精品解析：云南省玉溪市玉溪师范学院附属中学2024-2025学年高二下学期开学考试数学试题

2026届高二下学期开学考数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数（i为虚数单位，a，且）为纯虚数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线与直线互相垂直，则实数（ ） A. B. 2 C. 或2 D. 或-2 4. 三个数，，的大小顺序是（ ） A. B. C. D. 5. 已知等比数列各项都是正数，为其前项和，若，，则 A. 40 B. 56 C. 72 D. 120 6. 已知函数的定义域为，且函数为偶函数，函数为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 7. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正三棱柱的所有棱长相等，且六个顶点都在球的球面上，记正三棱柱的体积为，球的体积为，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 是曲线的一条对称轴 D. 在区间上单调递增 10. 数列的前n项和为Sn，，则有（ ） A. B. 为等比数列 C. D. 11. 设抛物线焦点为，准线为，直线经过点且与交于两点，若，则下列结论中正确的是（ ） A. 直线斜率为或 B. 的中点到的距离为4 C. D. （O为坐标原点） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等比数列的前项的乘积为，若，则__________． 13. 平行六面体中，，，，则的长是______. 14. 已知经过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，若恰为弦的中点，则椭圆的离心率为________________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，. （1）求c； （2）求和的值. 16. 某地举办了“防电信诈骗”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值及样本成绩的第80百分位数； （2）以频率作为概率，每组数据区间中点作代表，估计该地此次竞赛成绩的众数和平均分； （3）已知落在区间的样本平均成绩是57，方差是7，落在区间的样本平均成绩为66，方差是4，求两组样本成绩合并后的平均数和方差. 参考公式：若总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，，记总的样本平均数为，样本方差为，则. 17. 已知数列的前项和为，且满足，. （1）证明：数列等比数列； （2）设，证明：. 18. 如图，在三棱锥中，是以AB为斜边的等腰直角三角形，是以AC为斜边的等腰直角三角形.分别是的中点，， （1）证明：平面平面 （2）求点E到平面的距离; （3）求平面与平面夹角的余弦值. 19. 已知双曲线的离心率为，其虚轴长为1， （1）求双曲线C的方程; （2）直线与双曲线C的右支交于M、N两点， ①求实数m的取值范围; ②若直线也与双曲线C的右支交于E、F两点，且与l垂直，求四边形EMFN面积的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2026届高二下学期开学考数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出，利用交集概念求出答案. 【详解】由题意得，，则． 故选：A． 2. 若复数（i为虚数单位，a，且）为纯虚数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简，根据其为纯虚数可得且，即可求得答案. 详解】由题意得 , ∵为纯虚数 ∴且，∴， 另解：设（），则， 即，， ∴， 故选：D. 3. 已知直线与直线互相垂直，则实数（ ） A. B. 2 C. 或2 D. 或-2 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线间的位置关系列出方程，解之即可求解. 【详解】因为直线与直线互相垂直， 所以，解得或. 故选：C. 4. 三个数，，的大小顺序是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数及对数函数单调性判断大小即可. 【详解】因为，，， 所以， 故选：C. 5. 已知等比数列的各项都是正数，为其前项和，若，，则 A. 40 B. 56 C. 72 D. 120 【答案】D 【解析】 【分析】 根据等比数列片段求和性质求解即可. 【详解】因为,,,成等比数列,所以, ,, 故选：D. 【点睛】本题主要考查了等比数列片段求和的性质,属于基础题. 6. 已知函数的定义域为，且函数为偶函数，函数为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件可得的图像关于对称，，然后可选出答案. 【详解】因为函数为偶函数，所以的图像关于对称， 因为函数的定义域为，函数为奇函数， 所以函数的图像关于点对称，且， 所以， 故选：B 7. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】转化为点与连线的斜率，数形结合后由直线与圆的位置关系求解. 【详解】记，则为直线的斜率， 故当直线与半圆相切时，得k最小， 此时设，故，解得或（舍去）， 即． 故选：C. 8. 已知正三棱柱的所有棱长相等，且六个顶点都在球的球面上，记正三棱柱的体积为，球的体积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据球的体积公式，三棱柱的体积公式，即可求解. 【详解】解：设正三棱柱的所有棱长均为2， 由正弦定理可知底面三角形外接圆半径为：， 则正三棱柱的外接球的半径为， ∴球的体积为， 又正三棱柱的体积为， ∴. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 是曲线的一条对称轴 D. 在区间上单调递增 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，根据图象求得求解判断；对于B，由求解判断；利用三角函数的对称轴对C选项进行判断，利用三角函数的单调性对D选项进行判断. 【详解】对于A，因为，所以由图象知， ，所以，A选项正确； 由图象知，又因为， 所以即， 因为，所以，B错误； 对于C，当时，， 则不是的对称轴，故C错误； 对于D，的单调增区间满足：，， 即单调增区间为，， 当时，增区间为，所以在区间上单调递增，故D正确. 故选：AD. 10. 数列的前n项和为Sn，，则有（ ） A. B. 为等比数列 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据求得，进而求得以及判断出是等比数列. 