梳理 2022年版课标重要变化 一元二次方程 考点 1 1 概念 等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是①__的方程 一般形式 ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0) 解法 开平方法 x2＝m(m≥0)⇒x＝②________，(x＋m)2＝n(n≥0)⇒x＝③__________ 2 返回目录 返回目录 解法 公式法 适用于所有一元二次方程，当b2－4ac≥0(a≠0)时，实数根可写为④ _______________________ 在使用求根公式时：(1)要先将方程化为一般式，再利用公式求解； (2)a，b，c代入公式时应注意其符号 配方法 适用于：二次项系数化为1后，一次项系数为偶数的一元二次方程 步骤： (1)移项：将常数项移到方程的右边； (2)变形：将二次项系数化为1； (3)配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方； (4)求解：用直接开平方法求解 返回目录 根的判别式 考点 1 2 概念 一般地，式子b2－4ac叫作一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，即Δ＝b2－4ac 【温馨提示】根据根的情况求字母系数的值时应注意： (1)使用之前一定要把方程化为一般形式，以便正确找出a，b，c的值； (2)若题目中未指明已知方程为一元二次方程，则应分情况讨论 根的情况 与判别式 的关系 (1)b2－4ac⑤____0⇔一元二次方程有两个不相等的实数根； (2)b2－4ac＝0⇔一元二次方程有两个⑥______的实数根； (3)b2－4ac<0⇔一元二次方程⑦____实数根 ＞ 相等 没有 返回目录 根与系数的关系 考点 1 3 根与系数的关系 若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根，则x1＋x2 ＝⑧_____，x1·x2＝⑨_________ 【知识拓展】根与系数关系的变形： 返回目录 一元二次方程的实际应用 考点 1 4 常见类型 等量关系 平均增长(下降) 率问题 设a是基础量，b为增长(下降)后的量 若x为平均增长率，2为增长次数，则b＝⑩________ 若x为平均下降率，2为下降次数，则b＝⑪________ 面积 问题 设矩形ABCD的长为a，宽为b，空白部分的宽为x，则：   S阴影＝⑫_____________ S阴影＝⑬___________ S阴影＝⑭_____________ a(1＋x)2 a(1－x)2 (a－2x)(b－2x) (a－x)(b－x) (a－x)(b－x) 返回目录 返回目录 甘肃5年中考真题及拓展 解一元二次方程(省卷：5年2考) 1．[2022省卷4题]用配方法解方程x2－2x＝2时，配方后正确的是(　 　) A．(x＋1)2＝3 B．(x＋1)2＝6 C．(x－1)2＝3 D．(x－1)2＝6 2．[2020省卷7题]已知x＝1是一元二次方程(m－2)x2＋4x－m2＝0的一个根，则m的值为(　 　) A．－1或2 B．－1 C．2 D．0 命题点 1 C B 返回目录 3．[2024武威凉州区二模]按要求解下列方程： (1)(3x－7)2＝2(3x－7)(因式分解法)； 解:原方程可变形为(3x－7)2 － 2(3x－7) =0. ∴(3x－7)(3x－7－2) =0,∴3x－7=0或3x－9=0, ∴x1 = , x2 =3. 解:∵a =1,b=,c= －11 , ∴Δ=b2 －4ac=() 2－4×1 ×( －11) =49 >0,∴x = = . 即x1 = , x2 = . 拓 展 练 训 返回目录 一元二次方程根的判别式(省卷：5年2考；兰州：3年3考) 4．[2024兰州一诊5题]方程x2－5x＋5＝0根的情况为(　 　) A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 命题点 2 C 5．[2023兰州8题]关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根，则b2－2(1＋2c)＝(　 　) A．－2 B．2 C．－4 D．4 A 返回目录 6．[2023省卷12题]关于x的一元二次方程x2＋2x＋4c＝0有两个不相等的实数根，则c＝________________.(写出一个满足条件的值) 6－1 变条件——有实数根[2024天水麦积区三模]关于x的一元二次方程(k－2)x2－2kx＋k＝0有实数根，则k的取值范围是______________． 6－2 变条件——无实数根[2024金昌金川区模拟]若关于x的一元二次方程x2＋2x＋m＝0没有实数根，则m的取值范围是______． 0(答案不唯一) k≥0且k≠2 m＞1 返回目录 一元二次方程根与系数的关系 7．[2024白银校级二模]设a，b是方程x2＋x－2021＝0的两个实数根，则a2＋2a＋b的值为(　 　) A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 8．[2024张掖校级三模]已知一元二次方程x2－3x＋k＝0的两个实数根为x1，x2，若x1x2＋x1＋x2＝1，则实数k＝____． 命题点 3 拓 展 练 训 B －2 返回目录 9．平均增长率问题 [2024内江]某市2021年底森林覆盖率为64%，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到69%．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，则符合题意的方程是(　 　) A．0.64(1＋x)＝0.69 B．0.64(1＋x)2＝0.69 C．0.64(1＋2x)＝0.69 D．0.64(1＋2x)2＝0.69 命题点 4 拓 展 练 训 一元二次方程的实际应用 B 返回目录 10．每每问题 某服装店营业员在卖T恤时发现，当T恤以每件80元销售时，每天销售量是20件，若单价每降低1元，每天就可以多售出4件，已知该T恤进价为每件40元，设每件T恤降价x元，如果服装店一天能赢利1000元，可列方程为(　 　) A．(40－x)(20＋x)＝1000 B．(80－x)(20＋x)＝1000 C．(40－x)(20＋4x)＝1000 D．(80－x)(20＋4x)＝1000 C 返回目录 11． 面积问题 [2024平凉崆峒区校级一模]三国时期的数学家赵爽，在其所著的《勾股圆方图注》中记载用图形的方法来解一元二次方程，四个相等的矩形(每一个矩形的面积都是35)拼成如图所示的一个大正方形，利用所给的数据，能得到的方程是(　 　) A．x(x＋2)＝35 B．x(x＋2)＝35＋4 C．x(x＋2)＝4×35 D．x(x＋2)＝4×35＋4 A 第11题图 返回目录 12． 循环问题 [人教九上P22T6变式]2025年元旦开始，某市体育训练基地吹响冬季足球训练“集结号”，该基地组织了一次单循环的足球比赛(每两支队伍之间比赛一场)，共进行了36场比赛，设有x支队伍参加了比赛，依题意可列方程为(　　) A．x(x＋1)＝36 B．x(x－1)＝36 D 请完成《课后提升练》P10习题 返回目录 ± －m± 解法 因式分 解法 通过因式分解，转化为一次方程求解： ax2＋bx＋c＝0(a≠0)(mx＋n)(px＋q)＝0mx＋n＝0或px＋q＝0，求得x的值 注：方程求解过程中，等式两边不能同时约去含有相同未知数的因式，避免丢根 x＝ (1)＋＝； (2)x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2； (3)＋＝＝ － 每每问题 (1)常用公式：利润＝售价－成本；总利润＝每件利润×销售量； (2)单价每涨a元，少卖b件，若涨价y元，则少卖的数量为·b 循环问题 握手总次数为(n为人数，且n≥2)(单循环问题) 礼物总份数为n(n－1)(n为人数，且n≥2)(双循环问题) 【温馨提示】实际问题需要验根，检验根是否符合实际意义 $$