专题05 数学广角-鸽巢问题（单元讲义）-2024-2025学年人教版数学六年级下册期中考前知识串讲培优讲练（学生版+教师版）

2024-2025学年六年级下册数学期中考前知识串讲培优讲练（人教版） 专题05 数学广角-鸽巢问题 （导图+知识精讲+易错点拨+3大考点讲练+优选压轴题专练 共38题） 讲义说明 学前指导 2 导图指引 考点大刚 2 知识精讲 复习回顾 2 知识点梳理01：鸽巢原理的基本概念 2 知识点梳理02：鸽巢原理的公式 2 知识点梳理03：鸽巢原理的应用 3 知识点梳理04：典型题型与解题技巧 3 易错点拨 查漏补缺 4 易错知识点01：对鸽巢原理理解不透彻 4 易错知识点02：计算至少有几个物体在同一个鸽巢中时出错 4 易错知识点03：混淆鸽巢原理与平均分配原则 4 易错知识点04：在应用鸽巢原理解决实际问题时出错 4 易错知识点05：对鸽巢原理的推论理解不深入 5 重点难点 考点讲练 5 考点讲练01：鸽巢问题初步 5 考点讲练02：鸽巢问题进阶 5 考点讲练03：最不利原则 6 压轴专练 拔尖冲刺 7 同学你好！学期已经过半，相信你一定学有所获，准备一展身手！这套讲义资料由编者老师精心策划，编辑整理策划排版！非常适用于期中复习及单元复习使用。讲义包含：知识精讲，易错点拨，考点讲练，易错题专练，重点难点优选题，培优巩固和拔尖专练题。板块内容清晰，内容详尽。题目优选2023-2025年近两年名校期中真题。贴近考纲要求，非常有助于学生提升解题思维，强化做题技巧，解析版思路清晰。是学生自学，教师备课的优选资料！ 知识点梳理01：鸽巢原理的基本概念 鸽巢原理是一个重要而又基本的组合原理，在解决数学问题时有非常重要的作用。其最简单的表达形式是：如果把多于n个的物体放到n个鸽巢中，则至少有一个鸽巢里含有2个或2个以上的物体。 知识点梳理02：鸽巢原理的公式 物体个数÷鸽巢个数=商……余数 至少个数=商+1 这个公式用于计算当物体数量多于鸽巢数量时，至少有一个鸽巢中物体的数量。 知识点梳理03：鸽巢原理的应用 1. 至少有几个鸽子同一个巢类问题： 例如，11个苹果放进3个抽屉，苹果最多的一个抽屉里至少有几个苹果？根据鸽巢原理，11÷3=3余2，所以至少有一个抽屉里有3+1=4个苹果。 2. 最多有几个巢类问题： 例如，把25个玻璃球最多放进几个盒子里，才能保证至少有一个盒子里至少有5个玻璃球？根据鸽巢原理，我们可以将25个玻璃球平均分配到尽可能多的盒子里，同时保证至少有一个盒子里有5个或更多的玻璃球。因此，最多可以放进25÷5=5个盒子，这样每个盒子至少有5个玻璃球。但如果要考虑“最多有几个盒子”且不满足“每个盒子都至少有5个”的严格条件，那么答案将取决于如何分配剩余的玻璃球。在最不利的情况下，即尽可能平均分配但又不让每个盒子都达到5个，我们可以将20个玻璃球平均分配到4个盒子里（每个盒子5个），然后剩下的5个玻璃球放入第5个盒子，这样就有5个盒子但只有一个盒子有超过5个玻璃球。然而，这个问题通常理解为求满足条件“至少有一个盒子有5个”时的最大盒子数，所以答案还是5个。 3. 最不利原则的应用： 最不利原则是从最坏的情况出发分析问题。例如，要保证摸出两个同色的球，摸出的球的数量至少要比颜色数多1。这是因为，在最不利的情况下，可能会先连续摸出不同颜色的球，直到摸出第n+1个球（n为颜色数）时，才能保证与前面的某个球颜色相同。 4. 生日问题的应用： 生日问题也是鸽巢原理的一个经典应用。例如，某校有367名学生，问有没有两个学生的生日是同一天？由于一年有365天（不考虑闰年），而学生人数为367，根据鸽巢原理，至少有一天有2名学生的生日是相同的。 知识点梳理04：典型题型与解题技巧 1. 填空题： 例如，“一只袋子里有许多规格相同但颜色不同的玻璃球，颜色有红黄绿三种，至少取出几个球才能保证有2个球的颜色相同？”答案是4个，因为最不利的情况是先连续摸出红、黄、绿三种颜色的球各1个，再摸出第4个球时，必然与前面的某个球颜色相同。 2. 应用题： 例如，“42只鸽子飞进5个笼子里，可以保证在鸽子最多的笼子中至少有几只鸽子？”答案是9只。因为42÷5=8余2，所以至少有一个笼子里有8+1=9只鸽子。 易错知识点01：对鸽巢原理理解不透彻 易错点： 学生可能只记住了鸽巢原理的表述，但没有真正理解其背后的逻辑和含义。 在应用鸽巢原理时，学生可能无法准确判断“物体”和“鸽巢”的对应关系。 纠正方法： 通过具体的生活实例或图形演示，帮助学生理解鸽巢原理的实质。 强调“物体”和“鸽巢”的对应关系，让学生明确哪些元素可以视为“物体”，哪些元素可以视为“鸽巢”。 易错知识点02：计算至少有几个物体在同一个鸽巢中时出错 易错点： 学生可能在使用鸽巢原理进行计算时，没有正确应用除法运算和取余运算。 学生可能忽略了“至少”这个词的含义，导致计算结果偏小。 纠正方法： 教授学生如何使用除法运算和取余运算来计算至少有几个物体在同一个鸽巢中。 强调“至少”的含义，让学生明白在计算结果的基础上需要加1（当有余数时）。 易错知识点03：混淆鸽巢原理与平均分配原则 易错点： 学生可能将鸽巢原理与平均分配原则混淆，认为只要物体数量多于鸽巢数量，每个鸽巢中的物体数量就一定相同。 学生可能忽略了鸽巢原理中的“至少”条件，认为每个鸽巢中的物体数量都一定大于或等于某个值。 纠正方法： 区分鸽巢原理与平均分配原则的不同之处，强调鸽巢原理中的“至少”条件。 通过具体例子说明鸽巢原理与平均分配原则的差异，让学生明确两者的区别。 易错知识点04：在应用鸽巢原理解决实际问题时出错 易错点： 学生可能无法准确识别问题中的“物体”和“鸽巢”，导致应用鸽巢原理时出错。 学生可能无法将实际问题抽象为鸽巢问题，导致无法应用鸽巢原理进行解决。 纠正方法： 教授学生如何识别问题中的“物体”和“鸽巢”，并将其抽象为鸽巢问题。 通过大量练习，让学生熟悉鸽巢原理在实际问题中的应用方法。 易错知识点05：对鸽巢原理的推论理解不深入 易错点： 学生可能对鸽巢原理的推论（如生日悖论）理解不深入，无法将其应用于实际问题中。 学生可能无法准确判断哪些问题可以运用鸽巢原理的推论进行解决。 纠正方法： 深入讲解鸽巢原理的推论，如生日悖论等，并通过具体例子帮助学生理解其含义和应用方法。 让学生多接触与鸽巢原理推论相关的实际问题，培养他们的应用能力和解决问题的能力。 考点讲练01：鸽巢问题初步 【精讲题】（2024·河北张家口·小升初真题）18只鸽子飞回5个鸽舍，至少有4只要飞进同一个鸽舍。