精品解析：江苏省淮安市涟水县涟水县第一中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

涟水县第一中学2024～2025学年第二学期高二年级第一次月考数学试卷 考试时间：120分钟 总分：150分 命题人：蒋法宝 审核人：蒋法宝 一、单项选择题（本大题共有8小题，每题5分，共40分） 1 已知，，且，则（ ） A. -6 B. 5 C. 4 D. 6 2. 已知空间向量，，，若向量共面，则实数的值为（ ）. A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 3. 已知空间向量满足，则（ ） A. B. 1 C. 0 D. 4. 数字0，1，1，2可以组成不同的三位数共有（ ） A. 12个 B. 9个 C. 6个 D. 3个 5. 已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. π D. 7. 如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱，，则直线与直线夹角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点是正四面体底面内一点，满足，其中，当最小时，的值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 二、多项选择题（本大题共有3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 从书架上任取数学书、语文书各1本，求共有多少种取法的问题是分步计数问题 B. 分步乘法计数原理是指完成其中一步就完成了整件事情 C. 求从甲地经丙地到乙地共有多少条路线的问题是分类计数问题 D. 分类加法计数原理可用来求解完成一件事有若干类方法这类问题 10. 给出下列命题，其中正确的有（ ） A. 空间中任意两个向量一定共面 B. 若是空间一个基底，则，，中任意两个向量不共线 C. 若空间向量，，则与的夹角为钝角 D. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 11. 下列命题中正确的是（ ） A. 若空间向量、、，满足，，则 B. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则 C. 若、是两个单位向量，则 D. 点关于平面对称的点的坐标是 三、填空题（本大题共有3小题，每题5分，共15分） 12. 已知A，B，C三点不共线，点O为平面ABC外任意一点，若点M满足，则点M_________（填“属于”或“不属于”）平面ABC． 13. 已知点，则在上投影向量的模为______ 14. 如图，在四棱锥中，平面，则点到直线的距离为__________. 四、解答题（本大题共有5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分） 15. 如图有A，B两组电路图． （1）对于B组电路图，闭合两个开关即可通电的方法数有多少种？ （2）若A组电路与B组电路从衔接点M，N处连接，把两电路串联起来，只需闭合三个开关就可通电的方法数有多少种？ 16. （1）从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？ （2）4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？ （3）2名男生和4名女生排成一排．问：男生既不相邻也不排两端的不同排法共有多少种？ 17. 如图，在空间四边形中，点为的中点，，设. （1）试用向量表示向量； （2）若，求的值. 18. 底面为菱形四棱锥中，与交于点，平面平面，平面平面． （1）证明：平面； （2）若，直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 19. 如图，长方体底面是边长为2的正方形，高为4，为线段的中点，为线段的中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. （3）求直线到平面的距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 涟水县第一中学2024～2025学年第二学期高二年级第一次月考数学试卷 考试时间：120分钟 总分：150分 命题人：蒋法宝 审核人：蒋法宝 一、单项选择题（本大题共有8小题，每题5分，共40分） 1. 已知，，且，则（ ） A. -6 B. 5 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量共线的坐标公式计算即得. 详解】由可得，解得. 故选：D. 2. 已知空间向量，，，若向量共面，则实数的值为（ ）. A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】利用共面向量的性质，得到三个向量之间的关系，再利用待定系数法解得未知量． 【详解】因为向量共面，所以存在实数使得， 即 所以，解得，. 故选：C． 3. 已知空间向量满足，则（ ） A. B. 1 C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用向量线性运算坐标表示求出坐标，再由模长的坐标公式求目标式的值. 【详解】由题设，， 所以. 故选：D 4. 