专题02 圆柱和圆锥（单元讲义）-2024-2025学年苏教版数学六年级下册期中考前知识串讲培优讲练（学生版+教师版）

2024-2025学年六年级下册数学期中考前知识串讲培优讲练（苏教版） 专题02 圆柱和圆锥 （导图+知识精讲+易错点拨+12大考点讲练+优选压轴题专练 共46题） 讲义说明 学前指导 2 导图指引 考点大刚 2 知识精讲 复习回顾 2 知识点01：圆柱、圆锥的认识 2 知识点02：圆柱侧面积的计算方法 3 知识点03：圆柱表面积的计算方法 3 知识点04：圆柱体积的计算方法 3 知识点05：圆锥体积的计算方法 4 知识点06：圆柱和圆锥的横截面理解掌握：★圆柱横截面的分割方法： 4 易错点拨 查漏补缺 4 易错知识点01：圆柱易错知识点 4 易错知识点02：圆锥易错知识点 5 易错知识点03：圆柱与圆锥关系的易错点 5 易错知识点04：应用题高频易错点 5 重点难点 考点讲练 6 考点讲练01：圆柱的特征 6 考点讲练02：圆锥的特征 6 考点讲练03：圆柱的展开图 7 考点讲练04：简单的立方体切拼问题 8 考点讲练05：圆柱的侧面积和表面积 8 考点讲练06：圆柱的体积 9 考点讲练07：圆柱的侧面积、表面积和体积 10 考点讲练08：关于圆柱的应用题 11 考点讲练09：圆锥的体积 11 考点讲练10：关于圆锥的应用题 12 考点讲练11：组合图形的体积 12 考点讲练12：探索某些实物体积的测量方法 13 压轴专练 冲刺拔尖 15 同学你好！学期已经过半，相信你一定学有所获，准备一展身手！这套讲义资料由编者老师精心策划，编辑整理策划排版！非常适用于期中复习及单元复习使用。讲义包含：知识精讲，易错点拨，考点讲练，易错题专练，重点难点优选题，培优巩固和拔尖专练题。板块内容清晰，内容详尽。题目优选2023-2025年近两年名校期中真题。贴近考纲要求，非常有助于学生提升解题思维，强化做题技巧，解析版思路清晰。是学生自学，教师备课的优选资料！ 知识点01：圆柱、圆锥的认识 ①圆柱由一个上底面、一个下底面和一个侧面组成。上下底面是两个完全相同的圆形；侧面是一个曲面。 ②圆柱的高：上下底面之间的距离。圆柱有无数条高，每条高相等。 ③圆锥由一个底面和一个侧面组成。底面是一个圆形；侧面是一个曲面。 ④圆锥的高：圆锥的定点到底面圆心的距离。圆锥只有一条高。 知识点02：圆柱侧面积的计算方法 圆柱的侧面展开图：有可能是长方形，也有可能是正方形。 ①假如是长方形，那么长方形的长 a，就是圆柱底面的周长 C，宽 b 就是圆柱的高h。 长方形的面积 S=a×b=C×h=2πr×h=2πrh，就是圆柱的侧面积。 ②假如是正方形，那么正方形的边长 a 既等于圆柱底面的周长C，也等于圆柱的高h，也就是说底面周长和高相等。 正方形的面积 S=a×a=C×h=2πr×h=2πrh，就是圆柱的侧面积。所以圆柱的侧面积公式=Ch 或者=2πrh 或者=πdh 知识点03：圆柱表面积的计算方法 圆柱的表面积由一个侧面加上两个底面组成，计算方法是S 表=S 侧+2S 底， 因为S 侧=Ch，S 底=πr2，所以 S 表=Ch+2πr2 =2πrh+2πr2 用乘法分配率得圆柱的表面积公式 =2πr(h+r) 知识点04：圆柱体积的计算方法 利用我们以前学过的长方体的体积公式V 长方体=S 底×h，可以得到圆柱的体积公式V 圆柱= S 底×h，长方体的底面积是长方形或正方形，而圆柱的底面积是圆。 相关公式：①已知半径和高，V 圆柱=πr2h ②已知直径和高，V 圆柱=π(d÷2)2h ③已知周长和高，V 圆柱=π(C÷2π)2h 难点解析：把圆柱的底面平均分成n 份，切开后平成一个近似的长方体。得到的结论：圆柱的底面周长等于长方体的两条长的和; 圆柱的半径等于长方体的宽; 圆柱的高等于长方体的高; 圆柱的体积等于长方体的体积; ★圆柱的侧面=长方体的前、后两个面积的和(长×高)；圆柱的上、下底面和等于长方体的上、下底面和(长×宽)，所以圆柱的表面积比长方体的表面积少左右两个侧面(宽×高)。 知识点05：圆锥体积的计算方法 根据书本上的实验可以得到结论：等底等高的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥的 3 倍，或者说圆锥的体积是圆柱的三分之一。 用字母表示为V 圆柱=3V 圆锥或者V 圆锥=1/3V 圆柱。相关公式：只需要在圆柱的相关公式前面乘以三分之一。 ①已知半径和高，V 圆锥=1/3πr2h ②已知直径和高，V 圆锥=1/3π(d÷2)2h ③已知周长和高，V 圆锥=1/3π(C÷2π)2h 知识点06：圆柱和圆锥的横截面理解掌握：★圆柱横截面的分割方法： ① 按底面的直径分割，这样分割的横截面是长方形或者是正方形，如果横截面是正方形说明圆柱的底面直径和高相等。 ② 按平行于底面分割，这样分割的横截面是圆。圆锥横截面的分割方法： ① 按圆锥的高分割，这样分割的横截面是等腰三角形。 ② 按平行于底面分割，这样分割的横截面是圆。 易错知识点01：圆柱易错知识点 1.侧面积与表面积混淆 侧面积公式： 已知底面周长和高：S侧=C×h=2πrh 已知底面直径和高：S侧=πdh 表面积公式：S表=2πr²+2πrh （侧面积+两个底面积） 易错点：忘记加底面积，或误将侧面积直接当作表面积计算 2.体积计算与单位统一 体积公式：V柱=πr²h 易错点： 未统一单位（如直径用厘米，高用米需先转换） 混淆体积与侧面积公式（如用2πrh 计算体积）。 3.展开图与底面关系 侧面沿高展开是长方形（长=底面周长，宽=高）或正方形（当h=2πr h时） 易错点：误以为所有展开图都是正方形，或忽略非沿高展开时的平行四边形情况 4.长方形卷成圆柱的两种方式 以长方形的长为底面周长，宽为高时，体积较大；反之体积较小 易错点：认为两种卷法体积相同 易错知识点02：圆锥易错知识点 1.体积公式漏乘 体积公式：V锥=πr²h 易错点：直接使用圆柱体积公式，未乘 2.高与母线的区别 圆锥的高是从顶点到底面圆心的距离，仅一条；母线是侧面展开扇形的半径，有无数条 易错点：混淆高与母线，导致计算侧面积时用错数值。 3.直角三角形旋转形成圆锥 直角三角形绕一条直角边旋转形成圆锥，另一条直角边为底面半径，斜边为母线 易错点：误认为绕斜边旋转也能形成圆锥。 4.切割后的体积变化 从圆锥高处平行底面切开，小圆锥体积是原体积的，剩余圆台体积为 易错点：误以为切开后体积是原体积的一半。 易错知识点03：圆柱与圆锥关系的易错点 1. 等底等高时的体积关系 圆柱体积是圆锥的3倍，圆锥体积是圆柱的 易错点：未确认等底等高条件直接套用比例。 2. 等体积等底时的比例关系 若圆锥与圆柱体积相等且底面积相同，圆锥高是圆柱的3倍；若高相等，圆锥底面积是圆柱的3倍 易错点：误认为半径或直径的倍数关系。 易错知识点04：应用题高频易错点 1. 不规则物体体积计算 如求圆锥形沙堆重量，需先算体积V锥​，再乘密度 易错点：漏乘密度或单位未统一。 2. 容器容积与表面积区别 计算油桶、水杯等容器用料时用表面积公式，装液体时用体积公式 易错点：混淆两者公式。 3. 图形旋转后的体积比 直角三角形绕不同边旋转形成圆锥，体积比需通过半径和高计算 易错点：未正确分析旋转后的半径与高。 考点讲练01：圆柱的特征 【精讲题】（2024春•六合区期中）一个高是5厘米的圆柱，从正面看正好是一个正方形，说明这个圆柱的　　也是5厘米。 A．底面周长 B．底面直径 C．底面半径 D．无法确定 【精练题01】（2020春•新沂市校级期中）一个圆柱的底面半径是2厘米，高是2厘米，如果沿高剪开，它的侧面展开图是　　形，这个图形的周长是　　厘米，面积是　　平方厘米． 【精练题02】（2018春•仪征市校级期中）用一块长25.12厘米，宽18.84厘米的长方形铁皮，配上下面 　　圆形铁片正好可以做成圆柱形容器．