第03讲 方差和标准差（4个知识点+10类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（浙教版）

第03讲 方差和标准差 （4个知识点+10类热点题型讲练+习题巩固） 课程标准 学习目标 ①方差的概念； ②极差与标准差； ③运用方差、极差与标准差做决策； 1.掌握方差的概念； 2.掌握极差与标准差； 3.运用方差、极差与标准差做决策； 知识点01：方差 在一组数据x1，x2，…，xn中，各数据与它们的平均数差的平方，它们的平均数，即S2=来描述这组数据的离散程度，并把S2叫做这组数据的方差。 一组数据的方差越大，说明这组数据的离散程度越大；一组数据的方差越小，说明这组数据的离散程度越小。 【即学即练1】 1．若样本…，的平均数是5，方差是2，则样本，…，的平均数、方差分别是（　　） A．5，2 B．10，2 C．10，4 D．10，8 【答案】D 【分析】根据平均数和方差的变化规律即可得到答案． 【详解】解：∵样本…，的平均数是5，方差是2， ∴，…，的平均数是，方差是， 故选：D． 【点睛】此题考查了平均数和方差，熟练掌握平均数和方差的变化规律是解题的关键． 【即学即练2】 2．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是3，那么另一组数据3x1，3x2，3x3，3x4，3x5的平均数和方差分别是（  ） A．2，3 B．6，9 C．6，27 D．6，18 【答案】C 【分析】根据平均数和方差的变化规律可得数据3x1，3x2，3x3，3x4，3x5的平均数和方差分别是数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数和方差的3倍和32倍，计算即可. 【详解】∵数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是3， ∴数据3x1，3x2，3x3，3x4，3x5的平均数是3×2=6，方差是3²×3=27． 故选：C 【点睛】本题主要考查了平均数和方差的知识，若一组数据x₁，x₂，x₃， …xn的平均数为，方差为S²，则数据ax1，ax2，ax3， …axn的平均数为，方差为a2S2，掌握以上知识是解题的关键． 知识点02：标准差 方差的算术平方根，即用S=来描述这一组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的标准差。 【即学即练3】 3．某市从不同学校随机抽取100名初中生，对“学校统一使用数学教辅用书的册数”进行调查，统计结果如下： 册数 0 1 2 3 人数 13 35 29 23 关于这组数据，下列说法正确的是（    ） A．众数是2册 B．中位数是2册 C．极差是2册 D．平均数是2册 【答案】B 【分析】根据极差、众数、中位数即平均数的定义，依次计算，即可得到答案． 【详解】解：A.众数是1册，故A错误，不符合题意； B.中位数是2册，故B正确，符合题意； C.极差为：册，故C错误，不符合题意； D.平均数为：册，故D错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了极差、众数、中位数即平均数的知识，熟练掌握极差、众数、中位数即平均数的定义，是解题的关键． 【即学即练4】 4．一组数据，，，，中，最后一个两位数的个位数字被墨迹覆盖，则这组数据不受影响的统计量是（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．极差 【答案】B 【分析】根据最后一个数字一定是个2位数，则从小到大的顺序不变，即中位数不变，据此即可求解． 【详解】解：依题意，最后一个数字一定是个2位数，则从小到大的顺序不变，即中位数不变，而平均数，众数，极差都要知道最后一个数， 故这组数据不受影响的统计量是中位数， 故选：B． 【点睛】本题考查了中位数，平均数，众数，极差，掌握以上知识是解题的关键． 知识点03：极差 极差的定义：一组数据中最大值与最小值的差，能反映这组数据的变化范围，我们就把这样的差叫做极差。 极差=最大值－最小值，一般来说，极差小，则说明数据的波动幅度小。 【即学即练5】 5．已知样本数据，下列说法不正确的是（    ） A．平均数是3 B．方差是2 C．中位数是4 D．标准差是 【答案】C 【分析】根据平均数、方差、中位数和极差的定义逐项判断即得答案. 【详解】解：A、这组数据的平均数为，故本选项说法正确； B、这组数据的方差是，故本选项说法正确； C、这组数据的中位数是3，故本选项说法不正确； D、这组数据的标准差是，故本选项说法正确； 故选：C. 【点睛】本题考查了平均数、方差、中位数和极差的定义，熟知这几个基本概念是解题关键. 【即学即练6】 6．某小组五位同学参加某次考试（满分20分）的平均成绩是16分，其中三位男生成绩的方差为6，两位女生的成绩分别为17分、15分，则这五位同学成绩的标准差为（   ） A． B．2 C． D．6 【答案】B 【分析】设三位男生的成绩分别为a、b、c，可求得3位男同学考试分数的平均数，再由三位男生的方差为6，求得这个学习小组5位同学考试分数的方差，从而求得标准差． 【详解】解：∵两位女生的成绩分别为17分、15分， ∴两位女生的成绩的平均数是（分）， ∴三位男生成绩的平均数是16分． 三位男生的方差， ， 这个学习小组5位同学考试分数的方差 ， 标准差是， 故选：B． 【点睛】本题考查标准差，计算标准差需要先算出方差，标准差即方差的算术平方根；注意标准差和方差一样都是非负数． 知识点04：方差与平均数的性质 若x1，x2，…xn的方差是S2，平均数是，则有： 1 x1+b， x2+b…xn+b的方差为S2，平均数是+b； ② ax1， ax2，…axn的方差为a2s2，平均数是a； ③ ax1+b， ax2+b，…axn+b的方差为a2s2，平均数是a+b。 题型01 求方差 1．已知数据，，，的方差是4，则一组新数据，，，的方差是（    ） A．4 B．5 C．9 D．16 【答案】D 【分析】 本题考查方差的性质．先设这组数据的平均数为，则另一组新数据的平均数为，方差为，代入公式进行推导可求出答案． 【详解】解：设这组数据的平均数为，则另一组新数据的平均数为， ∵， ∴ = = ， 故选：D． 2．已知一个样本数据，，…，，的平均数和方差分别为，，则新数据，，…，，的平均数和方差分别是（   ） A．9  4 B．9  8 C．6  4 D．6  7 【答案】B 【分析】本题考查平均数与方差，熟练掌握平均数与方差计算公式是解题的关键． 根据平均数与方差公式计算即可求解． 【详解】解：由题意，得 新数据平均数为 ， 新数据方差为 ． 故选：B． 3．某班期末英语的平均成绩为75分，方差为225，如果每名学生都多考5分，下列说法正确的是（    ） A．平均分不变，方差不变 B．平均分变大，方差不变 C．平均分不变，方差变大 D．平均分变大，方差变大 【答案】B 【分析】本题考查了算术平均数，方差与稳定性．熟练掌握算术平均数，方差与稳定性是解题的关键．由题意知，每名学生都多考5分，则平均分比原来大5，由数据的波动情况不变，可知方差不变． 【详解】解：由题意知，每名学生都多考5分，则平均分比原来大5，平均分变大， ∵数据的波动情况不变， ∴方差不变， 故选：B． 4．一组数据的方差，根据算式信息，该组数据的平均数是 ． 【答案】3 【分析】此题主要考查了方差公式，一般地设n个数据，的平均数为，则方差． 根据方差公式可直接得出答案． 【详解】解：∵方差计算公式为， ∴这组数据的平均数是3， 故答案为：3． 5．若一组数据2，3，x，4，5的方差为2，则这组数据的中位数为 ． 【答案】3或4/4或3 【分析】首先表示出平均数，然后根据方差为2列方程求出，，然后分情况结合中位数的概念求解即可． 此题考查了方差的公式，解一元二次方程，中位数的概念等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【详解】∵一组数据2，3，x，4，5， ∴平均数为 ∵方差为2 ∴ 整理得， ∴ 解得， ∴当时，原数据从小到大排列为：1，2，3，4，5 ∴中位数为3 ∴当时，原数据从小到大排列为：2，3，4，5，6 ∴中位数为4， 综上所述，这组数据的中位数为3或4． 故答案为：3或4． 题型02 利用方差求未知数据的值 6．一样本数据的方差是，则这组数据的平均数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了方差公式，由样本方差的公式可知．方差，其中n表示样本容量，表示样本平均数． 【详解】∵数据的方差是 ∴这个样本的平均数． 故答案为：． 7．小明用计算一组数据的方差，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了方差与平均数的计算公式，根据方差公式可以确定这组数据的平均数和数据个数，相乘即可得出答案，熟记方差与平均数的计算公式公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴这组数据的平均数为，个数为， ∴， 故答案为：． 8．用计算一组数据，，，，的方差，则这组数据的和为 ． 【答案】10 【分析】根据方差公式可知，这组数据的平均数为2，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴这组数据共有5个，平均数为2； ∴这组数据的和为； 故答案为：10． 【点睛】本题考查求一组数据的和．解题的关键是掌握求方差的公式，得到这组数据的个数和平均数． 9．已知一个样本，，，，，平均数为，则这个样本的方差是（   ） A．5 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了平均数以及方差的定义，熟练掌握平均数与方差的计算方法是解答本题的关键先由平均数公式求得的值，再由方差公式求解． 【详解】解：∵平均数， ∴， ∴， ∴方差． 故选：D． 10．已知a，b，c为非负整数，，则当a，b，c方差最小时， ． 【答案】34 【分析】根据方差的意义得出时，方差最小，即可得出答案． 【详解】解：∵非负整数a，b，c满足， ∴当a，b，c方差最小时，， 故答案为：34． 【点睛】此题主要考查了方差，正确理解方差的意义是解题关键． 题型03 根据方差判断稳定性 11．甲、乙两块地块各种植相同长度的10行小麦，下列关于每块地的每一行的小麦的平均收成和收成的方差的描述中，能说明甲地块每行小麦的收成较好且更稳定的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】此题考查平均数、方差的定义，解答的关键是理解平均数、方差的定义，熟知方差是衡量一组数据波动大小的量，方差越小表明该组数据分布比较集中，即波动越小数据越稳定．根据平均数、方差的定义，平均数越高收成越好，方差越小越稳定解答即可． 【详解】解：根据平均数越高收成越好，方差越小越稳定，能说明甲地块每行小麦的收成较好且更稳定的是且， 故选：． 12．甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，则这四名同学中成绩最稳定的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题主要考查方差，算术平均数，根据方差越小越稳定求解即可． 【详解】解：∵， ∴丁的方差最小， ∴成绩最稳定的是丁， 故选：D． 13．水果超市售卖一批散装苹果，苹果大小不一，某顾客从中选购了部分大小均匀的苹果．设原有苹果质量（单位：）的方差为，该顾客选购的苹果质量的方差为，则与的大小关系是（    ）． A． B． C． D．它们的大小关系不确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了方差与波动性之间的关系，方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，数据波动越大，稳定性越小，而根据题意可得顾客选购苹果的质量比水果超市的波动较小，据此可得答案． 【详解】解：∵水果超市的苹果大小不一，而该顾客选购大小均匀的苹果， ∴说明顾客选购苹果的质量比水果超市的波动较小， ∴超市苹果质量的方差大于顾客选购苹果的方差，即， 故选：B． 14．甲、乙两名射击运动员在相同的条件下，各射击10次． 经计算：甲射击成绩的平均数是8环，且；乙射击成绩的平均数是8环，且．则下列说法中， 不一定正确的是（   ） A．甲、乙射击的总环数相同 B．甲的成绩比乙的成绩稳定 C．乙的成绩比甲的成绩波动大 D．甲、乙两成绩的众数相同 【答案】D 【分析】本题考查了平均数、方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．根据方差、平均数的意义进行判断，平均数相同则总环数相同，方差越大，波动越大即可求出答案． 【详解】解：∵各射击10次，甲射击成绩的平均数是8环，乙射击成绩的平均数是8环， ∴甲、乙的总环数相同，故A正确，不符合题意； ∵甲射击成绩的方差是1.1；乙射击成绩的方差是1.5， ∴甲的成绩比乙的成绩稳定，乙的成绩比甲的成绩波动大，故B，C都正确，不符合题意； 由已知不能得到甲、乙成绩的众数相同，故D不一定正确，符合题意； 故选：D． 15．为了比较甲、乙、丙三种水稻秋苗的长势，每种秧苗各随机抽取株，分别量出每株高度，计算发现三组秧苗的平均高度一样，并且得到甲、乙、丙三组秧苗高度的方差分别是，，，由此可知 种秧苗长势更整齐（填“甲"、“乙”或“丙”）． 【答案】乙 【分析】本题考查方差的意义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 【详解】解：∵， ∴乙种秧苗长势更整齐， 故答案为：乙． 题型04 运用方差做决策 16．为提高同学们的宪法意识，学校将组织“弘扬宪法精神，共筑法治校园”知识竞赛，共100道单选题，每题1分，满分为100分．王老师为了从甲、乙两名同学中选择一名同学代表班级参赛，对他们进行了培训和指导，期间甲、乙完成了十次模拟答题．为了比较这两名同学的成绩，绘制了如下的统计图和统计表： 甲、乙成绩统计表 平均成绩/分 中位数/分 方差/分2 甲 96 8.6 乙 96 96 (1)_______，________； (2)你认为王老师会选择哪位同学代表班级参赛？请说明理由； (3)若将每题1分改为每题0.5分，其余不变，则甲这10次成绩的方差将_________（填“变大”、“变小”或“不变”）． 【答案】(1)，； (2)选择甲，理由见解析 (3)变小 【分析】本题考查中位数，方差等知识点，熟练掌握基本公式和知识点是解题关键； （1）先列出甲的所有成绩，然后找到中位数即可；直接利用方差的计算公式直接计算乙的方差即可； （2）可通过成绩的上升趋势或者方差进行选择，言之有理即可； （3）根据方差的公式可知，当每个数与平均数的差值变小时，方差也会减小，即可答题． 【详解】（1）解：甲的成绩从低到高依次为：， 其中位数为：， 乙的所有成绩为：， ∴其方差为： （2）解：选择甲，甲的成绩呈上升趋势，甲的最好成绩比乙高，甲比乙的高分次数多；选择乙，乙的方差较小，乙的成绩更稳定（答案不唯一，言之有理即可）； （3）解：若将每题1分改为每题0.5分，其余不变，则所有的成绩离平均成绩的差都会减少，故甲这10次成绩的方差将变小． 17．小明记录下最近连续10次立定跳远和50米跑的试测成绩，部分信息如下： 【数据收集与整理】 信息一：50米跑试测成绩（单位：分）依次是85   80   95   85   95   90   95   95   95   100 信息二：立定跳远试测成绩中，80分与85分的次数相同，90分共4次． 【数据描述】 【数据分析】 平均数 中位数 众数 方差 50米跑成绩（分） 91.5 95 a 35.25 立定跳远成绩（分） 91.5 b 90 35.25 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：______，______，______； (2)为了在体育考试中取得更好的成绩，你认为小明应该如何选择？请说明理由． 【答案】(1)10；95；90 (2)小明应该选择50米跑，理由见解析 【分析】本题考查了统计图，众数、中位数等知识，解题的关键是正确读懂统计图： （1）根据众数、中位数的定义求解即可；根据个得分所占百分比和为1得出关于m的方程，解方程即可； （2）对比各个统计量的大小，结合各个统计量所反映数据的变化特点，做出判断即可． 【详解】（1）解：由题意得，立定跳远试测成绩中，得分为80分与85分的次数均为， ∴， ∴； ∵50米跑试测成绩中，得分为95分的次数最多， ∴50米跑试测成绩的众数为95分，即； 把立定跳远试测成绩按照从低到高排列为80 85 90 90 90 90 95 95 100 100， ∴立定跳远试测成绩的中位数为，即； （2）解：小明应该选择50米跑，理由如下： 解：从平均数和方差看，立定跳远和50米跑的成绩都一样，从中位数和众数看，50米跑的成绩高于立定跳远的成绩，故小明应该选择50米跑． 18．毒品危害人们的身心健康，吞噬人们的肉体和灵魂，直接毁灭我们的美好生活，某校为了解该校对禁毒知识的掌握情况，对不同年级甲、乙两个班的同学（抽取的两个班的学生人数相等）进行了知识测试，并对得分情况进行了整理和分析（得分用整数表示，单位：分），把结果分为等级：，等级：，等级：，并绘制成如上统计图，其中甲班学生测试成绩数据的众数出现在等级，等级的测试成绩情况分别为：85，85，87，92，95，95，95，95，97，98，99，100；乙班学生成绩数据的等级共有人． 甲乙两个班样本数据的平均数、中位数、众数和方差如表所示 成绩 甲班 乙班 平均数 86 86 中位数 90 众数 95 方差 90.5 89.1 根据以上信息，解答下列问题： (1)________，________，________． (2)在计算这两组数据的方差时用的公式是，其中在计算乙班这组数据的方差时，公式中的________，________，________班的样本成绩的离散程度更大． (3)结合以上数据，你认为那个班的测试成绩更好？并说明理由． 【答案】(1)86，95，13 (2)20，86，甲 (3)乙班的测试成绩比较好，理由见解析 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，平均数，众数，方差，熟练掌握相关定义是解题的关键． （1）根据题意可知甲班测试成绩的中位数为第10名和第11名成绩的平均数，即可得到；根据众数的概念，且甲班的众数在等级，即可得到；由扇形统计图可知乙班成绩在等级的占比，再根据公式计算即可得到； （2）根据、以及方差的意义，通过表格数据即可得到答案； （3）根据平均数相同，由中位数和方差的大小即可判断． 【详解】（1）解：由题图可知，抽取的甲班的学生人数为（人），所以甲班测试成绩的中位数为第10名和第11名成绩的平均数，所以； 因为甲班的众数在等级，且甲班等级中成绩为95分出现了4次，出现的次数最多，所以； 由扇形统计图可知乙班成绩在等级的占比为，且抽取的两个班的学生人数相等为20人，所以； 故答案为：86，95，13． （2）解：根据题意，为抽取学生人数，所以， 由表可知乙班平均数， 由表可知甲班的方差大于乙班的方差，所以甲班的的样本成绩的离散程度更大， 故答案为：20，86，甲． （3）解：乙班的测试成绩比较好， 理由如下：两个班的平均成绩相同，但是乙班的中位数比甲班的大，并且乙班的方差比甲班的方差小，即乙班的成绩更加稳定，所以乙班的成绩比较好． 19．四组：A：，B：，C：，D：，下面给出了部分信息． 抽取的对A款人工智能软件的所有评分数据： 64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 抽取的对B款人工智能软件的评分数据中C组包含的所有数据：85，86，87，88，88，88，90，90． 抽取的对A、B两款人工智能软件的评分统计表 软件 平均数 中位数 众数 方差 A 86 85.5 b 96.6 B 86 a 88 69.8 抽取的对B款人工智能软件的评分扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：______，______，______； (2)根据以上数据，你认为哪款人工智能软件更受用户欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)若本次调查有600名用户对A款人工智能软件进行了评分，有800名用户对B款人工智能软件进行了评分，估计其中对A、B两款人工智能软件非常满意（）的用户总人数． 【答案】(1)，， (2)B款更受用户欢迎，理由见详解 (3)对A、B两款人工智能软件非常满意（）的用户总人数约为人 【分析】本题主要考查调查与统计的相关概念及计算，掌握中位数，众数，百分比的计算，根据样本估算总体数量的方法，由调查数据作决策的方法是解题的关键． （1）根据中位数，众数，百分比的计算方法即可求解； （2）根据调查数据作决策即可； （3）根据样本百分比估算总体数量即可． 【详解】（1）解：对A款人工智能软件的所有评分数据中，共有20个评分，其中出现的次数最多， ∴， 为保证对A款人工智能软件和对B款人工智能软件的公平性，B款抽取的样本容量为20， ∴对B款人工智能软件评分在A组的数据为，在B组的数据为，在C组的数据为8，在D组的数据为， ∴中位数是第10和11的平均数，即， ∴， ∴， 故答案为：，，； （2）解：B款更受用户欢迎，理由如下， A款与B款的平均数相同，A款的中位数，众数均小于B款，且A款的方差大于B款的方差， ∴B款人工智能软件更好，更稳定， ∴B款更受用户欢迎； （3）解：（人）， ∴对A、B两款人工智能软件非常满意（）的用户总人数约为人． 20．随着全民健康意识的增强，人们在选择定居地时越来越重视空气质量．AQI（空气质量指数）描述了空气清洁或者污染的程度，以及对健康的影响．小明爸爸打算从某城市的A，B，C三个区域中选择一个区域定居，为帮助爸爸作出最合适的选择，小明对这三个区域的空气质量情况进行了调查分析，过程如下： 【数据整理】 A，B，C三个区域一周的空气质量指数（AQI）情况 区域 A B C 周一 69 115 108 周二 74 93 50 周三 73 111 70 周四 70 97 53 周五 69 105 115 周六 72 111 53 周日 77 103 55 备注：环保局根据AQI将空气质量分为优（）、良（）、轻度污染（）、中度污染（）、重度污染（）、严重污染（以上）6个类别． （1）这三个区域中，______区域的空气质量更稳定；（填A，B或C） 【数据分析】 A B C 平均数 72 105 72 中位数 72 a 55 众数 69 111 b （2）由上表填空：______，______； 【判断决策】 （3）你认为小明爸爸选择哪个区域定居较为合适，并说明理由． 【答案】（1）A；（2）105，53；（3）选择A区域较合适，因为A区域的AQI平均值相对较小，而且波动比较小，空气质量比较稳定 【分析】本题主要考查调查与统计，掌握折线图，中位数，众数，根据调查数据作决策等知识是解题的关键． （1）根据折线图中的信息即可求解； （2）根据中位数，众数的计算方法即可求解； （3）根据调查数据作决策即可． 