高二数学期中模拟卷（上海专用，测试范围：沪教版2020选择性必修第一册第一～二章）-学易金卷：2024-2025学年高中下学期期中模拟考试

2024-2025学年高二数学下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020选择性必修第一册第一-二章。 5．难度系数：0.70。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．直线的倾斜角是 （结果用反三角表示）． 【答案】 【解析】设直线的倾斜角为， 由，可得，所以. 故答案为：. 2．双曲线的实轴长为 . 【答案】 【解析】双曲线的实轴长为. 故答案为： 3．两平行直线之间的距离为 . 【答案】 【解析】由题意得，可化为， 所以两直线的距离为， 故答案为：. 4．直线过点，且与向量垂直，则直线的方程为 . 【答案】 【解析】因为直线过点，且与向量垂直， 则直线的斜率， 所以直线的方程为，即. 故答案为：. 5．若直线与垂直，则 ． 【答案】1 【解析】直线与垂直， 则，解得. 故答案为：1. 6．若抛物线：的焦点在直线上，则p等于 . 【答案】4 【解析】根据题意，拋物线的方程为，其拋物线的焦点在轴的正半轴上，其焦点坐标为， 又由抛物线的焦点在直线上，则有，解可得． 故答案为：. 7．已知直线与直线的夹角为，则实数 . 【答案】或 【解析】设直线与直线的夹角为， 则，可得，， 设直线的倾斜角为，则， 设直线的倾斜角为， 若，则直线即为，可知， 可得，，符合题意； 若，则， 因为，可得， 即，解得或（舍去）； 综上所述：或. 故答案为：或. 8．直线（为参数，）和曲线（为参数，）交于、两点，则 . 【答案】 【解析】直线方程为，曲线， 联立消去整理可得， 设则， . 故答案为： 9．已知椭圆的左、右焦点分别为，，若过且斜率为的直线与椭圆在第一象限交于点，且，则的值为 ． 【答案】4 【解析】 由，， 又直线的斜率为， 则，， 又椭圆方程为：，. ,解得， 又，，，即. 故答案为：4． 10．若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】直线，即，过定点， 曲线（）， 可化为（）， 即以为圆心，半径为的圆的上半部分， 画出直线和半圆的图象如下图所示， 设，则的最小值为. 当直线与半圆相切于点时，圆心到直线的距离： ，解得或（舍去）， 所以. 故答案为： 11．如图，B地在A地的正东方向，相距4km；C地在B地的北偏东30°方向，相距2km，河流沿岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离比它到B的距离远2km，现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B、C两地转运货物. 经测算，从M到B地修建公路费用是25万元/ km，从M到C地修建公路的费用为50万元/ km. 选择合适的点M，可使修建的两条公路总费用最低，则总费用最低是 万元. 【答案】125 【解析】根据题意以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，如下图所示： 可得，易知点在以为焦点，长轴长为2的双曲线的右支上； 易知，可得，所以， 所以曲线PQ的方程为， 显然曲线PQ对应的准线方程为，双曲线的离心率为； 设点到准线的距离为，由双曲线的第二定义可得，即； 总费用表达式为， 又易知，因此到准线距离为， 因此， 当且仅当与双曲线的准线垂直时，总费用最小为125万元. 故答案为：125 12．已知实数，曲线与曲线的公共点个数为，对于不同的，所有可能的值的集合为 . 【答案】 【解析】曲线C：， 曲线， 当时，曲线可作图如下：   ， 此时交点个数为3，即； 当时， 若，则曲线，相当于将向上平移了k个单位； 若，则曲线，相当于将向下平移了k个单位； 因此曲线是的图象分别向上和向下平移k个单位得到的， 当k在增大的过程中，图象变化如下： 如下图所示：   ， 此时； 如下图所示：   ， 此时； 如下图所示：    ， 此时； 故答案为：. 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，每题有且只有一个正确选项) 13．已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】因为直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，， 所以，， 取，，满足，可求得，，此时， 所以“”是“”的不充分条件； 取，，满足，但，此时， 所以“”是“”的不必要条件； 所以“”是“”的既不充分又不必要条件. 故选：D. 14．若方程表示椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】方程变形得：， 该方程要表示椭圆，则需要满足，解得：， 故选：A. 15．如图，已知双曲线的左焦点为F，过点F的直线垂直于双曲线C的一条渐近线，并分别交两条渐近线于两点(其中点A为垂足)，且点分别在第二、三象限内.若，则双曲线C的渐近线方程为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】双曲线：（，），左焦点，渐近线方程为. 将渐近线方程化为一般式为，，    由点到直线距离公式可知，所以， 根据题意，则， 设，由双曲线对称性可知， 而，， 由正切二倍角公式可知， 即，化简可得，即， 所以双曲线C的渐近线方程为， 故选：B. 16．对于圆上任意一点，当时，的值与，无关，有下列结论： ①点的轨迹是一个圆；    ②点的轨迹是一条直线； ③当时，有最大值；    ④当，时，． 其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】令，可看作到直线、距离之和的倍， 由的值与无关， 所以距离之和与在圆上的位置无关，故已知圆在平行线、之间， 而两线距离为， 当时，的轨迹是平行于、直线，①错误； 当时,的轨迹不是直线,②错误 ③时，，即有最大值，正确； ④时，则，故，④错误. 所以正确的有③. 故选： 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．已知直线：；：. (1)若，求实数的值； (2)若直线在两个坐标轴上的截距相等，求实数的值. 【解析】（1）当时，满足，解得， （2）由题意可知，故， 令，则， 令，则， 故，解得或 18．已知圆：（），点，圆与直线相切. (1)若圆与圆相交，求的取值范围； (2)若圆与圆公共弦的长度为，求的值. 【解析】（1）因为圆与直线相切， 所以圆心到直线的距离是圆的半径. 所以圆的方程为. （或者）. 因为圆：（）的圆心为， 半径为，且两个圆相交，所以， 即，解得. （2）圆与圆交点满足方程组， 所以两圆公共弦所在的直线方程为， 圆心到公共弦所在直线的距离为， 因为两圆的公共弦长为，所以， 整理得，解得或， 由（1）可知，或均符合题意. 19．如图，点是东西和南北走向两条相互垂直的道路和的交点，假设一段铁路从点出发，延曲线方向向东北无限延伸，铁路上任意点到点正东0.5公里处的一车站与其到道路的距离之差均为0.5公里（道路与铁路的宽度均忽略不计）.    (1)试建立合适的直角坐标系，求铁路所在曲线的方程； (2)若在道路上位于点正东公里处有一仓库（为常数，），为铁路上任意一点，其到点的距离为，求的最小值，并求此时点到道路的距离（单位：公里）. 【解析】（1）如图，以为原点，为轴正方向建坐标系，则，    由题意，，即到直线的距离， 根据抛物线的定义知，曲线的方程为. （2）由题意，令，，则 ，且， 当，即，时，，此时点到道路的距离为公里； 当，即，时，，此时点到道路的距离为公里. 20．已知点在双曲线上 (1)求双曲线的方程 (2)过点的互相垂直的两直线与轴分别交于点，求面积的最小值 (3)已知直线交双曲线于两点，且直线的斜率之和为0，求直线的斜率 【解析】（1）将点代入曲线方程， 解得, 则双曲线的方程为 （2）设的方程为， 则的方程为 令，得 则 当且仅当，即时，面积的最小值为1 当斜率不存在时，不构成三角形 则面积的最小值为1 （3）已知直线的斜率存在， 设 联立方程组, 可得 即 由直线的斜率之和为0可得 即 即 所以 化简得 所以或 当时，过点与题意不符 所以 21．定义: 一般地，当且时，我们把方程 表示的椭圆称为椭圆的相似椭圆. 已知椭圆，椭圆是椭圆的相似椭圆，点为椭圆上异于其左、右顶点的任意一点. (1)分别写出当和当(为椭圆的离心率)时，椭圆的标准方程； (2)当时，与椭圆有且只有一个公共点的直线恰好相交于点，若直线的斜率均存在，分别设为，求的值； (3)当(为椭圆的离心率) 时，设直线与椭圆交于点，直线与椭圆交于点，求证：是定值. 【解析】（1）时，椭圆：，所以， 由题意，所以时，椭圆：，所以. （2）设，则直线的方程为， 即，记，则的方程为， 将其代入椭圆的方程，消去，得 因为直线与椭圆有且只有一个公共点， 所以，即， 将代入上式，整理得， 同理可得， 所以为关于的方程的两根， 所以， 又点 在椭圆上， 所以， 所以. （3） 由（1）可知 当，椭圆的标准方程为. 所以，恰好为椭圆的左、右焦点， 易知直线，的斜率均存在且不为0， 所以， 因为 在椭圆上，所以，即， 所以， 设直线的斜率为，则直线的斜率为， 所以直线的方程为， 由，得， 设，则， ， 所以 ， 同理可得， 所以. 2 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ) ( 学校 __________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 密 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 封 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 线 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ) ( ) 2024-2025学年高二下学期期中模拟卷 数 学·答题卡 姓名： ( 注 意 事 项 1 ．