精品解析：福建省厦门市第一中学2024-2025学年高一下学期3月适应性训练数学试题

厦门一中2024－2025学年第二学期高一年3月适应性训练 数学 满分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，考生只须将答题卡交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 向量（ ） A. B. C. D. 2. 已知是虚数单位，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 在中，点是上靠近的三等分点，是上靠近的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 4. 在中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，若三角形有两个解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，，若，则在上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. （ 6. 在一堂数学实践探究课中，同学们用镜而反射法测量学校钟楼的高度.如图所示，将小镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜中能看到钟楼顶部的位置，此时测量人和小镜子的距离为，之后将小镜子前移，重复之前的操作，再次测量人与小镜子的距离为，已知人的眼睛距离地面的高度为，则钟楼的高度大约是（ ） A. B. C. D. 7. 已知的三个内角A、B、C满足，当的值最大时，的值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 8. 若的三个内角均小于120°，点满足，则点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被人们称为费马点．根据以上性质，已知是平面内的任意一个向量，向量，满足，且，，则的最小值是（ ） A. 9 B. C. 6 D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A. 复数的共轭复数的模为1 B. 复数在复平面内对应的点在第一象限 C. 复数是方程的解 D. 10. 已知为所在平面内的一点，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则为的垂心 D. 若，则点的轨迹经过的重心 11. 东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”，根据面积关系给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”．如图1，它由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．我们通过类比得到图2，它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形．对于图2．下列结论错误的是（ ） A. 这三个全等的钝角三角形可能是等腰三角形 B. 若，则 C. 若，则 D. 若是的中点，则的面积是面积的5倍 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则的面积为______． 13. 在中，角的对边分别为，，，且的周长为，则角为______. 14. 如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，． （1）若向量，能构成一组基底，求实数m的范围； （2）若，且，求向量与的夹角大小． 16. 如图，观测站在目标的南偏西方向，经过处有一条南偏东走向的公路，在处观测到与相距31km的处有一人正沿此公路向处行走，走20km到达处，此时测得，相距21km. （1）求； （2）求，之间的距离. 17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，. （1）求的外接圆半径； （2）若为锐角三角形，求周长的取值范围. 18. 折纸是一项玩法多样的活动.通过折叠纸张，可以创造出各种各样的形状和模型，如动物、花卉、船只等.折纸不仅是一种艺术形式，还蕴含了丰富的数学知识.在纸片中，，，所对的边分别为，，，的面积为，. （1）证明：； （2）若，求的值； （3）在（2）的条件下，若，是的中点，现需要对纸片做一次折叠，使点与点重合，求折叠后纸片重叠部分的面积. 19. 在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数.其中，双曲余弦函数：，双曲正弦函数：，双曲正切函数：.在中，，，所对的边分别为，，.前两问中，已知，，，其中. （1）若，证明：，并判断的形状； （2）若，作平分交于点，求的长； （3）若，，，点为的内心，求点的横坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门一中2024－2025学年第二学期高一年3月适应性训练 数学 满分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，考生只须将答题卡交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 向量（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的线性运算法则求解即可. 【详解】向量， 故选：A. 2. 已知是虚数单位，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的运算性质，并结合充分条件、必要条件的定义得到结论． 【详解】当“”时，“”成立，故“”是“”的充分条件； 当“”时，“”或“”，故“”是“”的不必要条件； 综上所述，“”是“”的充分不必要条件. 故选:A. 3. 在中，点是上靠近的三等分点，是上靠近的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算结合平面向量基本定理即可得解. 【详解】由点是上靠近的三等分点，是上靠近的三等分点， 得 . 故选：C. 4. 在中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，若三角形有两个解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理列式求解即得. 【详解】依题意，，即，由，得， 所以的取值范围是. 故选：C 5. 已知向量，，若，则在上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. （ 【答案】C 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示求解，再根据投影向量的公式进行求解即可. 【详解】由，，，得， 解得．所以，， 所以，， 所以在上的投影向量为 故选：C． 6. 在一堂数学实践探究课中，同学们用镜而反射法测量学校钟楼的高度.如图所示，将小镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜中能看到钟楼顶部的位置，此时测量人和小镜子的距离为，之后将小镜子前移，重复之前的操作，再次测量人与小镜子的距离为，已知人的眼睛距离地面的高度为，则钟楼的高度大约是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设钟楼的高度为，根据相似得到，代入数据计算得到答案. 【详解】如下图，设钟楼的高度为， 由，可得：， 由，可得：， 故， 故， 故选：D. 7. 已知的三个内角A、B、C满足，当的值最大时，的值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理化角为边，利用余弦定理结合基本不等式求出的最小值，再根据平方关系即可求出的值最大，结合取等号的条件即可得解. 【详解】因为， 由正弦定理得，所以， 则， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以当的值最大时，. 故选：C. 【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置； （5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解； （6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理. 8. 若的三个内角均小于120°，点满足，则点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被人们称为费马点．根据以上性质，已知是平面内的任意一个向量，向量，满足，且，，则的最小值是（ ） A. 9 B. C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，，，，，，，则即为点到，，三点的距离之和，由费马点的性质可得当点 位于的中心时，取最小值，即可求解. 【详解】设，，，，，，， 则，，， 所以， 因为为等边三角形，由题意，等边的费马点为的中心， 此时取最小值， 所以， 故选：C． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A. 复数的共轭复数的模为1 B. 复数在复平面内对应的点在第一象限 C. 复数是方程的解 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由复数的除法，可得标准式，根据共轭复数、几何意义、模长、乘方运算，可得答案. 【详解】，，故A正确； 复数在复平面上的对应点为，则该点在第四象限，故B错误； 由，则，解得，故C错误； ，故D正确. 故选：AD. 10. 已知为所在平面内的一点，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则为的垂心 D. 若，则点的轨迹经过的重心 【答案】BCD 【解析】 【分析】A.数形结合，得出之比；B. 该向量位于的角平分线上可判断；C.利用数量积的运算律得；D. 过点作，中点为，将条件化为即可. 【详解】A.如图，过点作，， 则由可知， ， 则，则， 得，故A错误； B. 该向量位于的角平分线上，因，即角平分线与BC垂直，则为等腰三角形，故B正确； C. ，则，则，同理可得，故为的垂心，故C正确； D. 过点作，中点为，则， 则，即共线， 则点的轨迹经过的重心，故D正确. 故选：BCD. 11. 东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”，根据面积关系给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”．如图1，它由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．我们通过类比得到图2，它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形．对于图2．下列结论错误的是（ ） A. 这三个全等的钝角三角形可能是等腰三角形 B. 若，则 C. 若，则 D. 若是的中点，则的面积是面积的5倍 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A选项：由，即可判断A；对于B选项：在中，利用正弦定理求得，进而可判断B；对于C选项：在中，设，利用余弦定理即可求得，进而可判断C；对于D选项：利用三角形的面积公式，可得，进而可判断D． 【详解】对于A，根据题意，题图2是由三个全等的针角三角形与一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形， 故，所以这三个全等的钝角三角形不可能是等腰三角形，故A错误； 对于B，在中，，所以， 而， 所以， 由正弦定理得，解得， 又因为，所以，故选项B正确； 对于C，不妨设， 在中，由余弦定理得， 即， 解得， 所以，故选项C错误； 对于D，若是的中点， ， 所以，故选项D错误． 故选：ACD． 【点睛】关键点点睛：关键是利用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式进行分析，由此即可顺利得解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则的面积为______． 【答案】5 【解析】 【分析】利用平面向量的数量积得到，进而确定三角形的底和高，再利用三角形面积公式求解面积即可. 【详解】因为，所以， 故，由向量的模长公式得，， 且设的面积为，则. 故答案为：5 13. 在中，角的对边分别为，，，且的周长为，则角为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意知，先根据正弦定理边化角，再利用余弦定理求出角即可. 【详解】由题意知，， 由正弦定理得，，即，所以， 由余弦定理得，， 又，所以. 故答案为：. 14. 如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是_____. 【答案】. 【解析】 【分析】由题意将原问题转化为基底的数量积，然后利用几何性质可得比值. 【详解】如图，过点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC中点，知BF=FE=EA,AO=OD. ， 得即故. 【点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，． （1）若向量，能构成一组基底，求实数m的范围； （2）若，且，求向量与的夹角大小． 【答案】（1）且 （2） 【解析】 【分析】（1）若向量，能构成一组基底，则向量，不共线，则，从而可得答案； （2）由，可得，从而可求的得，再根据向量夹角的坐标公式求解即可. 【小问1详解】 若向量，能构成一组基底， 则向量，不共线， 则，解得且； 【小问2详解】 因为，所以， 即，解得， 所以，， 则， 又因为，所以， 即向量与的夹角为. 16. 如图，观测站在目标的南偏西方向，经过处有一条南偏东走向的公路，在处观测到与相距31km的处有一人正沿此公路向处行走，走20km到达处，此时测得，相距21km. （1）求； （2）求，之间的距离. 【答案】（1） （2）15km 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求出，即可求； （2）由正弦定理有求出，再由余弦定理有即可求解. 【小问1详解】 由题意知：，， 在中，由余弦定理 因为, 所以 【小问2详解】 ，,， 由题意知： 在中，由正弦定理得：，所以 由余弦定理得：， 即， 解得：或（舍） ，之间的距离为 17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，. （1）求的外接圆半径； （2）若为锐角三角形，求周长的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化可得，即可由余弦定理求解， （2）根据正弦定理以及三角恒等变换可得，即可利用三角形的边角关系求解. 【小问1详解】 由可得， 故，由于，故 由余弦定理得 由于，所以， ，根据解得， 所以的外接圆半径为. 【小问2详解】 由（1）知，，，， 由正弦定理有， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，解得 ， 所以，则， 所以，则. 所以周长的取值范围为. 18. 折纸是一项玩法多样的活动.通过折叠纸张，可以创造出各种各样的形状和模型，如动物、花卉、船只等.折纸不仅是一种艺术形式，还蕴含了丰富的数学知识.在纸片中，，，所对的边分别为，，，的面积为，. （1）证明：； （2）若，求的值； （3）在（2）的条件下，若，是的中点，现需要对纸片做一次折叠，使点与点重合，求折叠后纸片重叠部分的面积. 【答案】（1） 证明：由正弦定理可得，则， 又因为，所以； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和面积公式即可证明； （2）利用面积代换，再结合三角恒等变形，即可求解； （3）设对应边长，再利用余弦定理得到边角关系，然后利用方程组思想来求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 将代入， 得 即，所以， 即，解得：， 又因为，所以； 【小问3详解】 由余弦定理得，则， 即，所以解得 则； 设折痕为线段，其中在上，在上，设，， 则，，， 在中，由余弦定理得，解得 在中，由余弦定理得，解得 重叠部分的面积为的面积，. 因为 所以. 所以 19. 在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数.其中，双曲余弦函数：，双曲正弦函数：，双曲正切函数：.在中，，，所对的边分别为，，.前两问中，已知，，，其中. （1）若，证明：，并判断的形状； （2）若，作平分交于点，求的长； （3）若，，，点为的内心，求点的横坐标. 【答案】（1）证明见解析，等腰三角形 （2） （3）1 【解析】 【分析】（1）直接计算即可证明，再根据可得，得出三边关系即可判断； （2）根据余弦定理结合可得，. 法1：利用等面积法与余弦定理计算即可； 法2：根据正弦定理推导可得计算即可； （3）法1：先根据勾股定理与三角性质可得，记内切圆在，，上的切点分别为，，，根据切线性质可得推导即可； 法2：设坐标为，由三角形内心性质，知，计算可得，再同法1求解即可. 【小问1详解】 得证， 因为，则， 因为，则， 化简可得，则，故，，， 所以三角形为等腰三角形. 【小问2详解】 余弦定理得， 又因， 代入解得，. 法1：由题可知，等面积法求：， 代入整理得. 在中余弦定理得，解得. 法2：内角平分线，中，， 中，，， 所以. 【小问3详解】 设，，分别长为，，. 法1：， 注意到， 故， 类似地，.故. 如图，记内切圆在，，上的切点分别为，，，由于同一点向同一圆引出的两切线长度相等，故，， 而， 又，故，而，故 又由切线的性质知，故点的横坐标为1 法2：设坐标为，，，， 由三角形内心性质，知，即 ， 解得③. 而，. 因为， 故， 类似地， 将，，取值代入③，得 故点的横坐标为1. 补证（*）式 如图，在中，为内心，下证. 证明：延长交于， 由角平分线性质，故，， ， 故，④ 又， 故，⑤ ⑤代入④，得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $