18.2 勾股定理的逆定理&微专题三 利用勾股定理解决最短路径问题-2024-2025学年八年级下册数学同步测控全优设计（沪科版）

|数学|0第18章勾股定理 18.2 勾股定理的逆定理 6.(河北中考)已知：整式A-(m-1)2十(2)，整式B0. 知识清单 尝试化简整式A; 发现A=B,求整式B: 1.勾股定理的逆定理如果三角形两边的平方和等于第 联想由上可知，B2=(n2一1)2+(2)2，当n>1时， 三边的 ,那么这个三角形就是 n2一1,2n,B为直角三角形的三边长，如图.填写下 三角形. 表中B的值： 2.能够成为直角三角形三条边长度的三个 直角三角形三边 n2-1 2n B 数，称为勾股数。 勾股数组I 8 35 1练基础|干里之行始于足下 勾股数组Ⅱ 知识点一勾股定理的逆定理 1.下列各组数是三角形三边的长度，能组成直角三角 形的一组数是() A.2,3,4 B.5,12,13 C.6,8,12 D.√3，W4,√5 2.(湖南益阳中考)已知M、N是线段AB上的两点， AM=MN=2,NB=1,以点A为圆心，AN长为半 径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧 交于点C,连接AC,BC,则△ABC一定是( 1练提能1百尺竿头更进一步 A锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 7.下列各组数中，能作为直角三角形的三边长的是( ) 3.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1， A.1,2,3 B.12,3 △ABC为格点三角形（即A,B,C均为格点），求BC C.3,5,5 上的高. n含号 8.如图，每个小正方形的边长为1， A、B、C是小正方形的顶点，则 ∠ABC的度数为() A.90 B.60 C.45 D.30 9.在△ABC中，AC=9,BC=12,AB=15,则AB边上 的高是( 知识点二勾股数 A. B号 c D.3/3 4.下列各组数是勾股数的是 10.大家见过形如x十y=之这样的三元一次方程，并且 A.6,7,8 B.1W3,2 /x=3 C.5,4,3 D.0.3,0.4,0.5 知道y=4就是适合该方程的一个正整数解.法国 5.下列各组数中，是勾股数的为() x=7 A号月 B.0.6,0.8,1.0 数学家费马早在17世纪还研究过形如x2十y2-x 的方程.请你写出方程x2十y=x2的两个正整数 C.1,2,3 D.9,40,41 解 32 18.2勾股定理的逆定理0|数学| 11.如图是由16个边长为1的正方 (3)小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他 形拼成的图案，任意连结这些小 能有办法检验BC边是否垂直于AB边吗？ 格点的三个顶点可得到一些三角 形.与A,B点构成直角三角形 ABC的顶点C的位置有 个. 12.若一个三角形的三边的比为3：4：5，则这个三角 形的三边上的高之比为 13.如图，有一块田地的形状和尺寸如图所示，则它的 面积为 17.阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数 a,b,c,称为勾股数组，世界上第一次给出勾股数通 解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股 12 a-2m-r） 14.在△ABC中，AB=41cm,BC= 数组公式为：b=mn 18cm,BC边上的中线AD=40cm, 则△ABC是等腰三角形吗？为什么？ c-m+) 其中m>n>0,m,n是互质的奇数 应用：当n=1时，求有一边长为5的直角三角形的 另外两条边长， 15.观察下列勾股数组：3,4,5：5,12,13：7,24,25：9， 40,41:·;a,b,c.你能发现什么规律，根据你发现 的规律，回答下列问题： (1)当a-19时，则b,c的值是多少？ |练素养探究创新发展素养 (2)当a=2n+1时，求b,c的值.你能证明所发现的 规律吗？ (内蒙古呼和浩特中考)如图，在 △ABC中，内角A、B、C所对的 边分别为a、b、c. (1)若a=6,b=8,c=12,请直接 写出∠A与∠B的和与∠C的大小关系； (2)求证：△ABC的内角和等于180°， 3若。+ (atbt 一，求证：△ABC是直角 三角形. 16.李叔叔想要检测图中雕塑底座正面的 AD边和BC边是否分别垂直底边 AB,但他随身只带了卷尺. D (1)你能替他想办法完成任务吗？ (2)李叔叔量得AD长是30厘米，AB A 长是40厘米，BD长是50厘米，AD边垂直于 AB边吗？ 33 |数学|o第18章 勾股定理 微专题三利用勾股定理解决最短路径问题 专题1利用展开图求立体图形中的最短距离 5.如图，A,B两个小镇在河流 1.如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm,高为 CD的同侧，到河流的距离分 6cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕 别为AC=10千米，BD=30千 一圈到达点B,那么所用细线最短需要 cm. 米，且CD=30千米，现要在河 流边修建一自来水厂分别向两 镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元. (1)请在河流上选择水厂的位置M,使铺设水管的费 6 用最少：（不写作法，保留作图痕迹） (2)最低费用为多少？ 3 cm 2.我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地 上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达 其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木 看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20 尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕 五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最 短长度是 尺 专题3综合利用对称求立体图形中的最短路 径问题 3.长方体的长、宽、高分别为8,4,5.一只蚂蚁沿着长方 6.如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略 体的表面从点A爬到点B,求蚂蚁爬行的最短路径 不计)的高为12cm,底面周长为10cm, 的长的平方. 在容器内壁离容器底部3cm的点B处 有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外 壁，且离容器上沿3cm的点A处，求蚂 蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长 专题2利用平移或对称求平面图形中的最短 距离 4.在小学我们已经知道，正方形是轴对称图形.如图， 在正方形ABCD中，AB=4,E在BC边上，BE=1, F是AC上一动点，则EF+BF的最小值是 D 34答，名前无了0豪面保米. 22象 能姐直月线寿a 天，期(1》不持合 7+3=10一)桥C=1,AC+A= 1与程7里年.： +, .△4C是等限直商工舟形，.∠A州C= 食小路的元度均为xm,根常理意菜(1明一)11： 10,AB-1△Am中，∠ACB-， 期制年分的面红=亡一W一a:一)一g一十40 )=宁×18×B,每这不考直停1,2,1 +改=A屏，年+容m(一于， 中=1。 风三解桥电随盒，得解于内的块子矣度为甲= 血y一1归不耕◆则意，8◆女，一品 5,别头于常有标子所南的接子卡度为为“5一 剩酸中两个王方重漫年分的面航=44十一(1： 品小等鳞逢诗雪常不非合香件：小移的宽成是鸡考2m叫 DCH. 加道国中圈影年分的香额，酬一尾真求自植小局木 12》不生一，加图， 复.1g解醑图，备纸△A议@ACETKAAS), 车华解析由想意女及气原可如，王有到因面制的静 A朝C十■十1281+14=25 等于在考制①的条物，说王有形四竹西和为过，风光美 A=22, 为 性工者0商秋为1，在方彩。的奇数有品 十=AF,∠=， 0 此正考利心的面邮为2， YSa■=AC·=二A话D, n2解D作DFCE,幅等 18,2勾般定理的逆定理 w-- 第18章勾股定理 纳无报合一，是Pm1 如识清重 在重扇三是形CDF拿，根楼为量发观.拜：F=3 1平直 18.1勾投定理 在重角≤DF中，BFC+CF=企+I= 2.正的 0,答室不一，只是数期可，一，=卫等 数识清单 存根转为量凳厘，得D=D+十丽=2， 线基磁 半持相平方a+N= LB解析九F十4，不是直角4角形，比 解析根器自组柱构填形可， 练苏陆 接误，且7+1图一3：览灵真间天角形，故此选项正 11.5解析图所拿1 1,A2.D点B4C5 确6十8罗，此不是直A三扇和：址光4项替该： 东.A解桥模播封厦定星，浮C=A一AC 《上 DW了十才8，放家是直角三角形.政北感 2L(1)段：}13解析1)售A,段两九的其全林信间 上.B朝析如尊所章，由作耳可加汇=AN=4,C 7,期《1)应△ABC中：由与量是厘，将+C 1f3,AB=2中2年1=5 A任，+1=1阴=A,A0=3: 平分底交L底L于是D, L十T=LB,△AC是直角三角，星 C罪= +C=5 ∴=22-0=26，”.