高二数学期中模拟卷（沪教版2020，测试范围：沪教版2020选择性必修第一册第一～二章）-学易金卷：2024-2025学年高中下学期期中模拟考试

2024-2025学年高二数学下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020选择性必修第一册第一-二章。 5．难度系数：0.75。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．直线的一个法向量为 ． 2．抛物线的焦点坐标为 ． 3．已知直线经过点，倾斜角为，则该直线的方程为 ． 4．若双曲线的焦距为6，则该双曲线的离心率是 ． 5．设，若三个不同的点，都在直线l上，则m的值为 ． 6．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为 ． 7．若圆与圆外切，则实数 ． 8．直线的方程为，当原点O到直线的距离最大时，的值为 ． 9．已知椭圆，点和分别是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上一点，则内切圆半径的最大值为 ． 10．已知抛物线的焦点是点，准线为，过的直线交于（点在第一象限），交于点，且，则点的纵坐标是 ． 11．海面上有相距4公里的两个小岛，在的正东方向，为守护小岛，一艘船绕两岛航行，已知这艘船到两个小岛距离之和为6公里．在岛的北偏西处有一个信号站，岛到信号站的距离为公里．若这艘船航行的过程中一直能接收到信号站发出的信号，则信号站的信号传播距离至少为 ． 12．椭圆：的内接等腰三角形，其中它有至少两个顶点是椭圆的顶点，这样的等腰三角形的个数为 ． 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，每题有且只有一个正确选项) 13．已知一个圆的方程满足：圆心在点，且过原点，则它的方程为（    ） A． B． C． D． 14．若直线，的斜率是方程的两根，则这两条直线的夹角为（    ） A． B． C． D． 15．已知点，曲线的方程为，曲线的方程为，则“点在曲线上”是“点在曲线上”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 16．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图）.给出下列三个结论： ①曲线恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线上任意一点到原点的距离都不超过； ③曲线所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．已知△ABC中，A(2，－1)，B(4，3)，C(3，－2)，求： (1)BC边上的高所在直线方程； (2)AB边中垂线方程. 18．如图是用个圆构成“卡通鼠”的形象，点是圆的圆心，圆过坐标原点；点、均在轴上，圆与圆的半径都等于，圆、圆均与圆外切．    (1)求圆心与圆心的坐标； (2)已知直线过点若直线截圆、圆、圆所得弦长均等于，求出的值. 19．如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽20米，要求通行车辆限高5米，隧道全长2500米．隧道的两侧是与地面垂直的墙，高度为3米，隧道上部拱线近似地看成半个椭圆． (1)若最大拱高为6米，则隧道设计的拱宽是多少?（结果精确到0.1米） (2)若要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，则应如何设计拱高和拱宽?（结果精确到0.1米） 以下结论可以直接使用：①椭圆的面积公式． ②柱体的体积为底面积乘以高，，． 20．已知抛物线的顶点为，过焦点的直线交抛物线于两点． (1)若，求线段中点到轴的距离； (2)设点是线段上的动点，顶点关于点的对称点为，求四边形面积的最小值； (3)已知，过点作直线分别交抛物线于两点，作直线分别交抛物线于两点，且，设直线与直线的交点为，求直线的斜率． 21．已知双曲线，，分别为其左、右焦点，为其左顶点．设过右焦点的直线与的右支交于，两点，其中点位于第一象限内．当直线与轴垂直时，． (1)求双曲线的方程； (2)设直线，分别与直线交于，两点，问：是否存在实数，使右焦点恒位于以线段为直径的圆上？若存在，求出的值，若不存在，说明理由； (3)是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期期中模拟卷 参考答案 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1． 2． 3． 4． 5． 6． 7． 8． 9． 10． 11．公里 12． 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，每题有且只有一个正确选项) 13 14 15 16 D B A A 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（1）∵ kBC=5，∴ =. (2分) ∴ AD：y+1=(x－2) 即x+5y+3=0. (6分) （2）∵ AB中点为(3，1)，kAB=2 . ∴ AB中垂线方程为x+2y－5=0. (14分) 18．