精品解析：广东省广州市广州大学附属中学2024-2025学年高一下学期3月测试数学试卷

2024级广州大学附属中学高一下学期3月测试卷 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知平面向量，，若，则k＝（ ） A. B. 6 C. D. －6 2. （ ） A. B. C. D. 3. 若向量与的夹角为锐角，则t的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 已知在△ABC中，，若三角形有两解，则x的取值范围是(　　) A. B. C. D. 5. 如图，已知点是的重心，过点作直线分别与，两边交于，两点，设，，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 3 6. 已知向量，满足，，且，则，的夹角的最小值为（ ） A B. C. D. 7. 已知函数，．若有2个零点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 我国古代数学家秦九韶左《数书九章》中记述了了“一斜求积术”，用现代式子表示即为：在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则的面积，根据此公式，若，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，是复数，则下列说法正确是（ ） A. 若是纯虚数，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形的边长为是正八边形边上任意一点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 在向量上的投影向量为 C. 若，则P为的中点 D. 若P在线段上，且，则的取值范围为 11. 已知函数，，，，下列选项中正确的有（ ） A. 函数、、都是偶函数 B. 若且，则 C. 若且，则+=1 D. 若，则 三、填空题，本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在以为顶点的三棱锥中，过的三条棱两两的交角都是，在一条侧棱上有，两点，，，以，为端点的一条绳子紧绕三棱锥的侧面一周（绳和侧面无摩擦），则此绳在，之间的最短绳长为________. 13. 如图，某直径为海里的圆形海域上有四个小岛，已知小岛B与小岛C相距为5海里，.则小岛B与小岛D之间的距离为___________海里；小岛B，C，D所形成的三角形海域BCD的面积为___________平方海里. 14. 如图，菱形的边长为6，，，则的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知两个非零向量与不共线. （1）若，求证：三点共线； （2）试确定实数，使和共线. 16. 已知，复数，. （1）若在复平面内对应点位于第三象限，求的取值范围； （2）设为坐标原点，，在复平面内对应的点分别为，（不与重合），若，求. 17. 中，，，，点，在边上且，. （1）若，用，表示，并求线段的长； （2）若，，求的值. 18. 已知函数． （1）求函数的解析式及对称中心； （2）若，且，求的值． （3）在锐角中，角、、分别为、、三边所对的角，若，求周长的取值范围． 19. 若函数自变量的取值区间为时，函数值的取值区间恰为，就称区间为的一个“和谐区间”.已知函数是定义在上的奇函数，当时，. 求解析式； 求函数在内的“和谐区间”； 若以函数在定义域内所有“和谐区间”上的图像作为函数的图像，是否存在实数，使集合恰含有个元素.若存在，求出实数的取值集合；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024级广州大学附属中学高一下学期3月测试卷 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知平面向量，，若，则k＝（ ） A. B. 6 C. D. －6 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示进行求解. 【详解】因为，，， 所以，解得. 故选：A. 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦两角和公式和诱导公式化简即可得解. 【详解】 . 故选：D 3. 若向量与的夹角为锐角，则t的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】且与不同向，进而求解即可得答案. 【详解】解：与夹角为锐角，则且与不同向，即，即， 由，共线得，得， 故. 故选:D. 4. 已知在△ABC中，，若三角形有两解，则x的取值范围是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意判断出三角形有两解时，满足的不等关系求解即可． 【详解】因为， 要使三角形有两解，就是要使以C为圆心， 半径为2的圆与BA有两个交点， 所以只需满足，即，解得. 故选：C 5. 如图，已知点是的重心，过点作直线分别与，两边交于，两点，设，，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形重心性质，得，再由平面向量基本定理设，即，对照系数，得，最后运用常值代换法，由基本不等式即可求得的最小值. 【详解】 如图，延长交于点，因点是的重心， 则，① 因三点共线，则，使， 因，，代入得，，② 由①，②联立，可得，，消去即得，， 则， 当且仅当时等号成立， 即时，取得最小值，为. 故选：C. 6. 已知向量，满足，，且，则，的夹角的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由垂直关系推出数量积关系，代入化简求得关于t的表达式，根据二次函数的图象与性质即可求出的取值范围，再根据余弦函数的图象与性质即可求得两向量夹角的最小值. 【详解】因为，所以，， ， 又因为， 所以，所以，的夹角的最小值为. 故选：C 【点睛】本题考查平面向量数量积、向量的夹角，涉及余弦函数、二次函数的图象与性质，属于中档题. 7. 已知函数，．若有2个零点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】有2个零点，则函数与函数的图象有2个交点，利用函数图象判断实数a的取值范围. 【详解】时，，函数在上单调递减，， 令可得，作出函数与函数的图象如图所示： 由上图可知，当时，函数与函数的图象有2个交点，此时，函数有2个零点．因此，实数a的取值范围是． 故选：D． 8. 我国古代数学家秦九韶左《数书九章》中记述了了“一斜求积术”，用现代式子表示即为：在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则的面积，根据此公式，若，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简，求得，再结合已知及余弦定理，求得的值，代入已知公式，即可求解. 【详解】由题意，因为，所以， 即， 又由，所以， 由因为，所以，所以，即， 因为， 由余弦定理可得，解得， 则的面积为. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和两角和与差的正弦函数公式的化简求值的综合应用，意在考查推理与运算能力，属于中档试题. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，是复数，则下列说法正确的是（ ） A. 若纯虚数，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A代入即可判断正误，对于B取特殊值验证即可， 对于C设，求得即可判断正误，对于D设代入验证即可求得. 【详解】A. ，则，故A正确； B.当时，，但得不出，故B错误； C.设，则，，所以，C正确； D.设则得，又，， 故成立，D正确. 故选：ACD. 10. 窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形的边长为是正八边形边上任意一点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 在向量上的投影向量为 C. 若，则P为的中点 D. 若P在线段上，且，则的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立如图平面直角坐标系，利用平面向量的坐标表示计算可得、投影向量、满足的点可能是ED的中点也可能是AH的中点、，依次判断即可. 【详解】如图，以所在直线为y轴，GC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系， 设， 则，整理得， ， 设. A：，得，故A正确； B：， 得，即投影向量为，故B正确； C：， ， 由，整理得， 即，满足此等式的点可能是ED的中点，也可能是AH的中点，故C错误； D：， 由，得， 整理，得， 所以，故D正确. 故选：ABD 11. 已知函数，，，，下列选项中正确的有（ ） A. 函数、、都是偶函数 B. 若且，则 C. 若且，则+=1 D. 若，则 【答案】CD 【解析】 【分析】首先求出、、解析式，再对各选项一一计算即可判断； 【详解】因为，，，， 所以，，， 所以的定义域为，不关于原点对称，故不具有奇偶性，故A错误； 当时，，即，即， 同理可得，所以， 当时，，故B错误； 当，即， 所以或，解得，（且）， ，故C正确； 设， 因为， 所以，当时，则，，，， 所以，，，则 当时，同理可知，，故D正确. 故选：CD. 【点睛】关键点点睛：解决本题D选项的关键在于，解出、、、的值进行求解. 三、填空题，本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在以为顶点的三棱锥中，过的三条棱两两的交角都是，在一条侧棱上有，两点，，，以，为端点的一条绳子紧绕三棱锥的侧面一周（绳和侧面无摩擦），则此绳在，之间的最短绳长为________. 【答案】5 【解析】 【分析】作出三棱锥的侧面展开图，进行求解即可． 【详解】解：作出三棱锥的侧面展开图，如图， 则A、B两点间的最短绳长就是线段AB的长度. 在中，， 由，得 即此绳在A、B之间的最短绳长为5． 