精品解析：天津市第二十中学2024-2025学年高一下学期第一次学情调研数学试题

2024-2025学年第二学期高一年级数学学科第一次学情调研 一、单选题：本题共9小题，每小题3分，共27分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，是表示平面内所有向量一组基底，则下列四组向量不能作为一组基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 2. 设点，，，且，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 如图在梯形中，，，设，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知是与向量方向相同的单位向量，向量在向量上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，内角的对边分别为，若，则角为 A. B. C. D. 7. 在中，已知分别为角对边且若且，则的周长等于 A B. 12 C. D. 8. 在中，角，，的对边分别为，，，其面积为，若，则一定是 A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 9. 如图，在中，，，与交于点，过点作直线，分别交，于点，，若，，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分. 10. 设是两个不共线的向量，若，且三点共线，则实数的值为__________. 11. 已知向量与的夹角是，，，则__________． 12. 已知且与的夹角为锐角，则的取值范围是_______. 13. 如图，在离地面高热气球上，观察到山顶处的仰角为，山脚处的俯角为，已知，则山的高度为__________. 14. 在中，，则下列结论正确的是____________． ①外接圆的面积为 ②若，则 ③当时，有一解 ④ 的面积有最大值 15. 如图，在中，，，D，E分别是直线AB，AC上的点，，，且，则______．若P是线段DE上的一个动点，则的取值范围是______． 三、解答题：本题共5小题，共49分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知，. （1）求与的夹角的余弦值； （2）若，求实数，的值； （3）若与平行，求实数的值. 17. 如图，，，分别是的边，，上的点，且，，，，，.设，. （1）用向量，表示； （2）求. 18. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． （1）求A； （2）若的面积为，求的值. 19. 在中，角，，的对边分别为，，，且满足. （1）求角的大小； （2）若的面积为，，求和的值. 20. 在中，，，的对边分别为，，，且. （1）求外接圆半径； （2）若为锐角三角形，求周长取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期高一年级数学学科第一次学情调研 一、单选题：本题共9小题，每小题3分，共27分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，是表示平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量不能作为一组基底的是（ ） A 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】B 【解析】 【分析】根据基底的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意，，不共线， A选项，不存在，使得， 所以和可以作为基底. B选项，由， 得，解得，所以和共线，不能作为基底. C选项，由， 得，方程组无解，所以和可以作为基底. D选项，不存在，， 所以和可以作为基底. 故选：B 2. 设点，，，且，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，将方程中的向量分别用坐标表示，列出方程组，求解即得. 【详解】设，则由可得：， 即，解得，即. 故选：C. 3. 如图在梯形中，，，设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题中，由向量的线性运算，直接求解，即可得出结果. 【详解】因为，， 所以， 又，， 所以. 故选：D. 【点睛】本题考查用基底表示向量，熟记平面向量基本定理即可，属于基础题型. 4. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由得，从而得，再求模长即可. 【详解】向量，，且， 所以，解得，所以，， 所以， 故选：B. 5. 已知是与向量方向相同的单位向量，向量在向量上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据投影向量的定义结合题意可得，即得，再利用数量积的定义即可求得答案. 【详解】由题意可知向量在向量上的投影向量为， 则，即， 而，故， 故选：D 6. 在中，内角的对边分别为，若，则角为 A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析： 因为， 那么结合， 所以cosA==， 所以A=，故答案为A 考点：正弦定理与余弦定理 点评：本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用，属于中等题. 7. 在中，已知分别为角的对边且若且，则的周长等于 A. B. 12 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】在中，，故由正弦定理可得，再由 ，可得，再由余弦定理可得，所以，故的周长为，故选A. 8. 在中，角，，的对边分别为，，，其面积为，若，则一定是 A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】先根据余弦定理得到从而得到，再根据得到，因此或，根据勾股定理可判断三角形的形状. 【详解】因为，所以， 而，故. 又，所以， 所以即，故或. 若，则，故，故为直角三角形； 若，则，故，故为直角三角形； 综上，故选B. 【点睛】在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件. 而三角形面积的计算有两种基本的方法： （1）底和高乘积的一半； （2）； 解题中注意合理选择. 9. 