江苏省南京市六校联合体2024-2025学年高一下学期3月调研考试数学试卷

2024-2025学年第二学期3月六校联合调研试题 高一数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知向量 ，，若向量，则（ ） A． B． C． D． 2.若，则（ ） A． B． C． D． 3.已知向量，满足，，，夹角为，则在上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 4.在中，若，则是（ ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D． 等腰三角形 ( A S B 北 )5.已知，，则（ ） A． B． C． D． 6.如图，一艘船在A处，灯塔S在船正北方向，船以100 海里/小时的速度向北偏东30° 航行，30 分钟后船航行到B处，从B处看灯塔S位于船南偏西75°方向上．此时灯塔S 与船B之间的距离为（ ）海里 A． B． C． D． 7.如图，在直角，，，点，是边上两个三等分点， 则（ ） A． B． C． D． 8. 在中，角所对的边分别为，若，且，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9.下列化简结果是的选项为（ ） A． B． C． D． 10.下列命题正确的是（ ） A．在中，是的充要条件 B．在中，角所对的边分别为，若，则 C．在中，角所对的边分别为，若三角形有两解，则的取值范围为 D．在中，，则为锐角三角形 11. 在中，点分别满足与相交于点，则下列说法中正确的是（ ） A． B．若，则 C． D．若外接圆的半径为2，且，则的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量 ，满足，，且，则 ，夹角的余弦值为________． 13. ________． 14.如图所示，已知点是的重心，过点作直线与两边分别交于两点，且，则 ________；的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （13分） 已知，，且与的夹角为. (1)求； (2)若向量）⟂，求实数的值． 16. （15分） 已知. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 17. （15分） ( A C D B )如图，在 中，已知 ，是边上一点，，，. （1） 求的值； （2） 求的长； （3） 求的面积. 18. （17分） 已知函数． （1）求的周期及在上的值域； （2）已知锐角中,，且的面积为，，求边上的中线的长． 19. （17分） 我们知道，三角形中存在诸多特殊位置的点，并且这些特殊点都具备一定的特殊性质.意大利学者托里拆利在研究时发现：在三角形的三边分别向其外侧作等边三角形，这三个等边三角形的外接圆交于一点，该点即称为托里拆利点（以下简称“点”）.通过研究发现三角形中的“点”满足到三角形三个顶点的距离和最小.当的三个内角均小于时, 使得的点即为“点”； 当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为“点”.试用以上知识解决下面问题: 已知的内角所对的边分别为. (1)若，则 ①求 ； ②若，设点为的“点”, 求； (2)若，设点为的“点”，，求实数的最小值. ( 第 4 页 共 4 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年第二学期3月六校联合调研试题(高一数学) 参考答案及评分标准 1、【答案】C 2、【答案】B 3、【答案】C 4、【答案】C 5、【答案】D 6、【答案】A 7、【答案】B 8、【答案】B 9、【答案】AB 10、【答案】AC 11、【答案】AC 以【答案】号 13、【答案】2 4【答案】3号 15、【答案】(1)36=| 6| cos60 =4 2 支=4' ……2分 (a+26)2=+2 京-26+4622分 =16+4 4+16=48, …5分 所以a+2=48=4W5 6分 (2)由于向量2-++36 (2a-).(a+36)0, …8分 即2a2+6-方-i-3=0 …10分 321+4 (6-19-127=0,即 2.57-6=0: …12分 入=-1或7=6…13分 注:用坐标法做,步骤同等给分。 16、【答案】(1)因为tan(经+)=,2分 1tang 故由tan(吾+x)=3,得=3: 1tana 解得tan&= .3分 (2) sin'a+cosa …5分 2sinacosa+cosa= 2sinacosa+cosa = …7分 +1 …9分 2 +1 (3)因为tan(2a-B)=tan[a+(a-B]…l0分 第1页共5页 =n+1…12分 1tanatar a B) +修 因为B∈(-年0),则-BE(0,)又ae(0,音)得2a-Be(0,等)14分 所以2a-B=景…15分 17【答案】(1)在 ADC中,AD=10,AC=14,DC=6, 由余弦定理可得:coS∠ADC=D4DSC 2ADDC (2)在 ADC中,∠ADC0,)CoSADC=- 所以∠ADC=等,所以∠ADB= -∠ADC=青,6分 在 ABD中,AD=10,B=晋,∠ADB=等: 由正弦定理品=可得, AB=4DsAD8=10-5√6 …9分 sinB (3)在 ABD中,B=哥:∠ADB=骨:所以∠BAD=T-B-LADB=晋 在 ABD中,由正弦定理 BD AB sin/BAD=LAD丽 可得, BD=ABsinBAD sin ADB 5型=55+5 …12分 所以BC=BD+DC=53+5+6=5V5+11' SaA8c=AB BC.sinB=75+555…15分 2 注:其他解法,酌情给分 18【省*】①f(x)=2(x+若)-号=5sinx+inco-号 sn(2x-)………4分 1变=… ...5分 第2页共5页 因为xe(0,)所以2x青e(景等)所以.号<sin2x)s1 所以f(x)在(0,)上的值规马, 8分 (2)记 ABC的角A,B,C所对的边为a,b,c, 因为 ABC为锐角三角形,所以AE(0,) 2A青E(-晋,等) 又f(A)=sin2A)=号,所以2A-号=号 即 A=… ....10分 因为s=5=北csiA'所以 bc=4, .....12分 在 ABC中,由余弦定理得8=b2+c2-2 bccos号,所以b2+c2=12 因为AT为BC边上的中线,所以 A7=(A店+AC)小 ………14分 所以A72=(+A)2=(+c2+2C)=(c2+b2+bc)=4 所以A=2 ………,17分 注:其他解法,的情给分 19.【答案】(1)①在 ABC中,由正弦定理得V5sinB-sin C sin A=V3 sin Acos C, :B= -(A+C),有sinB=sin( -(A+C)=sin(A+C) 3sin A cos C+cos A sin C)-sin C sin A=3sin A cos C 3 cos A sin C=sin C sin A........... 2分 sin C≠0,tamA=√5,又A∈(0, ) .....4分(不交代sinC≠0扣1分) ②0知A-行则 ABC的三个角都小于12四, 第3页共5页 由“7点”定义知:∠APB=∠BPC=∠APC=120。,.5分 设|PA=x|P=yPd=a,S APB+SABPG+SAAPC=SAABC得 吉号+却2专+xg号= 4 专,整理xw+yg+x2=4…7分 所以pApB+Pi元+PA P心 =xy()+y2()+x2()= 4=-2.9分 (2)法一:由a cos B-bcosA=e,结合正弦定理sin A cos C-sin B cos A=sinC 有sin(A-B)=sinC,:A,B,C均为三角形内角,:A-B=C(舍) 或A-B+C=元,即A=B+C=元-A,∴,A= 2 ……12分 由点P为 ABC的“7点”,得∠APB=∠BPC=∠APC=120, PB=mPA,PC=nPA PA=x,(m>0,n>x>0), 由|PB+|PCI=tPA,得m+n=t由余弦定理得 AB2=x2+m2x2-2mx2cos=(m2+m+1)x2 AC2=x2+n2x2-2nx2cos=(n2++1)x2 BC2=m2x2+n2x2-2mnx2cos =(m2+n2+mn)x2 相加得1ACI2+1A82=|BC2,得 (n2+n+1)x2+(m2+m+1)x2=(m2+n2+mn)x2 整理得m十n十2=mn… ………………15分 于是m+n+2=mn≤(学)只当且仅当m=a,即m=n=1+V5时取等号,. 又m+n=2t因为t2-2t-2≥0,而t>0,解得t≥1+5,所以实数t的最小值为 1+5 …,17分 (3)法二:建系:由a cos B-bcosA=c,结合正弦定理sin A cos C-sin B cos A=sinC 有si(A-B)=sinC,A,B,C均为三角形内角,:A-B=C(舍) 或A-B+C=元,即A=B+C=R-A,A= 2 .12分 第4页共5页 由点P为 ABC的“I点”,得∠APB=∠BPC=∠APC=120 , 不妨设PA=z,PB=n,PC=m,C(m,O),则B(- n√3 .23 22 nA-22 由B.4C=0,得m+”2+2=m 2 2 …15分 有m+n=2z≥2Vmn,mn≤tz2,当且仅当m=n等号成立 有2-2t-2≥0,而t>0,解得:≥1+V5,所以实数c的最小值为1+5 …,17分 第5页共5页