（1）圆的半径为，设圆心，其中， 由于圆和圆外切，且圆的半径为，则， (2分) 解得， 即点，同理可得点. (6分) （2）若直线的斜率不存在，则直线与轴重合，此时，直线与圆、圆都相离，不合乎题意， 设直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为，圆心到直线的距离为， 且圆、圆的半径均为，所以，直线截圆、圆的弦长为， 圆心到直线的距离为，则直线截圆的弦长为， 由题意可得，解得， 所以，. (14分)    19．（1）如图建立平面直角坐标系， 依题意可得点在椭圆上， 又，将点代入椭圆方程得，解得， 此时， 因此隧道设计的拱宽约为米； (6分) （2）设隧道上方半椭圆部分的面积为， 由椭圆方程且点在椭圆上或椭圆内部，得， 因为，即，当且仅当时取等号， 所以， (8分) 由于隧道长度为米，故隧道上方半椭圆部分的土方工程量， 当取得最小值时，有且，得，， 此时，， 即拱高和拱宽，隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小. (14分) 20．（1）设，因为过焦点的直线交抛物线于两点，且， 所以由抛物线的性质可得，即， 因此线段中点到轴的距离为. (4分) （2）因为顶点关于点的对称点为，所以和到直线的距离相等， 所以． 由题意可知直线的斜率不为，，设直线的方程为， 由得． 则， (6分) 因此， 故当时，四边形面积取得最小值. (10分) （3）由题意可知，直线的斜率不为，且点的横坐标均不为， 设的方程为, ，整理得， 设，由韦达定理， 所以，同理， 因为，所以， 即，因此， 故的方程为， 从而直线恒过定点，同理，直线恒过定点， 所以，因此，即直线的斜率为. (18分) 21．（1）因为当直线与轴垂直时，， 且点位于第一象限内，所以设， 代入方程中得到，而， 解得，，则双曲线的方程为. (4分) （2）由上问得双曲线的方程为， 如图，则点，的坐标分别为， 又双曲线渐近线为，显然直线的斜率不为零， 故设其方程为，， 联立双曲线方程可得：， 设点的坐标分别为，且恒成立 则， ， ； 又直线方程为：，令，则， 故点的坐标为；直线方程为：， 令，则，故点的坐标为； 若右焦点恒位于以线段为直径的圆上，则， 则 ，令，解得， 故存在，使右焦点恒位于以线段为直径的圆上. (10分) （3）当直线斜率不存在时， 对曲线，令，解得， 故点的坐标为，此时， 在三角形中，，故可得， 则存在常数，使得成立； 当直线斜率存在时，不妨设点的坐标为，， 此时直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 则，， 假设存在常数，使得成立，即， 则一定有：，也即； 又；； 又点的坐标满足，则， 故 ； 故假设成立，存在实数常数，使得成立； 综上所述，存在常数，使得恒成立. (18分) 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高二数学下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020选择性必修第一册第一-二章。 5．难度系数：0.75。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．直线的一个法向量为 ． 2．抛物线的焦点坐标为 ． 3．已知直线经过点，倾斜角为，则该直线的方程为 ． 4．若双曲线的焦距为6，则该双曲线的离心率是 ． 5．设，若三个不同的点，都在直线l上，则m的值为 ． 6．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为 ． 7．若圆与圆外切，则实数 ． 8．直线的方程为，当原点O到直线的距离最大时，的值为 ． 9．已知椭圆，点和分别是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上一点，则内切圆半径的最大值为 ． 10．已知抛物线的焦点是点，准线为，过的直线交于（点在第一象限），交于点，且，则点的纵坐标是 ． 11．海面上有相距4公里的两个小岛，在的正东方向，为守护小岛，一艘船绕两岛航行，已知这艘船到两个小岛距离之和为6公里．在岛的北偏西处有一个信号站，岛到信号站的距离为公里．若这艘船航行的过程中一直能接收到信号站发出的信号，则信号站的信号传播距离至少为 ． 12．椭圆：的内接等腰三角形，其中它有至少两个顶点是椭圆的顶点，这样的等腰三角形的个数为 ． 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，每题有且只有一个正确选项) 13．已知一个圆的方程满足：圆心在点，且过原点，则它的方程为（    ） A． B． C． D． 14．若直线，的斜率是方程的两根，则这两条直线的夹角为（    ） A． B． C． D． 15．已知点，曲线的方程为，曲线的方程为，则“点在曲线上”是“点在曲线上”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 16．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图）.给出下列三个结论： ①曲线恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线上任意一点到原点的距离都不超过； ③曲线所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．已知△ABC中，A(2，－1)，B(4，3)，C(3，－2)，求： (1)BC边上的高所在直线方程； (2)AB边中垂线方程. 18．如图是用个圆构成“卡通鼠”的形象，点是圆的圆心，圆过坐标原点；点、均在轴上，圆与圆的半径都等于，圆、圆均与圆外切．    (1)求圆心与圆心的坐标； (2)已知直线过点若直线截圆、圆、圆所得弦长均等于，求出的值. 19．如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽20米，要求通行车辆限高5米，隧道全长2500米．隧道的两侧是与地面垂直的墙，高度为3米，隧道上部拱线近似地看成半个椭圆． (1)若最大拱高为6米，则隧道设计的拱宽是多少?（结果精确到0.1米） (2)若要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，则应如何设计拱高和拱宽?（结果精确到0.1米） 以下结论可以直接使用：①椭圆的面积公式． ②柱体的体积为底面积乘以高，，． 20．已知抛物线的顶点为，过焦点的直线交抛物线于两点． (1)若，求线段中点到轴的距离； (2)设点是线段上的动点，顶点关于点的对称点为，求四边形面积的最小值； (3)已知，过点作直线分别交抛物线于两点，作直线分别交抛物线于两点，且，设直线与直线的交点为，求直线的斜率． 21．已知双曲线，，分别为其左、右焦点，为其左顶点．设过右焦点的直线与的右支交于，两点，其中点位于第一象限内．当直线与轴垂直时，． (1)求双曲线的方程； (2)设直线，分别与直线交于，两点，问：是否存在实数，使右焦点恒位于以线段为直径的圆上？若存在，求出的值，若不存在，说明理由； (3)是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高二下学期期中模拟卷 数 学·答题卡 姓名： 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 缺考标记 贴条形码区 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020选择性必修第一册第一-二章。 5．难度系数：0.75。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．直线的一个法向量为 ． 【答案】 【解析】直线的斜率为， 故与其垂直的直线的斜率为， 故直线的一个法向量为. 故答案为：. 2．抛物线的焦点坐标为 ． 【答案】 【解析】抛物线化为：， 所以抛物线的焦点坐标为. 故答案为： 3．已知直线经过点，倾斜角为，则该直线的方程为 【答案】 【解析】由于倾斜角为，故斜率为， 故直线方程为， 故答案为： 4．若双曲线的焦距为6，则该双曲线的离心率是 . 【答案】 【解析】依题意得，，，即， 所以，故， 所以该双曲线的离心率为. 故答案为：. 5．设，若三个不同的点，都在直线l上，则m的值为 ． 【答案】 【解析】当时，为同一点，不合题意， 当，则，可得，此时满足题意， 所以. 故答案为： 6．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为 ． 【答案】 【解析】抛物线，即的焦点为，双曲线的渐近线方程为， 所以点到直线的距离． 故答案为： 7．若圆与圆外切，则实数 . 【答案】 【解析】的圆心和半径分别为为， 圆的圆心和半径分别为， 根据两圆外切，故，解得， 故答案为： 8．直线的方程为，当原点O到直线的距离最大时，的值为 ． 【答案】 【解析】由，整理可得， 令，解得，则直线过定点， 易知当时，原点到直线的距离最大，显然此时斜率都存在， 直线的斜率，直线的斜率， 由，则，解得. 故答案为：. 9．已知椭圆，点和分别是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上一点，则内切圆半径的最大值为 【答案】 【解析】 如图所示，由椭圆定义，，，设的高为h， 则，故， 要使最大，则， 故 故答案为： 10．已知抛物线的焦点是点，准线为，过的直线交于（点在第一象限），交于点，且，则点的纵坐标是 ． 【答案】 【解析】抛物线，焦点，，则有 过点作准线的垂线，垂足为，则有 中，，则， 轴，则有直线的斜率为，直线的方程为，即， 由，消去得，解得或， 点在第一象限，则点在第四象限，所以点的纵坐标为. 故答案为：. 11．海面上有相距4公里的两个小岛，在的正东方向，为守护小岛，一艘船绕两岛航行，已知这艘船到两个小岛距离之和为6公里．在岛的北偏西处有一个信号站，岛到信号站的距离为公里．若这艘船航行的过程中一直能接收到信号站发出的信号，则信号站的信号传播距离至少为 ． 【答案】公里 【解析】由题意，船的航行轨迹是在一个长轴长为6、焦距为4的椭圆上，如图建立直角坐标系， 则焦点坐标分别为，，，则， 所以椭圆的标准方程为． 过作的垂线，过作轴垂线，两交线相交于点， 因为，所以， 又，，，． （法一）设椭圆上一点，则 ， ， 又函数的对称轴为，所以函数在上单调递减， 当时，， 所以信号站的信号传播距离至少为公里. （法二）设椭圆上一点， 所以． 