如图，在中，，，与交于点，过点作直线，分别交，于点，，若，，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量基本定理将表示成，再根据共线确定，由三点共线，得，对照两式得方程组，消去，推得，最后利用基本不等式即可求得的最小值. 【详解】因三点共线，则存，使， 因，则点为的中点，故， 又点在上，故，解得，故①， 因三点共线，则存在，使得②， 由①，②可得，消去，即得，即， 于是， 当且仅当时，的最小值为. 故选：A. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分. 10. 设是两个不共线的向量，若，且三点共线，则实数的值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用向量的线性运算及共线向量定理列式计算得解. 【详解】由，得， 由三点共线，得，而， 则，又不共线，因此，解得， 所以实数的值为. 故答案为： 11. 已知向量与的夹角是，，，则__________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据数量积的定义及运算性质求解. 【详解】因为，，向量与的夹角是， 所以， 即，解得或（舍去）， 故答案为：4 12. 已知且与的夹角为锐角，则的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】先利用题意算出，再利用平面向量夹角为锐角的充要条件，列出不等式求解作答. 【详解】因为，，所以， 因为与夹角为锐角，所以，且与不同向共线， 所以且， 解得且，所以的取值范围为， 故答案为：. 13. 如图，在离地面高的热气球上，观察到山顶处的仰角为，山脚处的俯角为，已知，则山的高度为__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先在中，求得，然后再，利用正弦定理求得，最后在中，利用直角三角形的性质，即可求解. 【详解】在直角中，可得，所以， 因为中，， 所以， 由正弦定理，可得， 在直角中，因为，可得. 故答案为：300m 14. 在中，，则下列结论正确的是____________． ①外接圆的面积为 ②若，则 ③当时，有一解 ④ 的面积有最大值 【答案】①④ 【解析】 【分析】由正弦定理可判断①②，由余弦定理和基本不等式可判断④，由方程的解的情况可判断③. 【详解】由可知，，由正弦定理得：，所以， 所以外接圆的面积，①正确； 若，由正弦定理得：，解得：， 所以或（均符合题意），②错误； 由，得， 解得：，当且仅当时取等号， 所以，④正确； ，得， 当有一解时，关于方程只有一个正根 此方程有唯一正解等价于或，又， 解得：或，则③错误. 故答案为：①④ 15. 如图，在中，，，D，E分别是直线AB，AC上的点，，，且，则______．若P是线段DE上的一个动点，则的取值范围是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空，根据向量的线性运算以及向量基本定理，将转化为之间的运算，即可求得答案；第二空，设，，根据数量积的运算律，化简为之间的相关运算，结合二次函数的性质，即可求得答案. 【详解】∵，，∴，， ∵，又，， ∴ ， 解得，∵，∴． 设，， ∴ ，， ∴当时，有最小值，最小值为， 当时，有最大值，最大值为16， 故答案为：； 三、解答题：本题共5小题，共49分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知，. （1）求与的夹角的余弦值； （2）若，求实数，的值； （3）若与平行，求实数的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量夹角公式； （2）计算向量坐标使和坐标相等； （3）计算与的坐标，再利用向量平行的坐标运算. 【小问1详解】 ，，则，，， 则. 【小问2详解】 则，解得. 【小问3详解】 ， 与平行，则，得. 17. 如图，，，分别是的边，，上的点，且，，，，，.设，. （1）用向量，表示； （2）求. 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）根据题意结合向量的线性运算分析求解； （2）根据题意结合向量的线性运算可得，再根据数量积的定义以及运算律分析求解. 【小问1详解】 由题意可知：. 【小问2详解】 由题意可知：， 因为，，， 则， 所以. 18. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． （1）求A； （2）若的面积为，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再借助辅助角公式求得，可求角； （2）由（1）的结论，利用三角形面积公式、余弦定理求出即可作答． 小问1详解】 中，，由正弦定理得， 又，则有， 由，，则，得， 由，则，得 【小问2详解】 ，则，由，得， 由余弦定理， 得，得. 19. 在中，角，，的对边分别为，，，且满足. （1）求角的大小； （2）若的面积为，，求和的值. 【答案】（1）； （2）；. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理及三角恒等变换，即，可求得； （2）由已知利用三角形的面积公式可求，结合，由余弦定理可得的值，进而解得的值，利用余弦定理可求得，进而利用同角三角函数基本关系式可求得，再根据两角差的余弦公式即可求解. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 又，所以，所以， 即，整理得，即， 又，所以. 【小问2详解】 因为，的面积为，所以，解得① 又②，所以，解得， 由余弦定理可得，即； 由①②可得，，解得，可得， 所以，所以， 则. 20. 在中，，，的对边分别为，，，且. （1）求外接圆半径； （2）若为锐角三角形，求周长的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边化角结合诱导公式得到，进而得到，从而利用正弦定理即可得解； （2）根据正弦定理得，再利用诱导公式和三角恒等变换得到，结合条件得到的取值范围，根据正弦函数的图像及性质即可得到的取值范围，从而得解. 【小问1详解】 因为，所以， 即， 又因为，则， 所以， 又，则，所以， 又，所以， 又，所以，解得. 【小问2详解】 由正弦定理得：，所以，， 所以， 又，， 所以， 则 ， 又因为为锐角三角形，所以，即，解得， 所以，则，所以， 即，故， 所以周长的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $