精品解析：上海市金山中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

2024-2025学年上海市金山中学高二年级下学期 3月月考数学试卷 2025.3 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分. 1. 设全集，集合，则________． 2. 若复数，则其共轭复数的虚部为______. 3. 函数在区间上的平均变化率为________. 4. 已知直线，点到直线的距离等于，则____________ 5. 已知圆锥的母线长为6，且其轴截面为等边三角形，则该圆锥的体积为______． 6. 在中，已知，则值为__________. 7. 已知平面向量，则向量在向量上的投影向量为____． 8. 各项均为正数的等比数列的前n项和为，若，则_________． 9. 若四点在球的表面上，，，，则球的表面积为__________ 10. 已知函数，且在区间上的最大值为3，无最小值，则的取值范围是__________. 11. 某同学所在的课外兴趣小组计划用纸板制作一个简易潜望镜模型（图甲），该模型由两个相同的部件拼接粘连制成，每个部件由长方形纸板（图乙）沿虚线裁剪后卷一周形成，其中长方形卷后为圆柱的侧面.为准确画出裁剪曲线，建立如图乙所示的以O为原点的平面直角坐标系，设为裁剪曲线上的点，作轴，垂足为H.图乙中线段OH卷后形成圆弧（图甲），通过同学们的计算发现y与x之间满足关系式：则该裁剪曲线围成的椭圆的离心率为_______. 12. 一个“皇冠”状的空间图形（如图）由一个正方形和四个正三角形组成，并且正方形与每个正三角形所成的二面角的大小均为.如果把两个这样的“皇冠”倒扣在一起，可以围成一个十面体，则的值为______. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 若曲线在处的切线方程为，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 14. 已知在抛物线上，则到的焦点的距离为（ ） A. B. C. D. 15. 已知函数，则不等式解集是（ ） A. B. C. D. 16. 已知中，，，且最小值为，若为边上任意一点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17. 如图，在直三棱柱中，，，，交于点E，D为的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知递增等差数列的前三项之和为27，前三项之积为585， （1）求数列的前项和； （2），数列前项和记为，若恒成立，求的最小值． 19. 如图，有一块扇形草地，已知半径为R，，现要在其中圈出一块矩形场地作为儿童乐园使用，其中点A，B在弧上，且线段平行于线段； （1）若点A为弧的一个三等分点，求矩形的面积S； （2）设，当A在何处时，矩形的面积S最大？最大值为多少？ 20. 已知双曲线的右焦点为F，右顶点为A，过焦点F的直线与的右支交于P，Q两点，直线，分别与直线交于M，N两点，记的面积为，的面积为. （1）求双曲线的离心率； （2）求证：为定值； （3）求的取值范围. 21. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）当时，恒成立，求a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年上海市金山中学高二年级下学期 3月月考数学试卷 2025.3 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分. 1. 设全集，集合，则________． 【答案】 【解析】 【分析】应用集合的补运算求集合. 【详解】由全集，且，则. 故答案为： 2. 若复数，则其共轭复数的虚部为______. 【答案】 【解析】 【分析】写出共轭复数，再根据复数定义求解． 【详解】由已知，虚部为， 故答案为：． 3. 函数在区间上的平均变化率为________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据平均变化率的定义，函数的平均变化率为，分别计算出的值代入计算即可. 【详解】由题意得，函数在区间上的平均变化率为， 故答案为：3. 4. 已知直线，点到直线的距离等于，则____________ 【答案】 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式，列式计算即得. 【详解】依题意，，所以. 故答案为： 5. 已知圆锥的母线长为6，且其轴截面为等边三角形，则该圆锥的体积为______． 【答案】 【解析】 【分析】应用圆锥的几何特征结合圆锥的体积公式计算即可. 【详解】设圆锥的底面半径为r，轴截面为等边三角形，则，解得，所以圆锥的高为， 所以圆锥的体积为， 故答案为：. 6. 在中，已知，则的值为__________. 【答案】##0.625 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理及二倍角公式求解即得. 【详解】在中，由正弦定理得，而， 因此，即，所以. 故答案为： 7. 已知平面向量，则向量在向量上的投影向量为____． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量坐标求，利用投影向量公式求解即可. 【详解】∵, ∴, ∴， . 所以向量在向量上的投影向量为：. 故答案为：. 8. 各项均为正数的等比数列的前n项和为，若，则_________． 【答案】30 【解析】 【分析】方法一：由等比数列片段和性质即可求解；方法二：显然公比，列出方程组求出整体和也可以求解. 【详解】法一：第一步：利用等比数列前项和的性质． 成等比数列． 第二步：应用等比中项列出方程求解． ，即， 解得或（舍去），同理可得． 法二：第一步：设出首项和公比． 设等比数列的首项为，公比为q，由已知可得． 第二步：列出方程组求出整体和． ， 两式相比得，解得或（舍去），． 第三步：代入等比数列前n项和公式求出． . 故答案为：30. 9. 若四点在球的表面上，，，，则球的表面积为__________ 【答案】 【解析】 【分析】先判断球即是三棱锥的外接球，将三棱锥放到长方体中，即得球的直径为体对角线，再利用公式计算球的表面积即可. 【详解】依题意球即是三棱锥的外接球，而，，故可将三棱锥放在如图边长为1，2，3的长方体中， 故长方体的体对角线即是三棱锥的外接球的直径，即， 故，故球的表面积为. 故答案为：. 10. 已知函数，且在区间上的最大值为3，无最小值，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数研究函数的单调性，求出函数的极值，结合题意可得且，即可求解. 【详解】由题意知，， 令或， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则的极大值为，极小值为，且， 又在上的最大值为3，无最小值， 所以，解得，所以， 令，解得或，所以， 所以. 故答案为： 11. 某同学所在的课外兴趣小组计划用纸板制作一个简易潜望镜模型（图甲），该模型由两个相同的部件拼接粘连制成，每个部件由长方形纸板（图乙）沿虚线裁剪后卷一周形成，其中长方形卷后为圆柱的侧面.为准确画出裁剪曲线，建立如图乙所示的以O为原点的平面直角坐标系，设为裁剪曲线上的点，作轴，垂足为H.图乙中线段OH卷后形成圆弧（图甲），通过同学们的计算发现y与x之间满足关系式：则该裁剪曲线围成的椭圆的离心率为_______. 【答案】## 【解析】 【分析】结合题意，利用函数的周期，求出圆柱底面圆半径，继而求得椭圆短轴长，结合函数的最大值求得椭圆的长轴长，结合椭圆的离心率定义，即可求得答案. 【详解】函数的最小正周期为， 图乙中虚线即为函数的一个周期的图象， 则， 所以相应圆柱的底面圆的周长即为，故其直径为6， 故根据题意可知该椭圆的短轴长为，即； 又的最大值为6， 故椭圆的长轴长为，故， 则， 故椭圆的离心率为. 故答案为：. 12. 一个“皇冠”状的空间图形（如图）由一个正方形和四个正三角形组成，并且正方形与每个正三角形所成的二面角的大小均为.如果把两个这样的“皇冠”倒扣在一起，可以围成一个十面体，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知，该几何体的侧面是全等的正三角形，只需利用三垂线定理做出二面角的平面角再结合勾股定理即可求出余弦值的大小. 【详解】一个“皇冠”状的空间图形由一个正方形和四个正三角形组成， 并且正方形与每个正三角形所成的二面角的大小均为 过点作底面的垂线，垂足为分别为上下底面正方形的中心， 连接交于，连接，如图所示， 由题意得， 所以即为正方形与正三角形所成的二面角的平面角，且为钝角； 所以，所以， 由三角形都为正三角形得， 设正方形边长为，则，所以， 所以. 故答案为： 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 若曲线在处的切线方程为，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】运用导数几何意义得答案. 【详解】曲线在处的切线方程为， 则运用导数几何意义，知道. 故选：D. 14. 已知在抛物线上，则到的焦点的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线上的点可求得，从而得到准线方程，结合抛物线定义可得结果. 【详解】在抛物线上，，解得：，抛物线准线方程为：， 由抛物线定义知：点到的焦点的距离为. 故选：D. 15. 已知函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题知函数为偶函数，且在上单调递增，上单调递减，再结合，根据函数图像平移得时，， 时，，再分和两种情况讨论求解即可. 【详解】解：函数的定义域为，， 所以，函数为偶函数， 因为在上均为单调递增 所以，当时，为增函数， 所以，当时，为增函数，当时，为减函数， 因为， 所以，当时，，当时，， 所以，当时，，当时， 所以，当时，不等式显然成立， 当时，不等式的解集为， 综上，的解集为 故选：C 16. 已知中，，，且的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，应用向量数量积运算律得，结合最小值可得，进而建立合适的坐标系，应用坐标法求的最小值. 【详解】设，， 且 ， 当且仅当时等号成立，又的最小值为， 所以，又，则， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 设点，其中，且、， ，， 所以， 当且仅当时，取最小值. 故选：D 【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法： （1）利用定义： （2）利用向量的坐标运算； （3）利用数量积的几何意义． 具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17. 如图，在直三棱柱中，，，，交于点E，D为的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）先证明，从而可得平面，进而可得，再由线面垂直的判定定理即得； （2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法即得. 【小问1详解】 因为三棱柱为直三棱柱， 所以平面，又平面， 所以, 又，，平面，平面， 所以平面， 因为平面， 所以， 又因为， ，平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 由（1）知，，两两垂直，如图建立空间直角坐标系， 则，，，，， 设，，，， 因为， 所以，即，则， 由（1）平面的一个法向量为， 又， 设直线与平面所成角的大小为，则 ， 因此，直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知递增的等差数列的前三项之和为27，前三项之积为585， （1）求数列的前项和； （2），数列的前项和记为，若恒成立，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得到关于的方程组，解出后再利用等差数列前项和公式即可得到答案； （2）利用裂项求和即可得，则得到答案. 【小问1详解】 根据题意，设等差数列的前三项分别为， 则， 解得或，又数列为递增数列，所以， ，. 【小问2详解】 由（1）得，， 则， . 因为是单调递增，，又，所以有最小值. 19. 如图，有一块扇形草地，已知半径为R，，现要在其中圈出一块矩形场地作为儿童乐园使用，其中点A，B在弧上，且线段平行于线段； （1）若点A为弧的一个三等分点，求矩形的面积S； （2）设，当A在何处时，矩形的面积S最大？最大值为多少？ 【答案】（1） （2）A在弧的四等分点处， . 【解析】 【分析】（1）由题意表示出矩形的边长，即可得其面积的表达式，结合三角函数二倍角公式化简求值，即得答案. （2）表示出矩形的边长，即可得其面积的表达式，结合三角函数二倍角公式以及辅助角公式化简，根据角的范围，结合正弦函数性质，即可求得答案. 【小问1详解】 作，垂足为H，交于E，连接， 由于点A为弧的一个三等分点，四边形为矩形，即关于直线对称， 则，则， 而，故为等腰直角三角形，则， 故， 则 ； 【小问2详解】 因为，则， ， 故， 则 ， 因为，所以，故时，取最大值， 即当时，， 即A在弧的四等分点处时，矩形的面积S最大，. 【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于利用三角函数表示出矩形的边长，从而表示出面积的表达式，再结合三角函数性质求解答案. 20. 已知双曲线的右焦点为F，右顶点为A，过焦点F的直线与的右支交于P，Q两点，直线，分别与直线交于M，N两点，记的面积为，的面积为. （1）求双曲线的离心率； （2）求证：为定值； （3）求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意求出，即可求得答案； （2）设直线PQ的方程并联立双曲线方程，可得根与系数关系式，结合的表达式，即可证明结论； （3）利用直线方程求出相关点坐标，可得的表达式，即可求出的表达式，结合不等式性质，即可求得答案. 【小问1详解】 由题意得，，∴. 【小问2详解】 证明：由题意知，， 设直线方程为，， 联立方程组，得， 因为过焦点F的直线与的右支交于P，Q两点，故，. 则，， 则； 当直线斜率不存在时，，，， 故为定值. 【小问3详解】 由题意可得， 直线的方程为，则， 直线的方程为，则， 则. 所以， 由于.即，，故， 当直线斜率不存在时，，，直线方程为， 直线方程为，可得，，， 综上的取值范围为. 21. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）当时，恒成立，求a的取值范围. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 分析】（1）求出，利用导数几何意义求得切线斜率，代入点斜式直线方程求解即可； （2）求出导函数，按照和分类讨论求解即可； （3）解法一：根据函数的单调性分类讨论研究的最小值，即可解答； 解法二：分类讨论，先求时a的取值范围，然后参变分离，把恒成立问题转化为恒成立问题，构造函数，利用导数求解函数最值即可求解. 【小问1详解】 当时，，得， ，则， 所以切线方程为：，即； 【小问2详解】 由题，可得， 当时，，，单调递减， ，，单调递增， 当时，的解为， ①当，即时，，则在上单调递增； ②当，即时， 在区间上，，在区间上，， 所以的单调增区间为；单调减区间为； ③当，即时， 在区间上，，在区间上，， 所以的单调增区间为；单调减区间为； 【小问3详解】 解法一：， ①当时，因为，所以，，所以， 则在上单调递增，成立， ②当时，， 所以在上单调递增，所以成立. ③当时，在区间上，；在区间，， 所以在上单调递减，上单调递增，所以，不符合. 综上所述，的取值范围是. 解法二：当时，恒成立，等价于“当时，恒成立”.即在上恒成立. 当时，，所以. 当时，，所以恒成立. 设，则， 因，所以，所以在区间上单调递增. 所以，所以. 综上所述，的取值范围是. 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： （1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数最值问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$