数字0，1，1，2可以组成不同的三位数共有（ ） A. 12个 B. 9个 C. 6个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】因三位数的百位数字不能为0，可将三位数按照百位数字进行分类，分别计数，利用分类加法计数原理计算即得. 【详解】依题意，可将这样的三位数分成两类： 第一类，百位数字是2，三位数有201，210，211共3个； 第二类，百位数字是1，三位数有101，110，102，120，112，121共6个， 由分类加法计数原理，不同的三位数共有9个. 故选：B. 5. 已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量的定义可得结果. 【详解】根根据空间中点的坐标确定方法知， 在空间中，点在坐标平面上的投影坐标，竖坐标为0，横坐标与纵坐标不变. 所以空间向量在坐标平面上的投影向量是：. 故选：C. 6. 已知，，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. π D. 【答案】B 【解析】 【分析】由空间向量数量积的坐标表示可得. 【详解】设向量与的夹角为， 则， 因，故， 故选：B 7. 如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱，，则直线与直线夹角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的空间直角坐标系，利用线线角的向量求法求解. 【详解】依题意，，， 设直线与直线的夹角为，则， 所以直线与直线夹角的正弦值. 故选：C 8. 已知点是正四面体底面内一点，满足，其中，当最小时，的值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂直时距离最小，即可根据向量的线性运算求解,即可求解. 【详解】当最小时，此时平面，故为等边三角形的中心， 记的中点为，则， 故 ， 故，因此， 故选：C 二、多项选择题（本大题共有3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 从书架上任取数学书、语文书各1本，求共有多少种取法的问题是分步计数问题 B. 分步乘法计数原理是指完成其中一步就完成了整件事情 C. 求从甲地经丙地到乙地共有多少条路线的问题是分类计数问题 D. 分类加法计数原理可用来求解完成一件事有若干类方法这类问题 【答案】AD 【解析】 【分析】根据两个计数原理的定义逐一判断选项即可. 【详解】对于A，从书架上任取数学书、语文书各1本，完成这件事需要分两步：第一步取1本数学书，有若干种取法；第二步取1本语文书，故应是分步计数问题，故A正确； 对于B，分步乘法计数原理要求每一步都完成，才能说任务完成，故B错误； 对于C，任务“从甲地经丙地到乙地”，分为从甲地到丙地，再从丙地到乙地两步完成，是分步计数问题，故C错误； 对于D，分类加法计数原理中的每一类方法都能一次性地完成任务，故可用来求解完成一件事有若干类方法这类问题，即D正确. 故选：AD. 10. 给出下列命题，其中正确的有（ ） A. 空间中任意两个向量一定共面 B. 若是空间的一个基底，则，，中任意两个向量不共线 C. 若空间向量，，则与的夹角为钝角 D. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量的性质可判断A；利用空间向量坐标计算，即可判断C错误；根据空间基底的性质及定义，可判定B和D正确. 【详解】对于选项A，因为空间中任意两个向量都可以平移至起点重合，成为同一个平面的两个向量，故选项A正确， 对于选项B，基底的性质知，空间基底是由非零且不共面的三个向量构成，故选项B正确， 对于选项C，，所以，故选项C不正确， 对于选项D，由是空间的一个基底，设，显然不存在实数使得成立， 所以一定不共面，则也是空间的一个基底，故选项D正确， 故选：ABD. 11. 下列命题中正确的是（ ） A. 若空间向量、、，满足，，则 B. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则 C. 若、是两个单位向量，则 D. 点关于平面对称的点的坐标是 【答案】AC 【解析】 【分析】利用空间向量相等的传递性可判断A选项；利用线面位置关系与空间向量的关系可判断B选项；利用单位向量的概念可判断C选项；利用空间直角坐标系中点的对称性可判断D选项. 【详解】对于A选项，若空间向量、、，满足，，则，故A正确； 对于B选项，因为，则，所以，或，故B错误； 对于C选项，若、是两个单位向量，则，故C正确； 对于D选项，点关于平面对称的点的坐标是，故D错误. 故选：AC. 三、填空题（本大题共有3小题，每题5分，共15分） 12. 已知A，B，C三点不共线，点O为平面ABC外任意一点，若点M满足，则点M_________（填“属于”或“不属于”）平面ABC． 【答案】属于 【解析】 【分析】将已知式子变成，由此即可判断. 【详解】 ， 四点共面．即点平面ABC． 故答案为：属于 13. 已知点，则在上的投影向量的模为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的定义结合向量的坐标运算求解. 【详解】因为， 可得，， 所以在上的投影向量的模为. 故答案：. 14. 如图，在四棱锥中，平面，则点到直线的距离为__________. 【答案】 【解析】 【分析】建系，求出在上的投影向量的长度，再利用勾股定理求解即可. 【详解】因为平面，平面，平面， 所以，，又, 如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则， ，即，， 所以在上的投影向量的长度为， 故点到直线的距离为. 