【详解】解：（1）根据折线图可得，A区域的空气质量更稳定， 故答案为：A； （2）B区域的空气质量的数据依次为：， ∴， C区域的空气质量数量中，出现次数最多的是53， ∴， 故答案为：105，53； （3）选择A区域较合适， ∵A区域的AQI平均值相对较小，而且波动比较小，空气质量比较稳定． 题型05 标准差 21．为了解某公司的收入水平，随机挑选五人的月工资进行抽样调查，月工资（单位：元）分别是3000，4000，5000，6000，50000，那么能够较好的反映他们收入平均水平的是（    ） A．中位数 B．标准差 C．平均数 D．众数 【答案】A 【分析】此题考查了平均数、众数、中位数和标准差，众数是指一组数据中出现次数最多的数据；将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）叫做这组数据的中位数． 利用平均数，中位数、众数和给出的数据分别进行分析，即可得出答案． 【详解】解：标准差是反映数据的波动程度，因此不能很好的反映，而五人的月工资有的工资很高，有的很低，故平均数不具有代表性，众数是数据出现次数最多的数，也不能很好的反映， 而中位数将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间位置的数，具有代表性， 所以能够较好的反映他们收入平均水平． 故选：A． 22．已知一个样本数据为2，3，4，5，6，则这组数据的方差和标准差分别是（    ） A．2、 B．3、 C．、 2 D．、3 【答案】A 【分析】此题考查计算方差和标准差，熟练掌握计算公式是解题的关键，先求出数据的平均数，再根据方差及标准差公式求出方差． 【详解】解：这组数据的平均数， 方差， 标准差， 故选：A． 23．若一组数据的方差为2，那么这组数据的标准差是（      ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据标准差是方差的算术平方根即可解答． 【详解】解：∵一组数据的方差为2，标准差S是方差的算术平方根， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查方差与标准差定义和计算公式，正确的记忆方差公式是解题关键． 24．小明利用公式计算若干个数的方差，则这些数的标准差为 ． 【答案】 【分析】本题考查了标准差：样本方差的算术平方根表示样本的标准差，它也描述了数据对平均数的离散程度．也考查了平均数与方差，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．先根据平均数的定义求出，再代入公式求出方差，然后求出方差的算术平方根即标准差的值． 【详解】解：根据题意知，， 则， ． 故答案为． 25．（1）若一组数据…，的方差是9，则数据，…，的方差是多少？ （2）若一组数据…，的方差为，将这组数据中的每个数乘以9，则所得到的一组新数据的标准差是多少？ （3）若一组数据…，的方差为，将这组数据中的每个数乘以a，再加上b，那么得到的一组新数据的方差是多少？标准差是多少？ 【答案】（1）9；（2）；（3）， 【分析】（1）设…，的平均数为，则，…，的平均数为，再利用方差的计算公式就可求出，…，的方差； （2）先设原数据的平均数为a，再求出每个数据都乘以9后的平均数，然后利用方差公式进行求解，最后求出方差的算术平方根，据此即可解决问题； （3）根据（1）和（2）两题的结论可得出新数组的方差，再根据标准差是方差的算术平方根即可解决问题． 【详解】解：（1）设…，的平均数为， 则，…，的平均数为． 因为， 所以，…，的方差为 ． （2）设其平均数为a，则将每个数据都乘以9之后得到的新数分别为，…，，其平均数为， 所以原数据方差为 ， 所以新数组，…，的标准差为． （3）由（2）的结论可知这组数据中的每个数乘以a得到的新数组的方程为， 再根据（1）的结论可知将数据，…，中的每一个数都加上b以后得到的新数组与数组，…，的方差一样，仍为， 所以最后得到的新数组的标准差． 【点睛】本题考查的是方差和标准差，关键是掌握方差与标准差的计算方法． 题型06 平均差 26．我县某中学七、八年级各选派10名选手参加学校举办的“爱我太康”知识竞赛，计分采用10分制，选手得分均为整数，成绩达到6分或6分以上为合格，达到9分或10分为优秀．这次竞赛后，七、八年级两支代表队选手成绩分布的条形统计图和成绩统计分析表如下，其中七年级代表队得6分、10分的选手人数分别为a，b． 队别 平均分 中位数 方差 合格率 优秀率 七年级 6.7 m 3.41 90% n 八年级 7.1 7.5 1.69 80% 10% （1）请依据图表中的数据，求a，b的值； （2）直接写出表中的m，n的值； （3）有人说七年级的合格率、优秀率均高于八年级，所以七年级队成绩比八年级队好，但也有人说八年级队成绩比七年级队好．请你给出两条支持八年级队成绩好的理由． 【答案】（1）a＝5，b＝1；（2）m＝6；n＝20%；（3）八年级队比七年级队成绩好，理由见解析． 【分析】（1）根据题意，得到关于字母的方程组，解二元一次方程组即可； （2）一组数据，按顺序排列，位于中间的数（偶数个数，取中间两个数的平均值）就是中位数m，再用优秀的人数除以总人数即可得到n的值； （3）根据表格中的平均数、中位数进行说明比较即可． 【详解】解：（1）根据题意得：， 解得a＝5，b＝1； （2）七年级成绩为3，6，6，6，6，6，7，8，9，10，中位数为6，即m＝6； 优秀率为＝20%，即n＝20%； （3）八年级平均分高于七年级，方差小于七年级，成绩比较稳定， 故八年级队比七年级队成绩好． 【点睛】本题考查平均数、中位数、方差、条形统计图等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 27．小明家去年的旅游、教育、饮食支出分别出3600元，1200元，7200元，今年这三项支出依次比去年增长10%，20%，30%，则小时家今年的总支出比去年增长的百分数是 ． 【答案】23% 【分析】根据增长率=今年的增加的支出÷去年的支出总数即可求出． 【详解】去年的支出总数=3600+1200+7200=12000元， 则今年的增加的支出=3600×10%+1200×20%+7200×30%=2760元， ∴小明家今年的总支出比去年增长的百分数=2760÷12000=23%． 故答案为23%． 【点睛】本题考查了增长率的计算．增长率=今年的增加的量÷去年的总量． 28．在一组数据x1,x2,…,xn中,各数据与它们的平均数的差的绝对值的平均数,即T=(|x1-|+|x2-|+…+|xn-|)叫做这组数据的“平均差”.“平均差”也能描述一组数据的离散程度.“平均差”越大说明数据的离散程度越大.因为“平均差”的计算比方差的计算要容易一点,所以有时人们也用它代替方差来比较数据的离散程度.最大值与最小值的差、方差(标准差)、平均差都是反映数据离散程度的量. 一水产养殖户李大爷要了解鱼塘中鱼的质量的离散程度,因为个头大小差异太大会出现“大鱼吃小鱼”的情况.为防止出现“大鱼吃小鱼”的情况,在能反映数据离散程度的几个量中某些值超标时就要捕捞,分开养殖或出售.他从甲、乙两个鱼塘各随机捕捞10条鱼称得质量(单位:千克)如下: 甲鱼塘:3、5、5、5、7、7、5、5、5、3 乙鱼塘:4、4、5、6、6、5、6、6、4、4 (1)分别计算从甲、乙两个鱼塘中抽取的10条鱼的质量的极差(极差:最大值与最小值的差)、方差、平均差.完成下面的表格: 极差(千克) 方差 平均差(千克) 甲鱼塘 乙鱼塘 (2)如果你是技术人员,你会告诉李大爷哪个鱼塘的风险更大些?哪些量更能说明鱼质量的离散程度? 【答案】（1）（6分） 极差 方差 平均差 A 4 1.6 0.8 B 2 0.8 0.8 （2）极差与方差 （4分） 【详解】试题分析：（1）根据极差、方差、平均差的定义分别计算即可；（2）因为要防止出现“大鱼吃小鱼”的情况，所以注意了解鱼塘中鱼的重量的离散程度，即波动大小，波动大的风险更大，根据（1）中的数据可得极差与方差更能说明鱼重量的离散程度. 试题解析：（1）甲组数据中最大的值7，最小值3，故极差=7-3=4， 甲=（3×2+6×5+2×7）÷10=5，S2甲==1.6， =（|3-5|+|5-5|+…+|3-5|）=0.8； 乙组数据中最大的值6，最小值4，故极差=6-4=2；乙=（4×4+6×4+5×2）÷10=5， =（|4-5|+|4-5|+…+|4-5|）=0.8； S2乙=[（4-5）2+（4-5）2+（5-5）2+（6-5）2+（6-5）2+（5-5）2+（6-5）2+（6-5）2+（4-5）2+（4-5）2]÷10=0.8， 极差 方差 平均差 A 4 1.6 0.8 B 2 0.8 0.8 （2）∵S2甲＜S2乙；所以根据A，B的极差与方差可以得出A鱼塘风险更大．极差与方差更能说明鱼重量的离散程度 考点：1. 极差；2. 方差；3. 平均差. 题型07 用计算器求方差 29．计算器在统计状态下，先看到显示数字952，按下后，显示5，这两个数的含义是（    ） A．已经输入了952个5 B．已经输入了5个952 C．已经输入了952个数，最后一个是5 D．已经输入了5个数，最后一个是592 【答案】D 【分析】本题主要考查了统计状态下的计算器方法，解决本题的关键是掌握和学会使用计算器进行统计，掌握键的功能． 根据题意，统计数据的方法为输入数据后按，屏幕就会显示此时一共输入进去多少个数据，即可得到答案． 【详解】解：根据计算器的相关知识可得先看到显示数字952，按后，显示5，这两个数的含义是已经输入了5个数，最后一个是952． 故选：D 30．甲乙两人5次射击命中的次数如下： 则这两人次射击命中的环数的平均数都为8，则甲的方差与乙的方差的大小关系为（　　） A．甲的方差大 B．乙的方差大 C．两个方差相等 D．无法判断 【答案】A 【分析】根据方差的计算公式，分别求得甲乙两人的方差，再进行比较即可. 【详解】解：甲的平均数为：， 乙的平均数为：， 甲的方差为， 乙的方差为， 所以甲的方差大． 故答案为:A. 【点睛】本题考查方差的计算，熟记方差计算公式是解题关键. 31．如图所示，A、B两个旅游点从2010年至2014年“五、一”的旅游人数变化情况分别用实线和虚线表示．根据图中所示解答以下问题： （1）B旅游点的旅游人数相对上一年，增长最快的是哪一年？ （2）求A、B两个旅游点从2010到2014年旅游人数的平均数和方差，并从平均数和方差的角度，用一句话对这两个旅游点的情况进行评价． 【答案】（1）增长最快的是2013年；（2）A、B两个旅游点从2010到2014年旅游人数的平均数都为3万人，A地旅游人数的方差为2，B地旅游人数的方差为0.4；A旅游点的人数比B旅游点的人数波动大 【分析】（1）认真审图不难看出B旅游点的旅游人数相对上一年增长最快的是2013年； （2）根据平均数和方差的计算公式求出A、B两地旅游人数的平均数与方差，然后根据方差的大小判断两个旅游点的情况进行评价． 【详解】解：（1）B旅游点的旅游人数相对上一年，增长最快的是2013年． （2）A旅游点每年旅游人数的平均数为（万人）， 其方差为； B旅游点每年旅游人数的平均数为（万人）， 其方差为； 所以从2010到2014年，A、B两个旅游点旅游人数的平均数都为3万人，A地旅游人数的方差比B地旅游人数的方差大，所以A旅游点的人数比B旅游点的人数波动大． 【点睛】本题考查从统计图中获取信息的能力，也考查平均数和方差的计算方法. 32．用计算器计算下列一组数据的平均数、标准差与方差：85，75，92，98，63，90，88，56，77，95．（保留到小数点的后两位） 【答案】81.9，174.49，13.21 【分析】根据科学计算器求平均数、标准差与方差的方法求解即可． 【详解】解：这一组数据的平均数为＝81.9， 方差为S2＝[（85－81.9）2＋（75－81.9）2＋（92－81.9）2＋（98－81.9）2＋（63－81.9）2＋（90－81.9）2＋（88－81.9）2＋（56－81.9）2＋（77－81.9）2＋（95－81.9）2]＝174.49，标准差为S≈13.21． 【点睛】本题考查利用计算器求平均数、方差和标准差的方法，利用计算器计算平均数、方差与标准差能够大大提高效率． 33．用科学计算器求得271，315，263，289，300，277，286，293，297，280的平均数与标准差（精确到0.1）分别为（   ） A．287.1，14.4 B．287，14 C．287，14.4 D．14.4，287.1 【答案】A 【分析】借助计算器即可求得这组数据的平均数和标准差. 【详解】借助计算器可求得这组数据的平均数与标准差分别为287.1，14.4． 故答案为A. 【点睛】本题主要考查利用计算器求平均数与标准差，熟练掌握计算器求平均数与标准差的方法是解题关键． 题型08 求极差 34．小明同学为养成自觉锻炼身体的良好习惯，记录了自己一周中每天的运动时间（单位：分钟），分别为，，，，，，，则这组数据的极差是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了极差的定义，解题的关键是了解极差是最大数与最小值的差； 用最大的值减去最小的值即可． 【详解】解：最大的数是，最小的数是， 则极差， 故选：A 35．某学习兴趣小组的5名同学在一次数学竞赛活动中的成绩（单位：分）分别是92，95，90，92，86，对于这组数据，下列结论不正确的是（   ） A．极差是7 B．众数是92 C．平均数是91 D．中位数是92 【答案】A 【分析】本题主要考查了中位数、众数、平均数以及极差，正确运用公式是解题的关键．直接根据中位数、众数、平均数以及极差的计算公式对各选项进行判断． 【详解】解：A、这组数据极差是，符合题意； B、这组数据的众数是92，不符合题意； C、这组数据的平均数是，不符合题意； D．这组数据按从小到大排列为：86、90、92、92、95，所以这组数据的中位数是92，不符合题意； 故选：A． 36．挑选5名同学组成一个舞蹈队，已选中的4名同学的身高分别为：162，162，164，168（单位：）．要使所选5名同学的身高看上去最整齐，则第5名同学的身高最好为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数据变化的大小，要使5名同学的身高看上去最整齐，就要使5名同学身高差距变化比较小即可． 【详解】解：∵已选中的4名同学的身高分别为：162，162，164，168，升高差为， ∴要使所选5名同学的身高看上去最整齐，则第5名同学的身高最好为164和168之间的数字，各项中只有符合要求， 故选：C． 37．在学校数学课外活动竞赛中，某班5名学生参赛成绩分别为：81，83，85，88，88，则这5名学生的参赛成绩的极差是 ． 【答案】7 【分析】本题考查了极差，根据最大值减去最小值得出的数即为极差，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， 故答案为：． 38．某市2024年10月5日～10月9日每天的最低气温分别为（单位：）：17，14，12，10，13，则这5天中该市最低气温的极差为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查极差，极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差．根据极差的定义求解即可． 【详解】解：这组数据的最大值为17，最小值为10， 所以这5天中该市最低气温的极差为， 故答案为：7． 题型09 已知极差求未知数据 39．已知一组数据的0，x，1，1，2的极差为3，则 ． 【答案】或3 【分析】此题考查了极差，分两种情况讨论，当是数据中最小的数时和当是数据中最大的数时，根据极差的定义解答即可．熟知极差的定义是关键． 【详解】解：当是数据中最小的数时，； 当是数据中最大的数时． 则或3； 故答案为：或3． 40．若一组数据5，，2，x，的极差为13，则x的值为 ． 【答案】9或-8/-8或9 【分析】根据极差的定义分两种情况进行讨论，当x是最大值时，x-（-4）=13，当x是最小值时，5-x=13，再进行计算即可． 【详解】解：∵5，−4，2，x，−1的极差为13， ∴当x是最大值时，x-（-4）=13，当x是最小值时，5-x=13， 解得x=9或x=-8， 故答案为：9或-8． 【点睛】本题考查了极差，解题的关键是分情况讨论x． 41．张明随机抽查了学校七年级63名学生的身高(单位:cm),他准备绘制频数分布直方图，这些数据中最大值是185,最小值是147,若以4为组距(每组两个端点之间的距离叫做组距),则这些数据可分成 组. 【答案】10 【分析】由185-147=38得极差为38，因为组距为4，所以需设38÷4=9.5组，取整数10. 【详解】先求出极差185-147=38， 38÷4=9.5，故取10组. 【点睛】此题主要考查极差的应用. 42．如果一组数据1，0，﹣2，2，x的极差是6，且x＞0，那么x的值是 ． 【答案】4 【分析】分x为最小值时和x为最大值时，利用极差＝最大值-最小值列方程求解即可． 【详解】解：当x为最小值时，2﹣x=6，解得：x=﹣4， ∵x＞0，∴不合题意，舍去； 当x为最大值时，x﹣（﹣2）=6，解得：x=4． 故答案为4． 【点睛】本题考查极差、解一元一次方程，理解极差的概念是解答的关键． 43．先化简，再求值：，其中a在一组未排序的数据7、9、6、a、8、5中，已知这组数据的极差是6． 【答案】，当时，原式；当时，原式 【分析】先根据分式的混合计算法则化简，然后根据极差的定义求出a的值，最后代值计算即可． 【详解】解： ； 当数据7、9、6、a、8、5中为最大值时，则，即， 当时，原式； 当数据7、9、6、a、8、5中为最小值时，则，即， 当时，原式． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，极差，正确计算是解题的关键． 题型10 方差、标准差相关解答题 44．为了增强学生的安全意识，某校开展了主题为“科学防护·珍爱生命”的安全知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分成四组：．，．，．，．），下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩是：． 八年级10名学生的竞赛成绩在组中的数据是：． 八年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 92 92 中位数 93 众数 100 方差 52 根据以上信息，解答下列问题； (1)直接写出上述图表中，，的值； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的安全知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）． 【答案】(1)，， (2)从方差上看，由于八年级的方差小，所以八年学生的成绩更加整齐！ 【分析】本题主要考查调查与统计的相关概念及计算，掌握某项百分数，中位数，众数的计算，由调查数据作决策的方法是关键． （1）根据八年级C组有3人，得到C组的百分比，可得，根据中位数，众数的计算方法即可求解； （2）根据调查数据作决策即可． 【详解】（1）解：八年级C组有3人， ∴C组的百分比为， ∴， ∴， ∵A组占，B组占，C组占， ∴中位数落在C组中，第5，6位同学成绩的平均数， ∴， ∴， 在七年级学生的成绩中，出现的次数最多， ∴； （2）解：八年级学生的安全知识竞赛成绩较好，理由如下， ∵八年级的中位数大，众数也大，方差小， ∴八年学生的成绩较好，更加整齐． 45．甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示： (1)请填写下表： 平均数 方差 中位数 命中9环以上（包括9环）次数 甲 7 7 1 乙 5.4 (2)请从下列两个不同的角度对这次测试结果进行分析： ①从平均数和方差相结合看（分析谁的成绩更稳定）； ②从平均数和命中9环（包括9环）以上次数相结合看（分析谁的潜能更大）． 【答案】(1)答案见解析 (2)①甲的成绩更稳定；②乙的潜能更大 【分析】（1）由图得到甲的环数及乙的环数，再由平均数公式、方差公式、中位数求法求解即可得到答案； （2）根据题意，由（1）可知，甲的平均数与乙的平均数相等，再由（1）中求得的方差及命中9环以上（包括9环）次数对这次测试结果进行分析即可得到答案． 【详解】（1）解：由图可知， 甲的环数是； 乙的环数是； 乙的平均数为； 甲的方差为； 乙的中位数为； 乙命中9环以上（包括9环）次数为； 故答案为： 平均数 方差 中位数 命中9环以上（包括9环）次数 甲 7 1.2 7 1 乙 7 5.4 7 3 （2）解：①由（1）可知，甲的平均数与乙的平均数相等，均为7；甲的方差为1.2、乙的方差为5.4； ， 甲的成绩更稳定； ②由（1）可知，甲的平均数与乙的平均数相等，均为7；甲命中9环以上（包括9环）次数1、乙命中9环以上（包括9环）次数为； ， 乙的潜能更大． 【点睛】本题考查统计综合，涉及统计图表、平均数、方差、中位数、由平均数、方差及相关统计量分析决策，熟记相关统计量的概念及求法是解决问题的关键． 46．某校要派两个代表队去参加区健美操大赛，每个队有8名同学，现统计了她们的身高（单位：cm），数据整理如下： a． 甲队 163 166 167 169 169 171 172 174 乙队 163 165 166 169 171 171 173 178 b．每队8名选手身高的平均数、中位数、众数如下： 班级 平均数 中位数 众数 甲队 168.875 169 169 乙队 169.5 m n 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中m，n的值； (2)如果某队选手的身高的方差越小，则认为该队选手的身高比较整齐．据此推断，在甲队和乙队的选手中，身高比较整齐的是　　　队（填“甲”或“乙”）； (3)甲队的6位首发选手的身高分别为166，167，169，169，171，172．如果乙队已经选出5位首发选手，身高分别为166，169，171，171，173，要使得乙队6位选手的平均身高不低于甲队6位首发选手的平均身高，且方差尽可能小，则第六位选手的身高是　　　cm． 【答案】(1) (2)甲 (3)165 【分析】（1）根据中位数和众数概念，即可作答； （2）根据方差的概念，即可作答； （3）先求出1班6位首发选手的平均身高，再求出2班第6位选手的身高取值范围；接着根据题意，从方差的概念入手，确定第六位选手的身高． 【详解】（1）解：乙队数据从小到大排列为163、165、166、169、171、171、173、178， 从中可以看出一共八个数，第四个数据为169、第五个数据为171，所以这组数据的中位数为：，故； 其中171出现的次数最多，所以这组数的众数为171，故； （2）解：根据方差的定义可以知道，方差越大，一组数据的波动越大，离散程度越大，稳定性也越小，反之亦然． 甲队的身高分布于，乙队的身高分布于， 从中可以看出，甲队的数据较乙队的数据波动较小，更加稳定，所以甲队的选手身高比较整齐， 故答案为：甲； （3）解：（厘米）， 设乙队第六位选手的身高为x厘米，则， 解得， 据此，第六位可选的人员身高为165， 若为165时，乙班的身高数据分布于，若为178时，乙班的身高数据分布于， 从中可以看出当身高为165时的数据波动更小，更加稳定， 所以第六位选手的身高应该是165厘米， 故答案为：165． 【点睛】本题考查了平均数、众数、中位数和方差，熟记相关概念是解题的关键． 47．