备战2025年中考——平面直角坐标系+一次函数（综合压轴题分类专题）（3）-2024-2025学年九年级数学下册基础知识专项突破讲与练（浙教版）

备战2025中考——平面直角坐标系+一次函数（综合压轴题分类专题）（3） 考点目录 篇一：综合部分 【知识点1】平面直角坐标系 【考点1】点的位置............................................................2 【考点2】坐标与图形..........................................................2 【考点3】坐标与规律..........................................................3 【考点4】新定义..............................................................4 【知识点2】函数基础知识 【考点5】函数图象的识别......................................................5 【考点6】从函数图象中读取信息................................................6 【考点7】动点问题的函数图象..................................................7 【知识点3】一次函数 【考点8】一次函数解析式......................................................8 【考点9】一次函数图象平移....................................................9 【考点10】一次函数与坐标轴交点...............................................9 【考点11】一次函数与方程不等式..............................................10 【考点12】一次函数图象与位置综合判断........................................11 【考点13】一次函数与实际应用................................................12 【考点14】一次函数与几何综合................................................12 篇二：压轴部分 【考点15】平面直角坐标系、一次函数中的规律问题..............................13 【考点16】平面直角坐标系、一次函数几何综合问题..............................15 【考点17】平面直角坐标系、一次函数几何最值问题..............................16 【考点18】平面直角坐标系、一次函数几何动点问题..............................17 篇一：综合部分 【知识点1】平面直角坐标系 【考点1】点的位置 1．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点的位置在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）坐标平面内，横纵坐标均为整数的点称为“格点”．已知的三个顶点的坐标分别为，，，则的中线（包括端点）经过的格点数为（    ） A．10个 B．11个 C．12个 D．13个 3．（23-24八年级下·河南新乡·阶段练习）如果点P在直线上，点Q的坐标是，M是线段的中点，那么点M必然在直线 上． 【考点2】坐标与图形 1.（2024·山东潍坊·中考真题）如图，在直角坐标系中，等边三角形ABC的顶点的坐标为，点均在轴上．将绕顶点逆时针旋转得到，则点的坐标为 ． 2．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，在平面直角坐标系中，将等腰直角三角形沿直角边翻折，点B落在点C处，若点A坐标为，则点C坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，，，，，． （1）连接，若，，则 ； （2） ． 【考点3】坐标与规律 1.（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，数学活动小组在用几何画板绘制几何图形时，发现了如“花朵”形的美丽图案，他们将等腰三角形OBC置于平面直角坐标系中，点O的坐标为，点B的坐标为，点C在第一象限，．将沿x轴正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后，点O的对应点为，点C的对应点为，与的交点为，称点为第一个“花朵”的花心，点为第二个“花朵”的花心；……；按此规律，滚动2024次后停止滚动，则最后一个“花朵”的花心的坐标为 ． 2．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，小好同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称．若点，，，……，，都在函数图象上，这个点的横坐标从开始依次增加，则的值是（    ） A． B． C．0 D．1 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，等边三角形的顶点，规定把等边先绕顶点顺时针旋转再关于原点作中心对称得到为第一次变换，再将等边先绕顶点顺时针旋转再关于原点作中心对称得到为第二次变换，依次继续按照上述操作进行，如果这样连续经过次变换后，等边的顶点的坐标为 ．    【考点4】新定义 1．（2024·山东威海·中考真题）定义新运算： ①在平面直角坐标系中，表示动点从原点出发，沿着轴正方向（）或负方向（）．平移个单位长度，再沿着轴正方向（）或负方向（）平移个单位长度．例如，动点从原点出发，沿着轴负方向平移个单位长度，再沿着轴正方向平移个单位长度，记作． ②加法运算法则：，其中，，，为实数． 若，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25七年级下·全国·期末）在平面直角坐标系中，对于点，把点叫作点的友好点．已知点的友好点为点，点的友好点为点这样依次得到点，若点的坐标为，则根据友好点的定义，点的坐标为（） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·上海普陀·期中）在平面直角坐标系中，给出以下定义：对于x轴正半轴上的点与y轴正半轴上的点，如果坐标平面内存在一点N，使得，且，那么称点N为M关于P的“垂转点”．例如图1，已知点和点，以为腰作等腰直角三角形，可以得到M关于P的其中一个垂转点．如图2，如果关于y轴上一点P的垂转点N在一次函数的图象上，那么垂转点N的坐标为 ． 【知识点2】函数基础知识 【考点5】函数图象的识别 1．（2024·四川凉山·中考真题）匀速地向如图所示的容器内注水，直到把容器注满．在注水过程中，容器内水面高度随时间变化的大致图象是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）小明开车从甲地出发去乙地，若小明开车的速度始终保持不变，则小明距离乙地的路程s（单位：）与时间t（单位：h）之间的关系图象为（   ） A． B． C． D． 3．（21-22九年级上·江苏·期末）如图（1），△ABC和是两个腰长不相等的等腰直角三角形，其中，∠A＝．点、C'、B、C都在直线l上，△ABC固定不动，将在直线l上自左向右平移，开始时，点与点B重合，当点移动到与点C重合时停止．设△移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，y与x之间的函数关系如图（2）所示，则BC的长是 ． 【考点6】从函数图象中读取信息 1．（2024·山东威海·中考真题）同一条公路连接，，三地，地在，两地之间．甲、乙两车分别从地、地同时出发前往地．甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶．下图表示甲、乙两车之间的距离（）与时间（）的函数关系．下列结论正确的是（    ） A．甲车行驶与乙车相遇 B．，两地相距 C．甲车的速度是 D．乙车中途休息分钟 2．（24-25九年级上·山东临沂·期末）小明在学习函数后，在“几何画板”软件中绘制了函数的图象，如图所示．通过观察此图象，下列说法错误的是（   ） A．点在的图象上 B．当时，随的增大而减小 C．最多有三个实数根 D．若，则 3．（24-25八年级上·浙江金华·期末）甲、乙两地相距2千米，小明从甲地匀速跑步到乙地，小华同时出发沿同一条公路从乙地骑自行车匀速到达甲地后，立刻以原速度返回乙地．小明、小华离甲地的距离（千米）与出发的时间（分）的函数图象如图所示，则小明出发后 分两人第二次相遇． 【考点7】动点问题的函数图象 1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在等腰中，，，动点E，F同时从点A出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接，以为边向下做正方形，设点E运动的路程为，正方形和等腰重合部分的面积为y，下列图像能反映y与x之间函数关系的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图1，四边形是菱形，点以的速度从点出发，沿着的路线运动，同时点以相同的速度从点出发，沿着的路线运动，设运动时间为，，两点之间的距离为，与的函数关系的图象如图所示，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图1，在扇形中，点P从A点出发，沿运动至B点，再沿线段运动至O点．当点P运动到B点时，点Q从O点出发，沿方向运动（当点P到达O点时，P，Q同时停止运动）．已知，点P的速度为5个单位长度每秒，点Q的速度为4个单位长度每秒．P点到O点的距离d与运动时间t（秒）的关系如图2所示． （1）m的值为 ． （2）面积的最大值为 ． 【知识点3】一次函数 【考点8】一次函数解析式 1．（2024·江苏苏州·中考真题）直线与x轴交于点A，将直线绕点A逆时针旋转，得到直线，则直线对应的函数表达式是 ． 2．（2025九年级下·浙江·学业考试）下图中的图象所表示的函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·上海青浦·期末）定义：在平面直角坐标系中，距离为1的两条直线叫做“互为伴随线”．如果直线与直线互为伴随线，那么直线的函数解析式为 ． 【考点9】一次函数图象平移 1．（2023·内蒙古·中考真题）在平面直角坐标系中，将正比例函数的图象向右平移3个单位长度得到一次函数的图象，则该一次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·山东淄博·期末）如图，在的方格纸中（每个小正方形的边长均为1）点，，均为格点（即小正方形的顶点），其中点，的坐标分别记为，，过点作直线，则点的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级下·北京海淀·期末）已知直线，将直线向上平移5个单位后经过点，将直线向下平移5个单位后经过点，那么直线向 （填“左”或“右”）平移 个单位后过点． 【考点10】一次函数与坐标轴交点 1．（2024·四川广安·中考真题）如图，直线与轴、轴分别相交于点，，将绕点逆时针方向旋转得到，则点的坐标为 ． 2．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）已知点在定直线上．直线，的解析式分别为，直线，，分别与轴的交点的横坐标依次为a，b，c，则a，b，c之间的数量关系式是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）直线与轴、轴分别相交于点、，直线与轴、轴分别相交于点、，两直线交点为． （1）如图，当时，点的坐标为 ； （2）若两点之间距离为2，则 ． 【考点11】一次函数与方程不等式 1．（2023·宁夏·中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（    ）    A．随的增大而增大 B． C．当时， D．关于，的方程组的解为 2．（2021·江苏无锡·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知直线、、所对应的函数表达式分别为、、（k≠0且k≠1），若与x轴相交于点A，与、分别相交于点P、Q，则△APQ的面积（　　） A．等于8 B．等于10 C．等于12 D．随着k的取值变化而变化 3．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，将一次函数在x轴下方的图象沿x轴翻折，x轴上方的图象保持不变，所得的图象对应的新函数记为函数G．若，是函数G的图象上两点，其中，已知t为实数，且当时，都有，则t的取值范围是 ． 【考点12】一次函数图象与位置综合判断 1．（2024·湖南长沙·中考真题）对于一次函数，下列结论正确的是（    ） A．它的图象与y轴交于点 B．y随x的增大而减小 C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限 2．（24-25八年级上·四川·期中）一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，O为坐标原点，下列说法错误的是（    ） A．，图象经过第二、三、四象限 B． C．图象不经过第二象限，当时， D．