因为，所以， 所以， 即． 所以信号站的信号传播距离至少为公里. 故答案为：公里． 12．椭圆：的内接等腰三角形，其中它有至少两个顶点是椭圆的顶点，这样的等腰三角形的个数为 ． 【答案】 【解析】根据椭圆方程，先讨论三角形有两个顶点为椭圆的顶点的情况， 不妨设顶点， 如图1，连接，当为等腰三角形的底时，作的垂直平分线交椭圆于两点， 连接，则为等腰三角形，满足题意， 同理当为等腰三角形的底时，也可以各作出2个满足要求的等腰三角形，共有8个； 如图2，当为等腰三角形的腰时，以为圆心，为半径作圆， 则圆的方程为，联立， 解得或或或， 即圆与椭圆相交于点，连接， 其中满足要求，三个顶点均为椭圆顶点，此时不合题意， 同理当为等腰三角形的腰时，也可以各作出2个满足要求的等腰三角形，共有8个； 如图3，以为圆心，为半径作圆，则圆的方程为， 联立，解得或或， 此时圆与椭圆相交于点， 连接，此时为等腰三角形，满足题意，共有2个， 如图4，以为圆心，为半径作圆，此时圆与椭圆相交于点， 连接，此时为等腰三角形，满足题意，共有2个， 由椭圆性质可知，为椭圆中的最长弦，所以不能作为等腰三角形的腰， 而作为底时，刚好等腰三角形的顶点为上顶点或下顶点，此时不合要求； 最后再算3个顶点都在椭圆顶点的情况，易知这样的等腰三角形有4个， 综上：满足要求的等腰三角形个数为． 故答案为：. 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，每题有且只有一个正确选项) 13．已知一个圆的方程满足：圆心在点，且过原点，则它的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设圆的半径为，因为圆心是，且过点，所以，所以半圆的方程为， 故选：D. 14．若直线，的斜率是方程的两根，则这两条直线的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设直线与的斜率分别为， ，与夹角为， ∵直线的斜率分别为一元二次方程的两个根，且， ∴，， ∴， ∵，∴. 故选：B. 15．已知点，曲线的方程为，曲线的方程为，则“点在曲线上”是“点在曲线上”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【解析】若点在曲线上，则，显然，即满足曲线的方程为， 即点在曲线上，故充分性成立， 若点在曲线上，则，此时，不一定满足， 即点不一定在曲线上，故必要性不成立， 故“点在曲线上”是“点在曲线上”的充分非必要条件. 故选：A 16．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图）.给出下列三个结论： ①曲线恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线上任意一点到原点的距离都不超过； ③曲线所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【解析】根据题意，曲线， 当时，曲线的方程为， 当时，曲线的方程为， 则曲线关于轴对称， 对于①，曲线， 当时，，所以，即曲线经过，； 当时，方程为，有， 解得，所以只能取整数1， 当时，有，解得或，即曲线经过，， 根据对称性可得曲线还经过，，所以曲线一共经过6个整点，①正确； 对于②，当时，曲线的方程为， 则有，变形可得，当且仅当时等号成立， 又由曲线关于轴对称，则曲线上任意一点都满足， 即曲线上任意一点到原点的距离都不超过，②正确； 对于③因为在轴上方，曲线围成图形的面积大于四点，， ，围成的矩形面积， 在轴下方，图形面积大于三点，， 围成的等腰直角三角形的面积， 故曲线所围成的“心形”区域的面积大于3，③错误 故选：A． 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．已知△ABC中，A(2，－1)，B(4，3)，C(3，－2)，求： (1)BC边上的高所在直线方程； (2)AB边中垂线方程. 【解析】（1）∵ kBC=5，∴ =. ∴ AD：y+1=(x－2) 即x+5y+3=0. （2）∵ AB中点为(3，1)，kAB=2 . ∴ AB中垂线方程为x+2y－5=0. 18．如图是用个圆构成“卡通鼠”的形象，点是圆的圆心，圆过坐标原点；点、均在轴上，圆与圆的半径都等于，圆、圆均与圆外切．    (1)求圆心与圆心的坐标； (2)已知直线过点若直线截圆、圆、圆所得弦长均等于，求出的值. 【解析】（1）圆的半径为，设圆心，其中， 由于圆和圆外切，且圆的半径为，则，解得， 即点，同理可得点. （2）若直线的斜率不存在，则直线与轴重合，此时，直线与圆、圆都相离，不合乎题意， 设直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为，圆心到直线的距离为， 且圆、圆的半径均为，所以，直线截圆、圆的弦长为， 圆心到直线的距离为，则直线截圆的弦长为， 由题意可得，解得， 所以，.    19．如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽20米，要求通行车辆限高5米，隧道全长2500米．