（单位；厘米） 考点讲练02：圆锥的特征 【精讲题】（2022春•鼓楼区期中）小明在一张正方形卡纸上剪下一个圆形和一个扇形，圆的周长恰好和扇形曲线部分的长度相等，这样刚好围成一个圆锥体模型（如图）。如果圆的半径为，圆锥的母线为，那么　　　　。 【精练题01】（2023春•东台市校级期中）以一个直角三角形的任何一边为轴旋转，都可以得到一个圆锥． 　　．（判断对错） 【精练题02】（2021春•淮安区校级期中）用一个半径是2厘米半圆做圆锥的侧面（接头处不计），做出的圆锥底面圆的半径为　　 A．6厘米 B．3厘米 C．1厘米 D．无法计算 考点讲练03：圆柱的展开图 【精讲题】（2024春•沛县期中）下面图形中，　　是圆柱的展开图． A． B． C． 【精练题01】（2023春•溧阳市期中）下面各图中，按图　　剪下两个圆和一个长方形刚好可以围成一个圆柱。（接头处忽略不计）（单位： A． B． C． D． 【精练题02】（2024春•南京期中）在方格纸上画出下面圆柱的表面展开图． 考点讲练04：简单的立方体切拼问题 【精讲题】（2023春•淮安区期中）如图所示，把底面周长18.84厘米、高10厘米的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体，表面积比原来增加了 　　平方厘米，体积是 　　立方厘米． 【精练题01】（2024春•海门区期中）把一个高8分米的圆柱体，沿着它的底面直径切成两个部分，表面积增加96平方分米，这个圆柱的体积是 　 　立方分米．如果将这个圆柱削成一个圆锥，至少要削去 　　立方分米． 【精练题02】（2024春•盐城期中）把底面直径3厘米，高6厘米的圆柱，沿底面直径切割成两个半圆柱后表面积共增加了　　平方厘米。 A．54 B．36 C．18 考点讲练05：圆柱的侧面积和表面积 【精讲题】（2023春•江阴市期中）下面是对同一个圆柱（半径为，高为的两种不同切分（都是平均切成相同的两块）。甲种切法，表面积的和比原来增加 　　；乙种切分，表面积的和比原来增加 　　。 【精练题01】（2022春•沭阳县期中）如图，将长方形的铁皮沿虚线剪开，正好可以焊接成一个无盖的水桶（接头处忽略不计），这个水桶的容积是 　 　升。 【精练题02】（2020春•宿迁期中）一个圆柱底面直径是5分米，把它的侧面沿着高展开正好是一个正方形，这个圆柱的高是　　分米。 A． B． C． D．无法确定 考点讲练06：圆柱的体积 【精讲题】（2024春•盐城期中）如果圆柱的底面周长扩大3倍，高不变，它的体积扩大　　倍。 A．3 B．9 C．27 D．6 【精练题01】（2024春•六合区期中）将一根体积为600立方厘米的圆柱形木料削成一个陀螺，陀螺的体积是　　立方厘米。 A．500 B．100 C．700 D．400 【精练题02】（2024春•沭阳县期中）“转化”是一种重要的数学思想，如图四个学习情境中，运用到“转化”思想的一共有　　个。 A．1 B．2 C．3 D．4 考点讲练07：圆柱的侧面积、表面积和体积 【精讲题】（2024春•滨海县期中）一个圆柱的底面半径是4厘米，高是20厘米，沿着底面直径把圆柱切成相等的两部分，表面积增加了　　平方厘米。 A．80 B．160 C．320 D．640 【精练题01】（2021春•盐城期中）如图，把一个圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体，表面积增加了40平方厘米．圆柱的侧面积是　　平方厘米． A．40 B． C． D． 【精练题02】（2024春•沭阳县期中）如图所示，把一根圆柱体木料沿水平方向截去3厘米，那么表面积就比原来减少94.2平方厘米。已知截去部分的体积是原来圆柱体积的，求原来圆柱的体积。 考点讲练08：关于圆柱的应用题 【精讲题】（2024春•沛县期中）蜡烛店出售一种长26厘米、直径为5厘米的圆柱形蜡烛，规格为2根一组，如图摆放整齐，再用一张蓝色包装纸将这2根蜡烛除前后面以外周围一圈都捆装好（纸要绷紧）。如果不考虑接缝的重叠，一组蜡烛至少需要 　 　平方厘米的包装纸；如果把这样包装的一组蜡烛放入一个长方体盒子里，这个盒子的体积至少是 　　立方厘米。 【精练题01】（2024春•沛县期中）自来水管的内直径是2厘米，水管内水的流速是每秒8厘米。一位同学去洗手，走时忘了关掉水龙头，1分钟浪费 　毫升水。 【精练题02】（2024春•盐城期中）某小学举行“爱护地球，从我做起”的活动，某班级制作了一个底面半径是50厘米，高是1米的圆柱形环保箱用来收集废纸。 （1）在环保箱的侧面贴上环保标语，需要贴的面积是多少平方米？ （2）这个环保箱的体积是多少立方分米？ 考点讲练09：圆锥的体积 【精讲题】（2024春•海门区期中）圆锥形容器中有10升水，水的高度是圆锥高度的一半，这个容器还能装　　升水。 A．20 B．80 C．40 D．70 【精练题01】（2024春•灌云县期中）一个圆锥的体积是36立方厘米，底面积是9平方厘米。这个圆锥的高是 　　厘米。 【精练题02】（2024春•盐都区期中）圆柱甲的底面半径是圆锥乙的底面半径的2倍，圆柱甲的高是圆锥乙的高的3倍，若圆柱甲的体积是，则圆锥乙的体积是 　　。 考点讲练10：关于圆锥的应用题 【精讲题】（2024春•盐城期中）一个圆锥形沙堆，底面周长12.56米，高1.2米。如果每立方米沙子重1.7吨，这堆沙子约重多少吨？（得数保留整数） 【精练题01】（2024春•灌云县期中）有一个小麦堆，底面直径是4米，高是6米。每立方米小麦重约0.75吨，用一辆载重3吨的卡车来运，至少几次可以全部运完？（得数保留整数） 【精练题02】（2024春•雨花台区期中）一个近似于圆锥形的碎石堆，底面周长为6.28米，高1.2米。如果每立方米碎石大约重2吨，这堆碎石大约重多少吨？ 考点讲练11：组合图形的体积 【精讲题】（2024春•灌云县期中）如图，以直角梯形中边为轴，将梯形绕轴旋转一周，得到一个立体图形，它的体积是　　立方厘米。 A． B． C． D． 【精练题01】（2024春•苏州期中）如图，容器内注入一些细沙，能填满圆锥，还能填部分圆柱（如图所示）。若将这个容器倒立，则沙子的高度是 　　厘米。 【精练题02】（2024春•六合区期中）长征二号遥十三运载火箭整流罩的底面直径为3.2米。科技馆存放着按一定比例制作的长征二号遥十三运载火箭的整流罩模型（如图）。 （1）科技馆制作整流罩模型的比例是多少？ （2）该整流罩模型的体积是多少？ （3）如果用一个长方体玻璃盒来存放这个模型，制作这个玻璃盒至少要多少平方分米的玻璃？ 考点讲练12：探索某些实物体积的测量方法 【精讲题】（2024春•洪泽区期中）一个圆柱形容器内装有一些水，现将一个土豆完全浸没在水中（水末溢出），水面升高2厘米，要求这个土豆的体积还需知道　　 A．容器的高度 B．原来水面的高度 C．容器的底面周长 D．现在水面的高度 【精练题01】（2023春•沛县期中）活动课上，第一小组用这样的实验测量出土豆的体积： 第一步，小红准备一个圆柱形容器，量出这个容器的底面直径是20厘米，高是16厘米；（容器的厚度忽略不计） 第二步，小军在容器中放了一些水，量出水深10厘米； 第三步，芳芳放入一个土豆，土豆全部浸没在水中，这时水面上升到12厘米。 请你帮他们算出土豆的体积是多少立方厘米？ 【精练题02】（2023春•太仓市期中）小刚进行测量土豆体积的实验，步骤如下： 准备一个底面直径的圆柱形玻璃容器，注入了深的水（如图⑥；放入土豆，浸没在水中，水面上升到处，此时水面距离容器口是（如图⑦；再放入土豆，此时有部分水溢出（如图⑧；取出土豆，这时水面距离容器口（如图⑨。 根据实验情况，请你解决以下问题：（圆周率取 （1）请求出土豆的体积？ （2）豆的体积呢？ （3）放入土豆后，溢出了多少毫升水？ 1．（24-25六年级上·江苏宿迁·期末）将下图的直角三角形绕着斜边所在的直线旋转一周，得到的图形的体积是（    ）立方厘米。 A．144π B．128π C．76.8π D．无法计算 2．（23-24六年级下·江苏盐城·期中）把一个圆柱形木料加工成最大的圆锥，削去部分的体积是60立方厘米，原来圆柱的体积是（    ）立方厘米。 A．180 B．120 C．90 D．60 3．（20-21六年级下·江苏泰州·期中）下图中的正方体、圆柱和圆锥底面积相等，高也相等，下面（    ）是正确的。 A．正方体的体积是圆锥体积的3倍 B．圆柱的体积比正方体的体积大 C．圆柱的体积比正方体的体积小 D．圆锥的体积与正方体积相等 4．（23-24六年级下·江苏盐城·期中）古希腊著名数学家阿基米德发现了“圆柱容球”的几何图形（如图）。在这个图形中，球的体积与圆柱体积的比为2∶3，球的表面积与圆柱表面积的比也是2∶3。如果这个圆柱的底面直径和高都是6厘米，那么这个圆柱形容器中的球的体积( )立方厘米，表面积是( )平方厘米。 5．（20-21六年级下·江苏泰州·期中）一个圆锥和一个圆柱的底面积相等，体积比是1∶5，它们高的比是( )。 6．（23-24六年级下·江苏·期中）一个圆柱的侧面沿高展开后是一个正方形，如果圆柱的底面直径是3厘米，那么高就是3π厘米。( )（判断对错） 7．（23-24六年级下·江苏·期中）一个圆柱形无盖水桶，底面半径是4分米，高是6分米，做这个水桶至少需要用多少平方分米铁皮？（用“进一”法取近似值，得数保留整数）如果用来装水，可以装多少千克水？（每升水重1千克） 8．（23-24六年级下·江苏盐城·期中）某小学举行“爱护地球，从我做起”的活动，某班级制作了一个底面半径是50厘米，高是1米的圆柱形环保箱用来收集废纸。 （1）在环保箱的侧面贴上环保标语，需要贴的面积是多少平方米？ （2）这个环保箱的体积是多少立方分米？ 9．（18-19六年级·江苏泰州·期中）一个圆锥的高和底面半径都等于一个正方体的棱长，已知正方体的体积是24立方厘米，那么圆锥的体积是 立方厘米。 10．（23-24六年级下·江苏盐城·期中）如图，一根长2米，横截面直径是0.6米的木头浮在水面上，且正好是一半露出水面。 （1）这根木头与水接触的面的面积是多少平方米？ （2）如果将这根木头削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是多少立方米？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年六年级下册数学期中考前知识串讲培优讲练（苏教版） 专题02 圆柱和圆锥 （导图+知识精讲+易错点拨+12大考点讲练+优选压轴题专练 共46题） 讲义说明 学前指导 2 导图指引 考点大刚 2 知识精讲 复习回顾 2 知识点01：圆柱、圆锥的认识 2 知识点02：圆柱侧面积的计算方法 3 知识点03：圆柱表面积的计算方法 3 知识点04：圆柱体积的计算方法 3 知识点05：圆锥体积的计算方法 4 知识点06：圆柱和圆锥的横截面理解掌握：★圆柱横截面的分割方法： 4 易错点拨 查漏补缺 4 易错知识点01：圆柱易错知识点 4 易错知识点02：圆锥易错知识点 5 易错知识点03：圆柱与圆锥关系的易错点 5 易错知识点04：应用题高频易错点 5 重点难点 考点讲练 6 考点讲练01：圆柱的特征 6 考点讲练02：圆锥的特征 7 考点讲练03：圆柱的展开图 9 考点讲练04：简单的立方体切拼问题 11 考点讲练05：圆柱的侧面积和表面积 13 考点讲练06：圆柱的体积 15 考点讲练07：圆柱的侧面积、表面积和体积 16 考点讲练08：关于圆柱的应用题 18 考点讲练09：圆锥的体积 20 考点讲练10：关于圆锥的应用题 21 考点讲练11：组合图形的体积 23 考点讲练12：探索某些实物体积的测量方法 25 压轴专练 冲刺拔尖 27 同学你好！学期已经过半，相信你一定学有所获，准备一展身手！这套讲义资料由编者老师精心策划，编辑整理策划排版！非常适用于期中复习及单元复习使用。讲义包含：知识精讲，易错点拨，考点讲练，易错题专练，重点难点优选题，培优巩固和拔尖专练题。板块内容清晰，内容详尽。题目优选2023-2025年近两年名校期中真题。贴近考纲要求，非常有助于学生提升解题思维，强化做题技巧，解析版思路清晰。是学生自学，教师备课的优选资料！ 知识点01：圆柱、圆锥的认识 ①圆柱由一个上底面、一个下底面和一个侧面组成。上下底面是两个完全相同的圆形；侧面是一个曲面。 ②圆柱的高：上下底面之间的距离。圆柱有无数条高，每条高相等。 ③圆锥由一个底面和一个侧面组成。底面是一个圆形；侧面是一个曲面。 ④圆锥的高：圆锥的定点到底面圆心的距离。圆锥只有一条高。 知识点02：圆柱侧面积的计算方法 圆柱的侧面展开图：有可能是长方形，也有可能是正方形。 ①假如是长方形，那么长方形的长 a，就是圆柱底面的周长 C，宽 b 就是圆柱的高h。 长方形的面积 S=a×b=C×h=2πr×h=2πrh，就是圆柱的侧面积。 ②假如是正方形，那么正方形的边长 a 既等于圆柱底面的周长C，也等于圆柱的高h，也就是说底面周长和高相等。 正方形的面积 S=a×a=C×h=2πr×h=2πrh，就是圆柱的侧面积。所以圆柱的侧面积公式=Ch 或者=2πrh 或者=πdh 知识点03：圆柱表面积的计算方法 圆柱的表面积由一个侧面加上两个底面组成，计算方法是S 表=S 侧+2S 底， 因为S 侧=Ch，S 底=πr2，所以 S 表=Ch+2πr2 =2πrh+2πr2 用乘法分配率得圆柱的表面积公式 =2πr(h+r) 知识点04：圆柱体积的计算方法 利用我们以前学过的长方体的体积公式V 长方体=S 底×h，可以得到圆柱的体积公式V 圆柱= S 底×h，长方体的底面积是长方形或正方形，而圆柱的底面积是圆。 相关公式：①已知半径和高，V 圆柱=πr2h ②已知直径和高，V 圆柱=π(d÷2)2h ③已知周长和高，V 圆柱=π(C÷2π)2h 难点解析：把圆柱的底面平均分成n 份，切开后平成一个近似的长方体。得到的结论：圆柱的底面周长等于长方体的两条长的和; 圆柱的半径等于长方体的宽; 圆柱的高等于长方体的高; 圆柱的体积等于长方体的体积; ★圆柱的侧面=长方体的前、后两个面积的和(长×高)；圆柱的上、下底面和等于长方体的上、下底面和(长×宽)，所以圆柱的表面积比长方体的表面积少左右两个侧面(宽×高)。 知识点05：圆锥体积的计算方法 根据书本上的实验可以得到结论：等底等高的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥的 3 倍，或者说圆锥的体积是圆柱的三分之一。 用字母表示为V 圆柱=3V 圆锥或者V 圆锥=1/3V 圆柱。相关公式：只需要在圆柱的相关公式前面乘以三分之一。 ①已知半径和高，V 圆锥=1/3πr2h ②已知直径和高，V 圆锥=1/3π(d÷2)2h ③已知周长和高，V 圆锥=1/3π(C÷2π)2h 知识点06：圆柱和圆锥的横截面理解掌握：★圆柱横截面的分割方法： ① 按底面的直径分割，这样分割的横截面是长方形或者是正方形，如果横截面是正方形说明圆柱的底面直径和高相等。 ② 按平行于底面分割，这样分割的横截面是圆。圆锥横截面的分割方法： ① 按圆锥的高分割，这样分割的横截面是等腰三角形。 ② 按平行于底面分割，这样分割的横截面是圆。 易错知识点01：圆柱易错知识点 1.侧面积与表面积混淆 侧面积公式： 已知底面周长和高：S侧=C×h=2πrh 已知底面直径和高：S侧=πdh 表面积公式：S表=2πr²+2πrh （侧面积+两个底面积） 易错点：忘记加底面积，或误将侧面积直接当作表面积计算 2.