10.3 电势差与电场强度的关系-【无畏物理】2024-2025学年高二物理同步学案（人教版2019必修三）

高中物理 必修三 第十章 静电场中的能量 10.3电势差与电场强度的关系 匀强电场中电势差与电场强度的关系 知识点一 1．关系式：UAB＝Ed或E＝。 2．物理意义：匀强电场中两点间的电势差等于电场强度与这两点沿电场方向的距离的乘积。 3．适用条件：匀强电场。应用公式UAB＝Ed计算时，首先要明确所研究的电荷所处的电场必须是匀强电场，其次要明确所要研究的两点的距离应当是沿场强方向两点间的距离。 4．电场强度的另一个单位：由E＝可导出电场强度的另一个单位，即伏每米，符号为V/m。1 V/m＝1 N/C。 5．关于场强E的几个表达式 公 式 适用范围 说 明 E＝ 任何电场 定义式，q为试探电荷的电量 E＝k 真空中点电荷形成的电场 Q为场源电荷的电量，E表示跟点电荷相距r处的某点的场强 E＝ 匀强电场 U为沿电场线方向上相距为d的两点间的电势差 注：(1)电场强度为零的地方电势不一定为零，如等量同种点电荷连线的中点；电势为零的地方电场强度也不一定为零，如等量异种点电荷连线的中点. (2)电场强度相等的地方电势不一定相等，如匀强电场；电势相等的地方电场强度不一定相等，如点电荷周围的等势面. 公式E＝的意义 知识点二 1．意义： 大小关系 由E＝可知，电场强度在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势 方向关系 电场中电场强度的方向就是电势降低最快的方向 物理意义 电场强度是电势差对空间位置的变化率，反映了电势随空间变化的快慢 2．在非匀强电场中，公式E＝可用来定性分析问题，由E＝可以得出结论： （1）在等差等势面越密的地方场强就越大，如图甲所示.再如图乙所示，a、b、c为某条电场线上的三个点，且距离ab＝bc，由于电场线越密的地方电场强度越大，故Uab＜Ubc. （2）在匀强电场中，沿任意一个方向，电势降低都是均匀的，故在同一直线上相同间距的两点间电势差相等，如图甲，AB＝BC，则UAB＝UBC。在匀强电场中，相互平行且相等的线段两点间的电势差相等。如图AB＝CD，则UAB＝UCD。 甲　　　　　　　　乙 （3）确定电场方向的方法：先由等分法确定电势相等的点，画出等势面(线)，然后根据电场线与等势面(线)垂直画出电场线，且电场线的方向由电势高的等势面(线)指向电势低的等势面(线)。 对关系式U＝Ed和E＝的理解 考点一 【例1.1】关于匀强电场中的场强和电势差的关系，下列说法正确的是(　 　) A．电场强度越大，则任意两点间的电势差也越大 B．任意两点间的电势差等于场强和这两点间距离的乘积 C．沿着电场线方向，任何相同距离上的电势降低必定相等 D．场强与电势处处相同 【例1.2】如图所示，在xOy平面内有一个以O为圆心、半径R＝0.1 m的圆，P为圆周上的一点，O、P两点连线与x轴正方向的夹角为θ.若空间存在沿y轴负方向的匀强电场，电场强度大小E＝100 V/m，则O、P两点的电势差可表示为(　 　) A． UOP＝－10sin θ(V) B．UOP＝10sin θ(V) C．UOP＝－10cos θ(V) D．UOP＝10cos θ(V) 【练习1.1】关于匀强电场中的电场强度和电势差的关系，下列说法正确的是(　 　) A．任意两点间的电势差等于场强和这两点间距离的乘积 B．沿电场线方向上，相同距离上电势降落一定相等 C．电势降落的方向一定是电场强度的方向 D．电势降落最快的方向不一定是电场强度的方向 【练习1.2】下列关于匀强电场中场强和电势差关系的说法正确的是(　 　) A．在相同距离上，电势差大的其场强也必定大 B．任意两点的电势差，等于场强与这两点间距离的乘积 C．沿着电场线方向，相同距离上的电势降落必定相等 D．电势降低的方向，必定是电场强度的方向 【练习1.3】在水深超过200 m的深海，光线极少，能见度极低，有一种电鳗具有特殊的适应性，能通过自身发生的生物电获取食物、威胁敌害、保护自己.若该电鳗的头尾相当于两个电极，它在海水中产生的电场强度达到104 N/C，可击昏敌害.则身长50 cm的电鳗，在放电时产生的瞬间电压可达(　 　) A．50 V B．500 V C．5 000 V D．50 000 V 【练习1.4】如图所示，在E＝400 V/m的匀强电场中，a、b两点相距d＝2 cm，它们的连线跟电场强度方向的夹角是60°，则Uab等于(　 　) A．－8 V B．－4 V　　　 C．8 V　　　 D．4 V 【练习1.5】(多选)如图所示，匀强电场中某电场线上的两点A、B相距0.2 m。正点电荷q＝1×10－6 C从A点移到B点，静电力做功为2×10－6J，则(　 　) A．该电场的电场强度为10 V/m B．该电场的方向由A指向B C．A、B两点间的电势差为10 V D．B点的电势比A点的高 【例1.3】如图所示，水平放置的两平行金属板A、B接在U＝4 000 V的直流电源上，两极板间距离为2 cm，A极板接地，电场中a点距B极板1 cm，b点和c点均距A极板0.5 cm，求： (1)a点的电场强度； (2)a、c之间的电势差； (3)电子在b点的电势能； (4)电子从a点运动到c点，电场力做的功. 【练习1.6】(多选)如图所示，A、B两板间电压为600 V，A板带正电并接地，A、B两板间距离为12 cm，C点离A板4 cm，下列说法正确的是(　 　) A．E＝2 000 V/m，φC＝200 V B．E＝5 000 V/m，φC＝－200 V C．电子在C点具有的电势能为－200 eV D．电子在C点具有的电势能为200 eV 【练习1.7】有两块平行金属板A、B相隔6 cm，接在36 V的直流电源上.电源的正极接地，C点在两板间且到A板的距离为2 cm. (1)求A、B两板间的场强大小和方向. (2)以地为电势的零点，问C点的电势多高？ 几种电场类型题 考点二 【例2.1】(多选)如图所示，a、b、c为电场中同一条水平方向电场线上的三点，c为ab中点。a、b电势分别为φa＝5 V，φb＝3 V，下列叙述正确的是(　 　) A．该电场在c点处的电势一定为4 V B．a点处的场强Ea一定大于b点处的场强Eb C．一正电荷从c点运动到b点，电势能一定减少 D．一正电荷运动到c点时受到的电场力由a指向c 【练习2.1】如图a、b、c是一条电场线上的三个点，电场线的方向由a到c，a、b间的距离等于b、c间的距离，用φa、φb、φc和Ea、Eb、Ec分别表示a、b、c三点的电势和电场强度，可以判定(　 　) A．φa＞φb＞φc　　　　 B．Ea＞Eb＞Ec C．φa－φb＝φb－φc D．Ea＝Eb＝Ec 【练习2.2】如图直线上有O、a、b、c四点，a、b间的距离与b、c间的距离相等，在O点处有固定点电荷.已知b点电势高于c点电势.若一带负电荷的粒子仅在电场力作用下先从c点运动到b点，再从b点运动到a点，则(　 　) A．两过程中电场力做的功相等 B．前一过程中电场力做的功大于后一过程中电场力做的功 C．前一过程中，粒子电势能不断减小 D．后一过程中，粒子动能不断减小 【例2.2】如图所示，有竖直向下的匀强电场，A、B两等势面间距离为5 cm，电势差为25 V，在电场中P点固定放置电量为5×10－9 C的负点电荷，此时电场中有一点场强为零，此点在P点的(　 　) A．上方30 cm B．下方30 cm C．上方25 cm D．下方25 cm 【例2.3】如图所示，在某电场中画出了四条电场线，C、D两点是AB连线的三等分点。已知A点的电势为φA＝30 V，B点的电势为φB＝0，则(　 　) A．C点的电势＝20 V B．C点的电势<20 V C．C点的电势>20 V D．A、B、C都不正确 【练习2.3】如图所示的匀强电场场强为1.0×103 N/C，ab平行于电场线，ab＝cd＝4 cm，ac＝bd＝3 cm。则下述计算结果正确的是(　 　) A．a、b之间的电势差为40 V B．a、c之间的电势差为50 V C．将q＝－5×10－3 C的点电荷沿矩形路径abdca移动一周，电场力做的功是－0.25 J D．将q＝－5×10－3 C的点电荷沿abd从a移到d，电场力做的功是0.25 J 【练习2.4】如图所示，在水平方向的匀强电场中，一电场线上有相距6 cm的A、B两点，且UAB＝150 V，求： (1)电场强度的大小和方向； (2)电场中A、C两点相距14 cm，A、C两点连线与电场线方向成37°夹角，则C点与A点的电势差UCA为多少？(已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8) 【练习2.5】(多选)某电场的电场线分布如图所示，以下说法正确的是(　 　) A．c点场强大于b点场强 B．a点电势高于b点电势 C．若将一试探电荷＋q由a点释放，它将沿电场线运动到b点 D．若在d点再固定一点电荷－Q，将一试探电荷＋q由a移至b的过程中，电势能减小 利用匀强电场中电势的特点确定电场方向 考点三 1．公式中d可理解为电场中两点所在等势面之间的距离，由此可得出一个结论：在匀强电场中，两长度相等且相互平行的线段的端点间的电势差相等．如图所示，AB、CD平行且相等，则UAB＝UCD 2．利用等分电势法画等势线及电场线的方法 等分法：在匀强电场中，如果把某两点间的距离等分为几段，则每段两端点的电势差等于原电势差的. 【例3.1】如图所示，A、B、C、D、E、F为匀强电场中一个边长为10 cm的正六边形的六个顶点，A、B、C三点电势分别为1.0 V、2.0 V、3.0 V，则下列说法正确的是(　 　) A．匀强电场的电场强度大小为10 V/m B．匀强电场的电场强度大小为 V/m C．电荷量为1.6×10－19 C的正点电荷从E点移到F点，电荷克服电场力做功为1.6×10－19 J D．电荷量为1.6×10－19 C的负点电荷从F点移到D点，电荷的电势能减少4.8×10－19 J 【练习3.1】如图所示是一个匀强电场的等势面，每两个相邻等势面相距2 cm，由此可以确定电场强度的方向和数值是(　 　) A．竖直向下，E＝100 V/m B．水平向左，E＝100 V/m C．水平向左，E＝200 V/m D．水平向右，E＝200 V/m 【练习3.2】a、b、c、d是匀强电场中的四个点，它们正好是一个矩形的四个顶点.电场线与矩形所在平面平行.已知a点的电势为20 V，b点的电势为24 V，d点的电势为4 V，如图由此可知c点的电势为( 　) A．4 V　　　　　　　　　　 　 B．8 V C．12 V D．24 V 【练习3.3】如图所示的匀强电场，等势面是一簇互相平行的竖直平面，间隔均为d，各等势面电势已在图中标出。现有一质量为m的带电小球以速度v0、方向与水平方向成45°角斜向上射入电场，要使小球做直线运动，求： (1)小球应带何种电荷及其电荷量； (2)小球受到的合外力的大小； (3)在入射方向上小球运动的最大位移xm。(电场足够大) 【例3.2】如图带正电的点电荷固定于Q点，电子在库仑力作用下，做以Q点为焦点的椭圆运动.M、P、N为椭圆上的三点，P点是轨道上离Q点最近的点.电子在从M经P到达N点的过程中(　 　) A．库仑力先做负功后做正功 B．速率先减小后增大 C．电势能先减小后增大 D．电势能先增大后减小 【练习3.4】如图中，B、C、D三点都在以点电荷＋Q为圆心半径为r的圆弧上.将一试探电荷从A点分别移到B、C、D各点时，静电力做功的关系是(　 　) A．WAB＞WAC　　 　 B．WAD＞WAB C．WAC＞WAD D．WAB＝WAC 【练习3.5】匀强电场中的三点A、B、C是一个三角形的三个顶点，AB的长度为1 m，D为AB的中点，如图所示.已知电场线的方向平行于△ABC所在平面，A、B、C三点的电势分别为14 V、6 V和2 V.设电场强度大小为E，一电荷量为1×10－6 C的正电荷从D点移到C点电场力所做的功为W，则(　 　) A．W＝8×10－6 J　　E>8 V/m B．W＝6×10－6 J　　E>6 V/m C．W＝8×10－6 J　　E≤8 V/m D．W＝6×10－6 J　　E≤6 V/m 【例3.3】如图所示，在匀强电场中，电荷量q＝5.0×10－10 C的正电荷由a点移到b点和由a点移到c点，电场力做功都是3.0×10－8 J，已知a、b、c三点的连线组成了一个直角三角形，ab＝20 cm，∠a＝37°，∠c＝90°，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求： (1)a、b两点的电势差Uab； (2)匀强电场的场强大小和方向。 【例3.4】如图所示，虚线方框内有一匀强电场，A、B、C为该电场中的三点，已知：φA＝12 V，φB＝6 V，φC＝－6 V。试在该虚线框内作出该电场的示意图(画出几条电场线)，并要求保留作图时所用的辅助线。 【练习3.6】如图所示，在直角三角形ABC中∠C=90°、∠A=37°、边AB=1 m，一匀强电场的方向平行于三角形ABC所在的平面，已知A、B、C三点的电势分别为φA=16V、φB=-9V、φC=0V，则场的电场强度大小为（ ） A．25 V/m B．50 V/m C．V/m D．V/m 【练习3.7】如图所示，A、B、C为一等边三角形的三个顶点，某匀强电场的电场线平行于该三角形平面.现将电荷量为1×10－8 C的正点电荷从A点移到B点，电场力做的功为3×10－6 J，将另一电荷量为1×10－8 C的负点电荷从A点移到C点，克服电场力做的功为3×10－6 J. (1)求UAB、UAC、UBC各为多少？ (2)画出电场线方向； (3)若AB边长为2 cm，求电场强度. 【练习3.8】为使带负电的点电荷q在一匀强电场中沿直线匀速地由A运动到B，必须对该电荷施加一个恒力F，如图所示，若AB＝0.4 m，α＝37°，q＝－3×10－7 C，F＝1.5×10－4 N，A点的电势φA＝100 V．(不计负电荷受到的重力) (1)在图中用实线画出电场线，用虚线画出通过A、B两点的等势线，并标明它们的电势． (2)求q在由A到B的过程中电势能的变化量是多少？ 【练习3.9】如图所示的平面内有A、B、C、D、F五点，平面内存在匀强电场，电场方向与该平面平行，其中AC平行于DF，B点为AC的中点，已知AB=DF=2cm，A点的电势φa=10 V，C点的电势φc=4V，F点的电势为φF=13 V，AB与AD连线的夹角为30°，电子的电荷量为-e，下列说法正确的是（ ） A．φB=6 V B．电子在D点的电势能EpD=10 eV C．匀强电场的场强大小为300 V/m D．将电子从B点移到D点电场力做的功为-3 eV 【练习3.10】（多选）如图所示，正方形的顶点b、d在x轴上，顶点a、c在y轴上，正方形abcd的中心与坐标原点重合，且Od=0.2 m.空间有一与xOy平面平行的匀强电场，已知a、b、c三点的电势分别为2V、V、-2V，则下列说法正确的( ) A．电子在a点的电势能小于在b点的电势能 B．d点电势为V C．该匀强电场的电场强度的大小为E=20 V/m D．电场强度方向斜向上，且电场线与y轴正方向的夹角为30° 【练习3.11】如图所示在某匀强电场中有M、N、P三点，在以它们为顶点的三角形中，∠M＝30°、∠P＝90°，直角边NP的长度为4 cm。电场方向与三角形所在平面平行。已知M、N和P点的电势分别为3 V、15 V和12 V，则电场强度的大小为(　 　) A．150 V/m　　　　 B．75 V/m C．225 V/m D．75 V/m 课后巩固 1．【难度2】思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)由公式E＝可知，电场强度与电势差U成正比 ( ) (2)电场线的方向就是电势逐渐降落的方向. ( ) (3)E＝与E＝k中的q和Q表示相同的含义 ( ) (4)沿电场线方向任意相同距离上的电势差必相等. ( ) (5)在匀强电场中，任意两点间的电势差等于场强与这两点间距离的乘积. ( ) 2．【难度2】关于静电场，下列说法正确的是 (　 　) A．电场强度为0的地方，电势也为0 B．任一点的电场强度方向总是指向该点电势降落最快的方向 C．电场线越密的地方相等距离两点的电势差越大 D．