专题03 圆柱和圆锥（单元讲义）-2024-2025学年人教版数学六年级下册期中考前知识串讲培优讲练（学生版+教师版）

2024-2025学年六年级下册数学期中考前知识串讲培优讲练（人教版） 专题03 圆柱和圆锥 （导图+知识精讲+易错点拨+9大考点讲练+优选压轴题专练 共37题） 讲义说明 学前指导 2 导图指引 考点大刚 2 知识精讲 复习回顾 2 知识梳理点01：面的旋转、圆柱和圆锥的特征 2 知识梳理点02：圆柱的表面积 3 知识梳理点03：圆柱的体积 3 知识梳理点04：圆锥的体积 4 易错点拨 查漏补缺 4 易错知识点01：圆柱易错知识点 4 易错知识点02：圆锥易错知识点 5 易错知识点03：圆柱与圆锥关系的易错点 5 易错知识点04：应用题高频易错点 5 重点难点 考点讲练 6 考点讲练01：圆柱的特征 6 考点讲练02：圆锥的特征 6 考点讲练03：圆柱的展开图 7 考点讲练04：圆柱的侧面积和表面积 8 考点讲练05：圆柱的体积 8 考点讲练06：圆柱的侧面积、表面积和体积 9 考点讲练07：圆锥的体积 10 考点讲练08：组合图形的体积 10 考点讲练09：探索某些实物体积的测量方法 12 压轴专练 拔尖冲刺 13 同学你好！学期已经过半，相信你一定学有所获，准备一展身手！这套讲义资料由编者老师精心策划，编辑整理策划排版！非常适用于期中复习及单元复习使用。讲义包含：知识精讲，易错点拨，考点讲练，易错题专练，重点难点优选题，培优巩固和拔尖专练题。板块内容清晰，内容详尽。题目优选2023-2025年近两年名校期中真题。贴近考纲要求，非常有助于学生提升解题思维，强化做题技巧，解析版思路清晰。是学生自学，教师备课的优选资料！ 知识梳理点01：面的旋转、圆柱和圆锥的特征 1. 点的运动形成线，线的运动形成面，面的运动形成体，这就是“点、线、面、体”之间的关系，这个关系可以简记为“点动成线，线动成面，面动成体”。 2.圆柱是由2个大小相同的圆面和1个曲面围成的，圆柱上下粗细均匀。圆锥是由1个圆面和1个曲面围成的。 3.圆柱的特征：（1）圆柱有两个底面和一个侧面；（2）两个底面是完全相同的圆，侧面是一个曲面；（3）圆柱有无数条高，所有的高都相等。 圆锥的特征：（1）圆锥有一个底面和一个侧面；（1）圆锥的底面是一个圆，侧面是一个曲面；（3）圆锥只有一条高。 4. 圆柱和圆锥的切面： （1）把圆柱平行于底面横切，切面是大小相同的圆；沿底面直径纵切，切面是大小相同的长方形。（2）把圆锥横切，每个切面是圆，但大小不同；沿底面直径纵切，切面是大小相同的等腰三角形。 知识梳理点02：圆柱的表面积 1.如果用S表表示圆柱的表面积，S侧 表示圆柱的侧面积，S底 表示圆柱的底面积，d表示底面的直径，r表示底面的半径，h表示圆柱的高，那么圆柱的表面积的计算公式可以表示为 S表=S侧+2S底 或S表=πdh+2π（d÷2）2或S表=2πrh+2πr2 2. 在解决实际问题时，并不是所有的圆柱形物体都有两个底面，有的只有一个底面，有的没有底面，解题时要根据实际情况选择合适的解题方法。 3. 用同一张长方形纸片可以围成底面积不同的两个圆柱。用宽作为圆柱的底面周长，所围成的圆柱的底面积小；用长作为圆柱的底面周长，所围成的圆柱的底面积大。 4. 横截圆柱后求表面积时，侧面积不变，底面积会发生变化，变化的规律是每截一次增加两个底面，截的次数比截成的段数少1。 知识梳理点03：圆柱的体积 1. 圆柱的体积=底面积×高，用字母表示是V=Sh。 2. 计算一个圆柱的体积时，如果已知这个圆柱的高和底面半径或底面直径或底面周长，要先求出底面积，再求体积，也可以列综合算式计算。 （1）已知圆柱的底面积S和高h，求圆柱体积的计算方法：V=Sh。 （2）已知圆柱的底面半径r和高h，求圆柱体积的计算方法：V=πr2h （3）已知圆柱的底面直径d和高h，求圆柱体积的计算方法：V=π（d÷2）2h （4）已知圆柱的底面周长C和高h，求圆柱体积的计算方法：V=π（C÷π÷2）2h 3. 物体完全浸没在水中，物体的体积等于升高的那部分水的体积。 应用等量代换法可以将不规则物体的体积计算转化为圆柱的体积计算。 利用体积不变的特性，应用转化的思想方法，把不规则的图形转化为规则的图形来计算，能帮助我们解决许多生活中的复杂问题。 知识梳理点04：圆锥的体积 1.圆锥的体积是与它等底等高的圆柱体积的。。 2.圆锥体积的计算方法： （1）已知底面半径r和高h，求圆锥体积的方法：V=πr2h； （2）已知底面直径d和高h，求圆锥体积的方法：V=π（d÷2）2h； （3）已知底面周长C和高h，求圆锥体积的方法：V=π（C÷x÷2）2h 3. 圆柱和圆锥的体积与高分别相等，则它们的底面积之间的关系是Sm推=3Sm壮；圆柱和圆锥的体积与底面积分别相等，则它们的高之间的关系是h锥=3h柱。 易错知识点01：圆柱易错知识点 1.侧面积与表面积混淆 侧面积公式： 已知底面周长和高：S侧=C×h=2πrh 已知底面直径和高：S侧=πdh 表面积公式：S表=2πr²+2πrh （侧面积+两个底面积） 易错点：忘记加底面积，或误将侧面积直接当作表面积计算 2.体积计算与单位统一 体积公式：V柱=πr²h 易错点： 未统一单位（如直径用厘米，高用米需先转换） 混淆体积与侧面积公式（如用2πrh 计算体积）。 3.展开图与底面关系 侧面沿高展开是长方形（长=底面周长，宽=高）或正方形（当h=2πr h时） 易错点：误以为所有展开图都是正方形，或忽略非沿高展开时的平行四边形情况 4.长方形卷成圆柱的两种方式 以长方形的长为底面周长，宽为高时，体积较大；反之体积较小 易错点：认为两种卷法体积相同 易错知识点02：圆锥易错知识点 1.体积公式漏乘 体积公式：V锥=πr²h 易错点：直接使用圆柱体积公式，未乘 2.高与母线的区别 圆锥的高是从顶点到底面圆心的距离，仅一条；母线是侧面展开扇形的半径，有无数条 易错点：混淆高与母线，导致计算侧面积时用错数值。 3.直角三角形旋转形成圆锥 直角三角形绕一条直角边旋转形成圆锥，另一条直角边为底面半径，斜边为母线 易错点：误认为绕斜边旋转也能形成圆锥。 4.切割后的体积变化 从圆锥高处平行底面切开，小圆锥体积是原体积的，剩余圆台体积为 易错点：误以为切开后体积是原体积的一半。 易错知识点03：圆柱与圆锥关系的易错点 1. 等底等高时的体积关系 圆柱体积是圆锥的3倍，圆锥体积是圆柱的 易错点：未确认等底等高条件直接套用比例。 2. 等体积等底时的比例关系 若圆锥与圆柱体积相等且底面积相同，圆锥高是圆柱的3倍；若高相等，圆锥底面积是圆柱的3倍 易错点：误认为半径或直径的倍数关系。 易错知识点04：应用题高频易错点 1. 不规则物体体积计算 如求圆锥形沙堆重量，需先算体积V锥​，再乘密度 易错点：漏乘密度或单位未统一。 2. 容器容积与表面积区别 计算油桶、水杯等容器用料时用表面积公式，装液体时用体积公式 易错点：混淆两者公式。 3. 图形旋转后的体积比 直角三角形绕不同边旋转形成圆锥，体积比需通过半径和高计算 易错点：未正确分析旋转后的半径与高。 考点讲练01：圆柱的特征 【精讲题】（2024春•六合区期中）一个高是5厘米的圆柱，从正面看正好是一个正方形，说明这个圆柱的　　也是5厘米。 A．底面周长 B．底面直径 C．底面半径 D．无法确定 【精练题01】（2024春•兴隆县期中）如图，用丝带捆扎一个礼品盒，打结处长20厘米，要捆扎这个礼品盒，至少准备　　厘米的丝带比较合理。 A．340 B．1160 C．180 D．320 【精练题02】（2024春•黄陂区期中）圆锥有一条高，圆柱有无数条高．　　．（判断对错） 考点讲练02：圆锥的特征 【精讲题】（2024春•雨花区校级期中）下列关于圆柱圆锥的说法正确的是　　 A．