【详解】由题得， 两式相减得，即， 当时，， 所以数列从第项起是等比数列，所以， 所以数列的通项为. 当时，；当时，符合上式， 所以，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列. 所以ABD选项正确，C选项错误. 故选：ABD 11. 设抛物线的焦点为，准线为，直线经过点且与交于两点，若，则下列结论中正确的是（ ） A. 直线的斜率为或 B. 的中点到的距离为4 C. D. （O为坐标原点） 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题设直线的方程为，，进而联立方程，结合向量关系得或，再依次讨论各选项即可. 【详解】解：由题知焦点为，准线为， 所以，设直线的方程为，， 所以，得， 所以，，①，②， 因为，即， 所以③， 所以，由①②③得或， 所以直线的斜率为，故A选项正确； 所以，，故的中点的横坐标为， 所以，的中点到的距离为，故B选项正确； 当时，，此时，，故； 当时，，此时，，故；故C选项正确； 因为，故不成立，故D选项错误. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等比数列的前项的乘积为，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由可得，再由等比数列的下标和性质即可得出答案. 【详解】由可得：，所以， 又因为为等比数列，所以，所以， 所以. 故答案为：. 13. 平行六面体中，，，，则的长是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算和数量积运算，即可求出模长. 【详解】 因， 由于在平行六面体中， 所以， 又因为，，， 所以 ， 故答案为：. 14. 已知经过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，若恰为弦的中点，则椭圆的离心率为________________. 【答案】 【解析】 【分析】设，代入椭圆方程相减，利用中点坐标求得关系，从而可得离心率． 【详解】解：设，， 是线段的中点， ，两式相减可得， 整理得，即， ∵弦的斜率为 ，即 ． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，. （1）求c； （2）求和的值. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理求解；（2）利用同角三角函数关系式，结合二倍角的正余弦公式以及两角和的正弦公式求解. 【小问1详解】 因，由正弦定理可得， 由余弦定理可得， 故. 【小问2详解】 因为且为内角，故， 故， 故， 故. 16. 某地举办了“防电信诈骗”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值及样本成绩的第80百分位数； （2）以频率作为概率，每组数据区间中点作代表，估计该地此次竞赛成绩的众数和平均分； （3）已知落在区间的样本平均成绩是57，方差是7，落在区间的样本平均成绩为66，方差是4，求两组样本成绩合并后的平均数和方差. 参考公式：若总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，，记总的样本平均数为，样本方差为，则. 【答案】（1）；86； （2）众数为75，平均分为74； （3）63；23 【解析】 【分析】（1）由面积和为1，及百分位数的计算公式即可求解； （2）由众数和平均分的计算公式即可求解； （3）由平均数及方差的计算公式即可求解； 【小问1详解】 由题意知，，解得； 成绩在的频率为0.65，成绩在的频率为0.9， 故第80百分位数在之间，则， 解得，故第80百分位数为86； 【小问2详解】 众数， ， 所以该地此次竞赛成绩的众数为75，平均分为74； 【小问3详解】 由频率分布直方图知，这100份答卷分数在的份数为100×0.1=10， 分数在的份数为100×0.2=20， 所以， 总方差. 17. 已知数列的前项和为，且满足，. （1）证明：数列是等比数列； （2）设，证明：. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）当时，求出的值，当时，由可得，两式作差结合等比数列的定义可证得结论成立； （2）求出数列的通项公式，可得出数列的通项公式，结合裂项相消法可证得结论成立. 【小问1详解】 因为，当时，， 当时，由可得， 上述两个等式作差可得，则，即且， 所以，数列是等比数列，且其首项和公比都为. 【小问2详解】 由（1）可知，，则，所以，， 所以，. 18. 如图，在三棱锥中，是以AB为斜边的等腰直角三角形，是以AC为斜边的等腰直角三角形.分别是的中点，， （1）证明：平面平面 （2）求点E到平面的距离; （3）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的判定定理证明即可得出结论； （2）建立空间直角坐标系利用点到平面距离的向量求法计算可得结果； （3）求出两平面的法向量，再由面面角的向量求法即可求出. 【小问1详解】 因此是以AB为斜边的等腰直角三角形，且，可得， 又是以AC为斜边的等腰直角三角形，， 在中，，， ，，即， 又，，平面， 因此平面， 平面， 可得平面平面； 【小问2详解】 取AC中点O，连接PO，FO， 由（1）可知平面平面， 又，平面平面， 平面ABC，，， 所以， 以O为原点，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 可得，，，，， 则， 设平面的法向量为， 因此，令，则，所以， 又， 所以到平面的距离为； 【小问3详解】 易知，,，， 设平面的法向量为， 则，令，则，所以 设平面与平面的夹角为， 可得 19. 已知双曲线的离心率为，其虚轴长为1， （1）求双曲线C的方程; （2）直线与双曲线C的右支交于M、N两点， ①求实数m的取值范围; ②若直线也与双曲线C的右支交于E、F两点，且与l垂直，求四边形EMFN面积的最小值. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据题意列等式即可求解； （2）①根据题意联立方程组，由直线与双曲线C的右支交于M、N两点，得，即可求解； ②根据题意联立方程组，求得四边形的两条对角线的长度，根据四边形的两条对角线互相垂直，其面积为两条对角线乘积的一半，列式得，结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由题意可得，得， 故双曲线C的方程为： 【小问2详解】 ①设, 联立， 直线与双曲线右支有两个交点， ，得 ②由①可得，， ， 因为与l垂直，所以，同理可得， ， 由可知，，且， ， ， ， ， 当且仅当，即时取到等号， 四边形EMFN面积的最小值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$