某校舞蹈队共16名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：cm），数据整理如下： ．16名学生的身高： 161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175 ．16名学生的身高的平均数、中位数、众数： 平均数 中位数 众数 166.75 (1)写出表中，的值； (2)对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好．据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是______．（填“甲组”或“乙组”）； 甲组学生的身高 162 165 165 166 166 乙组学生的身高 161 162 164 165 175 (3)该舞蹈队要选五名学生参加比赛．已确定三名学生参赛，他们的身高分别为168，168，172，他们的身高的方差为，在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差变小，其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生的身高分别为______和______． 【答案】(1)166，165 (2)甲组 (3) 【分析】本题考查了平均数、众数、中位数和方差，熟记方差的计算公式以及方差的意义是解题的关键． （1）根据众数和中位数的定义进行计算； （2）根据方差的计算公式计算方差，然后根据方差的意义进行比较； （3）根据方差进行比较． 【详解】（1）解：数据按由小到大的顺序排序：161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175， 则舞蹈队16名学生身高的中位数为， 数据165最多，所以，众数为， 故答案为：166，165； （2）解：甲组学生身高的平均值是：， 甲组学生身高的方差是：， 乙组学生身高的平均值是：， 乙组学生身高的方差是：， ∵， ∴甲组舞台呈现效果更好． 故答案为：甲组； （3）解：∵168，168，172的平均数为， 方差, 又所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于， ∴数据的差别较小， 可供选择的有 平均数为：， 方差为：， ∴选出的另外两名学生的身高分别为和， 故答案为：． 48．某中学举行“校园好声音”歌手大赛，甲、乙两班根据初赛成绩各选出5名选手组成甲班代表队和乙班代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的预赛成绩（满分100）如图所示： 根据图示信息，整理分析数据如表： 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 甲班 85 70 乙班 85 100 160 (1)填空：甲班2号选手的预赛成绩是________分，乙班3号选手的预赛成绩是________分，________班的预赛成绩更均衡； (2)求出表格中________，________，________； (3)学校决定在甲、乙两班中选取预赛成绩较好的5人参加该活动的区级比赛，这5人预赛成绩的方差为________． 【答案】(1)，，甲 (2)，， (3) 【分析】（1）根据条形统计图即可得到甲班2号选手、乙班3号选手的预赛成绩，比较两个班成绩的方差，方差比较小的班级成绩更均衡； （2）先分别根据条形统计图确定甲、乙两个班选手的成绩，根据平均数、中位数、众数的定义和计算公式计算，即可解题； （3）先确定10名选手中成绩最好的5名同学成绩，根据平均数的意义求出平均数，再根据平均数求出方差即可． 【详解】（1）解：由条形统计图可知：：甲班2号选手的预赛成绩是分，乙班3号选手的预赛成绩是分， 由表可知：甲班方差乙班方差， 甲班的预赛成绩更均衡； 故答案为：，，甲； （2）解：由条形统计图可知：甲班成绩为、、、、， 甲班平均数， 甲班数据中其中出现次数最多，为两次，故甲班众数， 由条形统计图可知：乙班成绩为、、、、， 从小到大排序为：、、、、， 乙班中位数， 故答案为：，，； （3）解：由条形统计图可知：预赛成绩较好的5人成绩为、、、、， 这5人预赛成绩的平均数为， 这5人预赛成绩的方差为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了根据条形统计图提取数据，平均数，中位数、众数、方差的意义和计算方法等知识，熟知相关概念，根据统计图正确提取相关信息是解题关键． 1．在一组数据24，31，15，26，5■，44中，发现“5■”的个位数字模糊不清，下列统计量中与■的值无关的是（   ） A．平均数 B．方差 C．中位数 D．众数 【答案】C 【分析】本题考查了方差：它也描述了数据对平均数的离散程度．也考查了中位数、平均数和众数的概念．利用平均数、中位数、方差和众数的定义对各选项进行判断． 【详解】解：这组数据的平均数、方差和众数都与被涂污数字有关， 数据排列后为：15，24，26，31，44，5■， 而这组数据的中位数为，与被涂污数字无关． 故选：C． 2．一组数据：5，12，4，5，9，这组数据的平均数和极差分别是（   ） A．7，8 B．5，8 C．7，7 D．5，7 【答案】A 【分析】本题考查了平均数和极差，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数，一组数据中最大值与最小值的差叫做这组数据的极差．熟练掌握极差和平均数的定义是解题的关键． 根据极差和平均数的定义求解即可． 【详解】解：平均数为，极差为， 故选：A 3．数学课上张老师给出了如下算式，计算某数据的方差，据此判断下列说法错误的是（   ） A．样本众数是3 B．样本中位数是3 C．n的值是4 D．样本平均数是4 【答案】D 【分析】本题主要考查了求一组数据的中位数和众数，平均数，解题的关键是根据方差计算公式得出数据．根据方差的计算公式得到各个数值进行判断即可． 【详解】解：根据方差算式可得，样本数据为， 因此，样本众数为， 中位数是， 平均数为， 故选：D． 4．小明根据方差公式，分析和计算得出了四个结论，其中不正确的是（   ） A． B．中位数是 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查方差的计算公式，中位数的定义，由方差公式得这组数据共个数，平均数为，即得，，即可判断；进而由中位数的定义可判断；再计算可判断，综上即可求解，掌握方差的计算公式是解题的关键． 【详解】解：， 这组数据为，，，，，共个数，平均数为， ∴，， ∴， ∴选项正确，不合题意； 数据，，，，的中位数为， ∴选项正确，不合题意； ∵， ∴选项错误，符合题意； 故选：． 5．如果用公式计算一组数据的方差，那么数据，，，…，的和是（   ） A．268 B．240 C．90 D．43 【答案】B 【分析】本题主要考查了方差与平均数的计算公式，熟记公式是解题关键． 先根据方差的计算公式可得这组数据的平均数，再利用平均数的计算公式即可得． 【详解】解：由题意得：这组数据的平均数为6， 则， 解得：， ∴ 故选：B． 6．数据2，4，5，10，，其中整数是这组数据的中位数，则该组数据的方差是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了中位数的定义、方差的计算，熟练掌握中位数的定义以及方差的计算是解题的关键，根据根据中位数的定义确定整数a的值，由方差的定义即可得出答案． 【详解】解：∵2，4，5，10，的中位数是整数a， ∴或5， 当时，这组数据的平均数为； ∴该组数据的方差是 当时，这组数据的平均数为， ∴该组数据的方差是 故答案为：或． 7．已知一组数据：的极差是3，则整数可以是 （只写一个）． 【答案】（答案不唯一，其中一个） 【分析】此题考查了极差，分情况讨论，当��是数据中最小的数时，当x是数据中最大的数时，当��是数据中既非最大也非最小的数时，根据极差的定义解答即可．熟知极差的定义是关键． 【详解】解：①当��是数据中最小的数时，，解得； ②当��是数据中最大的数时，解得； ③当��是数据中既非最大也非最小的数时，此时这组数据的极差为也符合题意， ∴此时整数可以是0或1． 故答案为：（其中一个）． 8．某外贸公司要出口一批规格为的鸡腿，现有甲、乙、丙个厂家提供货源，它们的价格相同，鸡腿品质也很相近，如图是质检员分别从个工厂的产品中抽样调查的只鸡腿的质量、如果只考虑鸡腿的规格，那么外贸公司应该买 厂的鸡腿.（填“甲”或“乙”或“丙”）. 【答案】乙 【分析】本题考查了统计图、平均数、方差，平均数反映了数据的集中趋势，方差反映了数据的波动大小；计算三厂家鸡腿质量的平均数及方差进行比较：三个厂家鸡腿的质量从平均数上看乙、丙两个厂家的平均数相同，从方差上看乙厂家的方差小，所以鸡腿的质量波动较小，所以应选乙厂家的鸡腿． 【详解】解：从三个厂家的统计图中可以看出： 甲厂家恰好是的只有个，而乙厂家和丙厂家都有个； ， ， ； 甲厂家鸡腿的平均质量是，乙、丙两个厂家的平均质量均为； ， ， ， 从方差可以看出：甲厂家和丙厂家的鸡腿质量的波动较大，乙厂家鸡腿质量的波动较小； 故应选乙厂家的鸡腿． 故答案为： 乙． 9．三个小组每组都有10人，一道满分为3分的题目，三个小组的得分情况如图所示：观察这三个小组的得分情况，小明发现，“柱子的高度”总是1，2，3，4，但是它们排列的顺序不同，导致了平均数和方差发生了变化，在这三组中，方差最小的是第 组． （可能用到的数学公式：平均数，方差） 【答案】二 【分析】本题考查了方差的计算公式．根据每个图中的数据先求出平均数再运用方差计算公式求出方差即可． 【详解】解：第一组平均数是， 第一组的方差是； 第二组的平均数是：， 方差是； 第三组的平均数是：， 方差是：； 方差最小的是第二组． 故答案为：二． 10．一组数据的平均数为5，方差为16，n是正整数，则另一组数据的标准差是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了求一组数据的方差及标准差；先求出这组数据的平均数与方差，再由方差的算术平方根即为标准差即可求解． 【详解】解：由题意知，， 即； 而， ∵， ∴ ， ∴标准差为； 故答案为：8． 11．甲、乙两名运动员进行射击练习，两人在相同条件下各射10次，对射击成绩进行整理，绘制如图所示的统计图： 对上述数据进行分析，得到如下统计表： 平均数 中位数 众数 方差 甲 6.5 a 2.2 乙 7 b 7 (1)填空：___________，___________； (2)求甲运动员10次射击成绩的平均数； (3)求乙运动员10次射击成绩的方差； (4)根据你所学的统计知识，利用上述某些统计量，对甲、乙两人的射击水平进行评价（写出两条即可）． 【答案】(1)6，7 (2)7环 (3)1.2 (4)见解析 【分析】本题考查统计图，求众数，平均数，方差，利用平均数和方差作决策： （1）根据众数是一组数据中出现次数最多的数据进行判断即可； （2）根据加权平均数的计算方法进行计算即可； （3）利用方差的计算公式进行计算即可； （4）从平均数和方差两方面进行分析即可． 【详解】（1）解：由扇形图可知，甲射击击中环数最多的是6环，由条形图可知，乙射击击中环数最多的是7环， ∴； （2） 答：甲运动员10次射击击中环数的平均数为7环． （3） 答：乙10次射击成绩的方差1.2． （4）从平均数来看，两人平均数相同，射击水平相当；从方差看，甲射击成绩的方差大于乙射击成绩的方差，所以乙射击成绩比较稳定． 12．某校举行国学知识竞赛，设定满分10分，学生得分均为整数，在初赛中，甲、乙两组（每组10人）学生成绩（单位：分）如下． 甲组学生的成绩：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10． 根据以上信息．整理分析数据如下． 组别 平均数 中位数 众数 方差 甲组 7 b 6 2.6 乙组 a 7 c 2 (1)求a的值； (2)填空：________，________． (3)若从甲、乙两组学生中选择一个组参加决赛，应选哪个组？并说明理由． 【答案】(1)7 (2)6，7 (3)乙组；理由见解析 【分析】本题考查了平均数、中位数、众数、方差，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据平均数的定义列式计算即可得解； （2）根据中位数和众数的定义计算即可得解； （3）根据平均数、中位数、众数和方差分析即可得解． 【详解】（1）解：乙组数据平均数， ∴； （2）解：根据题意得：甲组位于正中间的两个数均为6， ∴； 乙组中出现次数最多的是7， ∴． 故答案为：6，7； （3）解：根据题意得：两组的平均数相同，乙组的中位数，众数均高于甲组，且乙组的方差小于甲组的， ∴乙组的成绩较好， ∴选乙组． 13．为提升学生体质健康水平，某校开展了丰富多彩的课外社团活动．在八年级组织的课外体育社团中，甲、乙两位同学参加了立定跳远社团的选拔，这两位同学的10次跳远成绩的折线统计图如图所示（规定：立定跳远的测试成绩满分为10分，其中成绩是8分及以上的为优秀）． 分析甲、乙的成绩，得到如下数据： 平均数/分 中位数/分 方差 优秀率 甲 7 b 5.4 乙 a 7 2.8 根据以上信息，回答下列问题． (1)填空：______，______，______． (2)这10次测试成绩中，发挥较稳定的是______同学（填“甲”或“乙”）． (3)请你从这两位同学中选出一位，对其跳远成绩作出评价，并提出合理化建议． 【答案】(1)7；7.5； (2)乙 (3)选甲同学．甲同学中位数、优秀率比乙同学高，成绩较好，但方差比乙同学高，说明了成绩发挥不稳定，应加强成绩稳定性训练．（选乙同学．乙同学方差比甲同学低，说明了成绩发挥稳定，但从中位数、优秀率比甲同学低，应加强训练，提高成绩．） 【分析】（1）利用统计图，根据平无数，中位数，优秀率的计算公式计算即可； （2）根据方差的意义：方差越大，成绩越不稳定．比较两人的方差大小即可求解； （3）从中位数、优秀率、方差的意义解答即可． 【详解】（1）解：由折线统计图可知：乙同学成绩为：9分，6分，7分，6分，3分，7分，7分，8分，8分，9分， 乙同学成绩的平均数， 由折线统计图可知：甲同学成绩为：2分，4分，6分，8分，7分，7分，8分，9分，9分，10分， 成绩按从小到大排列为：2分，4分，6分， 7分，7分，8分，8分，9分，9分，10分， 第五与第六的成绩为：7分，8分， ∴甲同学成绩的中位数为， ∵甲同学成绩是8分及以上的有5次， ∴甲同学成绩的优秀率； 故答案为：7；7.5；． （2）解：∵，， ∴ ∴发挥较稳定的是乙同学， 故答案为：乙． （3）解：选甲同学．甲同学中位数、优秀率比乙同学高，成绩较好，但方差比乙同学高，说明了成绩发挥不稳定，应加强成绩稳定性训练． 选乙同学．乙同学方差比甲同学低，说明了成绩发挥稳定，但从中位数、优秀率比甲同学低，应加强训练，提高成绩． 【点睛】本题考查折线统计图，统计表，平无数，中位数，方差，掌握平无数、中位数的计算公式是解题的关键． 14．在生活中，如果垃圾处理不当不仅对环境造成严重污染，还威胁着人类的健康和生存，因此垃圾分类是解决这一问题的有效途径．某社区对居民掌握垃圾分类知识的情况进行调查，其中甲、乙两小区分别有400名居民参加了测试，社区从中各随机抽取了50名居民的成绩，对其进行整理得到部分信息： 信息1：如图是乙小区50名居民成绩的条形统计图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）： 组别 居民测试成绩 A B C D E 75 75 79 79 79 79 80 80 81 82 82 83 83 84 84 84 表① 小区 平均数 中位数 众数 优秀率 方差 甲 75.1 77 76 211 乙 75.1 79 277 表② 信息2：上图中组的成绩如表①： 信息3：甲、乙两小区各50名居民成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（80分及以上为优秀）、方差等数据如表②（部分空缺）： 根据以上信息，回答下列问题： (1)乙小区50名居民成绩的中位数是________，优秀率是________； (2)请估计乙小区400名居民成绩优秀的人数； (3)请选择合适的统计量，从三个角度分析甲、乙两小区参加测试的居民掌握垃圾分类知识的情况． 【答案】(1)， (2)估计乙小区名居民成绩优秀人数是人 (3)见解析 【分析】本题考查了中位数，平均数，方差的定义及意义，利用样本估计总体，根据题意找出所需数据是解题关键． （1）根据中位数的定义可知，乙小区50名居民成绩的中位数在组别，进而求解，再利用乙小区50名居民成绩的优秀人数除以总人数，即可求出优秀率； （2）用乙小区人数乘以（1）所求优秀率求解即可； （3）根据平均数、方差、优秀率进行分析即可． 【详解】（1）解：由条形统计图可知，乙小区三组人数为人，四组人数为人， 即乙小区50名居民成绩的中位数在组别，为， 乙小区50名居民成绩的优秀率是， 故答案为：79；； （2）解：（人）， 答：估计乙小区名居民成绩优秀人数是人． （3）解：从平均数看，两个小区居民对垃圾分类知识掌握情况的平均水平相同； 从方差看，甲小区居民对垃圾分类知识掌握情况比乙小区稳定； 从优秀率看，甲小区居民成绩优秀人数高于乙小区居民成绩优秀人数；． 15．随着互联网技术的飞速发展，人工智能得到了越来越广泛的应用，人们越来越习惯借助各种人工智能产品来辅助工作、学习和生活．市场上也涌现出了如、豆包等各类人工智能产品．经过市场调研，小罗决定从两个人工智能产品中选择一个进行使用．以下是小罗通过调查问卷的方式收集的10位用户对两个人工智能产品的相关评价，并整理、描述、分析如下： a．语言交互能力得分（满分10分） A：5，6，6，8，8，8，8，9，9，10 B：6，6，6，6，7，8，9，9，10，10 b．数据分析能力得分（满分10分） c．语言交互能力和数据分析能力得分统计表 统计量产品 语言交互能力得分 数据分析能力得分 平均数 中位数 众数 平均数 中位数 方差 A 8 8 7.0 B 7.7 7.5 6.9 7 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：___________，___________，___________，___________；（填“”或“”） (2)通过以上数据分析，你认为小罗应该选择哪个人工智能产品，至少从两个角度说明理由； (3)你认为小罗还需要了解哪些信息，举例说明（列出一条即可）． 【答案】(1) (2)我认为小罗应该选择A，理由见解析 (3)还需要了解两个人工智能产品的安全性、准确性、运算速度与效率等方面 【分析】本题考查了折线统计图，平均数，中位数，众数，方差． （1）根据平均数的定义求出，根据众数的定义求出，根据中位数的定义求出，根据方差的定义比较和即可； （2）根据统计量的意义判断，并说明理由即可； （3）根据题意结合人工智能产品的特点回答即可． 【详解】（1）解：A人工智能产品语言交互能力得分的平均数为：， ∴； B人工智能产品语言交互能力得分的10个数据中，6分最多， ∴； A人工智能产品数据分析能力得分的10个数据由小到大排列的第5个数据为7分，第6个数据为8分， ∴； 从折线统计图明显可以看出A人工智能产品数据分析能力得分波动大于B人工智能产品数据分析能力得分， ∴； 故答案为：7.7；6；7.5；； （2）解：我认为小罗应该选择A． 理由如下：从语言交互能力得分来看，和的平均数一样，但是A的中位数和众数均高于B；从数据分析能力得分来看，的平均数高于，且的中位数也大于B．（理由合理即可） （3）解：还需要了解两个人工智能产品的安全性、准确性、运算速度与效率等方面．（答案不唯一） 46 / 48 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 方差和标准差 （4个知识点+10类热点题型讲练+习题巩固） 课程标准 学习目标 ①方差的概念； ②极差与标准差； ③运用方差、极差与标准差做决策； 1.掌握方差的概念； 2.掌握极差与标准差； 3.运用方差、极差与标准差做决策； 知识点01：方差 在一组数据x1，x2，…，xn中，各数据与它们的平均数差的平方，它们的平均数，即S2=来描述这组数据的离散程度，并把S2叫做这组数据的方差。 一组数据的方差越大，说明这组数据的离散程度越大；一组数据的方差越小，说明这组数据的离散程度越小。 【即学即练1】 1．若样本…，的平均数是5，方差是2，则样本，…，的平均数、方差分别是（　　） A．5，2 B．10，2 C．10，4 D．10，8 【即学即练2】 2．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是3，那么另一组数据3x1，3x2，3x3，3x4，3x5的平均数和方差分别是（  ） A．2，3 B．6，9 C．6，27 D．6，18 知识点02：标准差 方差的算术平方根，即用S=来描述这一组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的标准差。 【即学即练3】 3．某市从不同学校随机抽取100名初中生，对“学校统一使用数学教辅用书的册数”进行调查，统计结果如下： 册数 0 1 2 3 人数 13 35 29 23 关于这组数据，下列说法正确的是（    ） A．众数是2册 B．中位数是2册 C．极差是2册 D．平均数是2册 【即学即练4】 4．一组数据，，，，中，最后一个两位数的个位数字被墨迹覆盖，则这组数据不受影响的统计量是（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．极差 知识点03：极差 极差的定义：一组数据中最大值与最小值的差，能反映这组数据的变化范围，我们就把这样的差叫做极差。 极差=最大值－最小值，一般来说，极差小，则说明数据的波动幅度小。 【即学即练5】 5．已知样本数据，下列说法不正确的是（    ） A．平均数是3 B．方差是2 C．中位数是4 D．标准差是 【即学即练6】 6．某小组五位同学参加某次考试（满分20分）的平均成绩是16分，其中三位男生成绩的方差为6，两位女生的成绩分别为17分、15分，则这五位同学成绩的标准差为（   ） A． B．2 C． D．6 知识点04：方差与平均数的性质 若x1，x2，…xn的方差是S2，平均数是，则有： 1 x1+b， x2+b…xn+b的方差为S2，平均数是+b； ② ax1， ax2，…axn的方差为a2s2，平均数是a； ③ ax1+b， ax2+b，…axn+b的方差为a2s2，平均数是a+b。 题型01 求方差 1．已知数据，，，的方差是4，则一组新数据，，，的方差是（    ） A．4 B．5 C．9 D．16 2．已知一个样本数据，，…，，的平均数和方差分别为，，则新数据，，…，，的平均数和方差分别是（   ） A．9  4 B．9  8 C．6  4 D．6  7 3．某班期末英语的平均成绩为75分，方差为225，如果每名学生都多考5分，下列说法正确的是（    ） A．平均分不变，方差不变 B．平均分变大，方差不变 C．平均分不变，方差变大 D．平均分变大，方差变大 4．一组数据的方差，根据算式信息，该组数据的平均数是 ． 5．若一组数据2，3，x，4，5的方差为2，则这组数据的中位数为 ． 题型02 利用方差求未知数据的值 6．一样本数据的方差是，则这组数据的平均数是 ． 