圆柱的高是两底圆心之间的距离，所以圆柱只有一条高。 B．将圆柱沿横截面平均分成三段，表面积增加6个底面。 C．以直角三角形一条直角边为轴旋转得到圆锥，这条直角边就是圆锥的高。 D．我们没有学习圆锥的表面积是因为圆锥没有表面积。 【精练题01】（2024春•高密市期中）在一张正方形纸片上剪下一个圆和一个扇形（如图所示），恰好能围成一个圆锥模型。如果扇形的半径为，那么圆的半径为　　。 A．1 B．3 C．2 D．9 【精练题02】（2024春•灵宝市期中）粽子是由粽叶包裹糯米蒸制而成的食品，是中华民族传统节庆食物之一。如图所示是外形类似圆锥的粽子，该粽子有 　　条高，高是 　　厘米，底面周长是 　　厘米。 考点讲练03：圆柱的展开图 【精讲题】（2024春•南海区校级期中）一个圆柱的高等于底面周长，把这圆柱沿底面直径竖直切开，切开后截面是　　 A．正方形 B．长是宽的2倍的长方形 C．长是宽的倍的长方形 D．无法确定 【精练题01】（2024春•东莞市期中）如图是小萌制作的圆柱展开图，这个圆柱的高是　　 A． B． C． D． 【精练题02】（2021春•黄冈期中）李老师用一张面积为的长方形纸板制作一个圆柱形教具，剪裁如图，所要做的圆柱的底面半径是多少厘米？ （1）通过李老师的提示：长方形纸板的长是 　个圆柱底面半径的长度，宽是 　　个圆柱底面半径的长度。 （2）求出圆柱的底面半径。 考点讲练04：圆柱的侧面积和表面积 【精讲题】（2024春•东海县期中）如图，把一个底面半径是的圆柱，切拼成一个近似的长方体，长方体的表面积比原来增加了，原来圆柱的高是　　。 A． B．10 C． D．5 【精练题01】（2024春•高新区期中）把一个底面半径是，高是的圆柱，切成两个完全一样的半圆柱后，表面积增加了　　。 A．15 B．30 C．60 D．20 【精练题02】（2024春•瑞安市期中）树干刷石灰水可以有效防止病虫害。张叔叔准备给一棵树干近似圆柱形，底面直径2分米的树，刷15分米高的石灰水来预防病虫害。那么，刷石灰水部分的面积是 　。 考点讲练05：圆柱的体积 【精讲题】（2024春•盐城期中）如果圆柱的底面周长扩大3倍，高不变，它的体积扩大　　倍。 A．3 B．9 C．27 D．6 【精练题01】（2024春•湖里区期中）一个瓶子里装有一些水，把瓶盖拧紧倒置放平（如图），根据图中的数据可以计算出瓶中水的体积占瓶子容积的　　 A． B． C． D． 【精练题02】（2021春•德州期中）如图，把一个圆柱的侧面沿着它的一条高展开，可以得到一个边长的正方形。（提示：是一个无限不循环小数，我们通常计算时使用的是它保留两位小数的近似数3.14。 （1）这个圆柱的体积是多少立方厘米？ （2）如图，把这个圆柱转化成一个近似的长方体。 ①长方体的长　 ，长方体的宽　　，长方体的体积　　。 ②长方体的表面积比圆柱的表面积增加了多少平方厘米？（列式解答） 考点讲练06：圆柱的侧面积、表面积和体积 【精讲题】（2024春•高新区期中）用长30厘米、宽20厘米的长方形纸围成尽量大的圆柱，两种不同围法所得到的圆柱　　相等。 A．高 B．体积 C．底面积 D．侧面积 【精练题01】（2024春•方城县期中）一个长方形的长是8厘米，宽是6厘米，如图所示，以长为轴旋转一周形成圆柱甲，以宽为轴旋转一周形成圆柱乙。下面说法正确的是　　 ①圆柱甲的底面积比圆柱乙的底面积大。 ②圆柱甲的侧面积与圆柱乙的侧面积相等。 ③圆柱甲的表面积与圆柱乙的表面积相等。 ④圆柱甲的体积比圆柱乙的体积小。 A．②③ B．②④ C．①② 【精练题02】（2024春•南海区期中）如图所示把圆柱沿高切成若干偶数等份，拼起来就是一个近似的长方体。这个长方体的高为，它的表面积比圆柱多。圆柱的体积是 　，表面积是 　　。 考点讲练07：圆锥的体积 【精讲题】（2024春•高新区期中）下面四个立体图形，体积最大的是　　 A． B． C． D． 【精练题01】（2024春•青秀区校级期中）有3个木块，分别是正方体、圆柱和圆锥。通过测量，发现他们的底面积相等，高也相等。下面说法错误的是　　 A．在这3个木块中，圆锥的体积最小 B．在这3个木块中，圆锥的体积是正方体体积的 C．在这3个木块中，正方体的体积比圆柱的体积大 D．在这3个木块中，圆柱的体积是圆锥体积的3倍 【精练题02】（2024春•滨海县期中）一个圆锥和一个圆柱高相等，体积的比是。如果圆锥的底面积是12.56平方厘米，圆柱的底面积是 　 平方厘米；如果圆柱的底面积是12.56平方厘米，圆锥的底面积是 　　平方厘米。 考点讲练08：组合图形的体积 【精讲题】（2024春•灌云县期中）如图，以直角梯形中边为轴，将梯形绕轴旋转一周，得到一个立体图形，它的体积是　　立方厘米。 A． B． C． D． 【精练题01】．（2024春•苏州期中）如图，容器内注入一些细沙，能填满圆锥，还能填部分圆柱（如图所示）。若将这个容器倒立，则沙子的高度是 　　厘米。 【精练题02】（2024春•福清市期中）长征二号遥十三运载火箭整流罩的底面直径为3.2米。科技馆存放着按一定比例制作的长征二号遥十三运载火箭的整流罩模型（如图）。 （1）科技馆制作整流罩模型的比例是多少？ （2）该整流罩模型的体积是多少？ （3）如果用一个长方体玻璃盒来存放这个模型，制作这个玻璃盒至少要多少平方分米的玻璃？ 考点讲练09：探索某些实物体积的测量方法 【精讲题】（2024春•西峡县期中）在解决下面这些问题时，是运用了“转化”策略的有　　 ①排水法求钢球体积 ② ③圆面积计算公式推导 ④圆柱的体积公式推导 A．①② B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【精练题01】（2024春•德江县期中）在一节数学活动课上，同学们进行实践操作（如下图，玻璃厚度忽略不计）。先将一些水倒在一个长方体的玻璃容器内，然后把一个底面半径是的圆柱形铁块完全浸入水中，发现水面上升了；最后将这个铁块垂直拉出水面，这时水面下降。通过这个实践操作，可以计算出这个铁块的体积是 　 立方厘米，这个铁块的体积占玻璃容器容积的 　　。 【精练题02】（2024春•仓山区期中）一个圆柱形玻璃容器里装有水，水中浸没着一个底面直径为，高为的圆锥形铁块（如图），如果把铁块从水中取出，那么容器中的水面高度将下降多少厘米？ 1．（22-23六年级下·浙江·期中）图中长方形ABCD绕CD所在直线旋转一周后，甲、乙两部分所形成的立体图形的体积比是（    ）。 A．12∶1 B．11∶1 C．3∶1 D．4∶1 2．（22-23六年级下·湖北武汉·期中）一个长方形的长是8厘米，宽是6厘米，如图所示，以长为轴旋转一周形成圆柱甲，以宽为轴旋转一周形成圆柱乙。下面说法正确的是（    ）。 ①圆柱甲的底面积比圆柱乙的底面积大 ②圆柱甲的侧面积与圆柱乙的侧面积相等 ③圆柱甲的表面积与圆柱乙的表面积相等 ④圆柱甲的体积比圆柱乙的体积小 A．①③ B．②④ C．①② D．③④ 3．（22-23六年级下·河南南阳·期中）一个圆柱体的侧面沿高展开是一个正方形，如果这个圆柱的高降低3cm，则体积比原来减少9.42cm3，原来圆柱的体积是（    ）cm3。 A．19.1792 B．2.4649 C．19.7192 4．（21-22六年级下·福建莆田·期中）一段圆木，如果截成两段圆柱，表面积增加了12.56dm2；如果沿着直径劈成两个半圆柱（如图），表面积增加了120dm2，这个圆柱的表面积是( )dm2。 5．（22-23六年级下·湖南常德·期中）一个圆柱侧面展开后是一个周长是25.12厘米的正方形，这个圆柱表面积是( )平方厘米。 6．（22-23六年级下·山东济南·期中）赵师傅向下图所示的空容器（由上、下两个圆柱组成）中匀速注油，正好注满。注油过程中，容器中油的高度与所用时间的关系如图所示。 (1)把下面的大圆柱注满需( )分钟。 (2)上面小圆柱高( )cm。 (3)如果上图下面的大圆柱底面积是48cm2，那么大圆柱的体积是( )cm3，上面小圆柱的底面积是( )cm2。 7．（22-23六年级下·河南三门峡·期中）已知半圆柱的底面直径是10厘米，求下面图形的体积和表面积。 8．（23-24六年级下·广东佛山·期中）如图，将直角梯形ABCD以高AB所在直线为轴旋转一周，形成一个圆台，你能算出这个圆台的体积吗？ 9．（22-23六年级下·江西赣州·期末）如图所示，有一块长方形铁皮，把其中的阴影部分剪下制成一个圆柱形油桶。（接口处忽略不计）    （1）圆柱形油桶的表面积是多少平方分米？ （2）圆柱形油桶的体积是多少立方分米？ 10．（2015六年级·全国·竞赛）一个透明的封闭盛水容器，由一个圆柱体和一个圆锥体组成，圆柱体的底面直径和高都是12厘米。其内有一些水，正放时水面离容器顶厘米，倒放时水面离顶部5厘米，那么这个容器的容积是多少立方厘米？（） 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年六年级下册数学期中考前知识串讲培优讲练（人教版） 专题03 圆柱和圆锥 （导图+知识精讲+易错点拨+9大考点讲练+优选压轴题专练 共37题） 讲义说明 学前指导 2 导图指引 考点大刚 2 知识精讲 复习回顾 2 知识梳理点01：面的旋转、圆柱和圆锥的特征 2 知识梳理点02：圆柱的表面积 3 知识梳理点03：圆柱的体积 3 知识梳理点04：圆锥的体积 4 易错点拨 查漏补缺 4 易错知识点01：圆柱易错知识点 4 易错知识点02：圆锥易错知识点 5 易错知识点03：圆柱与圆锥关系的易错点 5 易错知识点04：应用题高频易错点 5 重点难点 考点讲练 6 考点讲练01：圆柱的特征 6 考点讲练02：圆锥的特征 7 考点讲练03：圆柱的展开图 9 考点讲练04：圆柱的侧面积和表面积 10 考点讲练05：圆柱的体积 12 考点讲练06：圆柱的侧面积、表面积和体积 14 考点讲练07：圆锥的体积 17 考点讲练08：组合图形的体积 19 考点讲练09：探索某些实物体积的测量方法 21 压轴专练 拔尖冲刺 24 同学你好！学期已经过半，相信你一定学有所获，准备一展身手！这套讲义资料由编者老师精心策划，编辑整理策划排版！非常适用于期中复习及单元复习使用。讲义包含：知识精讲，易错点拨，考点讲练，易错题专练，重点难点优选题，培优巩固和拔尖专练题。板块内容清晰，内容详尽。题目优选2023-2025年近两年名校期中真题。贴近考纲要求，非常有助于学生提升解题思维，强化做题技巧，解析版思路清晰。是学生自学，教师备课的优选资料！ 知识梳理点01：面的旋转、圆柱和圆锥的特征 1. 点的运动形成线，线的运动形成面，面的运动形成体，这就是“点、线、面、体”之间的关系，这个关系可以简记为“点动成线，线动成面，面动成体”。 2.圆柱是由2个大小相同的圆面和1个曲面围成的，圆柱上下粗细均匀。圆锥是由1个圆面和1个曲面围成的。 3.圆柱的特征：（1）圆柱有两个底面和一个侧面；（2）两个底面是完全相同的圆，侧面是一个曲面；（3）圆柱有无数条高，所有的高都相等。 圆锥的特征：（1）圆锥有一个底面和一个侧面；（1）圆锥的底面是一个圆，侧面是一个曲面；（3）圆锥只有一条高。 4. 圆柱和圆锥的切面： （1）把圆柱平行于底面横切，切面是大小相同的圆；沿底面直径纵切，切面是大小相同的长方形。（2）把圆锥横切，每个切面是圆，但大小不同；沿底面直径纵切，切面是大小相同的等腰三角形。 知识梳理点02：圆柱的表面积 1.如果用S表表示圆柱的表面积，S侧 表示圆柱的侧面积，S底 表示圆柱的底面积，d表示底面的直径，r表示底面的半径，h表示圆柱的高，那么圆柱的表面积的计算公式可以表示为 S表=S侧+2S底 或S表=πdh+2π（d÷2）2或S表=2πrh+2πr2 2. 在解决实际问题时，并不是所有的圆柱形物体都有两个底面，有的只有一个底面，有的没有底面，解题时要根据实际情况选择合适的解题方法。 3. 用同一张长方形纸片可以围成底面积不同的两个圆柱。用宽作为圆柱的底面周长，所围成的圆柱的底面积小；用长作为圆柱的底面周长，所围成的圆柱的底面积大。 4. 横截圆柱后求表面积时，侧面积不变，底面积会发生变化，变化的规律是每截一次增加两个底面，截的次数比截成的段数少1。 知识梳理点03：圆柱的体积 1. 圆柱的体积=底面积×高，用字母表示是V=Sh。 2. 计算一个圆柱的体积时，如果已知这个圆柱的高和底面半径或底面直径或底面周长，要先求出底面积，再求体积，也可以列综合算式计算。 （1）已知圆柱的底面积S和高h，求圆柱体积的计算方法：V=Sh。 （2）已知圆柱的底面半径r和高h，求圆柱体积的计算方法：V=πr2h （3）已知圆柱的底面直径d和高h，求圆柱体积的计算方法：V=π（d÷2）2h （4）已知圆柱的底面周长C和高h，求圆柱体积的计算方法：V=π（C÷π÷2）2h 3. 物体完全浸没在水中，物体的体积等于升高的那部分水的体积。 应用等量代换法可以将不规则物体的体积计算转化为圆柱的体积计算。 利用体积不变的特性，应用转化的思想方法，把不规则的图形转化为规则的图形来计算，能帮助我们解决许多生活中的复杂问题。 知识梳理点04：圆锥的体积 1.圆锥的体积是与它等底等高的圆柱体积的。。 2.圆锥体积的计算方法： （1）已知底面半径r和高h，求圆锥体积的方法：V=πr2h； （2）已知底面直径d和高h，求圆锥体积的方法：V=π（d÷2）2h； （3）已知底面周长C和高h，求圆锥体积的方法：V=π（C÷x÷2）2h 3. 圆柱和圆锥的体积与高分别相等，则它们的底面积之间的关系是Sm推=3Sm壮；圆柱和圆锥的体积与底面积分别相等，则它们的高之间的关系是h锥=3h柱。 易错知识点01：圆柱易错知识点 1.侧面积与表面积混淆 侧面积公式： 已知底面周长和高：S侧=C×h=2πrh 已知底面直径和高：S侧=πdh 表面积公式：S表=2πr²+2πrh （侧面积+两个底面积） 易错点：忘记加底面积，或误将侧面积直接当作表面积计算 2.体积计算与单位统一 体积公式：V柱=πr²h 易错点： 未统一单位（如直径用厘米，高用米需先转换） 混淆体积与侧面积公式（如用2πrh 计算体积）。 3.展开图与底面关系 侧面沿高展开是长方形（长=底面周长，宽=高）或正方形（当h=2πr h时） 易错点：误以为所有展开图都是正方形，或忽略非沿高展开时的平行四边形情况 4.长方形卷成圆柱的两种方式 以长方形的长为底面周长，宽为高时，体积较大；反之体积较小 易错点：认为两种卷法体积相同 易错知识点02：圆锥易错知识点 1.体积公式漏乘 体积公式：V锥=πr²h 易错点：直接使用圆柱体积公式，未乘 2.高与母线的区别 圆锥的高是从顶点到底面圆心的距离，仅一条；母线是侧面展开扇形的半径，有无数条 易错点：混淆高与母线，导致计算侧面积时用错数值。 3.直角三角形旋转形成圆锥 直角三角形绕一条直角边旋转形成圆锥，另一条直角边为底面半径，斜边为母线 易错点：误认为绕斜边旋转也能形成圆锥。 4.切割后的体积变化 从圆锥高处平行底面切开，小圆锥体积是原体积的，剩余圆台体积为 易错点：误以为切开后体积是原体积的一半。 易错知识点03：圆柱与圆锥关系的易错点 1. 等底等高时的体积关系 圆柱体积是圆锥的3倍，圆锥体积是圆柱的 易错点：未确认等底等高条件直接套用比例。 2. 等体积等底时的比例关系 若圆锥与圆柱体积相等且底面积相同，圆锥高是圆柱的3倍；若高相等，圆锥底面积是圆柱的3倍 易错点：误认为半径或直径的倍数关系。 易错知识点04：应用题高频易错点 1. 不规则物体体积计算 如求圆锥形沙堆重量，需先算体积V锥​，再乘密度 易错点：漏乘密度或单位未统一。 2. 容器容积与表面积区别 计算油桶、水杯等容器用料时用表面积公式，装液体时用体积公式 易错点：混淆两者公式。 3. 图形旋转后的体积比 直角三角形绕不同边旋转形成圆锥，体积比需通过半径和高计算 易错点：未正确分析旋转后的半径与高。 考点讲练01：圆柱的特征 【精讲题】（2024春•六合区期中）一个高是5厘米的圆柱，从正面看正好是一个正方形，说明这个圆柱的　　也是5厘米。 A．底面周长 B．底面直径 C．底面半径 D．无法确定 【思路点拨】一个直放的圆柱，从正面（或侧面）看到的是一个长为圆柱底面直径，宽为圆柱高的长方形，一个高5厘米的圆柱从正面看正好是一个正方形，说明这个圆柱底面直径也是5厘米。 【规范解答】解：一个高5厘米的圆柱从正面看正好是一个正方形，说明这个圆柱的底面直径也是5厘米。 故选：。 【考点评析】解答此题的关键是圆柱的特征，一个高4厘米的圆柱从正面看正好是一个正方形，也就是沿这个圆柱的底面直径剖开是一个正方形，高5厘米，底面直径也是5厘米。 【精练题01】（2024春•兴隆县期中）如图，用丝带捆扎一个礼品盒，打结处长20厘米，要捆扎这个礼品盒，至少准备　　厘米的丝带比较合理。 A．340 B．1160 C．180 D．320 【思路点拨】通过观察，捆扎这个盒子至少用去丝带4个礼品盒底面直径和4个礼品盒高，再加上打结用去丝带长20厘米，由此得解。 【规范解答】解： （厘米） 答：至少准备340厘米的丝带比较合理。 故选：。 【考点评析】此题要求学生要有空间想象力，能够想到底面和背面也有和我们现在看到的一样多的丝带。 【精练题02】（2024春•黄陂区期中）圆锥有一条高，圆柱有无数条高．　　．（判断对错） 【思路点拨】根据圆锥、圆柱高的意义，从圆锥的顶点到底面圆心的距离叫做圆锥的高，圆锥只有一条高；圆柱上下底面之间的距离叫做圆柱的高，圆柱有无数条高．据此判断． 【规范解答】解：圆锥只有一条高，圆柱有无数条高．这种说法是正确的． 故答案为：． 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握圆锥、圆柱高的意义，明确：圆锥只有一条高，圆柱有无数条高． 考点讲练02：圆锥的特征 【精讲题】（2024春•雨花区校级期中）下列关于圆柱圆锥的说法正确的是　　 A．圆柱的高是两底圆心之间的距离，所以圆柱只有一条高。 B．将圆柱沿横截面平均分成三段，表面积增加6个底面。 C．以直角三角形一条直角边为轴旋转得到圆锥，这条直角边就是圆锥的高。 D．我们没有学习圆锥的表面积是因为圆锥没有表面积。 【思路点拨】．根据圆柱的高的含义：圆柱两个底面之间的距离，叫作圆柱的高； ．根据圆柱的切割特点可知：把圆柱锯成三段，切了次，表面积增加了个圆柱的底面积（横截面积）； ．一个直角三角形以一条直角边为轴旋转，会得到一个圆锥。圆锥只有一个底面，是一个圆形。圆锥的侧面是一个曲面，从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高； ．根据表面积的含义：立体图形的所有面的面积之和叫作表面积；据此解答。 【规范解答】解：．一个圆柱体有无数条高，选项说法错误； ． （面 将圆柱沿横截面平均分成三段，表面积增加4个底面，选项说法错误； ．以直角三角形一条直角边为轴旋转得到圆锥，这条直角边就是圆锥的高，选项说法正确； ．圆锥属于立体图形，即圆锥有表面积，选项说法错误。 故选：。 【考点评析】本题考查立体图形的认识。 【精练题01】（2024春•高密市期中）在一张正方形纸片上剪下一个圆和一个扇形（如图所示），恰好能围成一个圆锥模型。如果扇形的半径为，那么圆的半径为　　。 A．1 B．3 C．2 D．9 【思路点拨】根据圆的周长公式，求出扇形所在圆的周长，再除4，求出扇形的周长，根据扇形的周长即为底面圆的周长，根据圆的周长公式，即可求出圆的半径。圆的周长公式为：。 【规范解答】解： （厘米） （厘米） （厘米） 答：圆的半径为。 故选：。 【考点评析】本题考查圆锥的特征以及底面周长的计算及应用。理解题意，找出数量关系，列式计算即可。 【精练题02】（2024春•灵宝市期中）粽子是由粽叶包裹糯米蒸制而成的食品，是中华民族传统节庆食物之一。如图所示是外形类似圆锥的粽子，该粽子有 　1　条高，高是 　　厘米，底面周长是 　　厘米。 【思路点拨】根据圆锥的特征可知，圆锥只有1条高，观察题意可知，粽子的高度有9厘米，底面直径是6厘米，根据圆锥的底面周长公式：，用即可求出底面周长。据此解答。 【规范解答】解：（厘米） 答：该粽子有1条高，高是9厘米，底面周长是18.84厘米。 故答案为：1，9，18.84。 【考点评析】本题主要考查了圆锥的认识以及圆周长公式的应用，掌握圆锥的特征是解答本题的关键。 考点讲练03：圆柱的展开图 【精讲题】（2024春•南海区校级期中）一个圆柱的高等于底面周长，把这圆柱沿底面直径竖直切开，切开后截面是　　 A．正方形 B．长是宽的2倍的长方形 C．长是宽的倍的长方形 D．无法确定 【思路点拨】把圆柱沿底面直径竖直切开，截面是长方形，长方形的长圆柱的高，长方形的宽圆柱底面直径，因为圆柱的高等于底面周长，假设圆柱底面直径是，根据圆的周长，用字母表示出底面周长，即圆柱的高，据此分析。 【规范解答】解：当圆柱的高等于底面直径时，把这圆柱沿底面直径竖直切开，切开后截面是正方形，排除选项； 根据分析，假设圆柱底面直径是，则圆柱的高是，即截面长方形的长是，宽是，，切开后截面是长是宽的倍的长方形。据此可以破除、； 故选：。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握圆柱侧面展开图的特征及应用，圆的周长公式及应用，关键是熟记公式。 【精练题01】（2024春•东莞市期中）如图是小萌制作的圆柱展开图，这个圆柱的高是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】圆柱的侧面展开图中长方形的一条边为圆周长，设圆柱底面直径为，则根据图示可知，据此即可求出圆柱底面直径，而圆柱的高为，据此解答。 【规范解答】解：设圆柱底面直径为。则： 即 所以 即这个圆柱的高是8厘米。 故选：。 【考点评析】本题考查了圆柱侧面展开图的应用。 【精练题02】（2021春•黄冈期中）李老师用一张面积为的长方形纸板制作一个圆柱形教具，剪裁如图，所要做的圆柱的底面半径是多少厘米？ （1）通过李老师的提示：长方形纸板的长是 　8.28　个圆柱底面半径的长度，宽是 　　个圆柱底面半径的长度。 （2）求出圆柱的底面半径。 【思路点拨】（1）长方形纸板的长就是圆柱的底面周长两个圆半径，即，化简得：，就是有个圆柱底面半径的长度，宽是4个圆柱底面半径的长度。 （2）设圆柱底面半径为，根据长方形纸板面积为，列出方程求解即可。 【规范解答】解：（1）长方形纸板的长就是圆柱的底面周长两个圆半径，即，就是有8.28个圆柱底面半径的长度，宽是4个圆柱底面半径的长度。 （2）设圆柱底面半径为，长方形纸板面积为，可列方程： 答：圆柱的底面半径。 故答案为：8.28，4。 【考点评析】本题主要考查圆的面积方法，圆柱的性质及计算能力。 考点讲练04：圆柱的侧面积和表面积 【精讲题】（2024春•东海县期中）如图，把一个底面半径是的圆柱，切拼成一个近似的长方体，长方体的表面积比原来增加了，原来圆柱的高是　　。 A． B．10 C． D．5 【思路点拨】把一个圆柱切拼成一个近似的长方体，表面积增加的是左右两个长方形的面积，先利用增加的面积除以2求出一个长方形的面积，长方形的长是圆柱的高，宽是圆柱的底面半径，利用面积除以半径求出高即可。 【规范解答】解： （厘米） 答：圆柱的高是。 故选：。 【考点评析】解答此题的关键是理解圆柱切拼成长方体后，它们之间的关系。结合题意分析解答即可。 【精练题01】（2024春•高新区期中）把一个底面半径是，高是的圆柱，切成两个完全一样的半圆柱后，表面积增加了　　。 A．15 B．30 C．60 D．20 【思路点拨】把圆柱切成两个完全一样的半圆柱后，增加的表面积是两个长方形的面积。长方形的长就是圆柱的高，长方形的宽就是圆柱的底面直径，已知底面半径，则直径，根据长方形面积长宽，一个这样的长方形面积为 30（平方厘米）。增加了两个长方形的面积，所以增加的表面积是 60（平方厘米）。 【规范解答】解： 30（平方厘米） 60（平方厘米） 答：表面积增加了60平方厘米。 故选：。 【考点评析】本题考查圆柱的特征以及横截面面积的计算。 【精练题02】（2024春•瑞安市期中）树干刷石灰水可以有效防止病虫害。张叔叔准备给一棵树干近似圆柱形，底面直径2分米的树，刷15分米高的石灰水来预防病虫害。那么，刷石灰水部分的面积是 　94.2　。 【思路点拨】刷石灰水部分的面积，就是底面直径2分米，高15分米的圆柱形的侧面积。根据圆柱的侧面积底面周长高进行计算。 【规范解答】解： 答：刷石灰水部分的面积是。 故答案为：94.2。 【考点评析】本题考查了求圆柱形的侧面积的计算方法。 考点讲练05：圆柱的体积 【精讲题】（2024春•盐城期中）如果圆柱的底面周长扩大3倍，高不变，它的体积扩大　　倍。 A．3 B．9 C．27 D．6 【思路点拨】圆的周长圆周率直径圆周率半径，圆的面积圆周率半径的平方，圆的周长扩大到原来的几倍，直径和半径也扩大到原来的几倍，圆的面积扩大到原来的倍数倍数；圆柱体积底面积高，高不变，只考虑底面积扩大到原来的倍数即可。 【规范解答】解： 答：它的体积扩大到原来的9倍。 故选：。 【考点评析】此题主要考查圆的周长公式、圆的面积公式、圆柱的体积公式的灵活运用，因数与积的变化规律及应用，关键是熟记公式。 【精练题01】（2024春•湖里区期中）一个瓶子里装有一些水，把瓶盖拧紧倒置放平（如图），根据图中的数据可以计算出瓶中水的体积占瓶子容积的　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据题意，瓶子容积可以看作是正放时水的体积倒放时无水部分圆柱的体积，这两部分合起来正好是一个圆柱，这部分圆柱的高包括两部分，水的高度无水圆柱的高度，底面积相同，可以求出水的高度占圆柱高度的几分之几，也就是瓶中水的体积占瓶子容积的几分之几。据此解答即可。 【规范解答】解： 答；瓶中水的体积占瓶子容积的。 故选：。 【考点评析】本题考查圆柱的体积。 【精练题02】（2021春•德州期中）如图，把一个圆柱的侧面沿着它的一条高展开，可以得到一个边长的正方形。（提示：是一个无限不循环小数，我们通常计算时使用的是它保留两位小数的近似数3.14。 （1）这个圆柱的体积是多少立方厘米？ （2）如图，把这个圆柱转化成一个近似的长方体。 ①长方体的长　6.28厘米　，长方体的宽　　，长方体的体积　　。 ②长方体的表面积比圆柱的表面积增加了多少平方厘米？（列式解答） 【思路点拨】（1）圆柱的侧面积是正方形；说明这个圆柱的底面周长和高相等，都是12.56厘米，根据圆的周长公式：，求出圆的半径，再根据圆柱的体积公式：，代入求解即可； （2）①把圆柱切拼成长方体，这个长方体的长等于圆柱体的底面周长的一半，宽等于圆柱体的半径，高就是圆柱的高； ②把圆柱切拼成长方体，这个长方体的表面积比圆柱的表面积增加了两个以圆柱的高为长，底面半径为宽的长方形的面积，根据长方形的面积公式：，把数据代入公式解答。 【规范解答】解：（1）圆柱底面的半径为： （厘米） （立方厘米） 答：这个圆柱的体积是157.7536立方厘米。 （2）①长方体的长为：（厘米） 长方体的宽圆柱底面的半径：2厘米 长方体的体积圆柱的体积：157.7536立方厘米 ② （平方厘米） 答：长方体的表面积比圆柱的表面积增加了50.24平方厘米。 故答案为：6.28厘米，2厘米，157.7536立方厘米。 【考点评析】此题考查了圆柱侧面展开图的特征以及圆柱的底面积、底面周长公式的实际应用及利用长方体的体积公式推导圆柱的体积公式的方法。 考点讲练06：圆柱的侧面积、表面积和体积 【精讲题】（2024春•高新区期中）用长30厘米、宽20厘米的长方形纸围成尽量大的圆柱，两种不同围法所得到的圆柱　　相等。 A．高 B．体积 C．底面积 D．侧面积 【思路点拨】根据圆柱侧面展开图的特征可知，用这张长方形纸围成两个尽量大的圆柱，所围成的两个圆柱的侧面积一定相等。据此解答即可。 【规范解答】解：由分析得：用长30厘米、宽20厘米的长方形纸围成尽量大的圆柱，两种不同围法所得到的圆柱侧面积相等。 故选：。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握圆柱侧面展开图的特征及应用，圆柱侧面积的意义及应用。 【精练题01】（2024春•方城县期中）一个长方形的长是8厘米，宽是6厘米，如图所示，以长为轴旋转一周形成圆柱甲，以宽为轴旋转一周形成圆柱乙。下面说法正确的是　　 ①圆柱甲的底面积比圆柱乙的底面积大。 ②圆柱甲的侧面积与圆柱乙的侧面积相等。 ③圆柱甲的表面积与圆柱乙的表面积相等。 ④圆柱甲的体积比圆柱乙的体积小。 A．②③ B．②④ C．①② 【思路点拨】以长为轴旋转一周，形成圆柱体甲，将得到一个底面半径是6厘米，高是8厘米的圆柱，以宽为轴旋转一周，形成圆柱体乙，将得到一个底面半径是8厘米，高是6厘米的圆柱。 ①根据圆的面积公式：，把数据代入公式求出两个圆柱的底面积，然后进行比较。 ②根据圆柱的侧面积公式：，把数据代入公式求出两个圆柱的侧面积，然后进行比较。 ③根据圆柱的表面积公式：，把数据代入公式求出两个圆柱的表面积，然后进行比较。 ④根据圆柱的体积公式：，把数据代入公式求出两个圆柱的体积，然后进行比较。 【规范解答】解：①甲的底面积： （平方厘米） 乙的底面积： （平方厘米） ②甲的侧面积： （平方厘米） 乙的侧面积： （平方厘米） ③甲的表面积： （平方厘米） 乙的表面积： （平方厘米） ④甲的体积： （立方厘米） 乙的体积： （立方厘米） 所以，说法正确的是②和④。 故选：。 【考点评析】此题主要考查圆的面积公式、圆柱的侧面积公式、圆柱的表面积公式、圆柱的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 【精练题02】（2024春•南海区期中）如图所示把圆柱沿高切成若干偶数等份，拼起来就是一个近似的长方体。这个长方体的高为，它的表面积比圆柱多。圆柱的体积是 　251.2　，表面积是 　　。 【思路点拨】根据圆柱体积公式的推导过程可知，把一个圆柱切拼成一个近似长方体，体积不变，拼成的长方体的表面积比圆柱的表面积增加了两个切面的面积，每个切面的长等于圆柱的高，每个切面的宽等于圆柱的底面半径，据此可以求出圆柱的底面半径，然后根据圆柱的表面积侧面积底面积，圆柱的体积底面积高，把数据代入公式解答。 【规范解答】解： （厘米） （平方厘米） （立方厘米） 答：圆柱的体积的251.2立方厘米，表面积是226.08平方厘米。 故答案为：251.2，226.08。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握圆柱体积公式的推导过程及应用，长方形的面积公式及应用，圆柱的表面积公式及应用，关键是熟记公式。 