州=15 r:1D==, 雪∠（为是角A时，有C,,两流 ∠A为直点时，有C一 D解析我得B-，调，少走的为 青身壁瓷理，民两1一r十十12，解得r1以， =1 月∠B为直角k时：有C两是 24十，=261民1. 幢上研，有可个点 失，D解桥侵种子的斯地海地商民，形韩边为门一)民 12,01甘g解新藏三角形的二边分到为1，山4r ,解得义， 《1中Crm2r5rn2r。 所断飞所地面的高度为器2见， 1解若A川=1+1=5，AC=I十4=26，=子+ (3r)+4y= 0解我销料的高B为：出，明风于的长为十1m “过木工角形光直商工角制， AN+AC=w,∠HC, 设外填上的高为。 十mr+1),解得之AB出12. C,-17 议仪C上的高布6： 体提楚 2边解15。-1×1-（量×1×1+号×在×1+ ILA 吉×2×-子 4-图X2正1，二度生的务为名 2D:解桥选请A可红村面批排美系人心汉4 91518 (21,AC=2+1=、5, 4.已解银A.7十≠8，故免选博接误其区系是整 132到解新作骑底：接A (的一)=来最祖村蓝式厘：选罐目可以料博面似 (3)设，AB到AC地的题离为A 得美系人子0×4中一(m十)来验丝自现文厘1志 且.L多，6,4,0,5都系周正要其。战北4谓鸳通 反山的册八.不无，酒为它门不是三整慧：L不是，用为 填C可d科看0伤得关原炎三如十b(u十》-立a山冈 13解《I1,∠AD=00,,∠AE+∠D=90 不立整鞋C不是，者+0是国为 十0T■且非灵至整数. 十北镇这内赋发院：选项D无清验江为载完露， ∠AME+∠AEat,∠LE-∠CD 6解雷魂A=(时一1)+(=-1+1+n 在△AB和ACDH中，"'∠A工=∠D=, 3汇解析根播山程走理可标：以再条直周设为这长约 -+1F, 料冷△AD是直两三角形： 青个三方利的面机和等于以韩隐为连长的正考形的 发限A=B区，B,民n十1 △AF2△DRAAS,uB 岳，候用可最太正E的岳机是（行十）十 暴想517 内为+=，肿以△A是直角元角形. (+. (21W(I)和B=CEaD=AE=, 2u=8时=4.十=+1=17， 鲜套来的面柱身是两女主角二角和的面家是 14C解所极裤专戴实足，得A十=A伊=，武 直发2一1种15时，十1■7 练 7×2×-×3×4-30-6-20 5.A解析唐子妈数是品合卧的表参衡A 5 及5一一Sm+5m+8m一+ 7.B解析A:1十2。 14,解△A配是等工角 展行列合登的老下角，故雾把二个金 ”,装角1,2,8的三本我登不蓝商成三角和 准鲁是，C418m,C均上的中我★AD, +2=3.w=13=3, 5.D-[D-9 c 纪三个台骨是升成年香因和后，可和 ,县11w谷为这装的天角U灵直角三果形1 AH-41 cm.BD-9 rm-AD-10 m. 4=5.>=12. ++046+,+- C.1十=84，=25,3425， ,APw1681:F+A1481. ,,1=1)+A. 在：△AC中， 3，，5的4角形不直角三角利 AD⊥C 昌为AFM十度，弹F十=@， 24解山身量发理，得kCAB一AC■13V一0 桥是A1 1,,C=1来. ()+(片)-易()-品 WBD■CD.C■AD,△AC是等罐三扇形. 故妈叔名到HA的属链恐域的兰为日m 板工解析幅于科本在点墙时，板幅自显气厘停每子的 19子4-0术/种=10啡千来/◆时0千米小时， 以宁子行★雄装的三属5不道直角勇彩 以相地T, (2)清a2w十1时，议m.鲜了=十1，根量匀国 8.C解拆机糖有睡建理可x得到：一C一AB一 的严车为L5米。所风令悬的宽成为山7十1，百 1,C解新或直免工典型的外边长为1，枝参直角隐为6， 12,即-4n+1),w=20+1》+1 55 56 进明+m2十1”十2e(m十1了4n'十a'+ 5的解析三境形的内用中为5一)×1初”5的 五诗每A仪E是至五连每： +4w+12十1+1门=n'+4+8+4w 2①AA 连影的内角和为：有2)×13一7如， 修素乘 所u,b:以江点的三角利是直两三高知， 7.5解折恒格观意.得（用一21,140+3m6,解第 醇探元一，∠FDC=∠A+∠ACD:∠0=∠A+ 计算店要满克AD十A俗=D,到说明△AD是直 练现能。 ∠FD十∠D-∠A十∠MD十∠AT∠AK 扇三角利，龙，有AD⊥A民风厘，点可長拟地格可 B解析四进形不具有错发社，B中会有网边和， 1冷J十 探文二，FDP,P9鞋平学∠AC和∠ACD (2)解为3时十4P=3,奔AD十AF=BD,所这 0,C解所内于多进则的内扇和都灵1的始数，其 △ABD是直三商每，且∠A国，除RAD生AH: a十本我t10登修，吴有4槽C中3的不直t1始雪 ∠PDC-∠uC,∠PO-∠， 则C与DE的交走F即角所点，'在金者每AID ,∠D-1w-∠PDC-∠D 们为难的工周的不工晚，从香是到结化， 1,道解所题意，异10■一2)-一0以3.