体积计算与单位统一 体积公式：V柱=πr²h 易错点： 未统一单位（如直径用厘米，高用米需先转换） 混淆体积与侧面积公式（如用2πrh 计算体积）。 3.展开图与底面关系 侧面沿高展开是长方形（长=底面周长，宽=高）或正方形（当h=2πr h时） 易错点：误以为所有展开图都是正方形，或忽略非沿高展开时的平行四边形情况 4.长方形卷成圆柱的两种方式 以长方形的长为底面周长，宽为高时，体积较大；反之体积较小 易错点：认为两种卷法体积相同 易错知识点02：圆锥易错知识点 1.体积公式漏乘 体积公式：V锥=πr²h 易错点：直接使用圆柱体积公式，未乘 2.高与母线的区别 圆锥的高是从顶点到底面圆心的距离，仅一条；母线是侧面展开扇形的半径，有无数条 易错点：混淆高与母线，导致计算侧面积时用错数值。 3.直角三角形旋转形成圆锥 直角三角形绕一条直角边旋转形成圆锥，另一条直角边为底面半径，斜边为母线 易错点：误认为绕斜边旋转也能形成圆锥。 4.切割后的体积变化 从圆锥高处平行底面切开，小圆锥体积是原体积的，剩余圆台体积为 易错点：误以为切开后体积是原体积的一半。 易错知识点03：圆柱与圆锥关系的易错点 1. 等底等高时的体积关系 圆柱体积是圆锥的3倍，圆锥体积是圆柱的 易错点：未确认等底等高条件直接套用比例。 2. 等体积等底时的比例关系 若圆锥与圆柱体积相等且底面积相同，圆锥高是圆柱的3倍；若高相等，圆锥底面积是圆柱的3倍 易错点：误认为半径或直径的倍数关系。 易错知识点04：应用题高频易错点 1. 不规则物体体积计算 如求圆锥形沙堆重量，需先算体积V锥​，再乘密度 易错点：漏乘密度或单位未统一。 2. 容器容积与表面积区别 计算油桶、水杯等容器用料时用表面积公式，装液体时用体积公式 易错点：混淆两者公式。 3. 图形旋转后的体积比 直角三角形绕不同边旋转形成圆锥，体积比需通过半径和高计算 易错点：未正确分析旋转后的半径与高。 考点讲练01：圆柱的特征 【精讲题】（2024春•六合区期中）一个高是5厘米的圆柱，从正面看正好是一个正方形，说明这个圆柱的　　也是5厘米。 A．底面周长 B．底面直径 C．底面半径 D．无法确定 【思路指引】一个直放的圆柱，从正面（或侧面）看到的是一个长为圆柱底面直径，宽为圆柱高的长方形，一个高5厘米的圆柱从正面看正好是一个正方形，说明这个圆柱底面直径也是5厘米。 【完整解答】解：一个高5厘米的圆柱从正面看正好是一个正方形，说明这个圆柱的底面直径也是5厘米。 故选：。 【考点评析】解答此题的关键是圆柱的特征，一个高4厘米的圆柱从正面看正好是一个正方形，也就是沿这个圆柱的底面直径剖开是一个正方形，高5厘米，底面直径也是5厘米。 【精练题01】（2020春•新沂市校级期中）一个圆柱的底面半径是2厘米，高是2厘米，如果沿高剪开，它的侧面展开图是　长方　形，这个图形的周长是　　厘米，面积是　　平方厘米． 【思路指引】根据“圆柱的侧面展开后是一个长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高”，进而先根据“圆柱的底面周长”求出展开后的长方形的长，然后根据“长方形的周长（长宽）”求出这个图形的周长，根据“长方形的面积长宽”求出长方形的面积． 【完整解答】解：一个圆柱的底面半径是2厘米，高是2厘米，如果沿高剪开，它的侧面展开图是长方形； 周长：， ， （厘米）； 面积：， ， （平方厘米）； 故答案为：长方，29.12，25.12． 【考点评析】解答此题用到的知识点：（1）圆柱的底面周长的计算方法；（2）长方形的周长及面积的计算方法． 【精练题02】（2018春•仪征市校级期中）用一块长25.12厘米，宽18.84厘米的长方形铁皮，配上下面 　　圆形铁片正好可以做成圆柱形容器．（单位；厘米） 【思路指引】由圆柱的侧面展开图的特点可知：圆柱的侧面展开后是一个长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高，因此用长方形铁皮的长和宽分别代入圆的周长公式，即可求出底面直径，从而作出正确选择． 【完整解答】解：（厘米） （厘米） 或（厘米） （厘米） 即底面圆的半径为3厘米或4厘米． 故答案为：． 【考点评析】解答此题的主要依据是：圆柱的侧面展开后是一个长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高． 考点讲练02：圆锥的特征 【精讲题】（2022春•鼓楼区期中）小明在一张正方形卡纸上剪下一个圆形和一个扇形，圆的周长恰好和扇形曲线部分的长度相等，这样刚好围成一个圆锥体模型（如图）。如果圆的半径为，圆锥的母线为，那么　1　　　。 【思路指引】根据围成圆锥后圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长，列出关系式即可得到两者之间的关系。 【完整解答】解：因为扇形的弧长等于圆锥底面周长， 所以 故答案为：1，4。 【考点评析】解答此题的关键是明白：圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长。 【精练题01】（2023春•东台市校级期中）以一个直角三角形的任何一边为轴旋转，都可以得到一个圆锥． 　错误　．（判断对错） 【思路指引】以直角三角形的一条直角边为旋转轴旋转可得到一个圆锥，若以直角三角形的斜边为旋转轴旋转一周则会得到一个不规则的物体． 【完整解答】解：以直角三角形的任意一条直角边为旋转轴旋转一周可得到一个圆锥， 所以题干叙述错误． 故答案为：错误． 【考点评析】解答此题的关键确定旋转图形的旋转轴，然后再确定旋转后得到的物体即可． 【精练题02】（2021春•淮安区校级期中）用一个半径是2厘米半圆做圆锥的侧面（接头处不计），做出的圆锥底面圆的半径为　　 A．6厘米 B．3厘米 C．1厘米 D．无法计算 【思路指引】根据题意，半径是2厘米半圆的弧长，也就是圆锥的底面周长，根据圆的周长公式：，求出半圆的弧长，然后除以即为圆锥的底面半径。 【完整解答】解： （厘米） 答：做出的圆锥底面圆的半径为1厘米。 故选：。 【考点评析】此题主要考查圆锥的特征，明确半圆的弧长也就是圆锥的底面周长是关键。 考点讲练03：圆柱的展开图 【精讲题】（2024春•沛县期中）下面图形中，　　是圆柱的展开图． A． B． C． 【思路指引】根据圆柱体展开图的特点：长方形的长底面周长，利用即可选出正确答案． 【完整解答】解：：底面周长为：，因为长，所以不是圆柱的展开图， ：底面周长为：，因为长，所以不是圆柱展开图， ：底面周长为：，因为长，所以是圆柱展开图， 故选：． 【考点评析】此题是圆柱体展开图特点的应用． 【精练题01】（2023春•溧阳市期中）下面各图中，按图　　剪下两个圆和一个长方形刚好可以围成一个圆柱。（接头处忽略不计）（单位： A． B． C． D． 【思路指引】根据圆柱侧面展开图的特征，圆柱的侧面沿高展开的一个长方形，这个长方形的等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高。根据圆的周长公式：，把数据代入公式求出圆柱的底面周长，然后与侧面展开图的长进行比较即可。 【完整解答】解：、 、 、 、 所以按图剪下两个圆和一个长方形刚好可以围成一个圆柱。 故选：。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握圆柱侧面展开图的特征及应用，圆的周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。 【精练题02】（2024春•南京期中）在方格纸上画出下面圆柱的表面展开图． 