专题10.2 解二元一次方程组【9大题型】-2025学年七年级下册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版2024）

专题10.2 解二元一次方程组 【考点梳理】 · 考点一：代入消元法的理解 · 考点二：消元法解二元一次方程组 · 考点三：加减消元法的理解 · 考点四：加减消元法解二元一次方程组 · 考点五：二元一次方程组错解复原问题 · 考点六：二元一次方程组解的情况求参数 · 考点七：方程组相同解问题 · 考点八：二元一次方程组的特别的解法 · 考点九：二元一次方程组的综合问题 【知识梳理】 知识点01、二元一次方程组的解法——消元 （整体思想就是：消去未知数，化“二元”为“一元”） 1、代入消元法：由二元一次方程组中的一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。 注：代入法解二元一次方程组的一般步骤为： ①、从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来； ②、将变形后的关系式代入另一个方程（不能代入原来的方程哦！），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③、解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④、将求得的未知数的值代入变形后的关系式（或原来的方程组中任一个方程）中，求出另一个未知数的值； ⑤、把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解。 知识点02、加减消元法 两个二元一次方程中同一未知数前的系数相反或相等（或利用等式的性质可变为相反或相等）时，将两个方程的左右两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫加减消元法，简称加减法。 注：加减法解二元一次方程组的一般步骤为： ①、方程组的两个方程中，如果同一个未知数前的系数既不相反又不相等时，就根据等式的性质，用适当的数乘以方程的两边（注意，左右两边每一项都要乘以这个数），使同一未知数前的系数相反或相等； ②、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③、解这个一元一次方程，求得一个未知数的值； ④、将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解。 【题型探究】 题型一：代入消元法的理解 1．(24-25七下·河北唐山滦南县程庄初中·月考)用代入消元法解二元一次方程组，下列变形错误的是（   ） A．由①，得 B．由②，得 C．由①，得 D．由②，得 【答案】B 【来源】河北省唐山市滦南县程庄初中2024-2025学年七年级下学期3月月考数学试题 【分析】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．利用代入消元法变形即可得到结果． 【详解】解：用代入消元法解二元一次方程组时， 由①，得或； 由②，得或； 则错误的是B 选项， 故选：B． 2．用代入消元法解方程组时，较简单的方法是（    ） A．由①得，再代入② B．由①得，再代入② C．由②得，再代入① D．由②得，再代入① 【答案】B 【来源】6.2课时1 代入法解二元一次方程组 【分析】本题考查了解二元一次方程组，代入消元法，熟练掌握以上知识点是解题的关键．观察方程组第一个方程的特点可知，再代入②式，可得到没有分母的方程，最为简便，从而得到答案． 【详解】解：由①得，，再代入②， 得到，这种变形方法最为简便， 故选：B． 3．用代入法解方程组下列变形中，化简较容易的是（    ） A．由①，得 B．由①，得 C．由②，得 D．由②，得 【答案】D 【来源】10.2.1 代入消元法 【分析】本题考查了代入消元法的运用，掌握代入消元法的计算方法，整式的运算法则是解题的关键． 根据代入消元法计算，一般情况将方程组中系数比较简单的未知数进行转换，即由②得，再代换①中的，此种方法比较简单，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，方程组中②中的系数为，由移项得，再代换①中的，此种方法比较简单， 故选：D ． 题型二：消元法解二元一次方程组 4．用代入法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【来源】10.2.1 代入消元法 第1课时 代入消元法1 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法和代入消元法是解答本题的关键． （1）利用代入消元法即可求解； （2）利用代入消元法即可求解． 【详解】（1）解：把②代入①，得， 解这个方程，得， 把代入①得， 所以这个方程组的解是； （2）解：由②，得③， 把③代入①中，得， 解这个方程，得， 把代入③，得． 所以这个方程组的解为． 5．用代入消元法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【来源】22代入消元法 【分析】本题考查用代入消元法求解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法是解题的关键． （1）用代入消元法求解即可； （2）先将②变形为，再用代入消元法求解即可． 【详解】（1）解：把①代入②，得， 解得：． 把代入①，得． 故这个方程组的解为． （2）解：由②，得③， 把③代入①，得，解得：． 把代入③，得． 故这个方程组的解为． 6．用代入法解下列方程组： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【来源】6.2课时1 代入法解二元一次方程组 【分析】本题考查了代入法解二元一次方程组，熟练掌握代入法是解题的关键． （1）由①得，代入②，解得，进而求得即可得到答案； （2）把②代入①，得，解得，进而求得即可得到答案； （3）由①得，代入②，解得，进而求得即可得到答案． 【详解】（1）解： 由①，得③ 把③代入②，得 解得： 将代入③，得 方程组的解为． （2）解： 把②代入①，得 解得： 把代入②，得 方程组的解为． （3）解： 由①，得③ 把③代入②，得 解得： 把代入③，得 方程组的解为． 