18.1 勾股定理-2024-2025学年八年级下册数学同步测控全优设计（沪科版）

第18章 勾股定理 18.1勾股定理 7.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90. 知识清单 (1)若已知AC=5,BC=12,求AB 的长： 勾股定理直角三角形两条直角边的 (2)若已知AB=25,AC=20,求BC 等于斜边的 的长. 如果直角三角形的两直角边用a,b表示，斜边用c表 示，那么勾股定理可表示为 练基础|千里之行始于是下 知识点一 勾股定理及其验证 1.在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为( A.5 B.6 C.7 D.8 知识点二勾股定理的应用 2.如图，两个较大正方形的面积分 8.如图所示，有一块边长为24米的正方 别为225,289，则字母A所代表 289 形绿地，在绿地旁边B处有健身器材， 225 的正方形的面积为( 由于居住在A处的居民践踏了绿地， A.4 B.8 小明想在A处树立一个标牌“少走◇ 24 A C.16 D.64 米，踏之何忍？”请你计算后帮小明在标牌的“◇”处 3.(湖北咸宁中考)勾股定理是人类最伟大的十个科学 填上适当的数字，应为() 发现之一，我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽 A.3 B.4 C.5 D.6 在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理 9.《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末 的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国 折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是一根竹 际数学大会选它作为会徽.下列图案中是“赵爽弦 子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，某 图”的是( 竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，则折断处 离地面的高度是() A.5.3尺B.6.8尺 C.4.7尺 D.3.2尺 10.小明想知道学校旗杆的高，他 B C D 发现旗杆上的绳子垂到地面还 4.下列说法中正确的是( 多了1m,当他把绳子的下端拉 A.已知a,b,c是三角形的三边，则a+b=c 开5m后，发现下端刚好接触 B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方 地面，求旗杆的高 C.在Rt△ABC中，∠C=90°，所以a+=c D.在Rt△ABC中，∠B=90°，所以a+b=e2 5.等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，它 的腰长为() A.7 B.6 C.5 D.4 6.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3,AC=2,则BC的 值为() A.5 B.6 C.7 D.13 29 |数学|0第18章勾股定理 17.《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在 练提能|百尺竿共更进一步 “勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹 高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译 1L.将直角三角形两直角边同时扩大到原来的2倍，则 成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB=90°， 斜边扩大到原来的( AC+AB=10,BC=3,求AC的长，如果设AC=x, A.2倍 B.4倍 C.6倍 D.8倍 则可列方程为 12,下列选项中，不能用来证明勾股定理的是( 园⑨☑ B D 13.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是 正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形 A、B、C,D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E 18.(江苏南京中考)无盖圆柱形杯子的展开图如图所 的面积是( 示.将一根长为20cm的细木筷斜放在该杯子内， 木筷露在杯子外面的部分至少有 cm. 2 cm A.13 B.26 C.47 D.94 14.在Rt△ABC中，斜边AB=2,则AB+AC十BC 19.如图，直线l上有三个正方形a,b,c,若a,c的面积 等于( 分别为5和11，则b的面积为 A.2B.4 C.8 D.16 15.