( )（判断对错） 【精练题01】（2024·河北沧州·小升初真题）口袋里有6个白球和3个黑球，它们只有颜色不同。要保证摸出2个白球，至少一次摸出( )个球；要保证摸出2个同色球，至少一次摸出( )个球。 【精练题02】（23-24六年级下·山西长治·期末）六年级(1)班有50名同学。他们都参加了课后延时服务的个性活动课程。个性活动课程有剪纸、篮球和科技3个课程，每人可以参加1个或2个课程，这个班至少有( )名同学参加个性活动的情况完全相同。可以这样想：这里把( )看作“抽屉”，可以运用组合的知识先有序找出“抽屉”数，再按“抽屉问题”的思路解决问题。 【精练题03】（23-24六年级下·吉林四平·期末）电影《长津湖》热播的第一天，万达影院3号厅326个座位坐满了观众，这些观众中至少有( )人是同一个月出生的。 考点讲练02：鸽巢问题进阶 【精讲题】（23-24六年级下·浙江台州·期末）把一堆书放进12个抽屉里，怎么放总有一个抽屉里至少有5本书，那么这堆书最少有 本书。 【精练题01】（21-22六年级下·天津南开·期末）密封的纸盒里有60粒大小相同的珠子，每15粒是同一种颜色，为保证一次取出3粒颜色相同的珠子，至少要取出（    ）粒。 A．6 B．9 C．12 D．18 【精练题02】（21-22六年级上·湖南郴州·期末）六（一）班有50人，在一次数学测试中，全班同学都及格了（60分及格，100分满分，都是整数分），至少一定有（    ）个人的分数是相同的。 A．9 B．10 C．2 【精练题03】（2022六年级下·全国·专题练习）学校开设了画画、写作、书法3个兴趣班，四年级3班共40人，每个学生都报名了其中两个兴趣班，那么这个班至少有多少个学生报的兴趣班完全一样？ 考点讲练03：最不利原则 【精讲题】（24-25六年级下·重庆九龙坡·开学考试）在一个不透明的纸箱里有除颜色不同，其他全部相同的小球15个，其中蓝球4个，红球5个，白球6个，要想确保摸出2个同色的小球，至少要摸（    ）。 A．2次 B．3次 C．4次 D．6次 【精练题01】．（2010六年级下·全国·竞赛）有几个同样重的集装箱，所装货物共重30吨，并且每个集装箱的重量都不超过1吨，至少需要 辆载重4吨的卡车才能一次性运走这些货物。 【精练题02】（21-22六年级下·全国·假期作业）有规格尺寸相同的六种颜色的袜子各20只混装在箱内。 （1）黑暗中从箱内至少取出多少只才能保证有3双袜子？ （2）黑暗中从箱内至少取出多少只才能保证有3双同色袜子？ （3）黑暗中从箱内至少取出多少只才能保证有3双不同色袜子？ 【精练题03】（2021六年级·全国·竞赛）一个玻璃瓶里一共装有44个弹珠，其中：白色的2个，红色的3个，绿色的4个，蓝色的5个，黄色的6个，棕色的7个，黑色的8个，紫色的9个，如果要求每次从中取出1个弹珠，从而得到2个相同颜色的弹珠，请问最少需要取几次？ 1．（2024·广东东莞·小升初真题）有红、白、蓝三种颜色的卡片各5张，至少随意抽取（    ）张卡片，才能保证取到两张不同颜色的卡片。 A．3 B．4 C．5 D．6 2．（23-24六年级下·四川绵阳·期末）一个盒子里有黄、白乒乓球各5个，要想使取出的乒乓球保证至少有2个白色的，则至少取出的个数是（    ）。 A．3 B．6 C．7 D．10 3．（23-24六年级下·广东肇庆·期末）纸箱里有同样大小的蓝色发卡5个，红色发卡6个，紫色发卡7个，想要保证摸出2个同色的发卡，至少要摸出（    ）个。 A．2 B．6 C．4 D．8 4．（23-24六年级下·河南驻马店·期末）学校篮球队的6名队员练习投篮，共投进了56个球，总有一名队员至少投进（    ）个球。 A．9 B．10 C．11 D．12 5．（23-24六年级下·河南安阳·期末）有红、黄、蓝、绿四种颜色的球各5个，混合放在一个布袋里，至少取（    ）个球，能保证取到两个颜色相同的球。 A．4 B．5 C．6 D．7 6．（2024·陕西商洛·小升初真题）杭州亚运会成为亚运史上规模最大、项目最多、覆盖面最广的一届运动会。中国一共派出了886名运动员参赛，这些运动员中至少有 人是同一个月生日。 7．（2024·江西吉安·小升初真题）有红、黄、蓝、紫4种颜色的帽子各5顶放入一个盒子里。要保证取出的帽子有2种颜色，至少应取出( )顶帽子；要保证取出的帽子中至少有2顶是同色的，至少应取出( )顶帽子。 8．（2024·山东菏泽·小升初真题）口袋里有6个红球和4个黄球，它们的大小和形状都相同，现从中任意摸出一个球，则摸出红球的可能性是( )，要保证摸出2个红球，至少一次要摸出( )个球。 9．（24-25六年级下·海南海口·单元测试）11支铅笔放进4个盒子，总有一个盒子至少放进 支铅笔。 10．（22-23六年级下·陕西商洛·期末）盒子里有大小相同的红球、白球、蓝球各4个，要想摸出的球一定有2个是同色的，至少要摸出4个球。( )（判断对错） 11．（2024·四川绵阳·小升初真题）把红、黄、蓝、绿四种颜色的袜子各10只放到一个袋子里，至少取出11只袜子，可以保证取出一双颜色相同的袜子。( )（判断对错） 12．（23-24六年级下·广西河池·期末）六（1）班有45名同学，至少有4名同学在同一个月过生日。( )（判断对错） 13．（23-24六年级下·黑龙江鸡西·期末）一副扑克牌去掉大王和小王后共有52张，这些扑克牌有四种花色，每种花色有13张。 (1)一次至少要拿出( )张牌，才能保证至少有两张牌是同花色的。 (2)一次至少要拿出( )张牌，才能保证有4张牌是同一种花色。 (3)一次至少要拿出( )张牌，才能保证四种花色都有。 (4)一次至少要拿出( )张牌，才能保证至少有两张牌的数字是一样的。（直接写出答案） 14．（2024六年级下·全国·专题练习）按照星座学说，根据出生时间不同，有十二个不同星座，请问至少找多少个同学，才能保证有四个人是同一个星座？ 15．（22-23六年级下·陕西商洛·期末）把25本书分发给4名同学，不管怎么分发，总有一名同学至少发到7本书。为什么？ 16．（21-22六年级下·云南德宏·期末）把红、黄、蓝、白四种颜色的球各5个放在一个袋子里。至少取多少个球，可以保证取到两个颜色相同的球？ 17．（2023六年级下·福建莆田·竞赛）请你证明：任意5个自然数中，必可找出3个数，使这三个数的和是3的倍数。 18．（22-23六年级下·全国·单元测试）把104粒花生分给15只小猴，每只小猴都要分到花生，那么至少有两只小猴分得的花生一样多，为什么？ 19．（20-21六年级下·全国·单元测试）把5双手套（手套分左、右手）放进暗箱里，要保证取出的手套中至少有1双，至少要取出几只手套？ 20．（20-21六年级下·全国·单元测试）一副除去大小王的扑克牌，共有4种花色，每种花色有13张。要保证抽出的牌中，4种花色的牌都有，至少要抽出多少张牌？ 21．（20-21六年级下·全国·单元测试）植树节，育才小学有41名老师和381名学生参加义务植树活动。参加植树的老师至少有4人是同一个月出生的。参加植树的学生至少有2人的生日是同一天。他们说得对吗？ 22．（20-21六年级下·全国·单元测试）在100张卡片上不重复地编写上1～100，请问至少要随意抽出几张卡片才能保证所抽出卡片上的数相乘后之乘积可被4整除？ 23．（20-21六年级下·全国·课后作业）宁宁到舅舅家去做客。舅妈端出一大盘水果，对他说：“这些都是你爱吃的水果，不过我要先考考你。盘子里有苹果、柚子、菠萝三种水果共12个，其中柚子的个数是菠萝的2倍。随便拿出4个，其中至少有1个苹果，你知道这三种水果各有几个吗？” 24．（20-21六年级下·全国·单元测试）数学竞赛，填空题8道，答对1道，得4分，未答对。得0分；问答题6道。答对1道。得7分，未答对，得0分。参赛人数400人。至少有多少人的总分相同？ 25．（2021六年级·全国·竞赛）有49个小孩，每人胸前有一个号码，号码从1到49各不相同。现在请你挑选若干个小孩，排成一个圆圈，使任何相邻两个小孩的号码数的乘积小于100，那么你最多能挑选出多少个孩子？ 26．（22-23六年级下·全国·课前预习）38名学生进行答题游戏，每人答2道题，规定答对一题得2分，不答不得分，答错扣1分，则至少有几名学生的成绩相同？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年六年级下册数学期中考前知识串讲培优讲练（人教版） 专题05 数学广角-鸽巢问题 （导图+知识精讲+易错点拨+3大考点讲练+优选压轴题专练 共38题） 讲义说明 学前指导 2 导图指引 考点大刚 2 知识精讲 复习回顾 2 知识点梳理01：鸽巢原理的基本概念 2 知识点梳理02：鸽巢原理的公式 2 知识点梳理03：鸽巢原理的应用 3 知识点梳理04：典型题型与解题技巧 3 易错点拨 查漏补缺 4 易错知识点01：对鸽巢原理理解不透彻 4 易错知识点02：计算至少有几个物体在同一个鸽巢中时出错 4 易错知识点03：混淆鸽巢原理与平均分配原则 4 易错知识点04：在应用鸽巢原理解决实际问题时出错 4 易错知识点05：对鸽巢原理的推论理解不深入 5 重点难点 考点讲练 5 考点讲练01：鸽巢问题初步 5 考点讲练02：鸽巢问题进阶 7 考点讲练03：最不利原则 8 压轴专练 拔尖冲刺 11 同学你好！学期已经过半，相信你一定学有所获，准备一展身手！这套讲义资料由编者老师精心策划，编辑整理策划排版！非常适用于期中复习及单元复习使用。讲义包含：知识精讲，易错点拨，考点讲练，易错题专练，重点难点优选题，培优巩固和拔尖专练题。板块内容清晰，内容详尽。题目优选2023-2025年近两年名校期中真题。贴近考纲要求，非常有助于学生提升解题思维，强化做题技巧，解析版思路清晰。是学生自学，教师备课的优选资料！ 知识点梳理01：鸽巢原理的基本概念 鸽巢原理是一个重要而又基本的组合原理，在解决数学问题时有非常重要的作用。其最简单的表达形式是：如果把多于n个的物体放到n个鸽巢中，则至少有一个鸽巢里含有2个或2个以上的物体。 知识点梳理02：鸽巢原理的公式 物体个数÷鸽巢个数=商……余数 至少个数=商+1 这个公式用于计算当物体数量多于鸽巢数量时，至少有一个鸽巢中物体的数量。 知识点梳理03：鸽巢原理的应用 1. 至少有几个鸽子同一个巢类问题： 例如，11个苹果放进3个抽屉，苹果最多的一个抽屉里至少有几个苹果？根据鸽巢原理，11÷3=3余2，所以至少有一个抽屉里有3+1=4个苹果。 2. 最多有几个巢类问题： 例如，把25个玻璃球最多放进几个盒子里，才能保证至少有一个盒子里至少有5个玻璃球？根据鸽巢原理，我们可以将25个玻璃球平均分配到尽可能多的盒子里，同时保证至少有一个盒子里有5个或更多的玻璃球。因此，最多可以放进25÷5=5个盒子，这样每个盒子至少有5个玻璃球。但如果要考虑“最多有几个盒子”且不满足“每个盒子都至少有5个”的严格条件，那么答案将取决于如何分配剩余的玻璃球。在最不利的情况下，即尽可能平均分配但又不让每个盒子都达到5个，我们可以将20个玻璃球平均分配到4个盒子里（每个盒子5个），然后剩下的5个玻璃球放入第5个盒子，这样就有5个盒子但只有一个盒子有超过5个玻璃球。然而，这个问题通常理解为求满足条件“至少有一个盒子有5个”时的最大盒子数，所以答案还是5个。 3. 最不利原则的应用： 最不利原则是从最坏的情况出发分析问题。例如，要保证摸出两个同色的球，摸出的球的数量至少要比颜色数多1。这是因为，在最不利的情况下，可能会先连续摸出不同颜色的球，直到摸出第n+1个球（n为颜色数）时，才能保证与前面的某个球颜色相同。 4. 生日问题的应用： 生日问题也是鸽巢原理的一个经典应用。例如，某校有367名学生，问有没有两个学生的生日是同一天？由于一年有365天（不考虑闰年），而学生人数为367，根据鸽巢原理，至少有一天有2名学生的生日是相同的。 知识点梳理04：典型题型与解题技巧 1. 填空题： 例如，“一只袋子里有许多规格相同但颜色不同的玻璃球，颜色有红黄绿三种，至少取出几个球才能保证有2个球的颜色相同？”答案是4个，因为最不利的情况是先连续摸出红、黄、绿三种颜色的球各1个，再摸出第4个球时，必然与前面的某个球颜色相同。 2. 应用题： 例如，“42只鸽子飞进5个笼子里，可以保证在鸽子最多的笼子中至少有几只鸽子？”答案是9只。因为42÷5=8余2，所以至少有一个笼子里有8+1=9只鸽子。 易错知识点01：对鸽巢原理理解不透彻 易错点： 学生可能只记住了鸽巢原理的表述，但没有真正理解其背后的逻辑和含义。 在应用鸽巢原理时，学生可能无法准确判断“物体”和“鸽巢”的对应关系。 纠正方法： 通过具体的生活实例或图形演示，帮助学生理解鸽巢原理的实质。 强调“物体”和“鸽巢”的对应关系，让学生明确哪些元素可以视为“物体”，哪些元素可以视为“鸽巢”。 易错知识点02：计算至少有几个物体在同一个鸽巢中时出错 易错点： 学生可能在使用鸽巢原理进行计算时，没有正确应用除法运算和取余运算。 学生可能忽略了“至少”这个词的含义，导致计算结果偏小。 纠正方法： 教授学生如何使用除法运算和取余运算来计算至少有几个物体在同一个鸽巢中。 强调“至少”的含义，让学生明白在计算结果的基础上需要加1（当有余数时）。 易错知识点03：混淆鸽巢原理与平均分配原则 易错点： 学生可能将鸽巢原理与平均分配原则混淆，认为只要物体数量多于鸽巢数量，每个鸽巢中的物体数量就一定相同。 学生可能忽略了鸽巢原理中的“至少”条件，认为每个鸽巢中的物体数量都一定大于或等于某个值。 纠正方法： 区分鸽巢原理与平均分配原则的不同之处，强调鸽巢原理中的“至少”条件。 通过具体例子说明鸽巢原理与平均分配原则的差异，让学生明确两者的区别。 易错知识点04：在应用鸽巢原理解决实际问题时出错 易错点： 学生可能无法准确识别问题中的“物体”和“鸽巢”，导致应用鸽巢原理时出错。 学生可能无法将实际问题抽象为鸽巢问题，导致无法应用鸽巢原理进行解决。 纠正方法： 教授学生如何识别问题中的“物体”和“鸽巢”，并将其抽象为鸽巢问题。 通过大量练习，让学生熟悉鸽巢原理在实际问题中的应用方法。 易错知识点05：对鸽巢原理的推论理解不深入 易错点： 学生可能对鸽巢原理的推论（如生日悖论）理解不深入，无法将其应用于实际问题中。 学生可能无法准确判断哪些问题可以运用鸽巢原理的推论进行解决。 纠正方法： 深入讲解鸽巢原理的推论，如生日悖论等，并通过具体例子帮助学生理解其含义和应用方法。 让学生多接触与鸽巢原理推论相关的实际问题，培养他们的应用能力和解决问题的能力。 考点讲练01：鸽巢问题初步 【精讲题】（2024·河北张家口·小升初真题）18只鸽子飞回5个鸽舍，至少有4只要飞进同一个鸽舍。( ) 【答案】√ 【思路点拨】根据题意，先将18只鸽子平均放进5个鸽舍里，每个鸽舍平均放3只，还剩下3只，这3只鸽子，无论飞进哪个鸽舍里，总有一个鸽舍至少有4只鸽子。 【规范解答】18÷5＝3（只）……3（只） 3＋1＝4（只） 所以至少有4只鸽子要飞进同一个鸽舍。 原题说法正确。 故答案为：√ 【精练题01】（2024·河北沧州·小升初真题）口袋里有6个白球和3个黑球，它们只有颜色不同。要保证摸出2个白球，至少一次摸出( )个球；要保证摸出2个同色球，至少一次摸出( )个球。 【答案】 5 3 【思路点拨】把白、黑两种颜色看作2个抽屉，要保证摸出两个白球，考虑最差情况：3个黑球全部摸出，再摸出2个即可保证摸出2个白球；要保证摸出两个同色的球，摸3个球时，必有两球同色，因此至少需要摸3个球。据此作答。 【规范解答】3＋2＝5（个） 要保证摸出2个白球，至少一次摸出5个球。 2＋1＝3（个） 要保证摸出2个同色球，至少一次摸出3个球。 【精练题02】（23-24六年级下·山西长治·期末）六年级(1)班有50名同学。他们都参加了课后延时服务的个性活动课程。个性活动课程有剪纸、篮球和科技3个课程，每人可以参加1个或2个课程，这个班至少有( )名同学参加个性活动的情况完全相同。可以这样想：这里把( )看作“抽屉”，可以运用组合的知识先有序找出“抽屉”数，再按“抽屉问题”的思路解决问题。 【答案】 9 参加个性活动课程的6种情况 【思路点拨】50名同学每人可以参加1个或2个课程，那么有：剪纸、篮球、科技、剪纸＋篮球、剪纸＋科技、科技＋篮球一共6种情况。这样6种情况可以看作6个抽屉，将50名同学看作50个苹果，即将50个苹果放入6个抽屉中。根据抽屉原理：m个苹果（元素）分到n个抽屉（集合）里：如果m÷n有余数，则至少有（m÷n）＋1个元素在同一抽屉里；如果m÷n没有余数，则至少有（m÷n）个元素在同一抽屉里。据此解答。 【规范解答】参加个性活动课程一共6种情况：剪纸、篮球、科技、剪纸＋篮球、剪纸＋科技、科技＋篮球。将这6种情况可以看作6个抽屉 50÷6＝8（人）……2（人） 8＋1＝9（人） 这个班至少有9名同学参加个性活动的情况完全相同。 【考点评析】根据参加个性活动课程的情况找到抽屉，是解题的关键。 【精练题03】（23-24六年级下·吉林四平·期末）电影《长津湖》热播的第一天，万达影院3号厅326个座位坐满了观众，这些观众中至少有( )人是同一个月出生的。 【答案】28 【思路点拨】把326位观众看作被分放物体，一年12个月看作12个抽屉，被分放物体的数量÷抽屉的数量＝平均每个抽屉分放物体的数量……剩下物体的数量，一个抽屉里至少分放物体的数量＝平均每个抽屉分放物体的数量＋1，据此解答。 【规范解答】一年一共有12个月。 326÷12＝27（人）……2（人） 27＋1＝28（人） 所以，这些观众中至少有28人是同一个月出生的。 考点讲练02：鸽巢问题进阶 【精讲题】（23-24六年级下·浙江台州·期末）把一堆书放进12个抽屉里，怎么放总有一个抽屉里至少有5本书，那么这堆书最少有 本书。 【答案】49 【思路点拨】鸽巢原理公式：物体个数÷鸽巣个数＝商……余数，只要有余数，那么至少个数＝商＋1。那么本题中的鸽巢个数是12，至少个数是5，逆用公式可得到商是4。当余数最小即为1时，物体个数是最少的，据此解答。 【规范解答】 （本） 故那么这堆书最少有49本。 【考点评析】本题考查鸽巢原理的逆向应用，熟悉公式，并且了解公式中的“余数”是从1到9的任意数是解题关键。 【精练题01】（21-22六年级下·天津南开·期末）密封的纸盒里有60粒大小相同的珠子，每15粒是同一种颜色，为保证一次取出3粒颜色相同的珠子，至少要取出（    ）粒。 A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】B 【思路点拨】先用60除以15求出一共有4种颜色的珠子；把“摸珠子问题”与“鸽巢问题”联系起来，即把4种颜色看成4个鸽巢（同种颜色就是同一个鸽巢），把要摸出的珠子看成分放的物体。由“鸽巢原理”可推导出，（至少数－1）×鸽巢数＋1＝物体数，此题中至少数是3粒，鸽巢数是4个，据此可求出要摸出的珠子的粒数。 【规范解答】颜色数（鸽巢数）：60÷15＝4（种） 珠子的最少粒数：（3－1）×4＋1 ＝2×4＋1 ＝8＋1 ＝9（粒） 所以至少要取出9粒。 故答案为：B 【考点评析】此题考查了应用“鸽巢原理”解决实际问题。把实际问题转化成“鸽巢问题”关键要弄清“鸽巢”（“鸽巢是什么，有几个鸽巢）和分放的物体。 【精练题02】（21-22六年级上·湖南郴州·期末）六（一）班有50人，在一次数学测试中，全班同学都及格了（60分及格，100分满分，都是整数分），至少一定有（    ）个人的分数是相同的。 A．9 B．10 C．2 【答案】C 【思路点拨】抽屉原理（鸽巢原理）：把m个物体放进n个抽屉里（m＞n＞1），m÷n＝a……b，不管怎么放总有一个抽屉至少放进（a＋1）个物体。由题意可知，一共有100－60＋1＝41（个）分数，即抽屉数是41个；六（一）班有50人，即物体数是50人；用50÷41求出商几余几，再用商数＋1求出至少数。 【规范解答】100－60＋1 ＝40＋1 ＝41（个） 50÷41＝1（人）……9（人） 1＋1＝2（人） 所以至少一定有2个人的分数是相同的。 故答案为：C 【考点评析】解决抽屉原理问题，要分清“要放的物体数和抽屉数”。 【精练题03】（2022六年级下·全国·专题练习）学校开设了画画、写作、书法3个兴趣班，四年级3班共40人，每个学生都报名了其中两个兴趣班，那么这个班至少有多少个学生报的兴趣班完全一样？ 【答案】14个 【思路点拨】学生的报班情况可能有：画画和书法、画画和写作、写作和书法，共3种，看成3个抽屉，把40个学生看成40个苹果，根据抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n＞m，那么必有一个抽屉至少有：（1）当n不能被m整除时，k＝[]＋1个物体；（2）当n能被m整除时，k＝个物体。 【规范解答】40÷3＝13……1 13＋1＝14（个） 答：这个班至少有14个学生报的兴趣班完全—样。 【考点评析】关键是构造物体和抽屉，也就是找到代表物体和抽屉的量，然后依据抽屉原则进行计算。 考点讲练03：最不利原则 【精讲题】（24-25六年级下·重庆九龙坡·开学考试）在一个不透明的纸箱里有除颜色不同，其他全部相同的小球15个，其中蓝球4个，红球5个，白球6个，要想确保摸出2个同色的小球，至少要摸（    ）。 A．2次 B．3次 C．4次 D．6次 【答案】C 【思路点拨】纸箱里有同样大小的蓝球4个，红球5个，白球6个，最坏的情况是，红球、篮球、白球各摸出一个，此时只要再任意摸出一个球，摸出的球一定有2个同色的，即至少要摸出3＋1＝4个。 【规范解答】3＋1＝4（个） 要想确保摸出2个同色的小球，至少要摸4次。 故答案为：C 【考点评析】此题考查了抽屉原理在实际问题中的灵活应用。 【精练题01】．（2010六年级下·全国·竞赛）有几个同样重的集装箱，所装货物共重30吨，并且每个集装箱的重量都不超过1吨，至少需要 辆载重4吨的卡车才能一次性运走这些货物。 【答案】10 【思路点拨】要求至少需要几辆车，则根据最不利原则，集装箱尽可能多，每辆车尽可能装最少，且剩余的空间不能多放一个集装箱；设有W个集装箱，每个集装箱的重量都不超过1吨，据此可知，每个集装箱的重量≤1，根据被除数和商的关系，可得每辆车装：4÷≥4箱；每辆车剩余空间不能多装一个集装箱，所以0≤4－×4＜1，求得30≤W＜40，W的个数是自然数，每辆车至少装4箱，集装箱最多有39个，用39÷4求出商，有余数，则用商＋1求出至少需要多少辆车。 【规范解答】设有W个集装箱，每个集装箱的重量都不超过1吨，W至少有30箱， 每个集装箱的重量：≤1 每辆车装：4÷≥4箱 每辆车剩余空间不能多装一个集装箱，所以0＜4－×4＜1 0＜4×（1－）＜1 1－＜ ＞1－ ＞ ＞ W＜40 W的个数是自然数，每辆车至少装4箱，集装箱最多有39个， 39÷4＝9……3 9＋1＝10（辆） 至少需要10辆载重4吨的卡车才能一次性运走这些货物。 【考点评析】本题考查了最不利原则的灵活应用，关键是确定箱子只数的范围。 【精练题02】（21-22六年级下·全国·假期作业）有规格尺寸相同的六种颜色的袜子各20只混装在箱内。 （1）黑暗中从箱内至少取出多少只才能保证有3双袜子？ （2）黑暗中从箱内至少取出多少只才能保证有3双同色袜子？ （3）黑暗中从箱内至少取出多少只才能保证有3双不同色袜子？ 【答案】（1）11只；（2）31只；（3）45只 【思路点拨】（1）根据最不利原则考虑，先摸6只不同颜色的袜子，再摸4只就有2双袜子，最后多摸1只就有3双袜子； （2）根据最不利原则，每种颜色的袜子斗取5只，共30只，再取出1只才能保证有3双同色袜子； （3）根据最不利原则，把其中2种颜色的全部取出，共40只，再从剩下的4种颜色种取出4只袜子，都不是同色，最后多取1只，就能保证有3双不同色袜子。 【规范解答】（1）（只） 答：黑暗中从箱内至少取出11只才能保证有3双袜子。 （2） （只） 答：黑暗中从箱内至少取出31只才能保证有3双同色袜子。 （3） （只） 答：黑暗中从箱内至少取出45只才能保证有3双不同色袜子。 【考点评析】本题考查鸽巢问题，解答本题的关键是掌握鸽巢问题的计算方法。 【精练题03】（2021六年级·全国·竞赛）一个玻璃瓶里一共装有44个弹珠，其中：白色的2个，红色的3个，绿色的4个，蓝色的5个，黄色的6个，棕色的7个，黑色的8个，紫色的9个，如果要求每次从中取出1个弹珠，从而得到2个相同颜色的弹珠，请问最少需要取几次？ 【答案】9次 【思路点拨】总共有8种颜色的弹珠，要取出2个相同颜色的弹珠，最倒霉的情况就是前面8次取出的弹珠颜色都不一样，每种颜色各一个，这样第9次，不论取什么，一定可以保证有2个相同颜色的弹珠。 【规范解答】（次） 答：最少需要取9次。 【考点评析】本题考查的是抽屉问题，求解此类问题，就要按照最不利于事件发生的情况考虑问题。 1．（2024·广东东莞·小升初真题）有红、白、蓝三种颜色的卡片各5张，至少随意抽取（    ）张卡片，才能保证取到两张不同颜色的卡片。 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【思路点拨】运用最不利原则，先考虑最糟糕的抽取情况，就是先把一种颜色的卡片全部抽完，因为每种颜色卡片有5张，所以先把一种颜色（比如红色）的5张卡片全部抽出来，此时再抽一张，无论抽到白色还是蓝色卡片，都能保证取到两张不同颜色的卡片，所以至少要抽取（5＋1）张卡片，据此解答。 【规范解答】根据分析： 5＋1＝6（张） 即至少取6张卡片，才能保证取到两张不同颜色的卡片。 