题型三：加减消元法的理解 7．用加减法解方程组时，消去y应为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】10.2.2 加减消元法 第2课时 加减消元法2 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组的方法，掌握加减消元法的应用是解题的关键． 根据①中y的系数是3，②中y的系数是，判断出要求消去y，则应①的二倍与②的和即可解答． 【详解】解：用加减法解方程组时，若要求消去y，则应． 故选：C． 8．利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（   ） A．要消去，可以将 B．要消去，可以将 C．要消去，可以将 D．要消去，可以将 【答案】C 【来源】2024-2025学年七年级第二学期教学质量检测数学试卷一（冀教版） 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．观察方程组中与的系数特点，利用加减消元法判断即可． 【详解】解：要消去可以将①②，故选项A不合题意，C合题意； 要消去，可以将①②，故选项B、D不合题意． 故选：C． 9．数学课堂上，王老师让大家用加减消元法解方程组，下面是四位同学的求解过程，其中正确的是（　　） A．要消去，可以将 B．要消去，可以将 C．要消去，可以将 D．要消去，可以将 【答案】D 【来源】　山东省淄博市张店区第七中学2024—2025学年下学期3月月考七年级数学试题（五四学制） 【分析】本题考查解二元一次方程组，根据加减消元法逐一进行判断即可． 【详解】解：，得：，不能消去，故A错误； ，得：，不能消去，故B错误； ，得：，不能消去，故C错误； ，得：，可以消去，故D正确； 故选D． 题型四：加减消元法解二元一次方程组 10．用加减法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【来源】10.2.2 加减消元法 第1课时 加减消元法1 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，灵活运用解二元一次方程组的方法是解答本题的关键． （1）方程组运用加减消元法求解即可； （2）方程组运用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： ，得 ∴． 把代入①，得 ∴ 所以，方程组的解为：； （2）解： ，得 ． 把代入①，得 ∴． 所以，方程组的解为． 11．用加减法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【来源】10.2.2 加减消元法 第1课时 加减消元法1 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，熟练掌握方程组的解法是解答本题的关键． （1）方程组运用加减消元法求解即可； （2）方程组运用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： ，得 ∴． 把代入①，得， ∴． 所以，方程组的解为； （2）解：， ，得 ∴． 把代入①，得 ∴． 所以，方程组的解为． 12．(24-25七下·山东聊城莘县春笋学校·月考)解方程组: (1) (2)． (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【来源】山东省聊城市莘县春笋学校2024-2025学年七年级下学期3月月考数学试题 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解二元一次方程组的方法有加减消元法、代入消元法，选择合适的方法是快速解题的关键． （1）直接利用加减消元法求解； （2）直接利用加减消元法求解； （3）直接利用加减消元法求解； （4）先将原方程变形，再利用加减消元法求解． 【详解】（1）解： 由得：， 解得， 将代入得：， 解得， 所以该方程组的解为； （2）解： 由得：， 解得， 将代入得：， 解得， 所以该方程组的解为； （3）解： 由得：， 解得， 将代入得：， 解得， 所以该方程组的解为； （4）解： 整理得： 由得：， 解得， 将代入得：， 解得， 所以该方程组的解为． 题型五：二元一次方程组错解复原问题 13．(23-24七上·安徽合肥瑶海区三十八中·期末)小李、小张两位同学同时解方程组，小李解对了，得：，小张抄错了m，得：，则原方程组中a的值为（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【来源】安徽省合肥市瑶海区三十八中2023-2024学年七年级上学期期末数学猜想试题 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 把小李、小张计算结果代入方程，得到关于a与b的方程组，求出方程组的解即可得到a的值． 【详解】解：将、代入得： 得：， 把代入①得：， 解得：． 故选：B 14．甲、乙两位同学解方程组，甲看错了方程组中的，得到的解为乙看错了方程组中的，得到的解为，则原方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】6.2二元一次方程组的解法 第1课时 用代入消元法解二元一次方程组（1） 【分析】本题考查解含参的二元一次方程组．根据方程组的解满足没有看错的二元一次方程，求出，再解二元一次方程组即可． 【详解】解：由题意，得：，满足；满足， ∴， ∴， ∴原方程组为：，解得：； 故选：B． 15．(22-23八上·河南郑州二七区第八十九中学·期中)甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙看错了方程②中的，得到方程组的解为则，的值分别为（    ） A．，6 B．2，6 C．2， D．， 【答案】A 【来源】河南省郑州市二七区第八十九中学2022-2023学年八年级上学期期中数学试题 【分析】由于甲看错了方程①中的a，因此把代入方程②中即可求出正确的b的值.由于乙看错了方程②中的，因此把代入方程①中即可求出正确的a的值. 【详解】把代入方程②中得 解得 把代入方程①中得 解得 故选：A 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组错解复原问题，正确理解题意求出，的值是解题的关键. 题型六：二元一次方程组解的情况求参数 16．在关于的二元一次方程组中，若，则的值为（　　） A．1 B． C．3 D．4 【答案】C 【来源】　山东省淄博市张店区第七中学2024—2025学年下学期3月月考七年级数学试题（五四学制） 【分析】本题考查根据二元一次方程组的解的情况求参数的值，将两个方程相减后，利用整体代入法，得到关于的一元一次方程，进行求解即可． 【详解】解：， ，得：， ∵， ∴， ∴； 故选C． 17．(24-25七下·重庆万州二中·月考)已知二元一次方程组的解满足，则k的値为（   ） A． B．3 C．4 D． 【答案】B 【来源】重庆市万州二中2024-2025学年七年级下学期尖子班内部第一次月考数学卷 【分析】本题考查了方程组的解法以及方程组的解的定义．正确利用整体思想是关键． 利用整体的思想两式相加得，结合求解即可． 【详解】解：∵， ∴两式相加，得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B 18．若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】第十章 二元一次方程组 考点小卷2 消元——解二元一次方程组 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，先解方程组得出，，然后将，代入，求出k的值即可． 【详解】解：， ，得， 解得：， 将代入①，得， 解得：， 将，代入，得， 解得． 故选：C． 题型七：方程组相同解问题 19．(23-24七下·湖北武汉黄陂区七校联盟·月考)若方程与组有相同的解，则的值为（   ） A．2， B．2， C．3， D．，2 【答案】C 【来源】湖北省武汉市黄陂区七校联盟2023-2024学年七年级下学期月考数学试题 【分析】本题考查了解二元一次方程组、二元一次方程组的解，由题意得出，求出，从而得出，计算即可得出答案． 【详解】解：∵方程与组有相同的解， ∴， 解得：， 代入其他两个方程得出， 解得：， 故选：C． 20．(24-25七上·湖南娄底冷水江·期末)关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】湖南省娄底市冷水江市2024-2025学年七年级上学期期末考试数学试题 【分析】本题考查同解方程组．将两个方程组中不含参数的两个一次方程组成新的方程组，求出未知数的值，把两个含参方程组成方程组，将未知数的值代入，再解方程组求出参数的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】解：∵方程组与有相同的解， ∴与的解相同， 由，解得， ∴，解得， ∴； 故选D． 21．若关于，的两个方程组与有相同的解，则在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【来源】第十章 二元一次方程组 基础过关检测卷 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法及象限的点的坐标特点．先由方程组求得，结合，得到，解得，再分别求得x、y的值，即可求得b的值，最后判断点所在的象限． 【详解】解：方程组， 得， ∵， ∴， 解得， ∴，即， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴点即在第一象限， 故选：A． 题型八：二元一次方程组的特别的解法 22．若方程组的解是，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】61周周练七 10.1~10.2 【分析】本题考查了二元一次方程组的解及解二元一次方程组，由题意可得，解方程组即可求解，理解二元一次方程组的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵方程组的解是， ∴方程组中， ∴， 故选：． 23．先阅读下列解方程组的求解过程，再解答问题． 已知方程组①的解为，求方程组②的解． 解：将方程组②变形为方程组③， 设，则方程组③可化为方程组④， 比较方程组④与方程组①可得，即， ∴方程组②的解为． 我们把这种解方程组的方法称为换元法． (1)已知方程组的解为，请用换元法解方程组： (2)已知方程组的解为，求方程组的解． 【答案】(1) (2) 【来源】71第十章 二元一次方程组 测试卷 【分析】本题主要考查解二元一次方程组； （1）设，利用换元法计算求解即可； （2）设，利用换元法计算求解即可． 【详解】（1）解：设， 则方程组 可化为方程组 比较方程组与方程组 得即 ∴原方程组的解为 （2）解：设， 则方程组 可化为方程组 比较方程组与方程组 得即 ∴原方程组的解为 24．阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． 解方程组 解：由①②，得，即，③ ③14，得，④ ②④，得，从而可得， 方程组的解是 (1)请你仿上面的解法解方程组 (2)猜测关于的方程组的解是什么，并利用方程组的解加以验证． 【答案】(1) (2)，验证见解析 【来源】第十章 能力提升卷 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解． （1）②①，得③，，得，求出x，再把代入③求出y即可； （2）①②，得，求出③，，得，求出x，再把代入③求出y即可． 【详解】（1）解：， ②①，得③， ，得，解得， 把代入③，得，解得， 所以原方程组的解是； （2）解：猜测方程组的解是； ， ①②，得， ， ③， ，得，解得， 把代入③，得，解得， 所以原方程组的解是． 题型九：二元一次方程组的综合问题 25．解下列方程组： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)(2)(3)(4) 【来源】61周周练七 10.1~10.2 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法； （1）根据加减消元法解二元一次方程组，即可求解． （2）化简②，得，再根据加减消元法解二元一次方程组，即可求解； （3）把两个方程组化简后，再根据加减消元法解二元一次方程组，即可求解； （4）把两个方程组化简后，再根据加减消元法解二元一次方程组，即可求解． 【详解】（1）解：，得． 将代入②，得，解得， ∴方程组的解为 （2）化简②，得．③ ，得，解得． 将代入①，得，解得， ∴方程组的解为 （3）化简①，得．③ 化简②，得．④ ，得，解得． 将代入③，得，解得， ∴方程组的解为 （4）化简①②，得 ，得，解得． 将代入③，得，解得， ∴方程组的解为 26．善于思考的小军在解方程组时，采用了一种整体代换的解法． 解：将方程②变形，得，即．③把方程①代入③，得，解得．把代入①，得方程组的解为． 请你仿照小军的整体代换法解决以下问题： (1)解方程组 (2)已知满足方程组，求的值． 【答案】(1) (2) 【来源】074代入消元法 【分析】本题主要考查了解方程组，掌握代入消元法和整体思想成为解题的关键． （1）由②可得③，然后将①整体代入③可求得，进而求得方程组的解； （2）由①得③，然后将②整体代入③可求解即可． 【详解】（1）解： 由②可得③， 把①代入③，得，解得：． 把代入①，得，解得， 方程组的解为． （2）解：， 由①得③， 把②代入③，得，解得． 27．阅读下列解方程组的方法，然后解答问题： 解方程组时，小明发现如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，他采用下面的解法则比较简单： ，得，即． ，得． ，得，解得． 把代入，得． 所以这个方程组的解是 (1)请你运用小明的方法解方程组 (2)猜想关于，的二元一次方程组的解是________． 【答案】(1) (2) 【来源】第十章 二元一次方程组 考点小卷2 消元——解二元一次方程组 【分析】本题主要考查了用加减消元法解二元一次方程组、阅读理解能力．解决本题的关键是读懂材料中提供的解题方法，利用材料中的方法解二元一次方程组． 仿照阅读材料中的解二元一次方程组的方法，把方程组中得到，然后把方程两边同时乘以得到方程，把方程和组成一个新的二元一次方程组，继续用加减消元法解二元一次方程组即可； 仿照阅读材料中的解二元一次方程组的方法求解即可． 【详解】（1）解： ，得， 整理得：， 得：， 得：， 解得：， 把代入得：， 方程组的解是； （2）解：， 得：， 整理得：， 得：， 得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， 方程组的解是， 故答案为：． 【高分达标】 一、单选题 1．用代入法解方程组，下列最合适的变形是（　　） A．由①，得 B．由①，得 C．由②，得 D．由②，得 【答案】D 【来源】031代入消元法 【分析】本题主要考查了代入消元法解二元一次方程组，根据最优化原则进行判断即可． 【详解】解：用代入法解方程组，下列最合适的变形是由②，得， 故选：D． 2．(24-25七下·山东济宁济宁高新技术产业开发区·)若方程组的解满足，则k的值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【来源】山东省济宁市济宁高新技术产业开发区2024-2025学年下学期数学七年级第一次阶段性测试题 【分析】本题考查根据二元一次方程组的解的情况求参数，将两个方程相减后，整体代入法进行求解即可． 【详解】解： ，得：， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选C． 3．对于题目：若方程组的解为，能否求出方程组的解．并说明理由． 嘉嘉的回答：这个题目中的字母太多，无法解出． 琪琪的回答：方程组的解为 嘉琪的回答：方程组的解为，则下列说法正确的是（   ） A．嘉嘉的回答正确 B．琪琪的回答正确 C．嘉琪的回答正确 D．他们三个的回答都不正确 【答案】C 【来源】2024-2025学年七年级第二学期教学质量检测数学试卷一（冀教版） 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组， 将待求方程组整理为，可得，再求出解即可． 【详解】解：∵方程组的解是， ∵， ∴整理得：， ∴的解是， 解得． 所以嘉琪的回答正确． 故选：C． 4．(24-25七下·福建泉州安溪铭选中学·月考)如果方程组的解是二元一次方程的一个解，那么m的值为（   ） A．7 B．6 C．3 D．2 【答案】D 【来源】福建省泉州市安溪铭选中学2024-2025学年七年级下学期第一次月考数学试题 【分析】本题考查了解二元一次方程组，及二元一次方程的解，准确计算是解本题的关键．先利用加减消元法把用表示，然后把代入，解关于的方程即可． 【详解】解：，得， 解得，， ，得， 解得，， 将代入得，， 解得，， 故选：D． 5．(24-25七下·河北邢台信都区·月考)老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组的四个成员每人做一步，每人只能看到前一人给的步骤，并进行下一步计算，再将结果传递给下一个人，用合作的方式完成该方程组的解题过程，过程如图所示，合作中出现错误的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丙和丁 【答案】C 【来源】河北省邢台市信都区2024-2025学年下学期第一次月考七年级数学试题 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法与加减消元法是解题的关键； 观察四位同学的解题过程，找出出错的即可． 【详解】解：， 由①得：， 把③代入②得：， 去分母得：， 解得：， 由③得： 则合作中出现错误的同学为丙； 故答案为：C 6．(24-25七下·七年级数学月考卷（华东师大版2024，测试范围：第五章~第六章）-学易金卷：·月考)已知关于，的二元一次方程组，下列结论正确的是（    ） ①当时，方程组的解也是的解； ②，均为正整数的解只有1对； ③无论取何值，、的值不可能互为相反数； ④若方程组的解满足，则． A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③ 【答案】A 【来源】七年级数学月考卷（华东师大版2024，测试范围：第五章~第六章）-学易金卷：2024-2025学年初中下学期第一次月考 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法和二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法和解是解题的关键． 根据方程组得，然后再依据题目信息即可依次判断． 【详解】解：①当时，方程组整理得，， 由①②可得，， 当时，方程得， ∴当时，方程组的解也是的解，故①正确； ②解方程组，①②得， 当，均为正整数时，则有或， ∴共有2对，故②错误； ③解方程组，①②得， ∴无论取何值，，的值不可能是互为相反数，故③正确； ④解方程组，①②得， 当方程组的解满足时， 解得， 代入原方程组可得 解得，，故④正确； 综上，正确的结论是①③④， 故选：A． 7．(24-25七下·山东泰安宁阳县第三中学（五四制）·月考)方程组的解是．那么方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】山东省泰安市宁阳县第三中学（五四制）2024-2025学年七年级下学期第一次月考数学试题 【分析】本题是仿照已知方程组的解，求复杂方程组的解，不需要解方程，只需将和看成整体，即可简便求解． 仿照已知方程组的解确定出所求方程组的解即可． 【详解】∵方程组的解是 ∴中 ∴方程组的解是． 故选：C． 8．(24-25八上·重庆渝北实验中学校·模拟)已知关于x，y的二元一次方程组的解为，且，则的值为（    ） A．1 B． C．0 D．2024 【答案】A 【来源】重庆市渝北实验中学校2024-2025学年八年级上学期数学开学自测模拟试题 【分析】此题考查了二元一次方程组的解．利用关于，的二元一次方程组的解为得到，，据此求解即可． 【详解】解：关于，的二元一次方程组的解为， ， ，即， ， 故选：A． 9．(23-24七下·安徽淮南谢家集区等3地·期末)已知关于x，y的二元一次方程组下列结论中正确的是（    ） ①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，；②当，时，；③无论a取何值，的值始终不变． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】C 【来源】安徽省淮南市谢家集区等3地2023-2024学年七年级下学期期末数学试题 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，熟练掌握解二元一次方程组的一般步骤是解决问题的关键．解方程组得，再根据条件进行判断即可． 【详解】解方程组得 ①∵x，y的值互为相反数， ∴， ∴， 解得，故①正确； ②∵，， ∴ 解得， 故②错误； ③∵，， ∴，即的值始终不变， 故③正确． 故选C． 二、填空题 10．(24-25七·浙江杭州临平区·)已知方程组，则的值是 ． 【答案】3 【来源】浙江省杭州市临平区2024-2025学年七年级下册数学3月独立作业 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，通过观察，的系数之和相等，①②即可求出的值是解题的关键．①②得：，所以，从而直接求得的值． 【详解】解：， 得：， ， ， 故答案为：3． 11．解方程组用加减法消去x的方法是 ，消去y的方法是 ． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【来源】6.2二元一次方程组的解法 第4课时 用加减消元法解二元一次方程组（2） 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是掌握加减消元法的步骤． 方程组利用加减消元法求解即可． 【详解】解方程组用加减法消去x的方法是； 消去y的方法是． 故答案为：，． 12．(24-25七下·重庆实验外国语中学校·)若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为 ． 【答案】3 【来源】重庆市实验外国语中学校2024-2025学年七年级下学期3月定时作业数学试题 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解法，掌握整体代入法是解题的关键． 先把两方程相加，再利用整体代入法得到关于m的方程求解即可． 【详解】解：， 得：， ∵， ∴，解得：． 故答案为：3． 13．(24-25七下·山东东营胜利第十三中学·)如果关于的方程组的解满足，则的值 ． 【答案】 【来源】山东省东营市胜利第十三中学2024-2025学年七年级下学期第一次“双减”学情调查数学试题 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题的关键．将方程组的两个方程相减得到，结合得到关于的方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：， 得，， 又， ， 解得：． 故答案为：． 14．若关于的方程组的解与的和为2，则的值为 ． 【答案】 【来源】71第十章 二元一次方程组 测试卷 【分析】本题考查了解二元一次方程组，代数式求值，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键. 用加减消元法去掉参数，得到新方程组，求出，继而求出，代入，计算即可得到答案. 【详解】解： ， 得， ， ， 解得：， 把代入得， ， . 故答案为：. 15．丽丽在解方程组时，不小心碰翻了墨汁瓶，墨水盖住了两个方程的常数项．丽丽求助老师，老师给了她两条信息：“第一：方程的常数项比方程的常数项大；第二：方程组的解，是相等的．”请你帮她复原该方程组为 ． 【答案】 【来源】第十章 二元一次方程组 重难点提升小卷 二元一次方程组中待定字母的相关问题 【分析】本题考查了二元一次方程中的含参问题，根据题意正确把两个方程的常数项设出来是解答本题的关键． 根据题意设出方程组，再结合可得，解出的值，即可复原该方程组． 【详解】解：由题意可设方程组为， ，， ， 即， 解得：， 故原方程组为． 16．(24-25八上·福建漳州诏安县某校·月考)已知关于，的方程组，则下列结论中正确的是 填序号． ①当时，方程组的解是； ②当，的值互为相反数时，；③不存在一个实数使得； 【答案】②③/③② 【来源】福建省漳州市诏安县某校2024-2025学年八年级上学期第二次月考数学试题 【分析】本题考查了解二元一次方程组、相反数的定义、解一元一次方程，，当时，原方程组为，再利用加减消元法计算即可判断①；求出方程组的解为，再根据相反数的定义建立方程求解即可判断②；同理即可判断③． 【详解】解：①当时，原方程组为， 由得：， 将代入②得：， 解得：， ∴方程组的解为，故①错误； ②， 由得：， 将代入②可得：， ∴方程组的解为， ∵，的值互为相反数， ∴， 解得：，故②正确； ③由②可得：方程组的解为， 当时，，此方程无解，故③正确； 综上所述，正确的有②③； 故答案为：②③． 三、解答题 17．(24-25七下·山东淄博张店区实验中学·月考)解下列方程组． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【来源】山东省 淄博市张店区实验中学2024-2025学年七年级下学期3月月考数学试题 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键； （1）利用代入消元法求解即可； （2）利用代入消元法求解即可； （3）利用加减消元法求解即可； （4）利用代入消元法求解即可； 【详解】（1）解： 将代入，可得：， 解得：， 将代入，可得：， 故方程组的解为： （2）解：， 由可得：， 将代入，可得：， 解得：， 将代入，可得， 故方程组的解为： （3）解： 得：， 得：， 解得：， 将代入，可得：， 解得； 故方程组的解为： （4）解：根据 整理可得： 由①式可得：， 将代入②，可得： 解得：， 则； 则方程组的解为：； 18．(24-25七下·山东泰安宁阳县第三中学（五四制）·月考)解下列方程（组）： (1)（代入消元法）； (2)（加减消元法）； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【来源】山东省泰安市宁阳县第三中学（五四制）2024-2025学年七年级下学期第一次月考数学试题 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． （1）方程组利用代入消元法求出解即可； （2）方程组利用加减消元法求出解即可； （3）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可； （4）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可． 【详解】（1）解：， 由②得：， 把③代入①得：， 解得：， 把代入③得：， 则方程组的解为； （2）， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 则方程组的解为； （3） 整理得， 得： 解得 将代入①得： 解得， ∴方程组的解为：； （4） 整理得， 得： 解得 将代入①得： 解得， ∴方程组的解为：． 19．(24-25七下·河北邢台信都区·月考)观察发现： 材料：解方程组． 将①整体代入②，得. 解得． 把代入①得， 所以． 这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答， (1)请直接写出方程组的解为________． (2)实践运用：请用“整体代入法”解方程组． 【答案】(1) (2) 【来源】河北省邢台市信都区2024-2025学年下学期第一次月考七年级数学试题 【分析】（1）由第一个方程求出的值，代入第二个方程求出y的值，进而求出x的值，即可确定出方程组的解． （2）由第一个方程求出的值，代入第二个方程求出y的值，进而求出x值，即可确定出方程组的解． 此题考查了二元一次方程组的求解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】（1）由①得：③， 将③代入②得：，即， 将代入③得：， 则方程组的解为 ． 故答案为 ． （2）由①得：③， 将③代入②得：， 解得：， 将代入③得：， 解得：， 故原方程组的解为 20．甲、乙二人解关于x、y的方程组，甲正确地解得，而乙因把c抄错了，结果解得，求出a、b、c的值，并求乙将c抄成了何值． 【答案】4，5，；乙把抄成了 【来源】第6章情境测试卷 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，正确理解题意、熟练掌握二元一次方程组的解法是关键． 根据题意把代入方程组，把代入，分别求出，进而求解即可． 【详解】解：把代入方程组， 得 解得． 把代入，得， 可得新的方程组 解得 把代入， 得， 解得 ，，，乙把抄成了． 21．已知关于、的方程组和有相同的解． (1)求它们相同的解； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【来源】专题5 含字母的二元一次方程 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，解一元一次方程，代数式求值，解题的关键是正确求出方程组的解． （1）根据二元一次方程组的解法即可求出答案． （2）将代入，然后根据a,b的值即可求出答案． 【详解】（1）解：解方程组， 得， 它们的相同解是； （2）把代入 得 解得 所以． 22．阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． 解方程组 解：，得，即．③ ，得．④ ，得，解得，代入③，得， 原方程组的解是； (1)请你仿照上面的解法解方程组； (2)解关于的二元一次方程组：． 【答案】(1) (2) 【来源】075加减消元法 【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握加减消元法是解题的关键． （1）仿阅读解法，用加减法求解即可； （2）仿阅读解法，用加减法求解即可． 【详解】（1）解：， ，得， ，得， ，得， 解得：， 把代入③，得， ∴； （2）解：， ，得， ，得， ，得， 把代入③，得， ∴． 23．规定：形如与的两个关于x，y的方程互为“共轭二元一次方程”，其中．由这两个方程组成的方程组叫作“共轭方程组”，k，b称为“共轭系数”． (1)方程的“共轭二元一次方程”为_____________； (2)若关于x，y的二元一次方程组为“共轭方程组”，求此“共轭方程组”的“共轭系数”． 【答案】(1) (2) 【来源】61周周练七 10.1~10.2 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，以及二元一次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键， （1）根据题中共轭二元一次方程的定义判断即可； （2）根据题中共轭二元一次方程的定义判断即可求出“共轭系数”． 【详解】（1）解：∵形如与的两个关于x，y的方程互为“共轭二元一次方程”， ∴方程的共辄二元一次方程为， 故答案为：； （2）解：由题意，得， 整理，得， ，得， ，得，解得， 把代入，得，解得， ，， 故此“共轭方程组”的“共轭系数”为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10.2 解二元一次方程组 【考点梳理】 · 考点一：代入消元法的理解 · 考点二：消元法解二元一次方程组 · 考点三：加减消元法的理解 · 考点四：加减消元法解二元一次方程组 · 考点五：二元一次方程组错解复原问题 · 考点六：二元一次方程组解的情况求参数 · 考点七：方程组相同解问题 · 考点八：二元一次方程组的特别的解法 · 考点九：二元一次方程组的综合问题 【知识梳理】 知识点01、二元一次方程组的解法——消元 （整体思想就是：消去未知数，化“二元”为“一元”） 1、代入消元法：由二元一次方程组中的一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。 注：代入法解二元一次方程组的一般步骤为： ①、从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来； ②、将变形后的关系式代入另一个方程（不能代入原来的方程哦！），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③、解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④、将求得的未知数的值代入变形后的关系式（或原来的方程组中任一个方程）中，求出另一个未知数的值； ⑤、把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解。 知识点02、加减消元法 两个二元一次方程中同一未知数前的系数相反或相等（或利用等式的性质可变为相反或相等）时，将两个方程的左右两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫加减消元法，简称加减法。 注：加减法解二元一次方程组的一般步骤为： ①、方程组的两个方程中，如果同一个未知数前的系数既不相反又不相等时，就根据等式的性质，用适当的数乘以方程的两边（注意，左右两边每一项都要乘以这个数），使同一未知数前的系数相反或相等； ②、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③、解这个一元一次方程，求得一个未知数的值； ④、将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解。 【题型探究】 题型一：代入消元法的理解 1．(24-25七下·河北唐山滦南县程庄初中·月考)用代入消元法解二元一次方程组，下列变形错误的是（   ） A．由①，得 B．由②，得 C．由①，得 D．由②，得 2．用代入消元法解方程组时，较简单的方法是（    ） A．由①得，再代入② B．由①得，再代入② C．由②得，再代入① D．由②得，再代入① 3．用代入法解方程组下列变形中，化简较容易的是（    ） A．由①，得 B．由①，得 C．由②，得 D．由②，得 题型二：消元法解二元一次方程组 4．用代入法解下列方程组： (1) (2) 5．用代入消元法解下列方程组： (1) (2) 6．用代入法解下列方程组： (1) (2) (3) 题型三：加减消元法的理解 7．用加减法解方程组时，消去y应为（    ） A． B． C． D． 8．利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（   ） A．要消去，可以将 B．要消去，可以将 C．要消去，可以将 D．要消去，可以将 9．数学课堂上，王老师让大家用加减消元法解方程组，下面是四位同学的求解过程，其中正确的是（　　） A．要消去，可以将 B．要消去，可以将 C．要消去，可以将 D．要消去，可以将 题型四：加减消元法解二元一次方程组 10．用加减法解下列方程组： (1) (2) 11．用加减法解下列方程组： (1) (2) 12．(24-25七下·山东聊城莘县春笋学校·月考)解方程组: (1) (2)． (3) (4)． 题型五：二元一次方程组错解复原问题 13．(23-24七上·安徽合肥瑶海区三十八中·期末)小李、小张两位同学同时解方程组，小李解对了，得：，小张抄错了m，得：，则原方程组中a的值为（     ） A．1 B． C．2 D． 14．甲、乙两位同学解方程组，甲看错了方程组中的，得到的解为乙看错了方程组中的，得到的解为，则原方程组的解为（   ） A． B． C． D． 15．(22-23八上·河南郑州二七区第八十九中学·期中)甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙看错了方程②中的，得到方程组的解为则，的值分别为（    ） A．，6 B．2，6 C．2， D．， 题型六：二元一次方程组解的情况求参数 16．在关于的二元一次方程组中，若，则的值为（　　） A．1 B． C．3 D．4 17．(24-25七下·重庆万州二中·月考)已知二元一次方程组的解满足，则k的値为（   ） A． B．3 C．4 D． 18．若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则k的值为（    ） A． B． C． D． 题型七：方程组相同解问题 19．(23-24七下·湖北武汉黄陂区七校联盟·月考)若方程与组有相同的解，则的值为（   ） A．2， B．2， C．3， D．，2 20．(24-25七上·湖南娄底冷水江·期末)关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（    ） A． B． C． D． 21．若关于，的两个方程组与有相同的解，则在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型八：二元一次方程组的特别的解法 22．若方程组的解是，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 23．先阅读下列解方程组的求解过程，再解答问题． 已知方程组①的解为，求方程组②的解． 解：将方程组②变形为方程组③， 设，则方程组③可化为方程组④， 比较方程组④与方程组①可得，即， ∴方程组②的解为． 