根据公式Uab＝Ed可知，在匀强电场中a、b间的距离越大，电势差就越大 3．【难度2】在下列静电学公式中，F、q、E、U和d分别表示静电力、电荷量、电场强度、电势差及距离，①F＝k，②E＝k，③E＝，④U＝Ed，有关四个公式的下列说法中正确的是(　 　) A．它们都只对点电荷或点电荷的电场成立 B．①②③只对点电荷或点电荷的电场成立，④对任何电场都成立 C．①②只对点电荷成立，③对任何电场都成立，④只对匀强电场成立 D．①②只对点电荷成立，③④对任何电场都成立 4．【难度2】(多选)下列说法中正确的是(　 　) A．E＝适用于任何电场 B．E＝适用于任何电场 C．E＝k适用于真空中的点电荷形成的电场 D．E是矢量，由U＝Ed可知，U也是矢量 5．【难度2】正常情况下空气是不导电的，但是如果空气中的电场很强，空气也可以被击穿，空气被击穿时会看到电火花或闪电。若观察到某次闪电的火花长约100 m，且已知空气的击穿电场强度为3×106 V/m，那么发生此次闪电的电势差约为(　 　) A．3×108 V　　　 B．3×106 V C．3×104 V D．3×10－5 V 6．【难度2.5】如图所示，在电场强度E＝2×103 V/m的匀强电场中有三点A、M和B，AM＝4 cm，MB＝3 cm，AB＝5 cm，且AM边平行于电场线，把一电荷量q＝2×10－9 C的正电荷从B移动到M点，再从M点移动到A点，电场力做功为(　 　) A．0.16×10－6 J B．0.12×10－6 J C．－0.16×10－6 J D．－0.12×10－6 J 7．【难度2.5】(多选)如图所示，在电场中任取一条电场线，a、b两点相距为d，则(　 　) A．a点的场强一定大于b点的场强 B．a点的电势一定高于b点的电势 C．a、b两点的电势差一定等于Ed(E为a点场强) D．a、b两点的电势差在数值上等于单位正电荷由a沿任意路径移到b点电场力所做的功 8．【难度3】如图所示，直线a、b和c、d是处于匀强电场中的两组平行线，M、N、P、Q是它们的交点，四点处的电势分别为φM、φN、φP、φQ.一电子由M点分别运动到N点和P点的过程中，电场力所做的负功相等.则(　 　) A．直线a位于某一等势面内，φM>φQ B．直线c位于某一等势面内，φM>φN C．若电子由M点运动到Q点，电场力做正功 D．若电子由P点运动到Q点，电场力做负功 9．【难度3】如图在点电荷Q产生的电场中，将两个带正电的试探电荷q1、q2分别置于A、B两点，虚线为等势线.取无穷远处为零电势点，若将q1、q2移到无穷远的过程中外力克服电场力做的功相等，则下列说法正确的是(　 　) A．A点电势大于B点电势 B．A、B两点的电场强度相等 C．q1的电荷量小于q2的电荷量 D．q1在A点的电势能小于q2在B点的电势能 10．【难度3】下列各选项图中A、B、C是匀强电场中的三个点，各点电势φA＝10 V、φB＝2 V、φC＝6 V，A、B、C三点在同一平面上，下列各图中电场强度的方向表示正确的是(　 　) 11．【难度3】如图所示，在平面直角坐标系中，有方向平行于坐标平面的匀强电场，其中坐标原点O处的电势为0，点A处的电势为6 V，点B处的电势为3 V，则电场强度的大小为(　 　) A．200 V/m B．200 V/m C．100 V/m D．100 V/m 12．【难度2.5】（多选）如图，一个等腰三角形abe和一个矩形bcde的组合图形所在平面与匀强电场所在平面重合，其中af为等腰三角形底边上的高，∠abe=30°，bc=af=3 cm，a、b、c三点的电势分别为4V、2V、1V，则下列说法正确的是（ ） A．f点的电势为2V B．ae所在直线为等势线 C．电场线的方向由a指向c D．电场强度大小为 1．【难度2.5】(多选)场强为E＝1.0×102 V/m的匀强电场中，有相距d＝2.0×10－2 m的a、b两点，则a、b两点间的电势差可能为(　 　) A．1.0 V　　　　 B．2.0 V C．3.0 V D．4.0 V 2．【难度3】如图所示，三个同心圆是点电荷q周围的三个等势面，A、B、C是这三个等势面与一条电场线的交点，且AB＝BC.A、C两点的电势分别为φA＝10 V和φC＝2 V，则B点的电势(　 　) A．等于6 V B．低于6 V C．高于6 V D．无法确定 3．【难度3】如图所示，两块水平放置的带电平行金属板间有竖直向上的匀强电场.一个质量为m、带电量为q的油滴以初速度v0进入电场，并在电场中沿直线运动了一段时间，空气阻力不计，则(　 　) A．该油滴带负电 B．在这段时间内电场力所做的功大于油滴重力势能的变化 C．在这段时间内油滴的机械能保持不变 D．在这段时间内油滴的动能保持不变 1．【难度3】如图所示，两块不带电的竖直平行金属板的间距为d，一个重力为G的带电小球在重力作用下在两板间竖直下落，此时小球的运动轨迹是AB，当两板间加上电压U时，小球受力方向变成沿BC方向，则此小球所带的电荷量应是(　 　) A． B． C． D． 2．【难度3】如图所示，在空气中放置两块金属板，板间距离d为5.0 mm，电源电压U为150 V.当S断开，金属板不带电时，极板中的油滴匀速下落，速度为v0，然后闭合S，则油滴匀速上升，其速度大小也是v0，已测得油滴直径为1.10×10－6 m，密度ρ为1.04×103 kg/m3.已知空气阻力F阻和速度v0成正比，即F阻＝kv0，空气浮力不计.元电荷e为1.6×10－19 C，g取10 m/s2，试求： (1)油滴所带的电荷量q是多少？ (2)此油滴缺少或多余多少个电子？ 3．【难度3】(多选)如图所示，虚线框内有匀强电场，AA′、BB′、CC′是该电场的三个等势面，相邻等势面间的距离均为3.0 cm，已知BB′上的电势为0 V。一个电子沿AA′方向以初动能Ek＝4 eV自图中的P点进入电场，刚好从C′点离开电场，电子从P到C′的过程静电力做功为6 eV。下列说法正确的是(　 　) A．平面AA′上的电势为3 V B．该匀强电场的电场强度为100 N/C C．该粒子经过平面BB′时的电势能为10 eV D．该粒子从P到C′的过程动能和电势能总和守恒 4．【难度3】(多选)如图所示，在y轴上关于O点对称的A、B两点有等量同种点电荷＋Q，在x轴上C点有点电荷－Q，且CO＝OD，∠ADO＝60°.下列判断正确的是(　 　) A．O点电场强度为零 B．D点电场强度为零 C．若将点电荷＋q从O移向C，电势能增大 D．若将点电荷－q从O移向C，电势能增大 5．【难度3.5】一半径为R的光滑圆环竖直放在水平向右、场强为E的匀强电场中，如图所示，环上a、c是竖直直径的两端，b、d是水平直径的两端，质量为m的带电小球套在圆环上，并可沿环无摩擦滑动.现使小球由a点静止释放，沿abc运动到d点时速度恰好为零.由此可知，小球在b点时(　 　) A．加速度为零　　　　　　　 　 B．机械能最大 C．电势能最大 D．动能最大 6．【难度3.5】如图所示，充电的平行板电容器两板间形成匀强电场，以A点为坐标原点，AB方向为位移x的正方向，能正确反映电势φ随位移x变化的图像是 (　 　) A　　　　 B　　　　C　　　 　D 7．【难度3.5】如图所示，在绝缘粗糙的水平面上，相距为L的A、B两点处分别固定着两个等电量的正电荷，a、b是AB连线上的两点，其中Aa＝Bb＝，O为AB连线的中点，一质量为m、带电量为＋q的小滑块(可以看成质点)以初动能Ek0从a点出发，沿AB直线向b运动，其中小滑块第一次经过O点时的动能为初动能的3倍，到达b点时动能恰好为零，小滑块最终停在O点，求： (1)小滑块与水平面间的动摩擦因数. (2)O、b两点间的电势差. (3)小滑块运动的总路程. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高中物理 必修三 第十章 静电场中的能量 10.3电势差与电场强度的关系 匀强电场中电势差与电场强度的关系 知识点一 1．关系式：UAB＝Ed或E＝。 2．物理意义：匀强电场中两点间的电势差等于电场强度与这两点沿电场方向的距离的乘积。 3．适用条件：匀强电场。