故答案为：D 2．（23-24六年级下·四川绵阳·期末）一个盒子里有黄、白乒乓球各5个，要想使取出的乒乓球保证至少有2个白色的，则至少取出的个数是（    ）。 A．3 B．6 C．7 D．10 【答案】C 【思路点拨】考虑最倒霉的情况，取出的前5个都是黄乒乓球，再取两个，一定是2个白乒乓球，据此解答。 【规范解答】5＋2＝7（个） 一个盒子里有黄、白乒乓球各5个，要想使取出的乒乓球保证至少有2个白色的，则至少取出的个数是7。 故答案为：C 3．（23-24六年级下·广东肇庆·期末）纸箱里有同样大小的蓝色发卡5个，红色发卡6个，紫色发卡7个，想要保证摸出2个同色的发卡，至少要摸出（    ）个。 A．2 B．6 C．4 D．8 【答案】C 【思路点拨】有3种颜色的发卡，考虑最倒霉的，摸出的前3个都是不同颜色，再摸一个，无论是什么颜色，都能保证有2个同色的发卡，据此分析。 【规范解答】3＋1＝4（个） 想要保证摸出2个同色的发卡，至少要摸出4个。 故答案为：C 4．（23-24六年级下·河南驻马店·期末）学校篮球队的6名队员练习投篮，共投进了56个球，总有一名队员至少投进（    ）个球。 A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【思路点拨】将此问题看作鸽巢问题。6名队员相当于6个鸽巢，56个进球相当于56只鸽子，将56个进球平均分配给6名队员，每名队员进9个球，还剩2个进球，剩余的2个进球无论分给哪名队员，总会有一名队员至少进10个球。 【规范解答】56÷6＝9（个）⋯⋯2（个） 9＋1＝10（个） 总有一名队员至少投进10个球。 故答案为：B 5．（23-24六年级下·河南安阳·期末）有红、黄、蓝、绿四种颜色的球各5个，混合放在一个布袋里，至少取（    ）个球，能保证取到两个颜色相同的球。 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【思路点拨】根据最不利原理，先取4个球，红、黄、蓝、白各1个，则再取1个球无论是什么颜色，都能保证取到两个颜色相同的球。 【规范解答】（个） 则至少取5个球，可以保证取到两个颜色相同的球。 故答案为：B 【考点评析】根据抽屉原理中的最坏情况进行分析是完成本题的关键。 6．（2024·陕西商洛·小升初真题）杭州亚运会成为亚运史上规模最大、项目最多、覆盖面最广的一届运动会。中国一共派出了886名运动员参赛，这些运动员中至少有 人是同一个月生日。 【答案】74 【思路点拨】一年有12个月，把12个月看作12个“抽屉”， 886名运动员相当于要放进这12个“抽屉”里的“物品”，先用运动员总数886除以月数12，即886÷12＝73（人）……10（人），这里73表示如果平均分配，每个月分配到73个人，余数是10表示分完后还剩下10个人。剩下的这10人，无论放到12个月中的哪一个月，都会使得那个月的人数至少（73＋1）人，即这些运动员中至少有（73＋1）人是同一个月生日，据此解答。 【规范解答】一年有12个月。 886÷12＝73（人）……10（人） 73＋1＝74（人） 即这些运动员中至少有74人是同一个月生日。 7．（2024·江西吉安·小升初真题）有红、黄、蓝、紫4种颜色的帽子各5顶放入一个盒子里。要保证取出的帽子有2种颜色，至少应取出( )顶帽子；要保证取出的帽子中至少有2顶是同色的，至少应取出( )顶帽子。 【答案】 6 5 【思路点拨】已知有红、黄、蓝、紫4种颜色的帽子各5顶放入一个盒子里，考虑最不利原则，把一种颜色的帽子5顶全部取完，再任意取一顶，一定有2种颜色的帽子； 考虑最不利原则，把4种颜色的帽子各取1顶，再任意取1顶，则至少有2顶帽子是同色的。 【规范解答】5＋1＝6（顶） 4＋1＝5（顶） 要保证取出的帽子有2种颜色，至少应取出（6）顶帽子；要保证取出的帽子中至少有2顶是同色的，至少应取出（5）顶帽子。 8．（2024·山东菏泽·小升初真题）口袋里有6个红球和4个黄球，它们的大小和形状都相同，现从中任意摸出一个球，则摸出红球的可能性是( )，要保证摸出2个红球，至少一次要摸出( )个球。 【答案】 6 【思路点拨】红球有6个，合计有（6＋4）个球，求摸出红球的可能性，用红球的个数除以口袋里面球的个数即可； 要保证摸出2个红球，考虑最不利原则，把4个黄球全部摸出后，再任意摸2个，必定能摸出2个红球，即至少一次性摸出（4＋2）个。 【规范解答】6÷（6＋4） ＝6÷10 ＝ 4＋2＝6（个） 口袋里有6个红球和4个黄球，它们的大小和形状都相同，现从中任意摸出一个球，则摸出红球的可能性是，要保证摸出2个红球，至少一次要摸出6个球。 9．（24-25六年级下·海南海口·单元测试）11支铅笔放进4个盒子，总有一个盒子至少放进 支铅笔。 【答案】3 【思路点拨】被分放物体的数量÷抽屉的数量＝平均每个抽屉分放物体的数量……剩下物体的数量，一个抽屉里至少分放物体的数量＝平均每个抽屉分放物体的数量＋1，据此解答。 【规范解答】11÷4＝2（支）……3（支） 2＋1＝3（支） 所以总有一个盒子至少放进3支铅笔。 10．（22-23六年级下·陕西商洛·期末）盒子里有大小相同的红球、白球、蓝球各4个，要想摸出的球一定有2个是同色的，至少要摸出4个球。( ) 【答案】√ 【思路点拨】假设运气最差的情况，先摸出的3个球的颜色都不一样，此时再任意摸出1个，就有2个同色的球，所以至少要摸出（3＋1）个球。 【规范解答】3＋1＝4（个） 所以要想摸出的球一定有2个是同色的，至少要摸出4个球。 原题说法正确。 故答案为：√ 11．（2024·四川绵阳·小升初真题）把红、黄、蓝、绿四种颜色的袜子各10只放到一个袋子里，至少取出11只袜子，可以保证取出一双颜色相同的袜子。( ) 【答案】× 【思路点拨】根据题意，有四种颜色的袜子，要保证取到两只颜色相同的袜子，考虑最坏的情况，红、黄、蓝、绿都各取1只，那么这时，只要再取出任意一只颜色的袜子，就可以保证取到一双颜色相同的袜子。 【规范解答】通过分析可得： 4＋1＝5（只），至少取出5只袜子，可以保证取出一双颜色相同的袜子。原题说法错误。 故答案为：× 12．（23-24六年级下·广西河池·期末）六（1）班有45名同学，至少有4名同学在同一个月过生日。