【思路指引】应明确圆柱的表面由三部分组成：圆柱的侧面、圆柱的上、下两个底面；由题意可知：该圆柱的底面直径是4厘米，高4厘米，根据“圆柱的侧面展开后是一个长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高”可知：先根据圆的周长求出圆柱侧面展开后的长，宽为圆柱的高；圆柱的上下两个底面为直径为4厘米的圆，画出即可． 【完整解答】解：底面周长：（厘米） 画圆柱表面展开图如下： 【考点评析】此题主要考查了圆柱的表面展开图的画法． 考点讲练04：简单的立方体切拼问题 【精讲题】（2023春•淮安区期中）如图所示，把底面周长18.84厘米、高10厘米的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体，表面积比原来增加了 　60　平方厘米，体积是 　　立方厘米． 【思路指引】圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体后，表面积比原来的圆柱的表面积增加了两个以圆柱的高和半径为边长的长方形的面积，体积与原来圆柱的体积相等，由此即可解答． 【完整解答】解：（厘米）， 表面积增加了：（平方厘米）， 体积是：（立方厘米）， 答：表面积比原来增加了60平方厘米，体积是282.6立方厘米． 故答案为：60，282.6． 【考点评析】抓住圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体的方法，得出表面积中增加的是以圆柱的高和半径为边长的长方形的面积是解决此类问题的关键． 【精练题01】（2024春•海门区期中）把一个高8分米的圆柱体，沿着它的底面直径切成两个部分，表面积增加96平方分米，这个圆柱的体积是 　266.08　立方分米．如果将这个圆柱削成一个圆锥，至少要削去 　　立方分米． 【思路指引】把一个高8分米的圆柱体，沿着它的底面直径切成两个部分，表面积增加96平方分米，这96平方分米是2个长为圆柱底面直径，宽为圆柱高的长方形面积之和，用96平方分米除以2再除以8就是圆柱的底面直径．根据圆柱的体积计算公式“”即半径与直径的关系“”即可求出这个圆柱的体积．把这个圆柱的体积看作单位“，如果将这个圆柱削成一个圆锥，圆锥部分占，削去部分占，根据分数乘法的意义，用圆柱的体积乘就是削去部分的体积． 【完整解答】解：（厘米） （立方厘米） （立方厘米） 答：这个圆柱的体积是266.08立方分米．如果将这个圆柱削成一个圆锥，至少要削去150.72立方分米． 故答案为：226.08，150.72． 【考点评析】解答此题的关键是求出这个圆柱的底直径，进而求出半径，然后再根据圆柱、圆锥的体积计算公式即可计算． 【精练题02】（2024春•盐城期中）把底面直径3厘米，高6厘米的圆柱，沿底面直径切割成两个半圆柱后表面积共增加了　　平方厘米。 A．54 B．36 C．18 【思路指引】把一个圆柱沿底面直径切割成两个半圆柱后，切面是两个完全一样的长方形，长方形的长是圆柱的高，长方形的宽是圆柱的底面直径，根据长方形的面积公式“长宽”计算即可。 【完整解答】解：（平方厘米） 故选：。 【考点评析】剪切会增加表面积，因为面的数目增加。 考点讲练05：圆柱的侧面积和表面积 【精讲题】（2023春•江阴市期中）下面是对同一个圆柱（半径为，高为的两种不同切分（都是平均切成相同的两块）。甲种切法，表面积的和比原来增加 　　；乙种切分，表面积的和比原来增加 　　。 【思路指引】根据图示可知，甲切分后增加了两个圆柱的底面积，圆柱的底面积，据此求出两个底面积，也就是增加的面积；乙切分后增加的是两个长方形的面积，长方形的长是圆柱的高，宽是圆柱的直径；再根据长方形的面积长宽求出长方形的面积，进而求出2个长方形的面积，也就是增加的面积。 【完整解答】解：第一种切割方法，把圆柱切割成两部分后，表面积增加了：； 第二种切割方法，把圆柱切割成两部分后，表面积增加了：。 故答案为：；。 【考点评析】本题考查了额圆柱的侧面积公式及表面积公式的应用。 【精练题01】（2022春•沭阳县期中）如图，将长方形的铁皮沿虚线剪开，正好可以焊接成一个无盖的水桶（接头处忽略不计），这个水桶的容积是 　169.56　升。 【思路指引】通过观察图形可知，做成的圆柱形水桶的底面周长加上底面直径等于24.84分米，设圆柱的底面直径为分米，水桶的高等于底面直径，根据圆的周长公式：，据此可以求出圆柱的底面直径，再根据圆柱的容积公式：，把数据代入公式解答。 【完整解答】解：设圆柱的底面直径为分米， （立方分米） 169.56立方分米升 答：这个水桶的容积是169.56升。 故答案为：169.56。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握圆柱侧面展开图的特征及应用，圆的周长公式、圆柱的容积公式及应用，关键是熟记公式，重点是求出圆柱的底面直径。 【精练题02】（2020春•宿迁期中）一个圆柱底面直径是5分米，把它的侧面沿着高展开正好是一个正方形，这个圆柱的高是　　分米。 A． B． C． D．无法确定 【思路指引】由题意知，圆柱的侧面展开正好是一个正方形，也就是说，它的底面周长和高是相等的，要求圆柱的高，只要求出圆柱的底面周长是多少即可。 【完整解答】解：（分米） 答：这个圆柱的高是分米。 故选：。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握圆柱的特征，明确：如果圆柱的侧面展开是一个正方形，那么这个圆柱的底面周长和高相等。 考点讲练06：圆柱的体积 【精讲题】（2024春•盐城期中）如果圆柱的底面周长扩大3倍，高不变，它的体积扩大　　倍。 A．3 B．9 C．27 D．6 【思路指引】圆的周长圆周率直径圆周率半径，圆的面积圆周率半径的平方，圆的周长扩大到原来的几倍，直径和半径也扩大到原来的几倍，圆的面积扩大到原来的倍数倍数；圆柱体积底面积高，高不变，只考虑底面积扩大到原来的倍数即可。 【完整解答】解： 答：它的体积扩大到原来的9倍。 故选：。 【考点评析】此题主要考查圆的周长公式、圆的面积公式、圆柱的体积公式的灵活运用，因数与积的变化规律及应用，关键是熟记公式。 【精练题01】（2024春•六合区期中）将一根体积为600立方厘米的圆柱形木料削成一个陀螺，陀螺的体积是　　立方厘米。 A．500 B．100 C．700 D．400 【思路指引】根据题图可知，底部削成的圆锥形与圆柱的一半等底等高，再根据圆柱的体积公式：底面积高；圆锥的体积公式：底面积高，由此即可知道削去的部分是圆柱一半体积的，据此求出削去的部分，再用圆柱总体积减去削去的部分即可。 【完整解答】解： （立方厘米） 答：陀螺的体积为400立方厘米。 故选：。 【考点评析】解答本题的关键是结合题图明确底部削成的圆锥形与圆柱的一半等底等高，进而明确削去的部分是圆柱一半的，再进一步解答即可。 【精练题02】（2024春•沭阳县期中）“转化”是一种重要的数学思想，如图四个学习情境中，运用到“转化”思想的一共有　　个。 A．1 B．2 C．3 D．4 【思路指引】依据题意结合图示可知，①将分数的加法转化为图形求和，②将平行四边形的面积公式转化为长方形的面积公式去推导；③将小数除法转化为整数除法去计算；④将圆柱的体积公式推导转化为长方体的体积公式去解答。 【完整解答】解：，①将分数的加法转化为图形求和，②将平行四边形的面积公式转化为长方形的面积公式去推导；③将小数除法转化为整数除法去计算；④将圆柱的体积公式推导转化为长方体的体积公式，运用到“转化”思想的一共有4个。 故选：。 【考点评析】本题考查的是数学学习中转化思想的应用。 考点讲练07：圆柱的侧面积、表面积和体积 【精讲题】（2024春•滨海县期中）一个圆柱的底面半径是4厘米，高是20厘米，沿着底面直径把圆柱切成相等的两部分，表面积增加了　　平方厘米。 A．80 B．160 C．