解是4=， DE-A,+BF的最小是BF+=D尼 12.36幅折∠r-2-1g,又？1- -1-号∠0C-号∠, T解5-1-10-w, -+10 C.六∠=(1-t的÷2=1 -'-支1∠A2C+∠AM, 1小.帮日亚事济形的连是冷：多如的片商减量希：飘 :直角5周影有一边美为5， -18-180-∠A. .s4-1时，宁(w一11- ,2.33=1×10十10，内角和位是的错款 =m十子∠A: 解得州一士（会去》与 这是12+2一14边都的州角和： 探求三，DP,CP冷的年∠ADC+∠CD 身b=1时：序1=5，代A0⊙抖.M=1空u=11: 好事线制的对角桃的素量是售上卫一（备 2 ÷.∠PC-5∠，∠=-∠D 当一正时，气（十D一5，解泽w一生8 甲养有厅备对角气， ∠DPCm18-∠PD-∠XD M0,附-1.入①得4=4= 1日解1》袋么口晚形岭回个中角魔量为了，，3： 综上两送，至角三角形的万将属备球长食相为12,18 ir', --号∠-∠mn 3. 题2十04十山上+0.解民a=20, 体景 骨以5大的外清准特为91 ■18-（∠ABC+Z1D, 期1)在△中，a=5,b=Be12, 多连形它相标的内得中平平180：外扇 ∠A+∠ 可蓝子个10，问则出金北1 -m-吉0-∠A-∠. (F》如周.境AA件N议 图1 (特国边影的多个外米的度袋之出21事41”5程 (因2，在直角5角UE下中，EF=CD=30(千 表，iF=D十=0+10=4千来)， 为18131， -∠A+∠m, 登充m边形竹时个外用度量有A上，，“， 菜克a∠P=∠A+∠B+∠E+∠月-1 ”.报5， 除这网连的膏个释角成题命刺约相，u,的”， 星：云边颗A从店F的月有和为，6一21·15了 d 铺道长幸所舍香用特最小值海0×3一0（为元1 “1MNm. 落，表装鲁用为1的否龙： 以的个内角度到为1,2r,四 VDP,CP分n平食∠ETDC和∠D, ∠B∠B,∠VAC■∠C再直底平什，角 5.解1④任用，，台五连ACDE的春泰边每相￥ ∠0C-∠EHx.∠mD-∠D. 相羊， 于直片EF的时徐AA集AB,F于AC:4棒 251LB+∠AC+∠NAC-1来角的宽父2 AB-C-CD-DE-EA 汇，附成平四中折我爱ACB聊为辉蚁吧到成的需 ∠PI0-∠P'-∠CD 在△AC,△改D,△E,△DEA,△EAB中 1B∠MC+∠C=186等)， 4川》De4 -m-士∠-子∠D 刚不得都天本内角的和羊于19： 作D上AF中盖D,根推斯龙协士量餐（羊处：1 =D=E一EA=A 围用意，有对置宽厘，得A=AD+=+ ACBD-CE DA BE -I8-∠EC+∠D 3溢明-干 4 ,∴AA度GA.X2洋2△2 OEAKSRS. 答：妈叔吃到线址雪角行的最短路微表1昌m ∠A ∠'D ∠g=∠E1=∠EAH, -'-w-∠A-∠H-∠B-∠P月 品五年得1议出具E五峰每， 多养=压=CE,五边形AE是玉连荐，理 一∠A+∠+∠E+∠P-1 a+2m+)-] 如： AEIADC 19,2平行四边形 =+”十一N, 点△AB,△A和△'中，A=C=DE 1.2.1平行四边形的性质 BE-AC-CE ÷△A是直角天角形 △AHE@△段AQ△DYS55), 第1课时不行图速形的速，角性质 微专题三利用勾股定理解决最短路径问置 CA=∠风，∠A=∠AE= 年识清草 第19章四边形 ∠BAC=∠A=∠IKE=∠DFC, 1,行 牌看最艇细纸，的句鞋龙厘，再AB■(1十1十8十)中 (AERC 阳等 4=100,青4AI=10, 11多边形内角和 盒△AE△中，C-店 等 知院清单 A=CE 体基细 长)晨，落一帝直具连长百X小15见 1.山风一条线爱展点角外角 △AE2△BECX8S) LB 2A 保场封量定理，得1+学=：国北周 》不餐4阳等相 A=∠(,∠CA=∠CAE=∠EC 解精极据年行网注形的时注传等，馨力一A川 1(-2)4103.网 ∠B, 3,×1. 人解帮长方保标不可雪人根界，片填夏角二 绿线 :同边再人仪E内再和冷30 板餐平有得连写的对边平析，得D8AB 考琴，料周共量是厘农A量孟 .A2.D ÷∠AC't CE=1. ∠AD=∠BAE 人D解新由多姓慧内角和公式，得(=)·了= AB&CE. 元∠DAE=∠KAE.∠DME=∠AE0. 如图9，A形=5+4十V14, ∠AHE=∠日，∠R1G=∠CE EDAD1 加图③，AF州+5+4一5 4.D解相健玉九边程为角和=阿°×一-山=1”， ∴∠Ar-∠(EA一∠AE, 周为14551185. ∠BA=1∠AH. 4.山解析根满么AD的周长冷名m和C=4回泰 阶依妈规袋行的显粗单径的长的平含是低 明异小内角片虎我-1一1 E∠(A=∠D=∠AFED=∠CD=∠AE ∠BAE, 8证期”口建形ACD元平行时隐形，