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2 ． 选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5 ．正确填涂 缺考标记 ) ( 贴条形码区 ) ( 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ) ( 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1 ． ____________________ 2 ． ____________________ 3． ____________________ 4 ． ____________________ 5． _____ _______________ 6 ． ____________________ 7． ____________________ 8 ． ____________________ 9． ____________________ 10 ． ____________________ 11． ____________________ 12 ． ____________________ 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第1 3-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 1 3 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17． （14分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18．（14分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 19．（14分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20．（18分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 21．（18分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高二数学下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020选择性必修第一册第一-二章。 5．难度系数：0.70。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．直线的倾斜角是 （结果用反三角表示）． 2．双曲线的实轴长为 ． 3．两平行直线之间的距离为 ． 4．直线过点，且与向量垂直，则直线的方程为 ． 5．若直线与垂直，则 ． 6．若抛物线：的焦点在直线上，则p等于 ． 7．已知直线与直线的夹角为，则实数 ． 8．直线（为参数，）和曲线（为参数，）交于、两点，则 ． 9．已知椭圆的左、右焦点分别为，，若过且斜率为的直线与椭圆在第一象限交于点，且，则的值为 ． 10．若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是 ． 11．如图，B地在A地的正东方向，相距4km；C地在B地的北偏东30°方向，相距2km，河流沿岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离比它到B的距离远2km，现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B、C两地转运货物. 经测算，从M到B地修建公路费用是25万元/ km，从M到C地修建公路的费用为50万元/ km. 选择合适的点M，可使修建的两条公路总费用最低，则总费用最低是 万元． 12．已知实数，曲线与曲线的公共点个数为，对于不同的，所有可能的值的集合为 ． 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，每题有且只有一个正确选项) 13．已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 14．若方程表示椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．如图，已知双曲线的左焦点为F，过点F的直线垂直于双曲线C的一条渐近线，并分别交两条渐近线于两点(其中点A为垂足)，且点分别在第二、三象限内.若，则双曲线C的渐近线方程为（    ）    A． B． C． D． 16．对于圆上任意一点，当时，的值与，无关，有下列结论： ①点的轨迹是一个圆；    ②点的轨迹是一条直线； ③当时，有最大值；    ④当，时，． 其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．