320 D．640 【思路指引】沿圆柱的底面直径和高切成两半，则表面积就增加了两个以底面直径和高为边长的长方形面的面积，由此即可解决问题。 【完整解答】解：（平方厘米） 答：表面积增加了320平方厘米。 故选：。 【考点评析】抓住圆柱沿底面直径切割特点，得出切割后增加的是两个以底面直径和高为边长的长方形面，是解决此类问题的关键。 【精练题01】（2021春•盐城期中）如图，把一个圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体，表面积增加了40平方厘米．圆柱的侧面积是　　平方厘米． A．40 B． C． D． 【思路指引】根据圆柱体积公式的推导过程可知，把圆柱切拼成一个近似长方体后，体积不变．但是拼成的长方体的表面积比圆柱的表面积增加了长方体的左右两个面的面积，长方体左右面的长等于圆柱的高，宽等于圆柱的底面半径，已知表面积增加了40平方厘米，由此可以求出增加的一个面的面积（即圆柱的底面半径高），再根据圆柱的侧面积底面周长高，根据圆的周长公式：，把数据代入公式解答． 【完整解答】解：（平方厘米） 则 圆柱的侧面积（平方厘米） 答：圆柱的侧面积是平方厘米． 故选：。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握圆柱体积公式的推导过程，以及圆柱表面积的意义、圆柱的侧面积公式的灵活运用，关键是熟记公式． 【精练题02】（2024春•沭阳县期中）如图所示，把一根圆柱体木料沿水平方向截去3厘米，那么表面积就比原来减少94.2平方厘米。已知截去部分的体积是原来圆柱体积的，求原来圆柱的体积。 【思路指引】根据题意可知，把一根圆柱体木料沿水平方向截去3厘米，那么表面积就比原来减少94.2平方厘米，表面积减少的是高为3厘米的圆柱的侧面积，根据圆柱的侧面积底面周长高，据此可以求出圆柱的底面周长，进而求出圆柱的底面半径，然后根据圆柱的体积底面积高，把数据代入公式解答。 【完整解答】解： （厘米） （立方厘米） 答：原来圆柱的体积是706.5立方厘米。 【考点评析】此题主要考查圆柱的侧面积公式、圆的周长、圆柱的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 考点讲练08：关于圆柱的应用题 【精讲题】（2024春•沛县期中）蜡烛店出售一种长26厘米、直径为5厘米的圆柱形蜡烛，规格为2根一组，如图摆放整齐，再用一张蓝色包装纸将这2根蜡烛除前后面以外周围一圈都捆装好（纸要绷紧）。如果不考虑接缝的重叠，一组蜡烛至少需要 　668.2　平方厘米的包装纸；如果把这样包装的一组蜡烛放入一个长方体盒子里，这个盒子的体积至少是 　　立方厘米。 【思路指引】求包装纸的面积，即求长为26厘米，宽为圆柱形蜡烛直径的2个长方形面积以及1个圆柱侧面积之和，据此求解； 求包装盒的体积即求长为10厘米，宽为5厘米，高为26厘米的长方体体积，据此解答。 【完整解答】解： （平方厘米） （立方厘米） 答：如果不考虑接缝的重叠，一组蜡烛至少需要668.2平方厘米的包装纸；如果把这样包装的一组蜡烛放入一个长方体盒子里，这个盒子的体积至少是1300立方厘米。 故答案为：668.2；1300。 【考点评析】本题考查了圆柱侧面积以及体积计算的应用。 【精练题01】（2024春•沛县期中）自来水管的内直径是2厘米，水管内水的流速是每秒8厘米。一位同学去洗手，走时忘了关掉水龙头，1分钟浪费 　13564.8　毫升水。 【思路指引】根据圆柱的体积公式：，把数据代入公式求出每秒流出水的体积，然后再乘流水的时间即可。 【完整解答】解：1分钟秒 （立方厘米） 13564.8立方厘米毫升 答：1分钟浪费13564.8毫升水。 故答案为：13564.8。 【考点评析】此题主要考查圆柱体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 【精练题02】（2024春•盐城期中）某小学举行“爱护地球，从我做起”的活动，某班级制作了一个底面半径是50厘米，高是1米的圆柱形环保箱用来收集废纸。 （1）在环保箱的侧面贴上环保标语，需要贴的面积是多少平方米？ （2）这个环保箱的体积是多少立方分米？ 【思路指引】（1）求在圆柱形环保箱侧面贴环保标语的面积，就是求圆柱的侧面积，根据圆柱的侧面积公式求解。注意单位的换算：1米厘米。 （2）求这个环保箱的体积，根据圆柱的体积公式，以及进率“1立方米立方分米”求解。 【完整解答】解：（1）50厘米米 （平方米） 答：需要贴的面积是3.14平方米。 （2） （立方米） 0.785立方米立方分米 答：这个环保箱的体积是785立方分米。 【考点评析】此题主要考查圆柱的侧面积公式、圆柱的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 考点讲练09：圆锥的体积 【精讲题】（2024春•海门区期中）圆锥形容器中有10升水，水的高度是圆锥高度的一半，这个容器还能装　　升水。 A．20 B．80 C．40 D．70 【思路指引】如图，画出圆锥内部的高线与底面半径与液面的半径，这里组成了一个三角形，很显然与的比是，由此设容器中水的底面半径为1，则容器的底面半径为2，求出水的体积与这个容器的容积之比即可解答问题。 【完整解答】解：画出圆锥内部的高线与底面半径与液面的半径，这里组成了一个三角形，很显然与的比是， 设水的底面半径是1，则圆锥容器的底面半径是2； 所以水的体积为：； 容器的容积为：， 所以水的体积与容器的容积之比是：， 水的体积是10升，所以容器的容积是（升 （升 答：这个容器还能装70升水。 故选：。 【考点评析】此题考查了圆锥的体积公式的灵活应用，这里根据题干得出水的底面半径与容器的底面半径之比是解决本题的关键。 【精练题01】（2024春•灌云县期中）一个圆锥的体积是36立方厘米，底面积是9平方厘米。这个圆锥的高是 　12　厘米。 【思路指引】根据圆锥的体积底面积高，解答此题即可。 【完整解答】解：（厘米） 答：这个圆锥的高是12厘米。 故答案为：12。 【考点评析】熟练掌握圆锥的体积公式，是解答此题的关键。 【精练题02】（2024春•盐都区期中）圆柱甲的底面半径是圆锥乙的底面半径的2倍，圆柱甲的高是圆锥乙的高的3倍，若圆柱甲的体积是，则圆锥乙的体积是 　　。 【思路指引】利用圆柱的体积底面半径底面半径高，圆锥的体积底面半径底面半径高，结合题中数据计算圆锥的体积即可。 【完整解答】解：设圆锥乙的底面半径为，则圆柱甲的底面半径为，圆锥乙的高为，则圆柱甲的高为，，则，所以，即圆锥乙的体积是。 故答案为：。 【考点评析】本题考查的是圆柱和圆锥体积公式的应用。 考点讲练10：关于圆锥的应用题 【精讲题】（2024春•盐城期中）一个圆锥形沙堆，底面周长12.56米，高1.2米。如果每立方米沙子重1.7吨，这堆沙子约重多少吨？（得数保留整数） 【思路指引】圆的周长，先用周长除以求出半径，再代入体积公式求出体积，最后用体积乘上1.7吨即可。 【完整解答】解：半径： （米 体积： （立方米） （吨 答：这堆沙子约重9吨。 【考点评析】本题解题的关键是熟练掌握圆锥体积的计算方法。 【精练题01】（2024春•灌云县期中）有一个小麦堆，底面直径是4米，高是6米。每立方米小麦重约0.75吨，用一辆载重3吨的卡车来运，至少几次可以全部运完？（得数保留整数） 【思路指引】根据圆锥的体积公式：，计算出小麦堆的体积，再乘0.75吨，计算出这堆小麦的质量，再除以3吨，即可计算出几次可以运完。 【完整解答】解： （次 答：至少7次可以全部运完。 【考点评析】本题解题的关键是熟练掌握圆锥的体积的计算方法，利用“进一法”取近似数。 【精练题02】（2024春•雨花台区期中）一个近似于圆锥形的碎石堆，底面周长为6.28米，高1.2米。