故答案为：5 13. 如图，某直径为海里的圆形海域上有四个小岛，已知小岛B与小岛C相距为5海里，.则小岛B与小岛D之间的距离为___________海里；小岛B，C，D所形成的三角形海域BCD的面积为___________平方海里. 【答案】 ① ②. 【解析】 【分析】先求得，利用正弦定理求得，利用余弦定理求得，从而求得三角形的面积. 【详解】圆的内接四边形对角互补，为锐角， ， 在三角形中，由正弦定理得. 在三角形中，由余弦定理得， 整理得,（负根舍去）. 所以平方海里. 故答案为：； 14. 如图，菱形的边长为6，，，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】设，则，然后根据平面向量基本定理把用基底表示，再利用向量数量积的运算律求解，结合余弦函数的性质可求得答案. 【详解】设，则， 因为，， 所以， ， 所以 ， 因为，所以， 所以， 所以的取值范围为， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知两个非零向量与不共线. （1）若，求证：三点共线； （2）试确定实数，使和共线. 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量共线定理证明即可得出结论； （2）利用共线定理构造方程组即可解得. 【小问1详解】 由可得； 显然，即共线， 又因为它们有公共点， 所以可得三点共线； 【小问2详解】 若和共线，且向量与不共线， 则存在实数满足，因此， 解得； 即存在，使和共线. 16. 已知，复数，. （1）若在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围； （2）设为坐标原点，，在复平面内对应的点分别为，（不与重合），若，求. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出，再利用复数的几何意义列出不等式组求解即得. （2）利用复数的向量表示，结合给定数量积求出，进而求出，，再求出复数的模. 【小问1详解】 依题意，，而在复平面内对应的点位于第三象限， 则，解得， 所以m的取值范围为. 【小问2详解】 依题意，，， 由，得，解得或， 而时，为原点，不符合题意，因此，，，， 所以． 17. 在中，，，，点，在边上且，. （1）若，用，表示，并求线段的长； （2）若，，求的值. 【答案】（1）, （2） 【解析】 【分析】(1)由向量的线性运算得到，再由向量的模的运算求解； (2) 因为，所以，，再分别计算数量积与向量的模，再由求解． 【小问1详解】 依题意，， 则， 故， 由， 则 ， 故线段的长为：． 【小问2详解】 因为， 所以，， 则 ， ， ， 故． 18. 已知函数． （1）求函数的解析式及对称中心； （2）若，且，求的值． （3）在锐角中，角、、分别为、、三边所对的角，若，求周长的取值范围． 【答案】（1）,对称中心 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积的定义，二倍角公式及辅助角公式化简，再根据三角函数的性质求解即可； （2）由得出，再根据两角差的正弦公式计算即可； （3）由得出，根据正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式及辅助角公式，将转化为三角函数，根据为锐角三角形得出A的范围，结合三角函数的性质得出范围即可求解． 【小问1详解】 . 令，则，， 函数的对称中心为，. 【小问2详解】 由可知，， 化简得， ，，， . 【小问3详解】 由可得， 即， 又，则，则，所以. 由正弦定理有 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，解得. 所以，则， 所以，则， 所以的周长的取值范围为. 19. 若函数自变量的取值区间为时，函数值的取值区间恰为，就称区间为的一个“和谐区间”.已知函数是定义在上的奇函数，当时，. 求的解析式； 求函数在内的“和谐区间”； 若以函数在定义域内所有“和谐区间”上的图像作为函数的图像，是否存在实数，使集合恰含有个元素.若存在，求出实数的取值集合；若不存在，说明理由. 【答案】；；存在，. 【解析】 【分析】 利用函数奇偶性的性质写出的解析式； 根据“和谐区间”的定义写出函数在内的“和谐区间”； 设为的一个“和谐区间”，则，即 ，同号，结合分类讨论得出结果. 【详解】解：为上的奇函数， 又当时，， 当时，； ； 设，在上单调递减， ，即，是方程的两个不相等的正根. 在内的“和谐区间”为. 设为的一个“和谐区间”，则，，同号. 当时，同理可求在内的“和谐区间”为. 依题意，抛物线与函数的图象有两个交点时，一个交点在第一象限，一个交点在第三象限. 因此，应当使方程在内恰有一个实数根，并且使方程，在内恰有一个实数根. 由方程，即在内恰有一根， 令，则，解得； 由方程，即在内恰有一根， 令，则，解得. 综上所述，实数的取值集合为. 【点睛】本题考查函数的性质，考查分类讨论思想，方程的应用，难度大，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$