应用公式UAB＝Ed计算时，首先要明确所研究的电荷所处的电场必须是匀强电场，其次要明确所要研究的两点的距离应当是沿场强方向两点间的距离。 4．电场强度的另一个单位：由E＝可导出电场强度的另一个单位，即伏每米，符号为V/m。1 V/m＝1 N/C。 5．关于场强E的几个表达式 公 式 适用范围 说 明 E＝ 任何电场 定义式，q为试探电荷的电量 E＝k 真空中点电荷形成的电场 Q为场源电荷的电量，E表示跟点电荷相距r处的某点的场强 E＝ 匀强电场 U为沿电场线方向上相距为d的两点间的电势差 注：(1)电场强度为零的地方电势不一定为零，如等量同种点电荷连线的中点；电势为零的地方电场强度也不一定为零，如等量异种点电荷连线的中点. (2)电场强度相等的地方电势不一定相等，如匀强电场；电势相等的地方电场强度不一定相等，如点电荷周围的等势面. 公式E＝的意义 知识点二 1．意义： 大小关系 由E＝可知，电场强度在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势 方向关系 电场中电场强度的方向就是电势降低最快的方向 物理意义 电场强度是电势差对空间位置的变化率，反映了电势随空间变化的快慢 2．在非匀强电场中，公式E＝可用来定性分析问题，由E＝可以得出结论： （1）在等差等势面越密的地方场强就越大，如图甲所示.再如图乙所示，a、b、c为某条电场线上的三个点，且距离ab＝bc，由于电场线越密的地方电场强度越大，故Uab＜Ubc. （2）在匀强电场中，沿任意一个方向，电势降低都是均匀的，故在同一直线上相同间距的两点间电势差相等，如图甲，AB＝BC，则UAB＝UBC。在匀强电场中，相互平行且相等的线段两点间的电势差相等。如图AB＝CD，则UAB＝UCD。 甲　　　　　　　　乙 （3）确定电场方向的方法：先由等分法确定电势相等的点，画出等势面(线)，然后根据电场线与等势面(线)垂直画出电场线，且电场线的方向由电势高的等势面(线)指向电势低的等势面(线)。 对关系式U＝Ed和E＝的理解 考点一 【例1.1】关于匀强电场中的场强和电势差的关系，下列说法正确的是(　C　) A．电场强度越大，则任意两点间的电势差也越大 B．任意两点间的电势差等于场强和这两点间距离的乘积 C．沿着电场线方向，任何相同距离上的电势降低必定相等 D．场强与电势处处相同 [解析：电场强度越大，则电场强；任意两点间的电势差与场强和两点位置均有关，A错误；匀强电场中场强和电势差的关系式是U＝Ed，d是沿电场线方向两点间的距离，B错误；根据公式U＝Ed，沿着电场线方向，任何相同距离上的电势降低必定相等，C正确；任何电场中，电势总是沿着电场线方向减小，D错误。] 【例1.2】如图所示，在xOy平面内有一个以O为圆心、半径R＝0.1 m的圆，P为圆周上的一点，O、P两点连线与x轴正方向的夹角为θ.若空间存在沿y轴负方向的匀强电场，电场强度大小E＝100 V/m，则O、P两点的电势差可表示为(　A　) A． UOP＝－10sin θ(V) B．UOP＝10sin θ(V) C．UOP＝－10cos θ(V) D．UOP＝10cos θ(V) [解析：考查U＝Ed中d的物理意义.由图知UOP＝－E·PO·sin θ＝－10sin θ(V).] 【练习1.1】关于匀强电场中的电场强度和电势差的关系，下列说法正确的是(　B　) A．任意两点间的电势差等于场强和这两点间距离的乘积 B．沿电场线方向上，相同距离上电势降落一定相等 C．电势降落的方向一定是电场强度的方向 D．电势降落最快的方向不一定是电场强度的方向 [解析：公式UAB＝Ed中的d是沿电场强度的方向上两点间的距离，A错误；沿电场线方向上，相同距离上电势降落相等，B正确；在匀强电场中，沿不同方向电势均可减小，但沿电场强度方向电势降落最快，C、D错误。] 【练习1.2】下列关于匀强电场中场强和电势差关系的说法正确的是(　C　) A．在相同距离上，电势差大的其场强也必定大 B．任意两点的电势差，等于场强与这两点间距离的乘积 C．沿着电场线方向，相同距离上的电势降落必定相等 D．电势降低的方向，必定是电场强度的方向 [解析：由匀强电场的特点知A、B错误，C正确；电势降低最快的方向才是电场强度方向，D错误.] 【练习1.3】在水深超过200 m的深海，光线极少，能见度极低，有一种电鳗具有特殊的适应性，能通过自身发生的生物电获取食物、威胁敌害、保护自己.若该电鳗的头尾相当于两个电极，它在海水中产生的电场强度达到104 N/C，可击昏敌害.则身长50 cm的电鳗，在放电时产生的瞬间电压可达(　C　) A．50 V B．500 V C．5 000 V D．50 000 V [解析：由U＝Ed可得，电鳗放电时产生的瞬时电压U＝104×0.5 V＝5 000 V，C正确.] 【练习1.4】如图所示，在E＝400 V/m的匀强电场中，a、b两点相距d＝2 cm，它们的连线跟电场强度方向的夹角是60°，则Uab等于(　B　) A．－8 V B．－4 V　　　 C．8 V　　　 D．4 V [解析：在电场线方向上a、b两点间的距离(或a、b两点所在等势面间的距离)为d′＝d·cos 60°＝0.01 m，根据匀强电场中，电势差与电场强度的关系可知，Uab＝－Ed′＝－4 V，选项B正确。] 【练习1.5】(多选)如图所示，匀强电场中某电场线上的两点A、B相距0.2 m。正点电荷q＝1×10－6 C从A点移到B点，静电力做功为2×10－6J，则(　AB　) A．该电场的电场强度为10 V/m B．该电场的方向由A指向B C．A、B两点间的电势差为10 V D．B点的电势比A点的高 [解析：根据电势差公式有UAB＝＝2 V，由此看出A点的电势高于B点的电势，电场方向由A指向B；根据E＝，得场强为10 V/m，故A、B正确。] 【例1.3】如图所示，水平放置的两平行金属板A、B接在U＝4 000 V的直流电源上，两极板间距离为2 cm，A极板接地，电场中a点距B极板1 cm，b点和c点均距A极板0.5 cm，求： (1)a点的电场强度； (2)a、c之间的电势差； (3)电子在b点的电势能； (4)电子从a点运动到c点，电场力做的功. [解析：(1)由于是匀强电场，所以a点的电场强度大小为：Ea＝＝V/m＝2×105 V/m. (2)a、c两点的电势差为：Uca＝Ed＝2×105×(0.01－0.005) V＝1 000 V； 故Uac＝－1 000 V. (3)电子在b点的电势能为： Ep＝e·φb＝(－1.6×10－19)×(－ 1 000)J＝1.6×10－16 J. (4)电子从a运动到c，电场力所做的功为： Wac＝eUac＝(－1.6×10－19)×(－ 1 000)J＝1.6×10－16 J.] 【练习1.6】(多选)如图所示，A、B两板间电压为600 V，A板带正电并接地，A、B两板间距离为12 cm，C点离A板4 cm，下列说法正确的是(　BD　) A．E＝2 000 V/m，φC＝200 V B．E＝5 000 V/m，φC＝－200 V C．电子在C点具有的电势能为－200 eV D．电子在C点具有的电势能为200 eV [解析：A板接地，则其电势为零，又因为A、B两板间的电压为600 V，则B板电势为－600 V，由此知C点电势为负值，则A、B两板间场强E＝＝＝50 V/cm＝5 000 V/m，φC＝－EdC＝－50×4 V＝－200 V，选项A错误，B正确；电子在C点具有的电势能为200 eV，选项C错误，D正确。] 【练习1.7】有两块平行金属板A、B相隔6 cm，接在36 V的直流电源上.电源的正极接地，C点在两板间且到A板的距离为2 cm. (1)求A、B两板间的场强大小和方向. (2)以地为电势的零点，问C点的电势多高？ [解析：(1)板间场强的大小E＝＝ V/m＝6×102 V/m，场强方向由A板垂直指向B板. (2)UAC＝EdAC＝6×102×2×10－2 V＝12 V，由UAC＝φA－φC，得φC＝φA－UAC＝0－12 V＝－12 V.] 几种电场类型题 考点二 【例2.1】(多选)如图所示，a、b、c为电场中同一条水平方向电场线上的三点，c为ab中点。a、b电势分别为φa＝5 V，φb＝3 V，下列叙述正确的是(　CD　) A．该电场在c点处的电势一定为4 V B．a点处的场强Ea一定大于b点处的场强Eb C．一正电荷从c点运动到b点，电势能一定减少 D．一正电荷运动到c点时受到的电场力由a指向c [解析：该电场不一定是匀强电场，无法比较a、b两点的电场强度大小，c点的电势也不一定为4 V，但电场方向由a→b，正电荷在c点所受电场力方向一定由a指向c，正电荷由c运动到b的过程中，电场力做正功，电势能一定减少，故C、D正确，A、B错误。] 【练习2.1】如图a、b、c是一条电场线上的三个点，电场线的方向由a到c，a、b间的距离等于b、c间的距离，用φa、φb、φc和Ea、Eb、Ec分别表示a、b、c三点的电势和电场强度，可以判定(　A　) A．φa＞φb＞φc　　　　 B．Ea＞Eb＞Ec C．φa－φb＝φb－φc D．Ea＝Eb＝Ec [解析：题中给出的一条电场线，不一定是哪一种电场形成的电场线，因此B、C、D均不正确.其中在前三个图中可由U＝Ed定性分析.不论是何种情况的电场，沿着电场线方向电势总是降低的，φa＞φb＞φc，故A正确.] 【练习2.2】如图直线上有O、a、b、c四点，a、b间的距离与b、c间的距离相等，在O点处有固定点电荷.已知b点电势高于c点电势.若一带负电荷的粒子仅在电场力作用下先从c点运动到b点，再从b点运动到a点，则(　C　) A．两过程中电场力做的功相等 B．前一过程中电场力做的功大于后一过程中电场力做的功 C．前一过程中，粒子电势能不断减小 D．后一过程中，粒子动能不断减小 [解析：根据点电荷电场及电势分布特点可知，b点电势高于c点电势，则O点固定的是正电荷.负电荷移动过程中电场力做功W＝qU，因为Ubc＜Uab，则前一个过程中电场力做功小于后一个过程电场力做功，A、B选项错误；两个过程中均为电场力做正功，粒子的电势能减小，动能增加，C对，D错.] 【例2.2】如图所示，有竖直向下的匀强电场，A、B两等势面间距离为5 cm，电势差为25 V，在电场中P点固定放置电量为5×10－9 C的负点电荷，此时电场中有一点场强为零，此点在P点的(　B　) A．上方30 cm B．下方30 cm C．上方25 cm D．下方25 cm [解析：匀强电场的场强E＝＝ V/m＝500 V/m，设距P点L处的合场强为零，则k＝9×109× V/m＝500 V/m，L＝0.3 m，负点电荷在L处的电场竖直向上，该点在电场中P点的下方，B正确.] 【例2.3】如图所示，在某电场中画出了四条电场线，C、D两点是AB连线的三等分点。已知A点的电势为φA＝30 V，B点的电势为φB＝0，则(　B　) A．C点的电势＝20 V B．C点的电势<20 V C．C点的电势>20 V D．A、B、C都不正确 [解析：由题图看出，AC段电场线比CD段、DB段电场线密，则AC段电场强度最大，根据公式U＝Ed可以知道，A、C间电势差UAC大于C、D间电势差UCD和D、B间电势差UDB。所以UAC>UAB＝(φA－φB)＝10 V，即(φA－φC)>10 V，又φA＝30 V，可以知道φC<20 V。故选项B正确。] 【练习2.3】如图所示的匀强电场场强为1.0×103 N/C，ab平行于电场线，ab＝cd＝4 cm，ac＝bd＝3 cm。则下述计算结果正确的是(　A　) A．a、b之间的电势差为40 V B．a、c之间的电势差为50 V C．将q＝－5×10－3 C的点电荷沿矩形路径abdca移动一周，电场力做的功是－0.25 J D．将q＝－5×10－3 C的点电荷沿abd从a移到d，电场力做的功是0.25 J [解析：由UAB＝Ed得Uab＝1.0×103×0.04 V＝40 V，A正确；因为a、c在同一等势面上，所以Uac＝0，B错；将电荷沿abdca移动一周，位移为0，故电场力做的功为0，C错；Wad＝Wab＝qUab＝(－5×10－3)×40 J＝－0.2 J，D错] 【练习2.4】如图所示，在水平方向的匀强电场中，一电场线上有相距6 cm的A、B两点，且UAB＝150 V，求： (1)电场强度的大小和方向； (2)电场中A、C两点相距14 cm，A、C两点连线与电场线方向成37°夹角，则C点与A点的电势差UCA为多少？(已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8) [解析：(1)电场强度的大小E＝＝ V/m＝2.5×103 V/m，方向水平向右。 (2)C点与A点的电势差UCA＝－EdCAcos 37°＝－280 V。] 【练习2.5】(多选)某电场的电场线分布如图所示，以下说法正确的是(　BD　) A．c点场强大于b点场强 B．a点电势高于b点电势 C．若将一试探电荷＋q由a点释放，它将沿电场线运动到b点 D．若在d点再固定一点电荷－Q，将一试探电荷＋q由a移至b的过程中，电势能减小 [解析：电场线的疏密表示电场的强弱，A项错误；沿着电场线方向电势逐渐降低，B项正确；＋q在a点所受静电力方向沿电场线的切线方向，由于电场线为曲线，所以＋q不会沿电场线运动，C项错误；在d点固定一点电荷－Q后，a点电势仍高于b点，＋q由a移至b的过程中，静电力做正功，电势能减小，D项正确.] 利用匀强电场中电势的特点确定电场方向 考点三 1．公式中d可理解为电场中两点所在等势面之间的距离，由此可得出一个结论：在匀强电场中，两长度相等且相互平行的线段的端点间的电势差相等．如图所示，AB、CD平行且相等，则UAB＝UCD 2．利用等分电势法画等势线及电场线的方法 等分法：在匀强电场中，如果把某两点间的距离等分为几段，则每段两端点的电势差等于原电势差的. 【例3.1】如图所示，A、B、C、D、E、F为匀强电场中一个边长为10 cm的正六边形的六个顶点，A、B、C三点电势分别为1.0 V、2.0 V、3.0 V，则下列说法正确的是(　B　) A．匀强电场的电场强度大小为10 V/m B．匀强电场的电场强度大小为 V/m C．电荷量为1.6×10－19 C的正点电荷从E点移到F点，电荷克服电场力做功为1.6×10－19 J D．电荷量为1.6×10－19 C的负点电荷从F点移到D点，电荷的电势能减少4.8×10－19 J [解析：对A、B选项，要找出等势面，求出两个等势面之间的距离.可以将A、C两点连接，则A、C中点电势为2.0 V，而且恰好在EB连线上，所以E点电势为2.0 V，F、D两点的电势分别为1.0 V、3.0 V.DF连线距离为10 cm，根据匀强电场中电势差与电场强度的关系E＝＝ V＝ V，所以A选项错误，B选项正确.对C、D选项，直接利用计算电场力做功的公式和电场力的功与电势能的关系解决.UEF＝1 V，WEF＝qUEF＝1.6×10－19×1 J＝1.6×10－19 J，所以C选项错误.UFD＝－2 V，WFD＝qUFD＝－1.6×10－19×(－2) J＝3.2×10－19 J，负点电荷从F点移到D点，电荷的电势能减小3.2×10－19 J，因而D选项也错误.] 【练习3.1】如图所示是一个匀强电场的等势面，每两个相邻等势面相距2 cm，由此可以确定电场强度的方向和数值是(　B　) A．竖直向下，E＝100 V/m B．水平向左，E＝100 V/m C．水平向左，E＝200 V/m D．水平向右，E＝200 V/m [解析：根据电场强度的方向应与等势面垂直，且由较高的等势面指向较低的等势面，可知该电场强度的方向水平向左.由场强与电势差的关系得：E＝＝100 V/m.] 【练习3.2】a、b、c、d是匀强电场中的四个点，它们正好是一个矩形的四个顶点.电场线与矩形所在平面平行.已知a点的电势为20 V，b点的电势为24 V，d点的电势为4 V，如图由此可知c点的电势为( B　) A．4 V　　　　　　　　　　 　 B．8 V C．12 V D．24 V [解析：根据匀强电场的特点，Uad＝Ubc，即φa－φd＝φb－φc，解得φc＝8 V，B正确.] 【练习3.3】如图所示的匀强电场，等势面是一簇互相平行的竖直平面，间隔均为d，各等势面电势已在图中标出。现有一质量为m的带电小球以速度v0、方向与水平方向成45°角斜向上射入电场，要使小球做直线运动，求： (1)小球应带何种电荷及其电荷量； (2)小球受到的合外力的大小； (3)在入射方向上小球运动的最大位移xm。