考点讲练07：圆锥的体积 【精讲题】（2024春•高新区期中）下面四个立体图形，体积最大的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据圆柱的体积公式、正方体的体积公式、长方体的体积公式、圆锥的体积公式，分别计算出各自的体积，再比较解答。 【规范解答】解：． ． ． ． 所以，圆锥的体积最大。 故选：。 【考点评析】此题考查了圆柱、圆锥、正方体和长方体的体积公式的运用。 【精练题01】（2024春•青秀区校级期中）有3个木块，分别是正方体、圆柱和圆锥。通过测量，发现他们的底面积相等，高也相等。下面说法错误的是　　 A．在这3个木块中，圆锥的体积最小 B．在这3个木块中，圆锥的体积是正方体体积的 C．在这3个木块中，正方体的体积比圆柱的体积大 D．在这3个木块中，圆柱的体积是圆锥体积的3倍 【思路点拨】根据正方体的体积公式：，圆柱的体积公式：，圆锥的体积公式：，如果正方体的底面积和高分别等于圆柱的底面积和高，那么正方体的体积就等于圆柱的体积，因为等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，所以在这3个木块中，圆锥的体积也是正方体体积的。据此解答即可。 【规范解答】解：由分析得： 、在这3个木块中，圆锥的体积最小。说法正确； 、在这3个木块中，圆锥的体积是正方体体积的。说法正确； 、在这3个木块中，正方体的体积比圆柱的体积大。说法错误； 、在这3个木块中，圆柱的体积是圆锥体积的3倍。说法正确。 故选：。 【考点评析】此题主要考查正方体的体积公式、圆柱、圆锥的体积公式及应用，等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系及应用。 【精练题02】（2024春•滨海县期中）一个圆锥和一个圆柱高相等，体积的比是。如果圆锥的底面积是12.56平方厘米，圆柱的底面积是 　25.12　平方厘米；如果圆柱的底面积是12.56平方厘米，圆锥的底面积是 　　平方厘米。 【思路点拨】根据圆锥的体积公式：，圆柱的体积公式：，设圆柱与圆锥的高是，圆锥的体积是，则圆柱的体积是，由此根据圆柱与圆锥的体积公式，求得它们的底面积的比，即可解答问题。 【规范解答】解：设圆柱与圆锥的高是，圆锥的体积是，则圆柱的体积是。 圆锥的底面积是： 圆柱的底面积是： 圆锥的底面积与圆柱底面积的比是： 当圆锥的底面积是12.56平方厘米时，圆柱的底面积是：（平方厘米） 当圆柱的底面积是12.56平方厘米时，圆锥的底面积是：（平方厘米） 答：圆柱的底面积是25.12平方厘米；圆锥的底面积是6.28平方厘米。 故答案为：25.12，6.28。 【考点评析】此题主要考查圆锥、圆柱体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 考点讲练08：组合图形的体积 【精讲题】（2024春•灌云县期中）如图，以直角梯形中边为轴，将梯形绕轴旋转一周，得到一个立体图形，它的体积是　　立方厘米。 A． B． C． D． 【思路点拨】依据题意结合图示可知，这个立体图形的体积等于底面半径是4厘米、高是4厘米的圆柱的体积，加上底面半径是4厘米，高是厘米的圆锥的体积，由此解答本题。 【规范解答】解：（厘米） （立方厘米） 答：图形的体积是立方厘米。 故选：。 【考点评析】本题考查的是组合图形的体积的应用。 【精练题01】．（2024春•苏州期中）如图，容器内注入一些细沙，能填满圆锥，还能填部分圆柱（如图所示）。若将这个容器倒立，则沙子的高度是 　7　厘米。 【思路点拨】因为等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，所以当圆锥与圆柱的体积相等，底面积相等时，圆柱的高是圆锥高的，据此求出圆锥容器内的沙倒入圆柱容器中沙的高，然后再加上原来圆柱内沙的高度即可。 【规范解答】解： （厘米） 答：沙子的高度是7厘米。 故答案为：7。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系及应用。 【精练题02】（2024春•福清市期中）长征二号遥十三运载火箭整流罩的底面直径为3.2米。科技馆存放着按一定比例制作的长征二号遥十三运载火箭的整流罩模型（如图）。 （1）科技馆制作整流罩模型的比例是多少？ （2）该整流罩模型的体积是多少？ （3）如果用一个长方体玻璃盒来存放这个模型，制作这个玻璃盒至少要多少平方分米的玻璃？ 【思路点拨】（1）根据比例尺的意义，图上距离：实际距离比例尺，据此解答。 （2）根据圆锥的体积公式：，圆柱的体积公式：，把数据代入公式解答。 （3）这个盒子的底面边长是4分米，高是16分米，根据长方体的表面积公式：，把数据代入公式解答。 【规范解答】解：4分米：3.2米 分米：32分米 答：科技馆制作整流罩模型的比例是。 （2） （立方分米） 答：该整流罩模型的体积是150.72立方分米。 （3） （平方分米） 答：制作这个玻璃盒至少要288平方分米的玻璃。 【考点评析】此题主要考查的目的是理解掌握比例尺的意义及应用，圆柱、圆锥的体积公式、长方体的表面积公式及应用，关键是熟记公式。 考点讲练09：探索某些实物体积的测量方法 【精讲题】（2024春•西峡县期中）在解决下面这些问题时，是运用了“转化”策略的有　　 ①排水法求钢球体积 ② ③圆面积计算公式推导 ④圆柱的体积公式推导 A．①② B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【思路点拨】①用“排水法”测量不规则物体的体积，其中蕴含了转化的数学思想。 ②已知分数的基本性质，且比的前项相当于分数的分子，比的后项相当于分数的分母，因此比与分数的特点类似且紧密联系的。据此可以类推出，比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以除外）相同的数，比值不变。所以由分数的基本性质推导出比的基本性质，运用了类推数学方法，没有应用转化的数学思想。 ③根据圆面积公式的推导过程，通过“转化”，把圆切拼成的一个近似长方形，根据长方形的面积公式推导出圆的面积公式，其中蕴含了转化的数学思想。 ④根据圆柱体积公式的推导过程可知，把圆柱“转化”为近似长方体，根据长方体的体积公式推导出圆柱的体积公式，其中蕴含了转化的数学思想。 【规范解答】解：分析可知，在解决选项中这些问题时，运用了“转化”策略的有①③④。 故选：。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握“转化”的思想方法在数学中的应用，以及数与形结合的规律积应用，结合题意分析解答即可。 【精练题01】（2024春•德江县期中）在一节数学活动课上，同学们进行实践操作（如下图，玻璃厚度忽略不计）。先将一些水倒在一个长方体的玻璃容器内，然后把一个底面半径是的圆柱形铁块完全浸入水中，发现水面上升了；最后将这个铁块垂直拉出水面，这时水面下降。通过这个实践操作，可以计算出这个铁块的体积是 　1256　立方厘米，这个铁块的体积占玻璃容器容积的 　　。 【思路点拨】据题意，铁块拉出水面的体积是，此时水面下降，则长方体的玻璃容器的底面积是，已知知铁块的体积等于水面高度上升的体积，即，据此可求出这个长方体的玻璃容器的体积是，根据“求一个数是另一个的几分之几是多少用除法。”即可求出这个铁块的体积占玻璃容器容积的几分之几。 【规范解答】解：由分析可知： 铁块拉出水面的体积是： 长方体的玻璃容器的底面积是： 整个铁块的体积是： 长方体的玻璃容器的体积是： 这个铁块的体积占玻璃容器容积的分率是： 答：这个铁块的体积是1256立方厘米，这个铁块的体积占玻璃容器容积的。 故答案为：1256；。 【考点评析】本题考查圆柱和长方体的体积，熟练掌握长方体、圆柱的体积计算公式是解题的关键。 【精练题02】（2024春•仓山区期中）一个圆柱形玻璃容器里装有水，水中浸没着一个底面直径为，高为的圆锥形铁块（如图），如果把铁块从水中取出，那么容器中的水面高度将下降多少厘米？ 【思路点拨】根据圆锥的体积计算公式“”求出圆锥形铁块的体积，因为水面下降的水体积等于铁块的体积，用铁块的体积（水面下降的体积）除以圆柱形容积的底面积即可求出容器中的水面下降的高度． 【规范解答】解：， ， ， （厘米）； 答：把铁块从水中取出，容器中的水面高度将下降1.2厘米． 【考点评析】抓住下降的水的体积就等于圆锥形铁块的体积，从而求出下降的水的体积是解决本题的关键． 1．（22-23六年级下·浙江·期中）图中长方形ABCD绕CD所在直线旋转一周后，甲、乙两部分所形成的立体图形的体积比是（    ）。 A．12∶1 B．11∶1 C．3∶1 D．4∶1 【答案】B 【思路点拨】长方形ABCD绕CD所在直线旋转一周后，所形成的立体图形是一个圆柱体，圆柱的底面半径是4厘米，高是6厘米，图形乙旋转一周是一个圆锥体，底面半径是2厘米，高是6厘米，甲部分的体积就是圆柱的体积减去圆锥的体积，再利用比的意义解答即可。 【规范解答】π×42×6－π×22×6× ＝16π×6－4π×2 ＝96π－8π ＝88π（立方厘米） 乙部分形成的立体图形的体积： π×22×6× ＝4π×6× ＝24π× ＝8π（立方厘米） 88π∶8π ＝（88π÷8π）∶（8π÷8π） ＝11∶8 所以，甲、乙两部分所形成立体图形的体积比是11∶1。 故答案为：B 【考点评析】解答此题的关键是理解平面图形旋转后的立体图形是什么图形，再根据圆柱和圆锥的体积公式解答。 2．（22-23六年级下·湖北武汉·期中）一个长方形的长是8厘米，宽是6厘米，如图所示，以长为轴旋转一周形成圆柱甲，以宽为轴旋转一周形成圆柱乙。下面说法正确的是（    ）。 ①圆柱甲的底面积比圆柱乙的底面积大 ②圆柱甲的侧面积与圆柱乙的侧面积相等 ③圆柱甲的表面积与圆柱乙的表面积相等 ④圆柱甲的体积比圆柱乙的体积小 A．①③ B．②④ C．①② D．③④ 【答案】B 【思路点拨】以长方形的长为轴旋转一周形成圆柱甲，那么圆柱甲的底面半径等于长方形的宽，高等于长方形的长；以长方形的宽为轴旋转一周形成圆柱乙，那么圆柱乙的底面半径等于长方形的长，高等于长方形的宽。 根据圆柱的底面积公式S底＝πr2，圆柱的侧面积公式S侧＝2πrh，圆柱的表面积公式S表＝S侧＋2S底，圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算出结果，再比较，得出结论。 【规范解答】圆柱甲的底面半径是6厘米，高是8厘米； 圆柱乙的底面半径是8厘米，高是6厘米。 ①圆柱甲的底面积：π×62＝36π（平方厘米） 圆柱乙的底面积：π×82＝64π（平方厘米） 36π＜64π 圆柱甲的底面积比圆柱乙的底面积小，原题说法错误； ②圆柱甲的侧面积：2π×6×8＝96π（平方厘米） 圆柱乙的侧面积：2π×8×6＝96π（平方厘米） 96π＝96π 圆柱甲的侧面积与圆柱乙的侧面积相等，原题说法正确； ③圆柱甲的表面积： 96π＋36π×2 ＝96π＋72π ＝168π（平方厘米） 圆柱乙的表面积： 96π＋64π×2 ＝96π＋128π ＝224π（平方厘米） 168π＜224π 圆柱甲的表面积比圆柱乙的表面积小，原题说法错误； ④圆柱甲的体积：π×62×8＝288π（立方厘米） 圆柱乙的体积：π×82×6＝384π（立方厘米） 288π＜384π 圆柱甲的体积比圆柱乙的体积小，原题说法正确。 综上所述，说法正确的有②④。 故答案为：B 【考点评析】本题考查圆柱底面积、侧面积、表面积、体积公式的运用，以长方形的长或宽为轴旋转一周得到圆柱体，弄清长方形的哪条边是圆柱的高，哪条边是圆柱的底面半径是解题的关键。 3．（22-23六年级下·河南南阳·期中）一个圆柱体的侧面沿高展开是一个正方形，如果这个圆柱的高降低3cm，则体积比原来减少9.42cm3，原来圆柱的体积是（    ）cm3。 A．19.1792 B．2.4649 C．19.7192 【答案】C 【思路点拨】根据题意，如果圆柱的高降低3cm，则体积比原来减少9.42cm3，那么体积减少的是高为3cm的圆柱的体积；根据圆柱的底面积公式S＝V÷h，求出这个圆柱的底面积；再根据圆的面积公式S＝πr2，推导出圆柱的底面半径； 又已知原来圆柱体的侧面沿高展开是一个正方形，则圆柱的底面周长和高相等，根据圆柱的底面周长C＝2πr，即可求出这个圆柱的底面周长，也是圆柱的高； 最后根据圆柱的体积公式V＝Sh，代入数据计算即可求出原来圆柱的体积。 【规范解答】圆柱的底面积： 9.42÷3＝3.14（cm2） 圆柱底面半径的平方：3.14÷3.14＝1（cm2） 因为1＝1×1，所以圆柱的底面半径是1cm； 圆柱的底面周长（圆柱的高）： 2×3.14×1＝6.28（cm） 原来圆柱的体积： 3.14×6.28＝19.7192（cm3） 原来圆柱的体积是19.7192cm3。 故答案为：C 【考点评析】本题考查圆柱的体积、圆柱的底面积、圆柱的底面周长公式的灵活运用，明确当圆柱的侧面展开图是正方形时，圆柱的底面周长和高相等。 4．（21-22六年级下·福建莆田·期中）一段圆木，如果截成两段圆柱，表面积增加了12.56dm2；如果沿着直径劈成两个半圆柱（如图），表面积增加了120dm2，这个圆柱的表面积是( )dm2。 【答案】200.96 【思路点拨】一段圆木，截成两段圆柱，表面积增加了2个底面积；假设底面半径是r，如果沿着直径劈成两个半圆柱，表面积增加了2个长方形，长方形的长＝圆柱的高，长方形的宽＝底面直径，增加的2个长方形面积÷2÷直径＝长方形的长，即圆柱的高，根据圆柱表面积＝底面积×2＋侧面积，侧面积＝底面周长×高，用字母表示出圆柱表面积，计算时将r约分约掉即可求出这个圆柱的表面积。 【规范解答】假设底面半径是r。 圆柱的高：120÷2÷2r＝60÷2r＝（dm） 12.56＋2×3.14×r× ＝12.56＋188.4 ＝200.96（dm2） 这个圆柱的表面积是200.96dm2。 【考点评析】关键是具有一定的空间想象能力，掌握并灵活运用圆柱表面积公式。 5．（22-23六年级下·湖南常德·期中）一个圆柱侧面展开后是一个周长是25.12厘米的正方形，这个圆柱表面积是( )平方厘米。 【答案】45.7184 【思路点拨】根据题意，一个圆柱侧面展开后正好是一个周长是25.12厘米的正方形，那么圆柱的底面周长和高相等；根据正方形的周长＝边长×4可知，正方形的边长＝周长÷4，由此求出圆柱的底面周长和高；然后根据r＝C÷π÷2，由此求出圆柱的底面半径；再根据圆柱的表面积S表＝S侧＋2S底，其中S侧＝Ch，S底＝πr2，代入数据计算即可。 【规范解答】正方形的边长（圆柱的底面周长、高）： 25.12÷4＝6.28（厘米） 圆柱的底面半径： 6.28÷3.14÷2 ＝2÷2 ＝1（厘米） 圆柱的表面积： 6.28×6.28＋3.14×12×2 ＝39.4384＋3.14×1×2 ＝39.4384＋6.28 ＝45.7184（平方厘米） 这个圆柱表面积是45.7184平方厘米。 【考点评析】本题考查圆柱侧面展开图的特点及应用，圆柱的侧面展开图一般是长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高；特殊情况下，圆柱的侧面展开图是正方形，此时圆柱的底面周长和高相等。 6．（22-23六年级下·山东济南·期中）赵师傅向下图所示的空容器（由上、下两个圆柱组成）中匀速注油，正好注满。注油过程中，容器中油的高度与所用时间的关系如图所示。 (1)把下面的大圆柱注满需( )分钟。 (2)上面小圆柱高( )cm。 (3)如果上图下面的大圆柱底面积是48cm2，那么大圆柱的体积是( )cm3，上面小圆柱的底面积是( )cm2。 【答案】(1)/ (2)30 (3) 960 16 【思路点拨】（1）从图中可知，横轴每小格表示分钟；找到折线出现拐点的地方，即可得出大圆柱注满需要的时间。 （2）从图中可知总高度是50cm，由拐点可得出大圆柱的高度是20cm，那么小圆柱的高度是（50－20）cm。 （3）已知大圆柱底面积是48cm2，大圆柱的高是20cm，根据V柱＝Sh，求出大圆柱的体积； 因为注油的速度不变，用大圆柱的体积除以大圆柱注满油需要的时间即可求出每分钟的注油量； 再用每分钟的注油量乘小圆柱注满油需要的时间，求出小圆柱的体积；最后用小圆柱的体积除以小圆柱的高，求出小圆柱的底面积。 【规范解答】（1）从图中可知，把下面的大圆柱注满需分钟。 （2）50－20＝30（cm） 上面小圆柱高30cm。 （3）大圆柱的体积：48×20＝960（cm3） 每分钟注油量： 960÷ ＝960× ＝720（cm3） 小圆柱的体积： 720×（2－） ＝720× ＝480（cm3） 小圆柱的底面积： 480÷30＝16（cm2） 大圆柱的体积是960cm3，上面小圆柱的底面积是16cm2。 【考点评析】本题考查圆柱体积公式的灵活运用，掌握折线统计图的特点及作用，从统计图中获取信息，并根据获取的信息解决问题。 7．（22-23六年级下·河南三门峡·期中）已知半圆柱的底面直径是10厘米，求下面图形的体积和表面积。 【答案】7822.5立方厘米；2792.5平方厘米 【思路点拨】“”“”，图形的体积＝长方体的体积－半圆柱的体积；“”“”，先用长方体5个面的面积减去圆柱底面圆的面积，计算出图形前面、后面、左面、右面、下面5个面的面积，再用两个小长方形的面积加上半圆柱的侧面积，计算出图形上面的面积，最后相加求和，据此解答。 【规范解答】体积：30×20×15－3.14×（10÷2）2×30÷2 ＝30×20×15－3.14×25×30÷2 ＝600×15－78.5×30÷2 ＝9000－2355÷2 ＝9000－1177.5 ＝7822.5（立方厘米） 表面积：20×30＋（20×15＋30×15）×2－3.14×（10÷2）2 ＝20×30＋（300＋450）×2－3.14×25 ＝20×30＋750×2－3.14×25 ＝600＋1500－78.5 ＝2100－78.5 ＝2021.5（平方厘米） （20－10）×30＋3.14×10×30÷2 ＝10×30＋3.14×10×30÷2 ＝300＋31.4×30÷2 ＝300＋942÷2 ＝300＋471 ＝771（平方厘米） 2021.5＋771＝2792.5（平方厘米） 答：图形的体积是7822.5立方厘米，表面积是2792.5平方厘米。 8．（23-24六年级下·广东佛山·期中）如图，将直角梯形ABCD以高AB所在直线为轴旋转一周，形成一个圆台，你能算出这个圆台的体积吗？ 【答案】197.82立方厘米 【思路点拨】如下图：分别将CD和AB两条边延长，延长线交于点E，形成三角形EBC，将三角形EBC以EB所在的直线为轴旋转一周，可以形成一个大圆锥，这个圆锥比题中要求的圆台多了一个小圆锥（圆台上虚线部分）。 因为∠B＝90°，∠C＝45°，所以三角形EBC为等腰直角三角形，则EB＝BC＝6厘米，EA为6－3＝3（厘米），直角梯形ABCD中，∠BAD＝90°，则∠EAD＝90°，在三角形EAD中，∠EAD＝90°，∠E＝45°，所以三角形EAD也是等腰直角三角形，AD＝EA＝3厘米，根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，将数据代入分别求出大圆锥和小圆锥的体积，最后相减即可得到圆台的体积。 【规范解答】由分析可得： 分别将CD和AB两条边延长，延长线交于点E，形成三角形EBC， 在三角形BCE中，∠B＝90°，∠C＝45°，所以∠E＝90°－45°＝45°，则三角形BCE是等腰直角三角形，EB＝BC＝6厘米； 大圆锥体积：×3.14×62×6 ＝×3.14×36×6 ＝（×36）×3.14×6 ＝12×3.14×6 ＝37.68×6 ＝226.08（立方厘米） 6－3＝3（厘米） ×3.14×32×3 ＝×3.14×9×3 ＝（×9）×3.14×3 ＝3×3.14×3 ＝9.42×3 ＝28.26（立方厘米） 226.08－28.26＝197.82（立方厘米） 答：这个圆台的体积是197.82立方厘米。 【考点评析】本题考查了巧妙的将未知立体图形的体积求法转化到已知立体图形的体积求法上来，熟悉的掌握圆锥体是通过什么图形的旋转得来是解题的关键。 9．（22-23六年级下·江西赣州·期末）如图所示，有一块长方形铁皮，把其中的阴影部分剪下制成一个圆柱形油桶。（接口处忽略不计）    （1）圆柱形油桶的表面积是多少平方分米？ （2）圆柱形油桶的体积是多少立方分米？ 【答案】（1）131.88平方分米 （2）113.04立方分米 【思路点拨】（1）从图中可知，剪下的长方形做圆柱形油桶的侧面，剪下的两个圆分别做油桶的两个底面。那么长方形铁皮的长就是圆柱形油桶的底面周长，根据圆的周长公式C＝πd可知，d＝C÷π，由此求出油桶的底面直径；长方形铁皮的宽减去油桶的底面直径，即是圆柱形油桶的高； 然后根据圆柱的表面积公式S表＝S侧＋2S底，其中S侧＝Ch，S底＝πr2，代入数据计算，求出圆柱形油桶的表面积。 （2）根据圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算，求出圆柱形油桶的体积。 【规范解答】（1）圆柱的底面直径：18.84÷3.14＝6（分米） 圆柱的高：10－6＝4（分米） 圆柱的表面积： 18.84×4＋3.14×（6÷2）2×2 ＝75.36＋3.14×9×2 ＝75.36＋56.52 ＝131.88（平方分米） 答：圆柱形油桶的表面积是131.88平方分米。 （2）3.14×（6÷2）2×4 ＝3.14×9×4 ＝113.04（立方分米） 答：圆柱形油桶的体积是113.04立方分米。 【考点评析】本题考查圆柱表面积、体积公式的灵活运用，结合图形，找出长方形的长、宽与圆柱的底面周长和高的关系是解题的关键。 10．（2015六年级·全国·竞赛）一个透明的封闭盛水容器，由一个圆柱体和一个圆锥体组成，圆柱体的底面直径和高都是12厘米。其内有一些水，正放时水面离容器顶厘米，倒放时水面离顶部5厘米，那么这个容器的容积是多少立方厘米？（） 【答案】1620立方厘米 【思路点拨】根据题意，设圆锥的高为h厘米，水体积是v立方厘米。根据正放时和倒放时的体积不变，可得关于h的方程，求得圆锥体的高，再根据容器的容积＝圆柱体的容积＋圆锥体的容积列式计算即可求解。 【规范解答】解：设圆锥的高为h厘米，水体积是v立方厘米。 正放时水体积： 倒放时水体积： 则： 容器的容积为： ＝ ＝1296＋324 ＝1620（立方厘米） 答：这个容器的容积是1620立方厘米。 【考点评析】此题主要考查圆柱和圆锥的体积的计算方法，关键是明白：容器的容积＝圆柱体的容积＋圆锥体的容积。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$