( ) 【答案】√ 【思路点拨】把一年12个月看作12个抽屉，把45名同学看作45个元素，那么每个抽屉需要放45÷12＝3（名）……9（名），所以每个抽屉先要放3名，剩下的9名无论怎么放，总有一个抽屉里至少有：3＋1＝4（名），据此解答。 【规范解答】45÷12＝3（名）……9（名） 3＋1＝4（名） 所以至少有4名同学在同一个月过生日。 故答案为：√ 13．（23-24六年级下·黑龙江鸡西·期末）一副扑克牌去掉大王和小王后共有52张，这些扑克牌有四种花色，每种花色有13张。 (1)一次至少要拿出( )张牌，才能保证至少有两张牌是同花色的。 (2)一次至少要拿出( )张牌，才能保证有4张牌是同一种花色。 (3)一次至少要拿出( )张牌，才能保证四种花色都有。 (4)一次至少要拿出( )张牌，才能保证至少有两张牌的数字是一样的。（直接写出答案） 【答案】(1)5 (2)13 (3)40 (4)14 【思路点拨】（1）一副牌有4种花色，根据最不利原理，先拿出4张是不同的花色，再拿出1张，无论是什么花色都能保证这种花色有2张是同花色的； （2）从中任意抽牌，最不利情况是把每种花色抽出3张，即4×3＝12张，此时再抽出1张，一定保证有4张牌是同一种花色的； （3）每种花色都有13张，根据最不利原则，先拿出13×3＝39张， 把3种花色都拿出来了，再拿一张一定是第4种花色，由此求解； （4）一副牌有13种不同的数字，根据最不利原则，先拿出13张是不同的数字，再拿出1张，无论是数字几都能保证这种数字有2张。 【规范解答】（1）4＋1＝5（张） 则一次至少要拿出5张牌，才能保证至少有两张牌是同花色的。 （2）4×3＋1 ＝12＋1 ＝13（张） 则一次至少要拿出13张牌，才能保证有4张牌是同一种花色。 （3）13×3＋1 ＝39＋1 ＝40（张） 则一次至少要拿出40张牌，才能保证四种花色都有。 （4）13＋1＝14（张） 则一次至少要拿出14张牌，才能保证至少有两张牌的数字是一样的。 14．（2024六年级下·全国·专题练习）按照星座学说，根据出生时间不同，有十二个不同星座，请问至少找多少个同学，才能保证有四个人是同一个星座？ 【答案】37个 【思路点拨】把同学看作物品，星座看作抽屉，要保证至少有4个人在同一个抽屉，那么可以每个抽屉先放3个人，再在某一个抽屉中多放一个人。 【规范解答】（4－1）×12＋1 ＝3×12＋1 ＝36＋1 ＝37（个） 答：至少找37个同学，才能保证有四个人是同一个星座。 15．（22-23六年级下·陕西商洛·期末）把25本书分发给4名同学，不管怎么分发，总有一名同学至少发到7本书。为什么？ 【答案】见详解 【思路点拨】抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n＞m，那么必有一个抽屉至少有： （1）当n不能被m整除时，k＝[]＋1个物体。 （2）当n能被m整除时，k＝个物体。 【规范解答】25÷4＝6（本）……1（本） 6＋1＝7（本） 答：总有一名同学至少发到7本书。 【考点评析】关键是构造物体和抽屉，也就是找到代表物体和抽屉的量，然后依据抽屉原则进行计算。 16．（21-22六年级下·云南德宏·期末）把红、黄、蓝、白四种颜色的球各5个放在一个袋子里。至少取多少个球，可以保证取到两个颜色相同的球？ 【答案】5个 【思路点拨】根据最不利原理，先取4个球，红、黄、蓝、白各1个，则再取1个球无论是什么颜色，都能保证取到两个颜色相同的球。 【规范解答】4＋1＝5（个） 答：至少取5个球，可以保证取到两个颜色相同的球。 【考点评析】根据抽屉原理中的最坏情况进行分析是完成本题的关键。 17．（2023六年级下·福建莆田·竞赛）请你证明：任意5个自然数中，必可找出3个数，使这三个数的和是3的倍数。 【答案】证明见详解 【思路点拨】根据3的倍数的特征，如果这三个数被3除，余数的和是3的倍数，那这三个数的和就是3的倍数。自然数被3除所得的余数有0、1、2三种情况，据此把全体自然数分成3类，即构成3个抽屉，然后根据抽屉原理分情况讨论。 【规范解答】证明：自然数被3除所得的余数有0、1、2三种情况，据此把全体自然数分成3类，即构成3个抽屉。如果任选的5个自然数中： （1）如果3个抽屉都有数，根据抽屉原理，，那么5个数在3个抽屉中的分配方案必为2个，2个，1个；每个抽屉中各取1个数，余数的和为，因此，它们的和一定是3的倍数。 （2）如果至少有一个抽屉没有数，即将5个数放进2个抽屉或者1个抽屉，根据抽屉原理，，那么至少必有3个数在同一个抽屉，在同一个抽屉里的三个数的和一定是3的倍数。 所以，任意5个自然数中，必可找出3个数，使这三个数的和是3的倍数。 【考点评析】结合3的倍数特征和抽屉原理进行分析，在有些抽屉问题中，“抽屉”和“物品”不是很明显，需要精心构造“抽屉”和“物品”。 18．（22-23六年级下·全国·单元测试）把104粒花生分给15只小猴，每只小猴都要分到花生，那么至少有两只小猴分得的花生一样多，为什么？ 【答案】见详解 【思路点拨】考虑最不利原则，假设前13只小猴分得的花生各不相同，从1一直加到13为91粒，还剩下2只小猴子分13粒花生，不管怎么分，至少有2只小猴分得的花生一样多。 【规范解答】假设前13只小猴分得的花生各不相同，共有： 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13 ＝（1＋13）×13÷2 ＝14×13÷2 ＝91（粒） 还剩下花生：104－91＝13（粒） 还有小猴：15－13＝2（只） 不管怎么分，至少有2只小猴分得的花生一样多。 答：至少有2只小猴分得的花生一样多，因为前13只小猴分得的花生各不相同后，剩下的2只小猴不管怎么分剩下的13粒花生，分得的花生粒数都只能是1～12粒，这样至少有2只小猴分得的花生一样多。 【考点评析】本题考查鸽巢问题，采用最不利原则进行分析是解题的关键。 19．（20-21六年级下·全国·单元测试）把5双手套（手套分左、右手）放进暗箱里，要保证取出的手套中至少有1双，至少要取出几只手套？ 【答案】6只 【思路点拨】考虑最不利的情况，取出的5只手套要么都是左手，要么都是右手，此时是不符合要求的最大数量，但只要再取1个，一定是满足要求的。 【规范解答】先取出5个左手的手套或5个右手的手套，此时不符合要求； 5＋1＝6（只） 答：至少要取出6只手套。 【考点评析】本题考查的是抽屉原理，要求符合要求的最小数量，可以先求出不符合要求的最大数量。 