(电场足够大) 甲　　　　　 　　　乙 [解析：(1)作电场线如图甲所示。由题意知，小球只有受到向左的电场力，电场力和重力的合力与初速度才可能在一条直线上，如图乙所示。只有当F合与v0在一条直线上才可能使小球做直线运动，所以小球带正电，小球沿v0方向做匀减速运动。 由图乙知qE＝mg，相邻等势面间的电势差为U，所以E＝，所以q＝＝。 (2)由图乙知，F合＝＝mg。 (3)由动能定理得－F合xm＝0－mv，所以xm＝＝。] 【例3.2】如图带正电的点电荷固定于Q点，电子在库仑力作用下，做以Q点为焦点的椭圆运动.M、P、N为椭圆上的三点，P点是轨道上离Q点最近的点.电子在从M经P到达N点的过程中(　C　) A．库仑力先做负功后做正功 B．速率先减小后增大 C．电势能先减小后增大 D．电势能先增大后减小 [解析：电子受到点电荷Q的引力，当电子由M点向P点运动时，二者距离减小，库仑力做正功，故电势能减小，又由动能定理知，动能增大，即速率增大；当电子由P点向N点运动时，库仑力做负功动能减小电势能增大，C对] 【练习3.4】如图中，B、C、D三点都在以点电荷＋Q为圆心半径为r的圆弧上.将一试探电荷从A点分别移到B、C、D各点时，静电力做功的关系是(　D　) A．WAB＞WAC　　 　 B．WAD＞WAB C．WAC＞WAD D．WAB＝WAC [解析：因B、C、D三点位于点电荷＋Q周围电场中的同一等势面上， 故UAB＝UAC ＝UAD，由电场力做功W＝qU知WAB＝WAC＝WAD.] 【练习3.5】匀强电场中的三点A、B、C是一个三角形的三个顶点，AB的长度为1 m，D为AB的中点，如图所示.已知电场线的方向平行于△ABC所在平面，A、B、C三点的电势分别为14 V、6 V和2 V.设电场强度大小为E，一电荷量为1×10－6 C的正电荷从D点移到C点电场力所做的功为W，则(　A　) A．W＝8×10－6 J　　E>8 V/m B．W＝6×10－6 J　　E>6 V/m C．W＝8×10－6 J　　E≤8 V/m D．W＝6×10－6 J　　E≤6 V/m [解析：因电场是匀强电场，D是AB的中点，故D的电势φD＝＝10 V.所以W＝q(φD－φC)＝8×10－6 J.设E的方向与的夹角为α，则α≠0，否则等势面与AB垂直，C点电势就会高于B点电势.由E＝可知：＝，因α>0，则cos α<1，E>8 V/m，故A正确.] 【例3.3】如图所示，在匀强电场中，电荷量q＝5.0×10－10 C的正电荷由a点移到b点和由a点移到c点，电场力做功都是3.0×10－8 J，已知a、b、c三点的连线组成了一个直角三角形，ab＝20 cm，∠a＝37°，∠c＝90°，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求： (1)a、b两点的电势差Uab； (2)匀强电场的场强大小和方向。 [解析：(1)因为正电荷从a到b和从a到c，电场力做功相等，所以由W＝qU可得 Uab＝Uac，b、c两点在同一等势面上，根据电场线与等势面垂直，可知 场强方向与ac平行，垂直指向bc。Uab＝＝ V＝60 V。 (2)由U＝Ed可得E＝＝＝ V/m＝375 V/m，场强方向平行于ac，且由a指向c。] 【例3.4】如图所示，虚线方框内有一匀强电场，A、B、C为该电场中的三点，已知：φA＝12 V，φB＝6 V，φC＝－6 V。试在该虚线框内作出该电场的示意图(画出几条电场线)，并要求保留作图时所用的辅助线。 [解析：要画电场线，先找等势面(线)。因为UAC＝18 V、UAB＝6 V，＝3，将线段AC等分成三份，即使AH＝HF＝FC，则φH＝6 V，φF＝0，故B、H等电势。连接BH即为等势线，由电场线与等势面(线)垂直且由高电势指向低电势，可画出电场线如图所示] 【练习3.6】如图所示，在直角三角形ABC中∠C=90°、∠A=37°、边AB=1 m，一匀强电场的方向平行于三角形ABC所在的平面，已知A、B、C三点的电势分别为φA=16V、φB=-9V、φC=0V，则场的电场强度大小为（ A ） A．25 V/m B．50 V/m C．V/m D．V/m [解析：设AB边上D点的电势为0，则CD为等势线，如图所示。则UAD=16V，UDB=9V，故AD：DB=16：9.假设CD⊥AB，则，，CD=ABcos37°sin37°=0.48m，可得，假设成立，该电场的电场强度大小为] 【练习3.7】如图所示，A、B、C为一等边三角形的三个顶点，某匀强电场的电场线平行于该三角形平面.现将电荷量为1×10－8 C的正点电荷从A点移到B点，电场力做的功为3×10－6 J，将另一电荷量为1×10－8 C的负点电荷从A点移到C点，克服电场力做的功为3×10－6 J. (1)求UAB、UAC、UBC各为多少？ (2)画出电场线方向； (3)若AB边长为2 cm，求电场强度. [解析：(1)正点电荷从A点移到B点时，电场力做正功.故A点电势高于B点电势，可求得UAB＝＝ V＝300 V.负点电荷从A点移到C点，电场力做负功，A点电势高于C点电势，可求得UAC＝＝300 V.因此B、C两点电势相等，故UBC＝0. (2)由于匀强电场中的等势线是一簇平行直线，因此，BC为一条等势线，故电场线垂直于BC，设D为BC的中点，则场强方向为由A指向D，如图所示. (3)AB在场强方向的距离d等于线段AD的长度，故由匀强电场中电势差与场强的关系式可得E＝＝ V/m＝104 V/m.] 【练习3.8】为使带负电的点电荷q在一匀强电场中沿直线匀速地由A运动到B，必须对该电荷施加一个恒力F，如图所示，若AB＝0.4 m，α＝37°，q＝－3×10－7 C，F＝1.5×10－4 N，A点的电势φA＝100 V．(不计负电荷受到的重力) (1)在图中用实线画出电场线，用虚线画出通过A、B两点的等势线，并标明它们的电势． (2)求q在由A到B的过程中电势能的变化量是多少？ [解析：(1)负电荷在匀强电场中做匀速运动说明受的电场力与外力F等大反向，因此该电场方向与F的方向同向，如图所示，等势线与场强垂直，过A、B两点的等势线如图所示，A、B两点间的电势差UAB＝E·dAB·cos α， 匀强电场的场强E＝＝，所以UAB＝dAB·cos α＝×0.4×0.8 V＝160 V，φB＝φA－UAB＝－60 V. (2)由A到B克服电场力做功，W＝q·UAB＝160×3×10－7 J＝4.8×10－5 J，即电势能变化量为4.8×10－5 J.] 【练习3.9】如图所示的平面内有A、B、C、D、F五点，平面内存在匀强电场，电场方向与该平面平行，其中AC平行于DF，B点为AC的中点，已知AB=DF=2cm，A点的电势φa=10 V，C点的电势φc=4V，F点的电势为φF=13 V，AB与AD连线的夹角为30°，电子的电荷量为-e，下列说法正确的是（ C ） A．φB=6 V B．电子在D点的电势能EpD=10 eV C．匀强电场的场强大小为300 V/m D．将电子从B点移到D点电场力做的功为-3 eV [解析：在匀强电场中沿任意一条直线或两条平行直线上距离相等的两点电势差相等，故,A错误；,解得,故AD为该匀强电场的等势线，场强方向垂直AD向左，则电子在D点的电势能,B错误；将电子从B点移到D点电场力做的功为,D错误；由几何关系知B点到AD连线的距离为x=ABsin30°=1 cm,则场强,C正确，] 【练习3.10】（多选）如图所示，正方形的顶点b、d在x轴上，顶点a、c在y轴上，正方形abcd的中心与坐标原点重合，且Od=0.2 m.空间有一与xOy平面平行的匀强电场，已知a、b、c三点的电势分别为2V、V、-2V，则下列说法正确的( BC ) A．电子在a点的电势能小于在b点的电势能 B．d点电势为V C．该匀强电场的电场强度的大小为E=20 V/m D．电场强度方向斜向上，且电场线与y轴正方向的夹角为30° [解析：电子带负电，在电势低的地方电势能大，所以电子在a点的电势能大于在b点的电势能，故A错误；根据对称性可知，ac中点O的电势φo=0，所以，即，代入数据解得，故B正确：在Od上取一点N，使得N点的电势和c点相同，即，则cN为等势线，Oc=Od，根据几何关系知，又知，所以，则，匀强电场中，电场线和等势线垂直，电场线OM垂直于cN，且M点的电势等于-2V，由几何关系知OM=0.1m.