已知直线：；：. (1)若，求实数的值； (2)若直线在两个坐标轴上的截距相等，求实数的值. 18．已知圆：（），点，圆与直线相切. (1)若圆与圆相交，求的取值范围； (2)若圆与圆公共弦的长度为，求的值. 19．如图，点是东西和南北走向两条相互垂直的道路和的交点，假设一段铁路从点出发，延曲线方向向东北无限延伸，铁路上任意点到点正东0.5公里处的一车站与其到道路的距离之差均为0.5公里（道路与铁路的宽度均忽略不计）.    (1)试建立合适的直角坐标系，求铁路所在曲线的方程； (2)若在道路上位于点正东公里处有一仓库（为常数，），为铁路上任意一点，其到点的距离为，求的最小值，并求此时点到道路的距离（单位：公里）. 20．已知点在双曲线上 (1)求双曲线的方程 (2)过点的互相垂直的两直线与轴分别交于点，求面积的最小值 (3)已知直线交双曲线于两点，且直线的斜率之和为0，求直线的斜率 21．定义: 一般地，当且时，我们把方程 表示的椭圆称为椭圆的相似椭圆. 已知椭圆，椭圆是椭圆的相似椭圆，点为椭圆上异于其左、右顶点的任意一点. (1)分别写出当和当(为椭圆的离心率)时，椭圆的标准方程； (2)当时，与椭圆有且只有一个公共点的直线恰好相交于点，若直线的斜率均存在，分别设为，求的值； (3)当(为椭圆的离心率) 时，设直线与椭圆交于点，直线与椭圆交于点，求证：是定值. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期期中模拟卷 参考答案 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1． 2． 3． 4． 5．1 6．4 7．或 8． 9．4 10． 11．125 12． 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，每题有且只有一个正确选项) 13 14 15 16 D A B A 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（1）当时，满足，解得， （6分） （2）由题意可知，故， 令，则， 令，则， （8分） 故，解得或 （14分） 18．（1）因为圆与直线相切， 所以圆心到直线的距离是圆的半径. 所以圆的方程为. （或者）. 因为圆：（）的圆心为， 半径为，且两个圆相交，所以， 即，解得. （6分） （2）圆与圆交点满足方程组， 所以两圆公共弦所在的直线方程为， （8分） 圆心到公共弦所在直线的距离为， 因为两圆的公共弦长为，所以， （10分） 整理得，解得或， 由（1）可知，或均符合题意. （14分） 19．（1）如图，以为原点，为轴正方向建坐标系，则，    由题意，，即到直线的距离， 根据抛物线的定义知，曲线的方程为. （6分） （2）由题意，令，，则 ，且， （8分） 当，即，时，，此时点到道路的距离为公里； （11分） 当，即，时，，此时点到道路的距离为公里. （14分） 20．（1）将点代入曲线方程， 解得, （2分） 则双曲线的方程为 （4分） （2）设的方程为， 则的方程为 令，得 则 （7分） 当且仅当，即时，面积的最小值为1 （9分） 当斜率不存在时，不构成三角形，则面积的最小值为1 （10分） （3）已知直线的斜率存在， 设 联立方程组, 可得 即 由直线的斜率之和为0可得 即 即 所以 化简得 所以或 当时，过点与题意不符 所以 （18分） 21．（1）时，椭圆：，所以， 由题意，所以时，椭圆：，所以. （4分） （2）设，则直线的方程为， 即，记，则的方程为， 将其代入椭圆的方程，消去，得 因为直线与椭圆有且只有一个公共点， 所以，即， 将代入上式，整理得， 同理可得， 所以为关于的方程的两根， 所以， 又点 在椭圆上， 所以， 所以. （10分） （3） 由（1）可知 当，椭圆的标准方程为. 所以，恰好为椭圆的左、右焦点， 易知直线，的斜率均存在且不为0， 所以， 因为 在椭圆上，所以，即， 所以， 设直线的斜率为，则直线的斜率为， 所以直线的方程为， 由，得， 设，则， ， 所以 ， 同理可得， 所以. （18分） 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数 学 第 1 页（共 6 页） 数 学 第 2 页（共 6 页） 数 学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年高二下学期期中模拟卷 数 学·答题卡 姓名： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题(本题共有 4 题，满分 18 分，第 13-14 题每题 4 分，第 15-16 题每题 5 分；每题有且只有一个正确选项) 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题(本大题共有 5 题，满分 78 分，第 17-19 题每题 14 分，第 20、 21 题每题 18 分.) 17．（14 分） 18．（14 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号 贴条形码区 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选 择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域 内作答，超出区域书写的答案无 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 破。 5．正确填涂 缺考标记 数 学 第 4 页（共 6 页） 数 学 第 5 页（共 6 页） 数 学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（14 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（18 分） 21．（18 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025学年高二数学下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020选择性必修第一册第一-二章。 5．难度系数：0.70。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．直线的倾斜角是 （结果用反三角表示）． 2．双曲线的实轴长为 ． 3．两平行直线之间的距离为 ． 4．直线过点，且与向量垂直，则直线的方程为 ． 5．若直线与垂直，则 ． 6．若抛物线：的焦点在直线上，则p等于 ． 7．已知直线与直线的夹角为，则实数 ． 8．直线（为参数，）和曲线（为参数，）交于、两点，则 ． 9．已知椭圆的左、右焦点分别为，，若过且斜率为的直线与椭圆在第一象限交于点，且，则的值为 ． 10．若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是 ． 11．如图，B地在A地的正东方向，相距4km；C地在B地的北偏东30°方向，相距2km，河流沿岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离比它到B的距离远2km，现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B、C两地转运货物. 经测算，从M到B地修建公路费用是25万元/ km，从M到C地修建公路的费用为50万元/ km. 选择合适的点M，可使修建的两条公路总费用最低，则总费用最低是 万元． 12．已知实数，曲线与曲线的公共点个数为，对于不同的，所有可能的值的集合为 ． 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，每题有且只有一个正确选项) 13．已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 14．若方程表示椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．如图，已知双曲线的左焦点为F，过点F的直线垂直于双曲线C的一条渐近线，并分别交两条渐近线于两点(其中点A为垂足)，且点分别在第二、三象限内.若，则双曲线C的渐近线方程为（    ）    A． B． C． D． 16．对于圆上任意一点，当时，的值与，无关，有下列结论： ①点的轨迹是一个圆；    ②点的轨迹是一条直线； ③当时，有最大值；    ④当，时，． 其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．已知直线：；：. (1)若，求实数的值； (2)若直线在两个坐标轴上的截距相等，求实数的值. 18．已知圆：（），点，圆与直线相切. (1)若圆与圆相交，求的取值范围； (2)若圆与圆公共弦的长度为，求的值. 19．如图，点是东西和南北走向两条相互垂直的道路和的交点，假设一段铁路从点出发，延曲线方向向东北无限延伸，铁路上任意点到点正东0.5公里处的一车站与其到道路的距离之差均为0.5公里（道路与铁路的宽度均忽略不计）.    (1)试建立合适的直角坐标系，求铁路所在曲线的方程； (2)若在道路上位于点正东公里处有一仓库（为常数，），为铁路上任意一点，其到点的距离为，求的最小值，并求此时点到道路的距离（单位：公里）. 20．已知点在双曲线上 (1)求双曲线的方程 (2)过点的互相垂直的两直线与轴分别交于点，求面积的最小值 (3)已知直线交双曲线于两点，且直线的斜率之和为0，求直线的斜率 21．定义: 一般地，当且时，我们把方程 表示的椭圆称为椭圆的相似椭圆. 已知椭圆，椭圆是椭圆的相似椭圆，点为椭圆上异于其左、右顶点的任意一点. (1)分别写出当和当(为椭圆的离心率)时，椭圆的标准方程； (2)当时，与椭圆有且只有一个公共点的直线恰好相交于点，若直线的斜率均存在，分别设为，求的值； (3)当(为椭圆的离心率) 时，设直线与椭圆交于点，直线与椭圆交于点，求证：是定值. 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$