17.2 一元二次方程的解法-2024-2025学年八年级下册数学同步测控全优设计（沪科版）

17.2一元二次方程的解法0|数学 17.2一元二次方程的解法 17.2.1 配方法 8.(江苏无锡中考)解方程：x2-2x一5=0. 知识清单 先对原一元二次方程配方，使它出现完全平方公式 后，再直接开平方求解的方法，叫作配方法。 练基础手里之行始于足下 知识点一直接开平方法 9.(内蒙古呼和浩特中考)用配方法求一元二次方程 1.一元二次方程(x十6)2=16可转化为两个一元一次 (2x+3)(x-6)=16的实数根。 方程，其中一个一元一次方程是x十6=4，则另一个 一元一次方程是() A.x-6=-4 B.x-6=4 C.x-6=4 D.x+6=-4 2.(江苏徐州中考)方程x一4=0的解是 3.(吉林中考)若关于x的一元二次方程(.x十3)=c有实 数根，则c的值可以为 (写出一个即可). 4.(安徽中考)解方程：(x一1)2=4. 练提能百尺竿头更进一步 10.用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的 方程为() A.x2-1=0 B.x2=0 C.x2+4=0 D.-x2+3=0 1山.用配方法解下列方程，配方正确的是() A.2y2-4y-4=0可化为(y-1)*=4 B.x2-2.x-9=0可化为(.x一1)2=8 知识点二配方法 C.x2+8x-9=0可化为(x+4)=16 5.(浙江金华中考)用配方法解方程，x2一6.x一8=0时， D.x2-4.x=0可化为(x-2)2=4 配方结果正确的是() 12.x1,x是一元二次方程3(x一1)产=15的两个解，且 A.(x-3)2=17 B.(x-3)2=14 x<2,下列说法正确的是( C.(x-6)=44 D.(.x-3)=1 A.1小于一1，x大于3 6.用配方法解方程4x2一3x=4,应在方程的两边同时 B.x1小于-2，大于3 ( C.x在-1和3之间 A加上号 &加上是 D.xx都小于3 C加上g D加上景 13.已知方程r-5x十g-0可以配方成（一号）广-是 的形式，则q= 7.把一元二次方程x2一4.x十1=0配成(x+p)2=q的 14.方程(x-3)2-(5x十2)”的解是 形式，则p,g的值是() 15.若一元二次方程a,x2=b(ab>0)的两个根分别是 A.p=-2,g=5 B.p=-2,q=3 C.p=2,9=5 D.p=2,9=3 m+1与2m-4.则哈 13 |数学|⊙第17章一元二次方程 16.解下列方程： 19.有两个正方形，小正方形的边长比大正方形的边长 (1)(黑龙江齐齐哈尔中考)x十6x=一7： 的一半多1cm,大正方形的面积比小正方形的面积 (2)3.x2+2x-3=0. 的2倍还多4cm. (1)若求大正方形的边长，怎样列方程？并将其化 为一般形式： (2)若设大正方形的边长为xcm,x会小于0吗？ 会小于4吗？x会大于10吗？ (3)完成下表： 5 7 8 9 10 17.在学习用直接开平方法解方程中，亮亮解方程 x-4x-12 (x一1)=16得解为1=5，x:=一3，同桌小明看 了后灵感突现，马上对亮亮说道：“我不用求解，就 (4)请你由上表写出大正方形的边长 知道方程x-2x=15的解也是x1=5,x=一3！” 聪明的同学们，你知道小明发现了什么奥妙吗？ 1练素养探究创新发展素养 “a≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要 将代数式配成完全平方式. 18.有n个方程：x2+2x-8=0:x+2×2.x-8×22= 例如：x2+4x十5=x2十4x十4+1=(x+2)2+1, 0:…:x2+2nx-8n2=0. ,(x+2)≥0， 小静同学解第1个方程x2十2x一8=0的步骤为： .(x+2)2+1≥1即x2+4x+5≥1. “①x2+2.x=8:②x2+2x+1=8+1:③(x+1)2= 试利用“配方法”解决下列问题： 9:④x+1=士3：⑤.x=1士3：①x1=4,x4=-2.” 1)填空：x2-4x+6=(x )+ (1)小静的解法是从步骤 开始出现错 .当x= 时，代数式x2一4x十6有最 误的： (填“大”或“小”)值，这个最值为 (2)用配方法解第n个方程x”+2n.x一82=0.（用 含的式子表示方程的根) (2)比较代数式x-1与2x一3的大小. 14 17.2一元二次方程的解法0|数学| 17.2.2 公式法 6.一元二次方程x2+2√2x-6=0的根是() 知识清单 A.x=r:=2 B.x1=0,x=-2V2 要解一个一元二次方程，只要先把它整理成一般形 式，确定出4，b,c的值，然后把a,b,c的值代入求根 C.x1=2,x=-32 公式x= (b一4ac≥0)，就可以得出方程 D.x1=-√2，x1=3√② 的根.这种解法叫作公式法 7.关于x的一元二次方程bx2一cx一a=0(b≠0)的解 是( 练基础千里之行始于足下 A.x=-b±vB-4a B.x=±C+4ab 2a 2b 知识点公式法 C.x=-c±v4ab D.x=c土VB+4ab 2h 2h 1.用公式法解方程3.x2+5.x十1=0，正确的是( 8.已知a是一元二次方程x2一3.x一5=0的较小的根， Ax=-5±5 6 B.x=-5±IS 3 则下面对a的估计正确的是( A.-2<a<-1 B.2a<3 C.x-5达s 6 D.x=5±g 3 C.-4<a<-3 D.4<a<5 2.用公式法解一元二次方程(x一3)(x十2)+5=0时， 9.用配方法推导一元二次方程a.x2十br十c=0(a≠0) a=1,b= ·c= b-4ac= 的求根公式x=二b士y公一a匹（公一4ac≥0）的过程 2a 3.(山东威海中考)一元二次方程32=4一2x的解是 中，下列性质：①等式的性质：②分式的基本性质： ③开平方的性质，没有用到的有( D.0个 4.解下列方程： A.3个 B.2个 C.1个 (1).x2+2(.x-3)=0: 10.方程2.x2一6r+3=0较小的根为p,方程2x2 (2)(湖南常德中考)x2-3x-2=0. 2.x一1=0较大的根为q,则p十q等于() A.3 B.2 C.1 D.2w3 11.方程2x2一6x=1的负根为 12.对于任意不相等的两个数a,b,定义一种运算※如 下：4※b=a°一2ab,如x※1=1，那么x= 13.把下列方程化成ax2十b.x十c=0的形式，并写出其 中a,b,c的值. (1)(x+1)=3: (2)2x2-5-3x=1+x: (3)2y2+4(y-1)=0. 练提能百尺竿头更进一步 5.用公式法解方程4y=12y+3,得到() A.y=-3±6 2 B.y=3±2v3 2 C.y=3±6 3 D.y=-3±23 15 |数学|6第17章一元二次方程 14.当x为何值时，代数式x2+x一1和代数式2x2-3x 16.解方程：.x2十2√5x=2. 的值相等？ 小明同学解答如下： .a=1,b=23,c=2, ∴.b-4ac=(2v3)-4×1×2=4>0, “x=-28±4 2×1 =-5±1 .x1=-√5+1，x4=-√3-1. 请你分析以上解答是否有错？若有，找出错误的地 方，并写出正确解答过程. 15.用公式法解一元二次方程： (1)2.x-1=-2x2: (2)3.x2+1=25.x: (3)2(x-1)2-(x+1)(1-x)=(x+2). 练素养|探究创新发黑素养 对于实数a,b定义：ab=a十b,#b=ab,如：2￥ (-1)=2+(-1)=1,2#(-1)=2×(-1)=-2. 以下结论： ①[2+(-5)]#(-2)=6： ②(a0b)#c=c(a￥b): ③a￥(b#a)=(ab)#a: ①若x>0,且满足(1%x)#(1#x)=1,则x= w5-1 2 正确的是 (填序号即可) 16 17.2一元二次方程的解法0|数学 17.2.3 因式分解法 知识清单 练提能百尺竿头更进一步 通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个 8.解一元二次方程2(5x一8)2=3(5.x-8)的最适当的 方程求解的方法叫作因式分解法，其依 方法为() 据是：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式中 A.直接开平方法 B.配方法 至少有一个等于0；反过来，如果两个因式中有一个 C.公式法 D.因式分解法 等于0，那么它们的积就等于0. 9.一元二次方程(1一x)2一2=0的解是() A.=1,x:=-3 B.x1=-1,x4=3 练基础1手里之行始于足下 C.1=1-V2,x9=1+√2D.x1=√2-1，x2=2+1 10.已知一元二次方程的两根分别是2和一3，则这个 知识点因式分解法 一元二次方程是( 1.(湖南怀化中考)一元二次方程x+2x+1=0的解 A.xr2-6.x+8=0 B.x2+2.x-3=0 是() C.x2-x-6=0 D.x2+x-6=0 A.x1=1,x=-1 B.x1=x1=1 11.如果x2一x一1=(x+1)°，那么x的值为( C.x1=xg=-1 D.x1=-1,x=2 A.2或-1 B.0或1 2.方程x2=4r的根是( ) C.2 D.-1 A.4 B.-4 C.0或4 D.0或-4 12.若(x2十y2+2)(x2+y-1)=0,则x2+y2的值为 3.(广西桂林中考)一元二次方程(x一3)(x一2)=0的 () 根是 A.-2 B.1 4.方程x(x一3)=0的解为 C.-2或1 D.2或-1 5.(江苏扬州中考)一元二次方程x(x一2)=x一2的根 13.现定义运算“★”，对于任意实数a、b,都有Q★b- 是 a2-3a十b,如：4★5=4°一3×4+5，若x★2=6，则 6.若代数式x一8.r+12的值是21，则x的值是 实数x的值是( A.-4或-1 B.4或-1 7.用因式分解法解下列方程： C.4或-2 D.-4或2 (1)2(x-2)=3.x(2-x): 14.方程(2x-3)2-2x+3=0的解是 (2)(x+1)(x-2)=x-3: 15.若正数a是一个一元二次方程x2一5.x十m=0的一 (3)x2-4.x+3=0. 个根，一a是一元二次方程x+5.x一m=0的一个 根，则a的值是 16.解下列方程： (1)(.x-3)+4.x(x-3)=0: (2)(x+7)(.x+1)=-5: (3)3.x2-2.x-1=0. 17 |数学|⊙第17章一元二次方程 17.用因式分解法解下列方程： (1)t(24-1)=3(1-21): |练素养探究创新发展素养 (2)(x-2)2-(2x+3)2=0 (3)4(3.x-1)2=9(3.x+1)2 阅读下面提供的内容： 已知关于x的方程a.x2十bx十c=0(a≠0)满足a十 6+c=0,求证：它的两根分别是=1，=S 证明：a十b十c=0,c=一a一b,将其代人a.x十 bx+c=0,得ax2十bx一a一b=0,即a(x2-1)+ b(.x-1)=0,(x-1)(a,x十a+b)=0,x1=1,x2= -a-bc 4 (1)请利用上面推导出来的结论，快速求解下列几个 方程： ①5.x2-4x-1=0,x1= ②2x2-3x+1=0,x1= 18.选择适当的方法解下列方程： ，g= (1)x2+4x-4=0: ③x2-(w2-1).x-2+V2=0,x1= (2)2x+3)=2: x= (3)4(x-3)+x(x-3)=0. ④(a-b)x2+(b-c)x+c-a=0(a≠0)，x1= (2)请你写出3个一元二次方程，使它们都有一个根 是xr=1. 18一士一次数上士】,数境- 号一则一元三程ar一a一的两本 -2-_---1 17.(1+3+1-00. _--号是. - --17--1-7 x(-)-4× 1”+-丁. (这里-1---- ()字程整理,得 十--+- --[--41-2-+-17 一七. - _。 (1② 1--了. --七- 2 +--- (2)没二为则一次项 - 一、一(成,这个程的次确数! (2,了上? 一次项,确一1一.一11 观起 文程高没改》,是之是-1. 16.耀有,效在雪数项斗错 17.2 一元二次方程的解法 .B折方程可为4一1-3一改里。 +)-10 --17--3-1.-10高 -1---2. 17.2.1 配方法 -图_. --(2-1-- &★基士) 3.D 厚文程开方,十一上4是一一元一次 -七-1_ .--+--- 程是 C --2v(1-1×1X(- 2.士 解析一:-0,达直汗方器 17.解把方程-1-1的选作了一+ D2 (--0--1-11-1 _ ----. -+-十十a 3.(答至不唯一一只要0可)析一十】即, .扣商致减去1..一一1,装 -.①. 本,风要:数即可。 程一一B与1一-,是 7.5 析这里二次痛系数,一次项数为一一,命数 不闻. ②: 4.满这直是4,符1一1-上。 -r+”ah。 出-1-1A-1--2. 18.(11 项一口,在入样式十 (2)项,一,+一 落-.” aal---+aa--- 十(十)-选十一士 5.,是一一,这》,一 8.A 析一土一 -叫+ n-1. .1-1.(11-1. ③: ,-17-3-17. 39.(1)没大3方数的这关云(n.中题意,择 6.D---1. 、求很会区过程中,路境,起二次确系数化 料。-第)一一 (+]-1 2(+1)+4.点一般题为-4-12-0 此,-()-1() (2)-不小个0.因为;是大圣方的这长t一不益 的是本注屋,最心开方应用了平方的性. 为1等在了等式的性,式加减时应分式 子4.为若,数一-1二D,方程不去, 1析一十-1的次 . 即方西上 同样地口也不元于10. -,一 (30-T1320 13 48 7.B-+1-0些,七-2-。 ()正方的速抽为。 技答5②。 --1-11的 --.0-3 .,-+1--1 一11 17.2.3 园式分解法 (1-+(-2)+. -1--1。 超清 &一对,代数式一十《有题小值,选个最 ,-1-1- 8-1-811-1 基础 )? 元一& .程化为一般为一--. 故答为,一???小。 (211-1---1- --1. 1.4、++1-(+1-0+1-0 1.-- 2 ----1-- --+--+1+】 浮---1. 一。 --1+1. 12.1+1-析--5 1-10:0-1. 31-31-!是,----1日 (_)。 1---1--1-0. 40.--0益4 1-1-1 -0一-3-对-是-3 -1.- 17.2.2公式法 -1-1- 5.1或程理,得1-1-. &证清 .-0. _1/--而 是1+1-v. 一-r 因,厚一2一1-. 1.l+1 耳街畔 --走了-1-0,-,-1. 基础 8.C 十1-0即已一一4、以:不存在,故才程 6成一】极题意,得一1一,即 1 8至-]-5--1. 14.题,厚十一-。 -因人,一0)(+1-0. ---1-13。 7.(1路-11(-)-1-4 11.D 析--0这上4.-+. 理,一1-0 --1-0.-,-1 一.故D _ 这-1---1--11--17 11A 析-1-1(-1--1- -23--2(+-是,路-2- -. 2.-1-11-1-+2+1-0线,是 -1--1-1一 -1-0-1--1--1--(-1 或+1-0.7---号: 3.析()一一一” --一 4×1×- (2,得-+1-D.式,-1”- _一一叫一一 15.1十1-0. -1--1-T _r+-_-11 析1-1-. 阳n- ---4X(-1-1 “.寻析,1-+ 3+-----××(-43- 8D 方程(形后)建为.点迫路人分,选 规 8t宫 --1--1-. -. --1--1- C方程可(1一)一(1一]- 则因式命法地酸方程 8.析_ 1-131-. 4.(1)程线十2-4-. 1---.由高浮 --(-2-xx1-0. 程的跑个为是,十1一 里一1一一一 1七-2+31-0-十-- 10.D析因为方程的两分是2和一3.段以是 sn 11.C 解方程篇为---0。 2.析-1.--c-1. --(--111- 若古。是卡的(+1+) 0析是”十2010-的两个 --1a--r01. 3B一元二次方程十一一口,- 口。 需数根。 nB 在y+-1-0,+y十 一。商个不相等的实。 4-(+10+-)-6。 4.1B展线A与C有字数,D中口与:并号,故 +号一1-,+y+} -1--+1-0+1+1- 1. 0y- 一一也有实数,中一】一二0没有数。 8(1根10是-(-- 得&-1.程-10+10-. 807 13B 析--3+ 5A 析小在关子一的程十士 时,只抄时了一一、其一个是 理-2-(-0. 。-2.5-. 11且 -4+1D- 一4十一,得一》,政水中 -1-1 -十10. -r6-×1×-方 1.1-----+ 则△A0用为4+25~10. 的情沉走不存在密数根. -.r--1 16. --地--。 1-1!为1-一 4.1-+1-- 心无论上数何值,方程总有两个不相等的家教样, ,样 (-31-0(-3-112-3- 心.山无双取值,方样总有实数。 (2露为数有一本为” 段+十是一1-,+-一-。 1-0.-1-? (点一D,一时方程的满极相等,流时方程 将一代入方程一一十一, 1+701-++1--1+ 6(1)关个:的一二次方题一七++5-0有 →计-. 2 015-?00. 十一,一一代入方枝十一。 r一】 高本不相的实数根工. 7.B 关于的一元三次,十-0 19.、,十七+-一十-0互间 (2)与数的是十上-上一-. 0②①②-1- -)-4(+55一 一-0是。是,-. 两相等缺。一扣一(一××(一》】 。 16.(1)化为-3-+)- 11--1 +P-. 2了+16. D 解择是这,1一4-1×10,且-1 -1-1或-- 1是,到有+十“一一十一,般 :_1 幅料,--. 寻 .号且1. 2为是。为一t0.1 (2,语++12-0 一题,是-a-0,-11'-1×x “7---“ ,期的一次与的头一 (++-B. -七-D. :-,-。 -]+-)+-. --12---1 X(一1).热选A.B.C.D ()言是分遇:上1)二1- .解,头于3的方程-+一]-0有实聂程, 1-0-1-. 一--1. 素书 A析设方极的两想为云心,极都与系数的矣 -+1. 七十---十十- --1. 析一1一,一1时,$ 1.- 1(了21”十-一 -1-解--1 37.(11:-1)+31-3-. 2--?-0.r-1: --1----(+- 11.11题选得-(一3)一, --文-了一十- -11,--1×- (-1+-10+ ,着 一一,即一,一一 (2的乱大是为”。 ---. 程一十-交为-十-,得 0.其-. (2)程(-十2+8]-21 上可知的范是士。 1r.?. -一三次方一3十一十一一日与方”一 3+,中一是程”十一一口的本数 (+]-是,+1+】-. 10A析十-. 可--1.A-1(-13+1-0 +1-0△+-0. 十一0一年相院根. 1.(11于:酌一元二次字般(-元-R十- 。---×(- ---: 1时-+1十-]-,得r )一 且的大值为。 (3程文-1一[(+1]- +--n- -,1-11++--是- 0(-2-1+3)-. ()①。-7时,意一元二次方程变为一十- 五的一元二次方程为七-七十- -2. (6-4-】-3--.1+11 -10的选为。 -1-----411-。 -1-8/.-7. 11.4 了一元二次方程的与数的天点,可 (---0. 12.8 选,是方数,-1十了-的 3A 程为--1--1 -1-1-(-(-1- 15+1-0--:-.- --1-(-)-1×1--n. -t--7 心程有两本不的实数 。 ---(+--- 高不等的实数程,则有。一一一+一, 3.A-- :是一九二程,一,十一口, 一次由一元二次水程根的 1一一 1-1---4r--1×1×(-]- 13.解(1悬念,得 式-+1一+1×(3-4 1一1+15+”(-十1一程 ---,--” 3-(-5-1--1。 画个不框等的实数极。 一. _ 14.B ,得&-(-×1文-一 1-.路--0(了 即:的取范为一。 (2)+-+---士” 17.4 一元二次方程的根与系数的关系 35.12 析使程有个标等的实教,则点一 (题,路+-号。 (3式,-3f-3+]-。 一4--1-,-士& 16.1析关子工的一元二次数(一 )。 七-(-12---0A-12- 才程的一个样是一-1. -0富,3一,且一 原程的一根是?。 --4 D.得5具a,则的最大数解是a一4 17.9减入A”,,、 1.B ,是是于上的一元二次方程-+-日 基础 -士②-②1 时品一,是:的一(十1)) 的画实。 -x2x-- (2不一,-+1-r---。 ()-0的个度。 1.1)十一元三次-十(知十1- _有),.枝者 2 -+ 0有实极. 17.3 一元二次方程根的陶别式 △-[-+1]-4×】-+41- 起清 0+15--16-16 2.0是数一一1-0的两。 - -- i - -.题6+1-+1~. .A确长为(十一: -6-. 十-1-1 3一析没方程一本极为11,根与系数的关系 15.开-1. 练基副 为时,古-高-. -十)--4-1- 如×-2-2 1D11 15.41,一元二次程一-1) , 52