所以，故C正确，由几何关系，电场强度方向与y轴正方向的夹角，故D错误.] 【练习3.11】如图所示在某匀强电场中有M、N、P三点，在以它们为顶点的三角形中，∠M＝30°、∠P＝90°，直角边NP的长度为4 cm。电场方向与三角形所在平面平行。已知M、N和P点的电势分别为3 V、15 V和12 V，则电场强度的大小为(　A　) A．150 V/m　　　　 B．75 V/m C．225 V/m D．75 V/m [解析：过P点作斜边MN的垂线交MN于O点，由几何知识可知N、O间的距离NO＝2 cm，M、O间的距离MO＝6 cm，由匀强电场的特点和几何关系得O点的电势为φO＝12 V，即O、P两点在同一等势面上，电场强度E＝＝150 V/m，选项A正确，B、C、D错误。] 课后巩固 1．【难度2】思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)由公式E＝可知，电场强度与电势差U成正比 (×) (2)电场线的方向就是电势逐渐降落的方向. (×) (3)E＝与E＝k中的q和Q表示相同的含义 (×) (4)沿电场线方向任意相同距离上的电势差必相等. (×) (5)在匀强电场中，任意两点间的电势差等于场强与这两点间距离的乘积. (×) 2．【难度2】关于静电场，下列说法正确的是 (　B　) A．电场强度为0的地方，电势也为0 B．任一点的电场强度方向总是指向该点电势降落最快的方向 C．电场线越密的地方相等距离两点的电势差越大 D．根据公式Uab＝Ed可知，在匀强电场中a、b间的距离越大，电势差就越大 [解析：电场强度与电势没有直接关系，电场强度为0时，电势不一定为0；电势为0，电场强度不一定为0，故A错误；顺着电场线方向电势降低，电场强度的方向是电势降低最快的方向，故B正确；电场线越密的地方电场强度大，但是若两点间不沿电场线，则电势差不一定越大，故C错误；公式Uab＝Ed中d为沿电场线的距离，若a、b两点不沿电场线，则两点间距离越大电势差不一定越大，故D错误。] 3．【难度2】在下列静电学公式中，F、q、E、U和d分别表示静电力、电荷量、电场强度、电势差及距离，①F＝k，②E＝k，③E＝，④U＝Ed，有关四个公式的下列说法中正确的是(　C　) A．它们都只对点电荷或点电荷的电场成立 B．①②③只对点电荷或点电荷的电场成立，④对任何电场都成立 C．①②只对点电荷成立，③对任何电场都成立，④只对匀强电场成立 D．①②只对点电荷成立，③④对任何电场都成立 [解析：E＝是电场强度定义式，适用于任何电场；F＝k适用于真空中的点电荷；E＝k是点电荷电场强度决定式，只适用于点电荷；U＝Ed适用于匀强电场，故选项C正确，A、B、D错误。] 4．【难度2】(多选)下列说法中正确的是(　BC　) A．E＝适用于任何电场 B．E＝适用于任何电场 C．E＝k适用于真空中的点电荷形成的电场 D．E是矢量，由U＝Ed可知，U也是矢量 [解析：E＝只适用于匀强电场，A错；E＝适用于任何电场，B对；E＝k适用于真空中的点电荷形成的电场，C对；在公式U＝Ed中，E是矢量，U是标量，D错.] 5．【难度2】正常情况下空气是不导电的，但是如果空气中的电场很强，空气也可以被击穿，空气被击穿时会看到电火花或闪电。若观察到某次闪电的火花长约100 m，且已知空气的击穿电场强度为3×106 V/m，那么发生此次闪电的电势差约为(　A　) A．3×108 V　　　 B．3×106 V C．3×104 V D．3×10－5 V [解析：将空气中的电场视为匀强电场，由U＝Ed，可得U＝3×108 V，A正确。] 6．【难度2.5】如图所示，在电场强度E＝2×103 V/m的匀强电场中有三点A、M和B，AM＝4 cm，MB＝3 cm，AB＝5 cm，且AM边平行于电场线，把一电荷量q＝2×10－9 C的正电荷从B移动到M点，再从M点移动到A点，电场力做功为(　C　) A．0.16×10－6 J B．0.12×10－6 J C．－0.16×10－6 J D．－0.12×10－6 J [解析：B、M在同一等势面上，电荷由B到M电场力不做功.由M到A电场力做负功，W＝qU＝q·Ed＝2×10－9×2×103×4×10－2 J＝0.16×10－6 J.即电场力做功为－0.16×10－6 J.] 7．【难度2.5】(多选)如图所示，在电场中任取一条电场线，a、b两点相距为d，则(　BD　) A．a点的场强一定大于b点的场强 B．a点的电势一定高于b点的电势 C．a、b两点的电势差一定等于Ed(E为a点场强) D．a、b两点的电势差在数值上等于单位正电荷由a沿任意路径移到b点电场力所做的功 [解析：一条电场线无法确定场强的强弱，选项A错误；沿电场线电势逐渐降低，故a点的电势一定高于b点的电势，选项B正确；匀强电场中，两点间的电势差等于电场强度与间距的乘积，该电场不一定为匀强电场，选项C错误；根据电势差的定义式Uab＝可知，a、b两点的电势差在数值上等于单位正电荷由a沿任意路径移到b点电场力所做的功，选项D正确。] 8．【难度3】如图所示，直线a、b和c、d是处于匀强电场中的两组平行线，M、N、P、Q是它们的交点，四点处的电势分别为φM、φN、φP、φQ.一电子由M点分别运动到N点和P点的过程中，电场力所做的负功相等.则(　B　) A．直线a位于某一等势面内，φM>φQ B．直线c位于某一等势面内，φM>φN C．若电子由M点运动到Q点，电场力做正功 D．若电子由P点运动到Q点，电场力做负功 [解析：由电子从M点分别运动到N点和P点的过程中电场力所做的负功相等可知，N、P两点在同一等势面上，且电场线方向为M→N，故选项B正确，选项A错误.M点与Q点在同一等势面上，电子由M点运动到Q点，电场力不做功，故选项C错误.电子由P点运动到Q点，电场力做正功，故选项D错误.] 9．【难度3】如图在点电荷Q产生的电场中，将两个带正电的试探电荷q1、q2分别置于A、B两点，虚线为等势线.取无穷远处为零电势点，若将q1、q2移到无穷远的过程中外力克服电场力做的功相等，则下列说法正确的是(　C　) A．A点电势大于B点电势 B．A、B两点的电场强度相等 C．q1的电荷量小于q2的电荷量 D．q1在A点的电势能小于q2在B点的电势能 [解析：由题意知点电荷Q带负电，所以有φA＜φB＜0，得|UA∞|＞|UB∞|，移动两试探电荷克服电场力做功相等，即q1|UA∞|＝q2|UB∞|，所以q1＜q2，A错误，C正确；因为E＝k，rA＜rB，所以EA＞EB，而且A、B两点的场强方向也不同，B错误；根据电场力做功与电势能变化的关系，q1在A点的电势能等于q2在B点的电势能，D错误.] 10．【难度3】下列各选项图中A、B、C是匀强电场中的三个点，各点电势φA＝10 V、φB＝2 V、φC＝6 V，A、B、C三点在同一平面上，下列各图中电场强度的方向表示正确的是(　D　) [解析：A、B中点电势为6 V，该点与C为等势点，因此电场强度的方向垂直该连线指向低电势一侧.] 11．【难度3】如图所示，在平面直角坐标系中，有方向平行于坐标平面的匀强电场，其中坐标原点O处的电势为0，点A处的电势为6 V，点B处的电势为3 V，则电场强度的大小为(　A　) A．200 V/m B．200 V/m C．100 V/m D．100 V/m [解析：x轴上OA的中点C的电势为3 V，则BC的连线为等势线，如图所示，电场的方向与等势线垂直，且由电势高处指向电势低处.根据几何图形，O点到BC的距离为d＝1.5 cm，所以E＝＝ V/m＝200 V/m，A正确.] 12．【难度2.5】（多选）如图，一个等腰三角形abe和一个矩形bcde的组合图形所在平面与匀强电场所在平面重合，其中af为等腰三角形底边上的高，∠abe=30°，bc=af=3 cm，a、b、c三点的电势分别为4V、2V、1V，则下列说法正确的是（ BD ） A．f点的电势为2V B．ae所在直线为等势线 C．