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分 别等于5cm、3cm和1cm.A和B是这个台阶的两 个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃 20.如图，△ABC和△DCE都是边长为2的等边三角 可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿 形，点B、C,E在同一条直线上，连接BD,则BD的 着台阶面爬到B点，最短路线的长为() 长为 21.(河北中考)勘测队按实际需要构建了平面直角坐 A.13 cm B.12 cm C.10 cm D.9 cm 标系，并标示了A,B,C三地的坐标，数据如图（单 16.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在 位：km).笔直铁路经过A,B两地. 左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端 (1)A,B间的距离为 km 距离地面2.4米.如果保持梯子底端位置不变，将 (2)计划修一条从C到铁路AB的最短公路，并在 梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米.侧小巷的 1上建一个维修站D,使D到A,C的距离相等， 宽度为( 则C,D间的距离为 km. A.0.7米B.1.5米C.2.2米 D.2.4米 C 30 18.1勾股定理0|数学| 22.如图，方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三24.《中华人民共和国交通安全 B小汽车 C小汽车 个顶点都在小正方形的格点上，求： 法》规定：小汽车在城市街路 上行驶速度不得超过 70km/h.如图，一辆小汽车 A检测点 在一条城市街路上直道行驶，某一时划刚好行驶到 车速检测仪A的正前方50米C处，过了4秒后行 驶到B处，此时测得小汽车与车速检测仪A之间距 (1)△ABC的面积： 离为130米，这辆小汽车超速了吗？ (2)边AC的长： (3)点B到AC边的距离. 23.(四川巴中中考)如图，等 练素养探究创新发展素养 腰直角三角板如图放置， 直角顶点C在直线m上， 1,(浙江宁波中考)勾股定理是人 分别过点A,B作AE⊥直 类最伟大的科学发现之一，在我 线m于点E,BD⊥直线m于点D, 国古算书《周牌算经》中早有记 (1)求证：EC=BD: 载.如图1，以直角三角形的各边 图1 图2 (2)若设△AEC三边分别为a,b、c,利用此图证明 为边分别向外作正方形，再把较 勾股定理 小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方 形内.若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出 () A.直角三角形的面积 B.最大正方形的面积 C.较小两个正方形重叠部分的面积 D.最大正方形与直角三角形的面积和 2.如图所示是一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形 ①开始，以它的一条边为斜边作等腰直角三角形，然 后再以这个等腰直角三角形两直角边为边作正方形 ②和②'，如此继续下去·，若正方形①的面积为64， 则正方形⑥的面积为 31篆，4购无了0原面朵需 22米 较超直黑这寿a: 男.解(1》不持合 17.+1=(1g一)'期桥镜AC=1,”AC+A作 0后空里暮.■d中A △AC是等餐直角工角积，品∠A以C=45 设小鸡的宽成购为xm,机屠题意得(16一2)(12 10,AB=o-,RE△ABC中，∠ACB=', 利利分的面权=之一一a一)=一a十a 2r)=与×16×12，都道个★喜得1：=2，=12 A+0mA罪，即x+3=(10-. 1a+6-r）。 风5解析由是唐，得k于内的峡子关度为√7十可= 但=12不耕◆则意，A女头，=二 小等的量许者量不琴合备并，小移的宽成应购冷2m 5,解美于意泰标子所面的摄个长度为的一15一 制酸小两个正齐形重叠解舟的面架一4十6一)： 加道图中形标分竹香新，则一是酯求白植小两不 2》答不生一，加图 1复.1G解所图，务≤△A顶2△CEt式AAS), C=DE,根接税理易得6岭面为1 土辛解析专通意风内最觉厘可加，王考形西面机的2位 .A 解￥AC+BC=9+12=81+144=225, 等十丘方形小的面新，能玉有非©的西机秀过，以光美 A=25, 水为 推，工才彩@的西积为16，m,总才利岭需款为是 C十C=A甲，∠ACB=0 y5=-AC+C-AB·CD, 8 故正含和⑦的面都为2， 02解想社D作DFICE于F,等是角 18.2勾般定理的逆定理 cD-ACC 第18章勾股定理 岭工绳合一，提下网1， 如识薄重 B 在重角三用形DF章，根楼句故定理.科：DFm3, 1平方直角 18.1勾投定理 在角DE中，F-BC+CF-+1一3 2正幢 m,答室不一只是女散即可，一，)一2等 城基磁 5 实清莱 解析根福与校载构谁形可。 