7．小明用计算一组数据的方差，那么 ． 8．用计算一组数据，，，，的方差，则这组数据的和为 ． 9．已知一个样本，，，，，平均数为，则这个样本的方差是（   ） A．5 B．3 C．4 D．6 10．已知a，b，c为非负整数，，则当a，b，c方差最小时， ． 题型03 根据方差判断稳定性 11．甲、乙两块地块各种植相同长度的10行小麦，下列关于每块地的每一行的小麦的平均收成和收成的方差的描述中，能说明甲地块每行小麦的收成较好且更稳定的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 12．甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，则这四名同学中成绩最稳定的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 13．水果超市售卖一批散装苹果，苹果大小不一，某顾客从中选购了部分大小均匀的苹果．设原有苹果质量（单位：）的方差为，该顾客选购的苹果质量的方差为，则与的大小关系是（    ）． A． B． C． D．它们的大小关系不确定 14．甲、乙两名射击运动员在相同的条件下，各射击10次． 经计算：甲射击成绩的平均数是8环，且；乙射击成绩的平均数是8环，且．则下列说法中， 不一定正确的是（   ） A．甲、乙射击的总环数相同 B．甲的成绩比乙的成绩稳定 C．乙的成绩比甲的成绩波动大 D．甲、乙两成绩的众数相同 15．为了比较甲、乙、丙三种水稻秋苗的长势，每种秧苗各随机抽取株，分别量出每株高度，计算发现三组秧苗的平均高度一样，并且得到甲、乙、丙三组秧苗高度的方差分别是，，，由此可知 种秧苗长势更整齐（填“甲"、“乙”或“丙”）． 题型04 运用方差做决策 16．为提高同学们的宪法意识，学校将组织“弘扬宪法精神，共筑法治校园”知识竞赛，共100道单选题，每题1分，满分为100分．王老师为了从甲、乙两名同学中选择一名同学代表班级参赛，对他们进行了培训和指导，期间甲、乙完成了十次模拟答题．为了比较这两名同学的成绩，绘制了如下的统计图和统计表： 甲、乙成绩统计表 平均成绩/分 中位数/分 方差/分2 甲 96 8.6 乙 96 96 (1)_______，________； (2)你认为王老师会选择哪位同学代表班级参赛？请说明理由； (3)若将每题1分改为每题0.5分，其余不变，则甲这10次成绩的方差将_________（填“变大”、“变小”或“不变”）． 17．小明记录下最近连续10次立定跳远和50米跑的试测成绩，部分信息如下： 【数据收集与整理】 信息一：50米跑试测成绩（单位：分）依次是85   80   95   85   95   90   95   95   95   100 信息二：立定跳远试测成绩中，80分与85分的次数相同，90分共4次． 【数据描述】 【数据分析】 平均数 中位数 众数 方差 50米跑成绩（分） 91.5 95 a 35.25 立定跳远成绩（分） 91.5 b 90 35.25 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：______，______，______； (2)为了在体育考试中取得更好的成绩，你认为小明应该如何选择？请说明理由． 18．毒品危害人们的身心健康，吞噬人们的肉体和灵魂，直接毁灭我们的美好生活，某校为了解该校对禁毒知识的掌握情况，对不同年级甲、乙两个班的同学（抽取的两个班的学生人数相等）进行了知识测试，并对得分情况进行了整理和分析（得分用整数表示，单位：分），把结果分为等级：，等级：，等级：，并绘制成如上统计图，其中甲班学生测试成绩数据的众数出现在等级，等级的测试成绩情况分别为：85，85，87，92，95，95，95，95，97，98，99，100；乙班学生成绩数据的等级共有人． 甲乙两个班样本数据的平均数、中位数、众数和方差如表所示 成绩 甲班 乙班 平均数 86 86 中位数 90 众数 95 方差 90.5 89.1 根据以上信息，解答下列问题： (1)________，________，________． (2)在计算这两组数据的方差时用的公式是，其中在计算乙班这组数据的方差时，公式中的________，________，________班的样本成绩的离散程度更大． (3)结合以上数据，你认为那个班的测试成绩更好？并说明理由． 19．四组：A：，B：，C：，D：，下面给出了部分信息． 抽取的对A款人工智能软件的所有评分数据： 64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 抽取的对B款人工智能软件的评分数据中C组包含的所有数据：85，86，87，88，88，88，90，90． 抽取的对A、B两款人工智能软件的评分统计表 软件 平均数 中位数 众数 方差 A 86 85.5 b 96.6 B 86 a 88 69.8 抽取的对B款人工智能软件的评分扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：______，______，______； (2)根据以上数据，你认为哪款人工智能软件更受用户欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)若本次调查有600名用户对A款人工智能软件进行了评分，有800名用户对B款人工智能软件进行了评分，估计其中对A、B两款人工智能软件非常满意（）的用户总人数． 20．随着全民健康意识的增强，人们在选择定居地时越来越重视空气质量．AQI（空气质量指数）描述了空气清洁或者污染的程度，以及对健康的影响．小明爸爸打算从某城市的A，B，C三个区域中选择一个区域定居，为帮助爸爸作出最合适的选择，小明对这三个区域的空气质量情况进行了调查分析，过程如下： 【数据整理】 A，B，C三个区域一周的空气质量指数（AQI）情况 区域 A B C 周一 69 115 108 周二 74 93 50 周三 73 111 70 周四 70 97 53 周五 69 105 115 周六 72 111 53 周日 77 103 55 备注：环保局根据AQI将空气质量分为优（）、良（）、轻度污染（）、中度污染（）、重度污染（）、严重污染（以上）6个类别． （1）这三个区域中，______区域的空气质量更稳定；（填A，B或C） 【数据分析】 A B C 平均数 72 105 72 中位数 72 a 55 众数 69 111 b （2）由上表填空：______，______； 【判断决策】 （3）你认为小明爸爸选择哪个区域定居较为合适，并说明理由． 题型05 标准差 21．为了解某公司的收入水平，随机挑选五人的月工资进行抽样调查，月工资（单位：元）分别是3000，4000，5000，6000，50000，那么能够较好的反映他们收入平均水平的是（    ） A．中位数 B．标准差 C．平均数 D．众数 22．已知一个样本数据为2，3，4，5，6，则这组数据的方差和标准差分别是（    ） A．2、 B．3、 C．、 2 D．、3 23．若一组数据的方差为2，那么这组数据的标准差是（      ） A．4 B． C． D． 24．小明利用公式计算若干个数的方差，则这些数的标准差为 ． 25．（1）若一组数据…，的方差是9，则数据，…，的方差是多少？ （2）若一组数据…，的方差为，将这组数据中的每个数乘以9，则所得到的一组新数据的标准差是多少？ （3）若一组数据…，的方差为，将这组数据中的每个数乘以a，再加上b，那么得到的一组新数据的方差是多少？标准差是多少？ 题型06 平均差 26．我县某中学七、八年级各选派10名选手参加学校举办的“爱我太康”知识竞赛，计分采用10分制，选手得分均为整数，成绩达到6分或6分以上为合格，达到9分或10分为优秀．这次竞赛后，七、八年级两支代表队选手成绩分布的条形统计图和成绩统计分析表如下，其中七年级代表队得6分、10分的选手人数分别为a，b． 队别 平均分 中位数 方差 合格率 优秀率 七年级 6.7 m 3.41 90% n 八年级 7.1 7.5 1.69 80% 10% （1）请依据图表中的数据，求a，b的值； （2）直接写出表中的m，n的值； （3）有人说七年级的合格率、优秀率均高于八年级，所以七年级队成绩比八年级队好，但也有人说八年级队成绩比七年级队好．请你给出两条支持八年级队成绩好的理由． 27．小明家去年的旅游、教育、饮食支出分别出3600元，1200元，7200元，今年这三项支出依次比去年增长10%，20%，30%，则小时家今年的总支出比去年增长的百分数是 ． 28．在一组数据x1,x2,…,xn中,各数据与它们的平均数的差的绝对值的平均数,即T=(|x1-|+|x2-|+…+|xn-|)叫做这组数据的“平均差”.“平均差”也能描述一组数据的离散程度.“平均差”越大说明数据的离散程度越大.因为“平均差”的计算比方差的计算要容易一点,所以有时人们也用它代替方差来比较数据的离散程度.最大值与最小值的差、方差(标准差)、平均差都是反映数据离散程度的量. 一水产养殖户李大爷要了解鱼塘中鱼的质量的离散程度,因为个头大小差异太大会出现“大鱼吃小鱼”的情况.为防止出现“大鱼吃小鱼”的情况,在能反映数据离散程度的几个量中某些值超标时就要捕捞,分开养殖或出售.他从甲、乙两个鱼塘各随机捕捞10条鱼称得质量(单位:千克)如下: 甲鱼塘:3、5、5、5、7、7、5、5、5、3 乙鱼塘:4、4、5、6、6、5、6、6、4、4 (1)分别计算从甲、乙两个鱼塘中抽取的10条鱼的质量的极差(极差:最大值与最小值的差)、方差、平均差.完成下面的表格: 极差(千克) 方差 平均差(千克) 甲鱼塘 乙鱼塘 (2)如果你是技术人员,你会告诉李大爷哪个鱼塘的风险更大些?哪些量更能说明鱼质量的离散程度? 题型07 用计算器求方差 29．计算器在统计状态下，先看到显示数字952，按下后，显示5，这两个数的含义是（    ） A．已经输入了952个5 B．已经输入了5个952 C．已经输入了952个数，最后一个是5 D．已经输入了5个数，最后一个是592 30．甲乙两人5次射击命中的次数如下： 则这两人次射击命中的环数的平均数都为8，则甲的方差与乙的方差的大小关系为（　　） A．甲的方差大 B．乙的方差大 C．两个方差相等 D．无法判断 31．如图所示，A、B两个旅游点从2010年至2014年“五、一”的旅游人数变化情况分别用实线和虚线表示．根据图中所示解答以下问题： （1）B旅游点的旅游人数相对上一年，增长最快的是哪一年？ （2）求A、B两个旅游点从2010到2014年旅游人数的平均数和方差，并从平均数和方差的角度，用一句话对这两个旅游点的情况进行评价． 32．用计算器计算下列一组数据的平均数、标准差与方差：85，75，92，98，63，90，88，56，77，95．（保留到小数点的后两位） 33．用科学计算器求得271，315，263，289，300，277，286，293，297，280的平均数与标准差（精确到0.1）分别为（   ） A．287.1，14.4 B．287，14 C．287，14.4 D．14.4，287.1 题型08 求极差 34．小明同学为养成自觉锻炼身体的良好习惯，记录了自己一周中每天的运动时间（单位：分钟），分别为，，，，，，，则这组数据的极差是（   ） A． B． C． D． 35．某学习兴趣小组的5名同学在一次数学竞赛活动中的成绩（单位：分）分别是92，95，90，92，86，对于这组数据，下列结论不正确的是（   ） A．极差是7 B．众数是92 C．平均数是91 D．中位数是92 36．挑选5名同学组成一个舞蹈队，已选中的4名同学的身高分别为：162，162，164，168（单位：）．要使所选5名同学的身高看上去最整齐，则第5名同学的身高最好为（　　） A． B． C． D． 37．