20．（20-21六年级下·全国·单元测试）一副除去大小王的扑克牌，共有4种花色，每种花色有13张。要保证抽出的牌中，4种花色的牌都有，至少要抽出多少张牌？ 【答案】40张 【思路点拨】4种花色的牌都有，可以先把其它3种花色的牌全部取完，这是不符合要求的最大数量，再加上1，即可求出符合要求的最低数量。 【规范解答】（张） （张） 答：至少要抽出40张牌。 【考点评析】本题考查的是最不利原则，不符合要求的最大数量加1就是符合要求的最小数量。 21．（20-21六年级下·全国·单元测试）植树节，育才小学有41名老师和381名学生参加义务植树活动。参加植树的老师至少有4人是同一个月出生的。参加植树的学生至少有2人的生日是同一天。他们说得对吗？ 【答案】对 【思路点拨】每年有12个月是固定的，每年365天或366天，用41除以12，用381除以365或366，根据是否有余数进行判断。 【规范解答】 （人） 所以参加植树的老师至少有4人是同一个月出生的； （人） 不论这一年是多少天，参加植树的学生至少有2人的生日是同一天； 答：他们说得对。 【考点评析】本题考查的是抽屉原理，解决此类问题，首先要找出抽屉数和总数分别是多少。 22．（20-21六年级下·全国·单元测试）在100张卡片上不重复地编写上1～100，请问至少要随意抽出几张卡片才能保证所抽出卡片上的数相乘后之乘积可被4整除？ 【答案】52张 【思路点拨】若想确保若干个数的乘积能被4整除，就要先抽出这些数中所有的奇数，再抽2张偶数卡片即可，1～100中所有的奇数有50个，若一开始就抽中的50张奇数卡片，则还需要抽出2张偶数卡片，它们之积才能被4整除。 【规范解答】（个） 先取出1～100中所有的奇数，一共50个；至少还需要取出两个偶数，共52个数，这52个数的乘积一定可以被4整除。 答：至少要随意抽出52张卡片。 【考点评析】本题考查的是最不利原则，解题的关键是需要找出能被4整除的数的特征，从1～100中的数抽取，即可解答。 23．（20-21六年级下·全国·课后作业）宁宁到舅舅家去做客。舅妈端出一大盘水果，对他说：“这些都是你爱吃的水果，不过我要先考考你。盘子里有苹果、柚子、菠萝三种水果共12个，其中柚子的个数是菠萝的2倍。随便拿出4个，其中至少有1个苹果，你知道这三种水果各有几个吗？” 【答案】苹果有9个；菠萝有1个；柚子有2个 【思路点拨】根据抽屉原理，随便拿出4个，其中至少有1个苹果，除苹果以外的其它水果共有3个，可知苹果有12－3＝9个，又因为柚子的个数是菠萝的2倍，且柚子与菠萝共有3个，可求得柚子有2个，菠萝有1个，据此解答即可。 【规范解答】苹果有：12－3＝9（个） 菠萝有：3÷（1＋2） ＝3÷3 ＝1 （个） 柚子有：3－1＝2（个） 答：柚子有2个，菠萝有1个，苹果有9个。 【考点评析】理解抽屉原理，读清题意，运用规律灵活解题。 24．（20-21六年级下·全国·单元测试）数学竞赛，填空题8道，答对1道，得4分，未答对。得0分；问答题6道。答对1道。得7分，未答对，得0分。参赛人数400人。至少有多少人的总分相同？ 【答案】8人 【思路点拨】假设填空题对的是x道，问答题对的是y道，总分应为4x＋7y，0≤x≤8，0≤y≤6，且x，y为整数，y＝0，1，2，3，总分分别有9种不同情况，y＝4，5，6，总分有7种情况（要与之前不同，即x≠0，1），即共有4×9＋3×7＝57种情况，所以一共有57种分值，即57个抽屉，据此解答即可。 【规范解答】400÷57＝7（人）……1（人） 7＋1＝8（人） 答：至少有8人的总分相同。 【考点评析】此题考查了抽屉原理的基本解决方法，关键是找到抽屉的数量。 25．（2021六年级·全国·竞赛）有49个小孩，每人胸前有一个号码，号码从1到49各不相同。现在请你挑选若干个小孩，排成一个圆圈，使任何相邻两个小孩的号码数的乘积小于100，那么你最多能挑选出多少个孩子？ 【答案】18个 【思路点拨】找出1~49中，乘积小于100的两个数的组合，根据任何相邻两个小孩的号码数的乘积小于100这一要求，选择出合适的数进行构造。 【规范解答】将1至49中相乘小于100的两个数，按被乘数分成9组，如下： （1×2）、（1×3）、（1×4）、…、（1×49） （2×3）、（2×4）、（2×5）、…、（2×49） …… （8×9）、（8×10）、（8×11）、（8×12） （9×10）、（9×11） 因为每个数只能与左右两个数相乘，也就是每个数作为被乘数或乘数最多两次，所以每一组中最多会有两对数出现在圆圈中，最多可以取出18个数对，共18×2＝36次，但是每个数都出现两次，故出现了18个数。 例如：（10×9）、（9×11）、（1×8）、（8×12）、（12×7）、（7×13）、（13×6）、（6×14）、（14×5）、（5×15）、（15×4）、（4×16）、（16 × 3）、（3×17）、（17×2）、（2×18）、（18×1）、（1×10），共出现l~18号，共18个孩子。 若随意选取出19个孩子，那么共有19个号码，由于每个号码数要与旁边两数分别相乘，则会形成19个相乘的数对。 那么在9组中取出19个数时，有19＝9×2＋1，由抽屉原则知，必有三个数对落入同一组中，这样某个数字会在数对中出现三次（或三次以上），由分析知，这是不允许的。故最多挑出18个孩子。 答：最多能挑选出18个孩子。 【考点评析】本题考查的是抽屉原理的问题，抽屉原理是最不利原则和平均原则的体现。 26．（22-23六年级下·全国·课前预习）38名学生进行答题游戏，每人答2道题，规定答对一题得2分，不答不得分，答错扣1分，则至少有几名学生的成绩相同？ 【答案】7名 【思路点拨】抽屉原理：m÷n＝a……b（m＞n＞1），把m个物体放进n个抽屉里，不管怎么放总有一个抽屉至少放进（a＋1）个物体。2道题全答对可得2×2＝4（分）；1道题答对，另1道题不答，可得2×1＝2（分）；1道题答对，另1道题答错，可得2×1－1×1＝1（分）；2道题全不答可得0分；1道题不答，另1道题答错可得﹣1分；2道题全答错可得﹣2分。即物体数是38，抽屉数为6。 【规范解答】38÷6＝6（名）……2（名） 6＋1＝7（名） 答：至少有7名学生的成绩相同。 【考点评析】解决抽屉原理问题，要分清“要放的物体数和抽屉数”。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$