平方相华方+=已 特民战十1四一11，黄L角不角形，故此选项正 1L5板如图章1 修基老 1.A 2.D 3B 4C 5C 确，C十矿≠学，不是直角三角有，此此味请每遥： 东A解新根播身反定理，荐C一A于一A心 上 日W)中(W户中《W)卫，故系是直角三角形，黄些选 21(1)2)《2)13解桥1》售A,B两点物填坐解相同 1B解析加要所录，由作蘑可加C=AN=4:C 7.期《们》袁R△ABC中，9程定厘，序AC十C 2C作AB于是E,楼AC,件AC的真 月M=1,AB=2+2+1=5。 A,2十12=160=A甲，A8=13: 平鲁我交直成！于点D, AC十C=,△ABC是直角三角， 4 ()在R△ABC中，由与餐文理，C十改P=A图 ∠ACD=50 20+BC=', (1)可：C=1-17）=18.A=13,CD= BC为里角精点时，有G,,C,两点1 .”=可=2y=25,.C=15 FAD-CDE ∠A为直顶时，有C一A D解析曲匀，得B-25,国少走的程为 舍与最光理，保14一x+12,解得F=13, -11 雪∠B为直两1很是，有C,C禹是， 24+7一2B=6(米). ,D解桥说特辛所题此离地西：民，明耗地为1D)尺 12.01512解三角形的三地分到为山，4r (3r]+(4x)'m25x,5r]m2x'。 折能轮再地面的高金为8上见， 夏解A月=+1=5，AC=+=0,C=3+ 10解段魏料的高A心为是m,到绳于C岭长为+】m 在△ABC中，A形+C 二个二角制是直角三角利： AB+AC=B,∠BMC=0 设外边上的高为。 ,3+5=《x十1)，解得x=2,AB■2. ,-177 最℃上的高布最， 答：杆的高1 体提能 2解(15=-1×多-（分×1×）+空×2X1+ rae-号A·AC-BC4 ILA 上D解析远项ATa州看西红得美系人子a0X4十 ×3x小-子 -BX3正-，止C上的满为2 个角和三连上竹高之比一七 9+15,12 (2)AC=√+下m5 4C解桥A.T+≠8，放武法两槽接L√8不是壁 132到解新作排精气：4接AB (6一■)'=来酸认女且走厘：线项B可以利周局钢 (3)设点B到AC边的题离秀A 得美系人字×十一(a十米验红句及宽双1喝 制Sg=·AC·h=,期得62 且.0多6.4：0.5都系是正要重，故地4得得远， 13 质0帆所A不是，两为它门不是显整数：1系是，用为 25解41D,∠ACD-0,,∠E+∠CD=90 ,AEm,∠DH=0',∠A- 空十表输江与照发理：域项D无法靴证到餐宽现 ∠ACE+∠CAE-0.∠CAE-∠BCD 少+0=41，且都是五整量. 6解金线A=(行=1)中(8x于=矿=2中1十4同 在△AC和△CDU中，∠AT=∠DB=N°， 国冷△ABD是直用三角形： 及C解桥根播均程龙理可知：以得条直角连为这装的 CAE=∠cD,C=CB, +2+1=+1, 两个区方附的面权和等于以韩地为进卡的正市形的 发税￥A●F,B,B='十1 △AEC2△CDRCAAS),EC=BD 暴想537 鸭为F十1=1，所江△A汇是是角三角形 岳食，端候相用可得最大正者形E的岳机是（了十）十 (2)传《1)和=CE=,CD=AE=, 2=8时4.十1=十1=17 鲜要来岭面机即是两个重角三角形的面机及 C解所根爆自股文理，得A十=A形=4，故 品m-子a+a+制-+a+ 当为一136对，十1m37 ×12×-×3×4-30一6-24 A+AC+B4-48 结裂能 反A解桥传于妈父足帝存卧的表秀衡A 5 及”5一Sm+5m+。一7+骨b叶 1,B解折A1十2=3， 14,解△AC是等裤三角利 是行到存险的布下角，放雾起二个命险 ”,装为1.2.8的三备我段不置篇点三角程日 重鲁是，C18cm,BC地上竹中我寿AD, B+w②'=3，w8-33=1, ,.心=CD=9m 起5个台降晨开成平而善形后，可加 “.1,2w8为陵长的天角慰是克角三角形 AH-一1m,BD-9mAD-0m AC=5.9C=13, C3十5=345■25,34425， ,A甲■1631，BD+A=161. ,AP=B子+A。 在R△AC中， 3,5,5边表的三形不直三角形 AD⊥BC 国为A=AG+C,A罪=+1=I码， 娇是A尾=11. 24解由句晨发厘，屏BCAB一■13W一50 ()'+(4)-品(-号品- BDCD,AC=AB,△ABC成等肆三角利 125.,”H=12制R. 15.解1)套-1号时，武b=,时c=中1，观察者如下 16C解板幅于科意在点墙时，极督山显文理停城子的 120+4-0来/=10千来/时>D千米/小时， 美为2,5来，排学卧重在有墙时，林于真域到有地角 所以规通了。 以子子宁为边装的5是形不是直角三通和 (2)请年●2十1时：设k止，解c止十1，报每勾量无 老雨 .C解拆根插均整定理了成再到，C■BC,5AB 角1,5来.所保女悬宽魔0+1,5 厘+-(2e+1+-(0+1-2n《w+ 1,C解新线直角二来形的鲜地长为F,投长皇角地为6， 1,即=2(a十1，-2十1》十1， 56