在学校数学课外活动竞赛中，某班5名学生参赛成绩分别为：81，83，85，88，88，则这5名学生的参赛成绩的极差是 ． 38．某市2024年10月5日～10月9日每天的最低气温分别为（单位：）：17，14，12，10，13，则这5天中该市最低气温的极差为 ． 题型09 已知极差求未知数据 39．已知一组数据的0，x，1，1，2的极差为3，则 ． 40．若一组数据5，，2，x，的极差为13，则x的值为 ． 41．张明随机抽查了学校七年级63名学生的身高(单位:cm),他准备绘制频数分布直方图，这些数据中最大值是185,最小值是147,若以4为组距(每组两个端点之间的距离叫做组距),则这些数据可分成 组. 42．如果一组数据1，0，﹣2，2，x的极差是6，且x＞0，那么x的值是 ． 43．先化简，再求值：，其中a在一组未排序的数据7、9、6、a、8、5中，已知这组数据的极差是6． 题型10 方差、标准差相关解答题 44．为了增强学生的安全意识，某校开展了主题为“科学防护·珍爱生命”的安全知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分成四组：．，．，．，．），下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩是：． 八年级10名学生的竞赛成绩在组中的数据是：． 八年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 92 92 中位数 93 众数 100 方差 52 根据以上信息，解答下列问题； (1)直接写出上述图表中，，的值； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的安全知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）． 45．甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示： (1)请填写下表： 平均数 方差 中位数 命中9环以上（包括9环）次数 甲 7 7 1 乙 5.4 (2)请从下列两个不同的角度对这次测试结果进行分析： ①从平均数和方差相结合看（分析谁的成绩更稳定）； ②从平均数和命中9环（包括9环）以上次数相结合看（分析谁的潜能更大）． 46．某校要派两个代表队去参加区健美操大赛，每个队有8名同学，现统计了她们的身高（单位：cm），数据整理如下： a． 甲队 163 166 167 169 169 171 172 174 乙队 163 165 166 169 171 171 173 178 b．每队8名选手身高的平均数、中位数、众数如下： 班级 平均数 中位数 众数 甲队 168.875 169 169 乙队 169.5 m n 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中m，n的值； (2)如果某队选手的身高的方差越小，则认为该队选手的身高比较整齐．据此推断，在甲队和乙队的选手中，身高比较整齐的是　　　队（填“甲”或“乙”）； (3)甲队的6位首发选手的身高分别为166，167，169，169，171，172．如果乙队已经选出5位首发选手，身高分别为166，169，171，171，173，要使得乙队6位选手的平均身高不低于甲队6位首发选手的平均身高，且方差尽可能小，则第六位选手的身高是　　　cm． 47．某校舞蹈队共16名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：cm），数据整理如下： ．16名学生的身高： 161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175 ．16名学生的身高的平均数、中位数、众数： 平均数 中位数 众数 166.75 (1)写出表中，的值； (2)对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好．据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是______．（填“甲组”或“乙组”）； 甲组学生的身高 162 165 165 166 166 乙组学生的身高 161 162 164 165 175 (3)该舞蹈队要选五名学生参加比赛．已确定三名学生参赛，他们的身高分别为168，168，172，他们的身高的方差为，在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差变小，其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生的身高分别为______和______． 48．某中学举行“校园好声音”歌手大赛，甲、乙两班根据初赛成绩各选出5名选手组成甲班代表队和乙班代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的预赛成绩（满分100）如图所示： 根据图示信息，整理分析数据如表： 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 甲班 85 70 乙班 85 100 160 (1)填空：甲班2号选手的预赛成绩是________分，乙班3号选手的预赛成绩是________分，________班的预赛成绩更均衡； (2)求出表格中________，________，________； (3)学校决定在甲、乙两班中选取预赛成绩较好的5人参加该活动的区级比赛，这5人预赛成绩的方差为________． 1．在一组数据24，31，15，26，5■，44中，发现“5■”的个位数字模糊不清，下列统计量中与■的值无关的是（   ） A．平均数 B．方差 C．中位数 D．众数 2．一组数据：5，12，4，5，9，这组数据的平均数和极差分别是（   ） A．7，8 B．5，8 C．7，7 D．5，7 3．数学课上张老师给出了如下算式，计算某数据的方差，据此判断下列说法错误的是（   ） A．样本众数是3 B．样本中位数是3 C．n的值是4 D．样本平均数是4 4．小明根据方差公式，分析和计算得出了四个结论，其中不正确的是（   ） A． B．中位数是 C． D． 5．如果用公式计算一组数据的方差，那么数据，，，…，的和是（   ） A．268 B．240 C．90 D．43 6．数据2，4，5，10，，其中整数是这组数据的中位数，则该组数据的方差是 ． 7．已知一组数据：的极差是3，则整数可以是 （只写一个）． 8．某外贸公司要出口一批规格为的鸡腿，现有甲、乙、丙个厂家提供货源，它们的价格相同，鸡腿品质也很相近，如图是质检员分别从个工厂的产品中抽样调查的只鸡腿的质量、如果只考虑鸡腿的规格，那么外贸公司应该买 厂的鸡腿.（填“甲”或“乙”或“丙”）. 9．三个小组每组都有10人，一道满分为3分的题目，三个小组的得分情况如图所示：观察这三个小组的得分情况，小明发现，“柱子的高度”总是1，2，3，4，但是它们排列的顺序不同，导致了平均数和方差发生了变化，在这三组中，方差最小的是第 组． （可能用到的数学公式：平均数，方差） 10．一组数据的平均数为5，方差为16，n是正整数，则另一组数据的标准差是 ． 11．甲、乙两名运动员进行射击练习，两人在相同条件下各射10次，对射击成绩进行整理，绘制如图所示的统计图： 对上述数据进行分析，得到如下统计表： 平均数 中位数 众数 方差 甲 6.5 a 2.2 乙 7 b 7 (1)填空：___________，___________； (2)求甲运动员10次射击成绩的平均数； (3)求乙运动员10次射击成绩的方差； (4)根据你所学的统计知识，利用上述某些统计量，对甲、乙两人的射击水平进行评价（写出两条即可）． 12．某校举行国学知识竞赛，设定满分10分，学生得分均为整数，在初赛中，甲、乙两组（每组10人）学生成绩（单位：分）如下． 甲组学生的成绩：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10． 根据以上信息．整理分析数据如下． 组别 平均数 中位数 众数 方差 甲组 7 b 6 2.6 乙组 a 7 c 2 (1)求a的值； (2)填空：________，________． (3)若从甲、乙两组学生中选择一个组参加决赛，应选哪个组？并说明理由． 13．为提升学生体质健康水平，某校开展了丰富多彩的课外社团活动．在八年级组织的课外体育社团中，甲、乙两位同学参加了立定跳远社团的选拔，这两位同学的10次跳远成绩的折线统计图如图所示（规定：立定跳远的测试成绩满分为10分，其中成绩是8分及以上的为优秀）． 分析甲、乙的成绩，得到如下数据： 平均数/分 中位数/分 方差 优秀率 甲 7 b 5.4 乙 a 7 2.8 根据以上信息，回答下列问题． (1)填空：______，______，______． (2)这10次测试成绩中，发挥较稳定的是______同学（填“甲”或“乙”）． (3)请你从这两位同学中选出一位，对其跳远成绩作出评价，并提出合理化建议． 14．在生活中，如果垃圾处理不当不仅对环境造成严重污染，还威胁着人类的健康和生存，因此垃圾分类是解决这一问题的有效途径．某社区对居民掌握垃圾分类知识的情况进行调查，其中甲、乙两小区分别有400名居民参加了测试，社区从中各随机抽取了50名居民的成绩，对其进行整理得到部分信息： 信息1：如图是乙小区50名居民成绩的条形统计图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）： 组别 居民测试成绩 A B C D E 75 75 79 79 79 79 80 80 81 82 82 83 83 84 84 84 表① 小区 平均数 中位数 众数 优秀率 方差 甲 75.1 77 76 211 乙 75.1 79 277 表② 信息2：上图中组的成绩如表①： 信息3：甲、乙两小区各50名居民成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（80分及以上为优秀）、方差等数据如表②（部分空缺）： 根据以上信息，回答下列问题： (1)乙小区50名居民成绩的中位数是________，优秀率是________； (2)请估计乙小区400名居民成绩优秀的人数； (3)请选择合适的统计量，从三个角度分析甲、乙两小区参加测试的居民掌握垃圾分类知识的情况． 15．随着互联网技术的飞速发展，人工智能得到了越来越广泛的应用，人们越来越习惯借助各种人工智能产品来辅助工作、学习和生活．市场上也涌现出了如、豆包等各类人工智能产品．经过市场调研，小罗决定从两个人工智能产品中选择一个进行使用．以下是小罗通过调查问卷的方式收集的10位用户对两个人工智能产品的相关评价，并整理、描述、分析如下： a．语言交互能力得分（满分10分） A：5，6，6，8，8，8，8，9，9，10 B：6，6，6，6，7，8，9，9，10，10 b．数据分析能力得分（满分10分） c．语言交互能力和数据分析能力得分统计表 统计量产品 语言交互能力得分 数据分析能力得分 平均数 中位数 众数 平均数 中位数 方差 A 8 8 7.0 B 7.7 7.5 6.9 7 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：___________，___________，___________，___________；（填“”或“”） (2)通过以上数据分析，你认为小罗应该选择哪个人工智能产品，至少从两个角度说明理由； (3)你认为小罗还需要了解哪些信息，举例说明（列出一条即可）． 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$