如果每立方米碎石大约重2吨，这堆碎石大约重多少吨？ 【思路指引】要求这堆碎石大约重多少吨，先求得这堆碎石的体积，这堆碎石的形状是圆锥形的，利用圆锥的体积计算公式求出体积，然后用碎石的体积乘每立方米碎石的质量即可。 【完整解答】解： （立方米） （吨 答：这堆碎石大约重2.512吨。 【考点评析】此题考查了学生对圆锥体体积公式的掌握情况，以及利用它来解决实际问题的能力。 考点讲练11：组合图形的体积 【精讲题】（2024春•灌云县期中）如图，以直角梯形中边为轴，将梯形绕轴旋转一周，得到一个立体图形，它的体积是　　立方厘米。 A． B． C． D． 【思路指引】依据题意结合图示可知，这个立体图形的体积等于底面半径是4厘米、高是4厘米的圆柱的体积，加上底面半径是4厘米，高是厘米的圆锥的体积，由此解答本题。 【完整解答】解：（厘米） （立方厘米） 答：图形的体积是立方厘米。 故选：。 【考点评析】本题考查的是组合图形的体积的应用。 【精练题01】（2024春•苏州期中）如图，容器内注入一些细沙，能填满圆锥，还能填部分圆柱（如图所示）。若将这个容器倒立，则沙子的高度是 　7　厘米。 【思路指引】因为等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，所以当圆锥与圆柱的体积相等，底面积相等时，圆柱的高是圆锥高的，据此求出圆锥容器内的沙倒入圆柱容器中沙的高，然后再加上原来圆柱内沙的高度即可。 【完整解答】解： （厘米） 答：沙子的高度是7厘米。 故答案为：7。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系及应用。 【精练题02】（2024春•六合区期中）长征二号遥十三运载火箭整流罩的底面直径为3.2米。科技馆存放着按一定比例制作的长征二号遥十三运载火箭的整流罩模型（如图）。 （1）科技馆制作整流罩模型的比例是多少？ （2）该整流罩模型的体积是多少？ （3）如果用一个长方体玻璃盒来存放这个模型，制作这个玻璃盒至少要多少平方分米的玻璃？ 【思路指引】（1）根据比例尺的意义，图上距离：实际距离比例尺，据此解答。 （2）根据圆锥的体积公式：，圆柱的体积公式：，把数据代入公式解答。 （3）这个盒子的底面边长是4分米，高是16分米，根据长方体的表面积公式：，把数据代入公式解答。 【完整解答】解：4分米：3.2米 分米：32分米 答：科技馆制作整流罩模型的比例是。 （2） （立方分米） 答：该整流罩模型的体积是150.72立方分米。 （3） （平方分米） 答：制作这个玻璃盒至少要288平方分米的玻璃。 【考点评析】此题主要考查的目的是理解掌握比例尺的意义及应用，圆柱、圆锥的体积公式、长方体的表面积公式及应用，关键是熟记公式。 考点讲练12：探索某些实物体积的测量方法 【精讲题】（2024春•洪泽区期中）一个圆柱形容器内装有一些水，现将一个土豆完全浸没在水中（水末溢出），水面升高2厘米，要求这个土豆的体积还需知道　　 A．容器的高度 B．原来水面的高度 C．容器的底面周长 D．现在水面的高度 【思路指引】根据不规则物体体积的测量方法，利用排水法，把不规则物体放入有水的容器中完全浸没（水未溢出），上升部分水的体积就等于这个不规则物体的体积。然后柱体的体积公式解答。 【完整解答】解：由分析得：一个圆柱形容器内装有一些水，现将一个土豆完全浸没在水中（水末溢出），水面升高2厘米，要求这个土豆的体积还需知道容器的底面周长（或容器底面积）。 故选：。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握不规则物体体积的测量方法及应用，圆柱的容积（体积）公式及应用。 【精练题01】（2023春•沛县期中）活动课上，第一小组用这样的实验测量出土豆的体积： 第一步，小红准备一个圆柱形容器，量出这个容器的底面直径是20厘米，高是16厘米；（容器的厚度忽略不计） 第二步，小军在容器中放了一些水，量出水深10厘米； 第三步，芳芳放入一个土豆，土豆全部浸没在水中，这时水面上升到12厘米。 请你帮他们算出土豆的体积是多少立方厘米？ 【思路指引】根据不规则物体体积的计算方法，一般采用“排水法”，也就是把不规则的物体放入盛水的容器中，上升部分水的体积就是这个不规则物体的体积。根据圆柱的体积公式：，把数据代入公式求出上升部分水的体积即为土豆的体积。 【完整解答】解：（厘米） （立方厘米） 答：这个土豆的体积是628立方厘米。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握不规则物体体积的计算方法及应用，解决本题的关键是根据上升的水的体积等于放入物体的体积计算。 【精练题02】（2023春•太仓市期中）小刚进行测量土豆体积的实验，步骤如下： 准备一个底面直径的圆柱形玻璃容器，注入了深的水（如图⑥；放入土豆，浸没在水中，水面上升到处，此时水面距离容器口是（如图⑦；再放入土豆，此时有部分水溢出（如图⑧；取出土豆，这时水面距离容器口（如图⑨。 根据实验情况，请你解决以下问题：（圆周率取 （1）请求出土豆的体积？ （2）豆的体积呢？ （3）放入土豆后，溢出了多少毫升水？ 【思路指引】（1）把土豆放入圆柱形容器中，上升部分水的体积就等于土豆的体积，根据圆柱的体积公式：，把数据代入公式解答。 （2）根据题意可知，土豆的体积等于把土豆取出后下降部分水的体积，根据圆柱的体积公式：，把数据代入公式解答。 （3）溢出水的体积等于土豆 的体积减去图⑦中无水部分的体积。据此解答即可。 【完整解答】解：（1） （立方厘米） 答：土豆的体积是157立方厘米。 （2） （立方厘米） 答：土豆的体积是314立方厘米。 （3） （立方厘米） 235.5立方厘米毫升 答：溢出了235.5毫升水。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握不规则物体体积的测量方法及应用，圆柱的体积公式及应用 1．（24-25六年级上·江苏宿迁·期末）将下图的直角三角形绕着斜边所在的直线旋转一周，得到的图形的体积是（    ）立方厘米。 A．144π B．128π C．76.8π D．无法计算 【答案】C 【思路指引】 如图：，根据三角形面积公式：面积＝底×高÷2，求出三角形的面积；高＝面积×2÷底，据此求出底为10厘米边对应的高，旋转后的图形是两个圆锥的和；两个圆锥的底面半径就是底为10厘米边对应的高，两个圆锥的高的和等于三角形斜边长10厘米，根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，由于两个圆锥的底面半径相等，则两个圆锥的底面积相等；两个圆锥的体积和＝底面积×（两个圆锥的高的和）×，据此求出这个图形的体积。 【完整解答】8×6÷2×2÷10 ＝48÷2×2÷10 ＝24×2÷10 ＝48÷10 ＝4.8（厘米） π×4.82×10× ＝π×23.04×10× ＝230.4π× ＝76.8π（立方厘米） 直角三角形绕着斜边所在的直线旋转一周，得到的图形的体积是76.8π立方厘米。 故答案为：C 2．（23-24六年级下·江苏盐城·期中）把一个圆柱形木料加工成最大的圆锥，削去部分的体积是60立方厘米，原来圆柱的体积是（    ）立方厘米。 A．180 B．120 C．90 D．60 【答案】C 【思路指引】根据题意，把一个圆柱形木料加工成最大的圆锥，则圆锥和圆柱等底等高； 根据V柱＝Sh，V锥＝Sh可知，当圆柱和圆锥等底等高时，圆锥的体积是圆柱体积的； 把圆柱的体积看作单位“1”，最大圆锥的体积占圆柱体积的，那么削去部分的体积占圆柱体积的（1－），单位“1”未知，用削去部分的体积除以（1－），即可求出圆柱的体积。 【完整解答】60÷（1－） ＝60÷ ＝60× ＝90（立方厘米） 原来圆柱的体积是90立方厘米。 