四、解答题（本大题共有5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分） 15. 如图有A，B两组电路图． （1）对于B组电路图，闭合两个开关即可通电的方法数有多少种？ （2）若A组电路与B组电路从衔接点M，N处连接，把两电路串联起来，只需闭合三个开关就可通电的方法数有多少种？ 【答案】（1）13 （2）65 【解析】 【分析】（1）对于组电路，可分上、中、下路三类，求得每一类的方法数，进而可求总的方法数； （2）先利用分类加法计数原理求得组通电的方法数，进而结合（1）与分步计数原理求得结论. 【小问1详解】 对于组电路，可分上、中、下路三类， 上路：第一步接通有1种方法，第二步接通有3种方法，由分步乘法计数原理，总方法数为； 中路：第一步接通有2种方法，第二步接通有2种方法，由分步乘法计数原理，总方法数为； 下路：第一步接通有2种方法，第二步接通有3种方法，由分步乘法计数原理，总方法数为． 故所求方法数有种． 【小问2详解】 对于组，合上一个开关可使电路通电，可分两路：从上路接通有2种方法，从下路接通有3种方法， 由分类加法计数原理，总方法数为； 两组串联后要使电路通电，需两组均通电，组电路通电有5种情况，由（1）知组电路通电有13种情况， 所以串联后的电路通电有种情况． 16. （1）从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？ （2）4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？ （3）2名男生和4名女生排成一排．问：男生既不相邻也不排两端的不同排法共有多少种？ 【答案】（1）6；（2）576；（3）144 【解析】 【分析】（1）依题作出树状图，计数即得.也可以利用看成排列问题直接解决； （2）对男生采用“捆绑法”与女生全排，再考虑内部的顺序，即得坐法种数； （3）对男生不相邻且不排两端的情况，考虑在4名女生留下的中间3个空位进行插空，再对女生进行全排即得. 【详解】（1）方法一：依题意，分成三类情况，作图如下： 由图可知，有6种不同的选法. 方法二：看成三个不同元素任取两个不同元素排列问题，有种不同的方法. （2）把4名男生看作一个元素，与3名女生一起全排，再考虑男生之间的顺序， 故共有坐法种，即男生必须排在一起的坐法有种. （3）利用插空法，先将4名女生排成一列，然后在中间产生的3个空位中任选2个空位安排男生，共有种安排方法. 17. 如图，在空间四边形中，点为的中点，，设. （1）试用向量表示向量； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形法则与三角形法则即可求得结果. （2）利用三角形法则得，又由（1）的结论，两个向量求数列积即可. 【小问1详解】 ， . 【小问2详解】 因为， 所以， 所以， ， 所以 18. 底面为菱形的四棱锥中，与交于点，平面平面，平面平面． （1）证明：平面； （2）若，直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明过程见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，进而得到⊥，⊥，故平面； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设，，根据线面角的正弦值得到方程，求出，求出两个平面的法向量，根据面面角夹角余弦公式求出答案. 【小问1详解】 因为四边形为菱形，所以⊥， 因为平面平面，为交线，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为平面平面，为交线，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为，平面， 所以平面； 【小问2详解】 由（1）知，两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ，则，， 设，，则，， 设平面一个法向量为， ， 令得，故， 直线与平面所成角的正弦值为， 即， 化简得，负值舍去，则， 平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， ， 所以平面与平面夹角余弦值为. 19. 如图，长方体底面是边长为2的正方形，高为4，为线段的中点，为线段的中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. （3）求直线到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与直线的方向向量，即可得证； （2）求出平面的法向量，再由空间向量法计算可得； （3）首先证明平面，则直线到平面的距离即为点到平面的距离，再由空间向量法计算可得. 【小问1详解】 如图建立空间直角坐标系，则，，，， 又为线段的中点，所以， 所以，又平面的法向量可以为， 所以，即，又平面，所以平面. 【小问2详解】 由（1）可得，所以，， 设平面的法向量为，则，取， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为； 【小问3详解】 因为，平面，平面， 所以平面， 所以直线到平面的距离即为点到平面的距离， 又， 所以点到平面的距离， 即直线到平面的距离为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$