电场线的方向由a指向c D．电场强度大小为 [解析：因为af平行于bc，且af=bc，可得f点的电势为3V，A错误；b、f、e在同一直线上，且bf=fe，所以，可得e点的电势为4V，则ae所在直线为一条等势线，B正确；因为ae所在直线为等势线，且电场线垂直于等势线，由几何关系可知，ac与电场线不平行，故电场线的方向不是由a指向c，C错误；由几何关系可知∠fae=60°，过f作ae的垂线，该垂线长度设为d，由几何关系可知，根据，得，D正确。] 1．【难度2.5】(多选)场强为E＝1.0×102 V/m的匀强电场中，有相距d＝2.0×10－2 m的a、b两点，则a、b两点间的电势差可能为(　AB　) A．1.0 V　　　　 B．2.0 V C．3.0 V D．4.0 V [解析：如图：最大：UAB＝E·d＝2 V；最小：UAB＝0；故：0≤UAB≤2 V，A、B可能，C、D不可能。A、B正确。] 2．【难度3】如图所示，三个同心圆是点电荷q周围的三个等势面，A、B、C是这三个等势面与一条电场线的交点，且AB＝BC.A、C两点的电势分别为φA＝10 V和φC＝2 V，则B点的电势(　B　) A．等于6 V B．低于6 V C．高于6 V D．无法确定 [解析：点电荷形成的电场离点电荷越远电场强度越小，φA－φB＞φB－φC，即φB＜＝6 V。] 3．【难度3】如图所示，两块水平放置的带电平行金属板间有竖直向上的匀强电场.一个质量为m、带电量为q的油滴以初速度v0进入电场，并在电场中沿直线运动了一段时间，空气阻力不计，则(　D　) A．该油滴带负电 B．在这段时间内电场力所做的功大于油滴重力势能的变化 C．在这段时间内油滴的机械能保持不变 D．在这段时间内油滴的动能保持不变 [解析：油滴受重力和电场力，由于油滴做直线运动，故合力一定为零，电场力与重力平衡，电场力向上，与场强同向，故油滴带正电，故A错误；由于电场力和重力是一对平衡力，电场力做的功等于克服重力做的功，而克服重力做的功等于重力势能的增加量，所以电场力所做的功等于油滴重力势能的变化，故B错误；由于除重力外电场力做正功，故机械能增加，故C错误；由于受力平衡，做匀速直线运动，故动能不变，故D正确.] 1．【难度3】如图所示，两块不带电的竖直平行金属板的间距为d，一个重力为G的带电小球在重力作用下在两板间竖直下落，此时小球的运动轨迹是AB，当两板间加上电压U时，小球受力方向变成沿BC方向，则此小球所带的电荷量应是(　C　) A． B． C． D． [解析：设小球所受电场力为F电，由图可知tan 45°＝，又F电＝q，∴q＝。] 2．【难度3】如图所示，在空气中放置两块金属板，板间距离d为5.0 mm，电源电压U为150 V.当S断开，金属板不带电时，极板中的油滴匀速下落，速度为v0，然后闭合S，则油滴匀速上升，其速度大小也是v0，已测得油滴直径为1.10×10－6 m，密度ρ为1.04×103 kg/m3.已知空气阻力F阻和速度v0成正比，即F阻＝kv0，空气浮力不计.元电荷e为1.6×10－19 C，g取10 m/s2，试求： (1)油滴所带的电荷量q是多少？ (2)此油滴缺少或多余多少个电子？ [解析：油滴匀速下落时，仅受重力和阻力作用，且F阻＝mg.当S闭合时，油滴匀速上升，阻力方向向下，它除了受重力和阻力作用外，还受到向上的电场力作用，由平衡条件可求油滴所带的电荷量q. (1)匀速下落时F阻＝mg① 匀速上升时mg＋F阻＝q·② 又m＝ρ·πR3③ 联立可得q＝ ＝4.8×10－19 C. (2)n＝＝个＝3个(多余3个电子).] 3．【难度3】(多选)如图所示，虚线框内有匀强电场，AA′、BB′、CC′是该电场的三个等势面，相邻等势面间的距离均为3.0 cm，已知BB′上的电势为0 V。一个电子沿AA′方向以初动能Ek＝4 eV自图中的P点进入电场，刚好从C′点离开电场，电子从P到C′的过程静电力做功为6 eV。下列说法正确的是(　BD　) A．平面AA′上的电势为3 V B．该匀强电场的电场强度为100 N/C C．该粒子经过平面BB′时的电势能为10 eV D．该粒子从P到C′的过程动能和电势能总和守恒 [解析：电子从P到C′的过程静电力做功为6 eV，即－eUAC＝6 eV，所以UAC＝－6 V，已知BB′上的电势为0 V，则平面AA′上的电势为－3 V，A错误；由于静电力做功与路径无关，则WAC＝－eUAC＝eEd(d为A、C的间距)得E＝＝100 N/C，B正确；已知BB′上的电势为0 V，根据Ep＝φe可知该粒子经过平面BB′时的电势能为0 eV，C错误；粒子运动过程中只有静电力做功，使得动能和电势能之间相互转化，所以粒子的动能与电势能之和不变，D正确。] 4．【难度3】(多选)如图所示，在y轴上关于O点对称的A、B两点有等量同种点电荷＋Q，在x轴上C点有点电荷－Q，且CO＝OD，∠ADO＝60°.下列判断正确的是(　BD　) A．O点电场强度为零 B．D点电场强度为零 C．若将点电荷＋q从O移向C，电势能增大 D．若将点电荷－q从O移向C，电势能增大 [解析：题中A、B两个＋Q在O点的场强矢量和为0，所以O点的场强等于C点在O点产生的场强(不为零)，A错误；题中A、B、C三点电荷在D点产生的场强如图所示，大小相等，设EA＝EB＝EC＝E，EA、EB的矢量和沿x轴正方向，大小也等于E，EC方向沿x轴负方向，故三个场强的矢量和为0，B正确；x轴上x＜0的区间，合场强方向沿x轴负方向，所以将正电荷从O移向C，电场力做正功，电势能减小，将负电荷从O移向C，电场力做负功，电势能增加，C错误，D正确.] 5．【难度3.5】一半径为R的光滑圆环竖直放在水平向右、场强为E的匀强电场中，如图所示，环上a、c是竖直直径的两端，b、d是水平直径的两端，质量为m的带电小球套在圆环上，并可沿环无摩擦滑动.现使小球由a点静止释放，沿abc运动到d点时速度恰好为零.由此可知，小球在b点时(　B　) A．加速度为零　　　　　　　 　 B．机械能最大 C．电势能最大 D．动能最大 [解析：小球从a点由静止出发到d点仍静止，由动能定理可知mgR＋Wq＝0－0，所以有Wq＝－mgR，所以小球带负电，所受到的电场力大小为F＝mg，方向水平向左.在整个过程中，只有由a到b电场力做了正功，由功能关系可知，在b点机械能最大，选项B对；在b点小球速度要满足圆周运动的规律，所以加速度不为零，选项A错；由b到d电场力做负功，电势能增加，d点电势能最大，选项C错；由于重力和电场力都是恒力，所以这两个力的合力也为恒力，方向为斜向左下方，与竖直方向成45°角，由等效法可知，小球应该运动到合力方向的最低点，即b、c两点之间的某一点时其动能最大，选项D错.] 6．【难度3.5】如图所示，充电的平行板电容器两板间形成匀强电场，以A点为坐标原点，AB方向为位移x的正方向，能正确反映电势φ随位移x变化的图像是 (　C　) A　　　　 B　　　　C　　　 　D 　[解析：沿电场线的方向电势逐渐降低，A、B错误；在匀强电场中电势与场强的关系为U＝Ed，成线性关系，C正确，D错误。] 7．【难度3.5】如图所示，在绝缘粗糙的水平面上，相距为L的A、B两点处分别固定着两个等电量的正电荷，a、b是AB连线上的两点，其中Aa＝Bb＝，O为AB连线的中点，一质量为m、带电量为＋q的小滑块(可以看成质点)以初动能Ek0从a点出发，沿AB直线向b运动，其中小滑块第一次经过O点时的动能为初动能的3倍，到达b点时动能恰好为零，小滑块最终停在O点，求： (1)小滑块与水平面间的动摩擦因数. (2)O、b两点间的电势差. (3)小滑块运动的总路程. [解析：(1)a、b是AB连线上的两点，其中Aa＝Bb＝，可知a、b两点关于O点对称，则a、b点电势相等， 即Uab＝0.设滑块与水平面间的摩擦力大小为f. 对滑块从a到b的过程中，由动能定理得： －f＝0－Ek0， 摩擦力：f＝μmg， 解得：μ＝. (2)对于滑块从O到b的过程中，由动能定理得：qUOb－μmg·＝0－3Ek0，解得：UOb＝－. (3)对于滑块从a开始运动到最终在O点停下的整个过程，由动能定理得：qUaO－μmgs＝0－Ek0，解得：s＝ L.] 1 学科网（北京）股份有限公司 $$