我们把这种解方程组的方法称为换元法． (1)已知方程组的解为，请用换元法解方程组： (2)已知方程组的解为，求方程组的解． 24．阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． 解方程组 解：由①②，得，即，③ ③14，得，④ ②④，得，从而可得， 方程组的解是 (1)请你仿上面的解法解方程组 (2)猜测关于的方程组的解是什么，并利用方程组的解加以验证． 题型九：二元一次方程组的综合问题 25．解下列方程组： (1) (2) (3) (4) 26．善于思考的小军在解方程组时，采用了一种整体代换的解法． 解：将方程②变形，得，即．③把方程①代入③，得，解得．把代入①，得方程组的解为． 请你仿照小军的整体代换法解决以下问题： (1)解方程组 (2)已知满足方程组，求的值． 27．阅读下列解方程组的方法，然后解答问题： 解方程组时，小明发现如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，他采用下面的解法则比较简单： ，得，即． ，得． ，得，解得． 把代入，得． 所以这个方程组的解是 (1)请你运用小明的方法解方程组 (2)猜想关于，的二元一次方程组的解是________． 【高分达标】 一、单选题 1．用代入法解方程组，下列最合适的变形是（　　） A．由①，得 B．由①，得 C．由②，得 D．由②，得 2．(24-25七下·山东济宁济宁高新技术产业开发区·)若方程组的解满足，则k的值为（   ） A． B． C． D．1 3．对于题目：若方程组的解为，能否求出方程组的解．并说明理由． 嘉嘉的回答：这个题目中的字母太多，无法解出． 琪琪的回答：方程组的解为 嘉琪的回答：方程组的解为，则下列说法正确的是（   ） A．嘉嘉的回答正确 B．琪琪的回答正确 C．嘉琪的回答正确 D．他们三个的回答都不正确 4．(24-25七下·福建泉州安溪铭选中学·月考)如果方程组的解是二元一次方程的一个解，那么m的值为（   ） A．7 B．6 C．3 D．2 5．(24-25七下·河北邢台信都区·月考)老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组的四个成员每人做一步，每人只能看到前一人给的步骤，并进行下一步计算，再将结果传递给下一个人，用合作的方式完成该方程组的解题过程，过程如图所示，合作中出现错误的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丙和丁 6．(24-25七下·七年级数学月考卷（华东师大版2024，测试范围：第五章~第六章）-学易金卷：·月考)已知关于，的二元一次方程组，下列结论正确的是（    ） ①当时，方程组的解也是的解； ②，均为正整数的解只有1对； ③无论取何值，、的值不可能互为相反数； ④若方程组的解满足，则． A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③ 7．(24-25七下·山东泰安宁阳县第三中学（五四制）·月考)方程组的解是．那么方程组的解是（   ） A． B． C． D． 8．(24-25八上·重庆渝北实验中学校·模拟)已知关于x，y的二元一次方程组的解为，且，则的值为（    ） A．1 B． C．0 D．2024 9．(23-24七下·安徽淮南谢家集区等3地·期末)已知关于x，y的二元一次方程组下列结论中正确的是（    ） ①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，；②当，时，；③无论a取何值，的值始终不变． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 二、填空题 10．(24-25七·浙江杭州临平区·)已知方程组，则的值是 ． 11．解方程组用加减法消去x的方法是 ，消去y的方法是 ． 12．(24-25七下·重庆实验外国语中学校·)若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为 ． 13．(24-25七下·山东东营胜利第十三中学·)如果关于的方程组的解满足，则的值 ． 14．若关于的方程组的解与的和为2，则的值为 ． 15．丽丽在解方程组时，不小心碰翻了墨汁瓶，墨水盖住了两个方程的常数项．丽丽求助老师，老师给了她两条信息：“第一：方程的常数项比方程的常数项大；第二：方程组的解，是相等的．”请你帮她复原该方程组为 ． 16．(24-25八上·福建漳州诏安县某校·月考)已知关于，的方程组，则下列结论中正确的是 填序号． ①当时，方程组的解是； ②当，的值互为相反数时，；③不存在一个实数使得； 三、解答题 17．(24-25七下·山东淄博张店区实验中学·月考)解下列方程组． (1) (2) (3) (4) 18．(24-25七下·山东泰安宁阳县第三中学（五四制）·月考)解下列方程（组）： (1)（代入消元法）； (2)（加减消元法）； (3)； (4) 19．(24-25七下·河北邢台信都区·月考)观察发现： 材料：解方程组． 将①整体代入②，得. 解得． 把代入①得， 所以． 这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答， (1)请直接写出方程组的解为________． (2)实践运用：请用“整体代入法”解方程组． 20．甲、乙二人解关于x、y的方程组，甲正确地解得，而乙因把c抄错了，结果解得，求出a、b、c的值，并求乙将c抄成了何值． 21．已知关于、的方程组和有相同的解． (1)求它们相同的解； (2)求的值． 22．阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． 解方程组 解：，得，即．③ ，得．④ ，得，解得，代入③，得， 原方程组的解是； (1)请你仿照上面的解法解方程组； (2)解关于的二元一次方程组：． 23．规定：形如与的两个关于x，y的方程互为“共轭二元一次方程”，其中．由这两个方程组成的方程组叫作“共轭方程组”，k，b称为“共轭系数”． (1)方程的“共轭二元一次方程”为_____________； (2)若关于x，y的二元一次方程组为“共轭方程组”，求此“共轭方程组”的“共轭系数”． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$