故答案为：C 3．（20-21六年级下·江苏泰州·期中）下图中的正方体、圆柱和圆锥底面积相等，高也相等，下面（    ）是正确的。 A．正方体的体积是圆锥体积的3倍 B．圆柱的体积比正方体的体积大 C．圆柱的体积比正方体的体积小 D．圆锥的体积与正方体积相等 【答案】A 【解析】正方体和圆柱底面积相等，高也相等，那么体积必然相等；圆柱和圆锥底面积相等，高也相等，圆柱体积是圆锥的3倍，那么正方体的体积同样是圆锥的3倍。 【完整解答】 所以正方体和圆柱的体积相等，都是圆锥的3倍； 故答案选：A。 【考点评析】对于任何柱体，体积都可以用底面积乘高来计算，对于任何柱体，体积都是与其等底等高的柱体的。 4．（23-24六年级下·江苏盐城·期中）古希腊著名数学家阿基米德发现了“圆柱容球”的几何图形（如图）。在这个图形中，球的体积与圆柱体积的比为2∶3，球的表面积与圆柱表面积的比也是2∶3。如果这个圆柱的底面直径和高都是6厘米，那么这个圆柱形容器中的球的体积( )立方厘米，表面积是( )平方厘米。 【答案】 113.04 113.04 【思路指引】根据圆柱体积＝底面积×高，求出圆柱体积，将比的前后项看成份数，圆柱体积÷对应份数，求出一份数，一份数×球的对应份数＝球的体积，根据圆柱表面积＝底面积×2＋侧面积，求出圆柱表面积，圆柱表面积÷对应份数×球的对应份数＝球的表面积。 【完整解答】3.14×（6÷2）2×6 ＝3.14×9×6 ＝28.26×6 ＝169.56（立方厘米） 169.56÷3×2 ＝56.52×2 ＝113.04（立方厘米） 3.14×（6÷2）2×2＋3.14×6×6 ＝3.14×9×2＋18.84×6 ＝28.26×2＋113.04 ＝56.52＋113.04 ＝169.56（平方厘米） 169.56÷3×2 ＝56.52×2 ＝113.04（平方厘米） 球的体积是113.04立方厘米，球的表面积是113.04平方厘米。 【考点评析】解题的关键是利用球和圆柱的关系，求出球的体积和表面积。 5．（20-21六年级下·江苏泰州·期中）一个圆锥和一个圆柱的底面积相等，体积比是1∶5，它们高的比是( )。 【答案】3∶5 【解析】设圆锥和圆柱的底面积都是1，设圆锥和圆柱的体积分别是1和5，然后求出各自的高，并计算圆锥和圆柱的高之比。 【完整解答】设圆锥和圆柱的底面积都是1，设圆锥和圆柱的体积分别是1和5； 圆柱： 5÷1＝5 圆锥： 1×3÷1＝3 所以圆锥和圆柱的高之比3∶5。 【考点评析】举例子是求解问题常用的方法，举例子的时候，尽可能举简单的、方便计算的例子。 6．（23-24六年级下·江苏·期中）一个圆柱的侧面沿高展开后是一个正方形，如果圆柱的底面直径是3厘米，那么高就是3π厘米。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路指引】一个圆柱的侧面沿高展开后是一个正方形，说明圆柱的底面周长＝高，根据圆的周长＝圆周率×直径，列式计算即可。 【完整解答】π×3＝3π（厘米） 一个圆柱的侧面沿高展开后是一个正方形，如果圆柱的底面直径是3厘米，那么高就是3π厘米，说法正确。 故答案为：√ 7．（23-24六年级下·江苏·期中）一个圆柱形无盖水桶，底面半径是4分米，高是6分米，做这个水桶至少需要用多少平方分米铁皮？（用“进一”法取近似值，得数保留整数）如果用来装水，可以装多少千克水？（每升水重1千克） 【答案】201平方分米；301.44千克 【思路指引】根据题意可知，圆柱形无盖水桶，求水桶至少需要铁皮的面积，就是求这个圆柱形无盖水桶的表面积，根据圆柱的表面积公式：表面积＝底面积＋侧面积，代入数据，求出需要铁皮的面积；再根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，求出圆柱形水桶的体积，再乘1，即可解答。 【完整解答】3.14×42＋3.14×4×2×6 ＝3.14×16＋12.56×2×6 ＝50.24＋150.72 ＝200.96（平方分米） 200.96平方分米≈201平方分米 3.14×42×6×1 ＝3.14×16×6×1 ＝301.44×1 ＝301.44（千克） 答：做这个水桶至少需要用201平方分米铁皮，可以装301.44千克水。 8．（23-24六年级下·江苏盐城·期中）某小学举行“爱护地球，从我做起”的活动，某班级制作了一个底面半径是50厘米，高是1米的圆柱形环保箱用来收集废纸。 （1）在环保箱的侧面贴上环保标语，需要贴的面积是多少平方米？ （2）这个环保箱的体积是多少立方分米？ 【答案】（1）3.14平方米 （2）785立方分米 【思路指引】（1）求在圆柱形环保箱侧面贴环保标语的面积，就是求圆柱的侧面积，根据圆柱的侧面积公式S侧＝2πrh求解。注意单位的换算：1米＝100厘米。 （2）求这个环保箱的体积，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，以及进率“1立方米＝1000立方分米”求解。 【完整解答】（1）50厘米＝0.5米 2×3.14×0.5×1＝3.14（平方米） 答：需要贴的面积是3.14平方米。 （2）3.14×0.52×1 ＝3.14×0.25×1 ＝0.785（立方米） 0.785立方米＝785立方分米 答：这个环保箱的体积是785立方分米。 9．（18-19六年级·江苏泰州·期中）一个圆锥的高和底面半径都等于一个正方体的棱长，已知正方体的体积是24立方厘米，那么圆锥的体积是 立方厘米。 【答案】25.12 【思路指引】设圆锥的底面半径和高都是r厘米，则正方体的棱长也是r厘米；圆锥的体积＝×3.14×r2×r＝×3.14×r3；正方体的体积＝r3＝24立方厘米，把r3＝24立方厘米代入圆锥的体积公式中即可解决问题。 【完整解答】设圆锥的底面半径和高都是r厘米，则正方体的棱长也是r厘米。 正方体的体积＝r3＝24立方厘米 圆锥的体积：×3.14×r2×r ＝×3.14×r3； ＝×3.14×24 ＝25.12（立方厘米） 【考点评析】此题考查了圆锥与正方体的体积公式的计算应用，这里把r3＝24作为等量代换的量是解决本题的关键。 10．（23-24六年级下·江苏盐城·期中）如图，一根长2米，横截面直径是0.6米的木头浮在水面上，且正好是一半露出水面。 （1）这根木头与水接触的面的面积是多少平方米？ （2）如果将这根木头削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是多少立方米？ 【答案】（1）2.1666平方米 （2）0.1884立方米 【思路指引】（1）求这根木头与水接触面的面积，就是这个圆柱体木头表面积的一半，根据圆柱的表面积公式：表面积＝底面积×2＋侧面积，代入数据，求出圆柱的表面积，再除以2，即可； （2）将这根木头削成一个最大的圆锥，圆锥与圆柱是等底等高，根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×；代入数据，即可解答。 【完整解答】（1）3.14×（0.6÷2）2×2＋3.14×0.6×2 ＝3.14×0.32×2＋1.884×2 ＝3.14×0.09×2＋3.768 ＝0.2826×2＋3.768 ＝0.5652＋3.768 ＝4.3332（平方米） 4.3332÷2＝2.1666（平方米） 答：这根木头与水接触的面的面积是2.1666平方米。 （2）3.14×（0.6÷2）2×2× ＝3.14×0.32×2× ＝3.14×0.09×2× ＝0.2826×2× ＝0.5652× ＝0.1884（立方米） 答：圆锥的体积是0.1884立方米。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$