隧道的两侧是与地面垂直的墙，高度为3米，隧道上部拱线近似地看成半个椭圆． (1)若最大拱高为6米，则隧道设计的拱宽是多少?（结果精确到0.1米） (2)若要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，则应如何设计拱高和拱宽?（结果精确到0.1米） 以下结论可以直接使用：①椭圆的面积公式． ②柱体的体积为底面积乘以高，，． 【解析】（1）如图建立平面直角坐标系， 依题意可得点在椭圆上， 又，将点代入椭圆方程得，解得， 此时， 因此隧道设计的拱宽约为米； （2）设隧道上方半椭圆部分的面积为， 由椭圆方程且点在椭圆上或椭圆内部，得， 因为，即，当且仅当时取等号， 所以， 由于隧道长度为米，故隧道上方半椭圆部分的土方工程量， 当取得最小值时，有且，得，， 此时，， 即拱高和拱宽，隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小. 20．已知抛物线的顶点为，过焦点的直线交抛物线于两点． (1)若，求线段中点到轴的距离； (2)设点是线段上的动点，顶点关于点的对称点为，求四边形面积的最小值； (3)已知，过点作直线分别交抛物线于两点，作直线分别交抛物线于两点，且，设直线与直线的交点为，求直线的斜率． 【解析】（1）设，因为过焦点的直线交抛物线于两点，且， 所以由抛物线的性质可得，即， 因此线段中点到轴的距离为. （2）因为顶点关于点的对称点为，所以和到直线的距离相等， 所以． 由题意可知直线的斜率不为，，设直线的方程为， 由得． 则， 因此， 故当时，四边形面积取得最小值. （3）由题意可知，直线的斜率不为，且点的横坐标均不为， 设的方程为, ，整理得， 设，由韦达定理， 所以，同理， 因为，所以， 即，因此， 故的方程为， 从而直线恒过定点，同理，直线恒过定点， 所以，因此，即直线的斜率为. 21．已知双曲线，，分别为其左、右焦点，为其左顶点．设过右焦点的直线与的右支交于，两点，其中点位于第一象限内．当直线与轴垂直时，． (1)求双曲线的方程； (2)设直线，分别与直线交于，两点，问：是否存在实数，使右焦点恒位于以线段为直径的圆上？若存在，求出的值，若不存在，说明理由； (3)是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 【解析】（1）因为当直线与轴垂直时，， 且点位于第一象限内，所以设， 代入方程中得到，而， 解得，，则双曲线的方程为. （2）由上问得双曲线的方程为， 如图，则点，的坐标分别为， 又双曲线渐近线为，显然直线的斜率不为零， 故设其方程为，， 联立双曲线方程可得：， 设点的坐标分别为，且恒成立 则， ， ； 又直线方程为：，令，则， 故点的坐标为；直线方程为：， 令，则，故点的坐标为； 若右焦点恒位于以线段为直径的圆上，则， 则 ，令，解得， 故存在，使右焦点恒位于以线段为直径的圆上. （3）当直线斜率不存在时， 对曲线，令，解得， 故点的坐标为，此时， 在三角形中，，故可得， 则存在常数，使得成立； 当直线斜率存在时，不妨设点的坐标为，， 此时直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 则，， 假设存在常数，使得成立，即， 则一定有：，也即； 又；； 又点的坐标满足，则， 故 ； 故假设成立，存在实数常数，使得成立； 综上所述，存在常数，使得恒成立. 2 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数 学 第 1 页（共 6 页） 数 学 第 2 页（共 6 页） 数 学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年高二下学期期中模拟卷 数 学·答题卡 姓名： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题(本题共有 4 题，满分 18 分，第 13-14 题每题 4 分，第 15-16 题每题 5 分；每题有且只有一个正确选项) 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题(本大题共有 5 题，满分 78 分，第 17-19 题每题 14 分，第 20、 21 题每题 18 分.) 17．（14 分） 18．（14 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号 贴条形码区 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选 择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域 内作答，超出区域书写的答案无 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 破。 5．正确填涂 缺考标记 数 学 第 4 页（共 6 页） 数 学 第 5 页（共 6 页） 数 学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（14 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！