为函数图象上两点，若，则 3．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象交y轴正半轴于点A，下列结论：①且；②一次函数经过点；③方程（其中）的解为；④若时，，则．其中正确的有 （填写序号即可）． 【考点13】一次函数与实际应用 1．（2024·内蒙古·中考真题）2024年春晚吉祥物“龙辰辰”，以十二生肖龙的专属汉字“辰”为名．某厂家生产大小两种型号的“龙辰辰”，大号“龙辰辰”单价比小号“龙辰辰”单价贵15元，且用2400元购进小号“龙辰辰”的数量是用2200元购进大号“龙辰辰”数量的1.5倍，则大号“龙辰辰”的单价为 元．某网店在该厂家购进了两种型号的“龙辰辰”共60个，且大号“龙辰辰”的个数不超过小号“龙辰辰”个数的一半，小号“龙辰辰”售价为60元，大号“龙辰辰”的售价比小号“龙辰辰”的售价多30%．若两种型号的“龙辰辰”全部售出，则该网店所获最大利润为 元． 2．（24-25九年级下·陕西西安·期中）如图，从光源发出一束光，经轴上的一点反射后，得到光线，光线经轴上一点反射后，得到光线．若，且光线所在直线的函数表达式为，则光线所在直线的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·河北唐山·期末）某商场计划购进两种服装共100件，甲种服装进价160元/件，售价元/件；乙种服装进价元/件，售价160元/件．设购进甲种服装件，两种服装全部售完，商场获利最大利润为4950元，则的值为 ．（其中） 【考点14】一次函数与几何综合 1．（2022·山东日照·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），P是x轴上一动点，把线段PA绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，连接OF，则线段OF长的最小值是 ．    2．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C为x的负半轴上的一点，连接，过点C作，与线段交于点D，若，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，一次函数与轴分别交于，两点，已知，另一函数过点和点，，交轴于点． （1） ； （2）在坐标平面内存在点，使，点的坐标为 ． 篇二：压轴部分 【考点15】平面直角坐标系、一次函数中的规律问题 1．（2024·四川广安·中考真题）已知，直线与轴相交于点，以为边作等边三角形，点在第一象限内，过点作轴的平行线与直线交于点，与轴交于点，以为边作等边三角形（点在点的上方），以同样的方式依次作等边三角形，等边三角形，则点的横坐标为 ． 2．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，在平面直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成；已知变换过程中各点坐标分别为，，，，，，，． （1）观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此规律再将变换成，则的坐标为______，的坐标为______，的面积为______． （2）按以上规律将进行n次变换得到，则的坐标为______，的坐标为______； （3）的面积为______ 3．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，直线对应的函数表达式为，在直线上顺次取点，，，，，…，，构成形如“7”的图形，阴影部分的面积分别为，，，…． 根据以上规律，解决下列问题： （1）______，______（用含的式子表示）． （2）计算：． 【考点16】平面直角坐标系、一次函数几何综合问题 1．（2022·贵州黔西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A在第一象限，B，D分别在y轴上，AB交x轴于点E，轴，垂足为F．若，．以下结论正确的个数是（    ） ①；②AE平分；③点C的坐标为；④；⑤矩形ABCD的面积为． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（2025·天津红桥·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，是等腰直角三角形，，，顶点，点B在第一象限，正方形的顶点，点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限． （1）填空：如图①，点B的坐标为______，点D的坐标为______； （2）将正方形沿x轴向右平移，得到正方形，点O，C，D，E的对应点分别为，，，．设，正方形与重叠部分的面积为S． ①如图②，当正方形与重叠部分为五边形时，与相交于点F，与相交于点G，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 3．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，函数的图象与轴，轴分别相交于点，，直线经过点和点，直线，相交于点． （1）求点的坐标； （2）点在直线上，使得，求点的坐标； （3）在直线上是否存在点，使得，，三点构成的三角形与全等，若存在求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【考点17】平面直角坐标系、一次函数几何最值问题 1．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在直线上，且点A的横坐标为4，直角三角板的直角顶点C落在x轴上，一条直角边经过点A，另一条直角边与直线交于点B，当点C在x轴上移动时，线段的最小值为 ． 2．（24-25九年级上·四川巴中·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数（）的图象与，轴分别交于、两点．点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点在线段上．动点从点出发，沿运动，当点运动到点时，停止运动．已知点在上的速度为个单位长度每秒，在上的速度为个单位长度每秒． （1）求直线的解析式； （2）设点的运动时间为，求当最小时的坐标及的值； （3）在（2）的条件下，点在轴上，点在轴的右侧，是否存在点使得以点，，，为顶点的四边形是菱形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，且，点从点出发以每秒2个单位沿轴负方向运动． （1）________，________； （2）如图1，连接、交于点，则当点运动多少秒时，； （3）如图2，点是轴负半轴上的一点，过点作轴的平行线，在直线上取两点、（点在点右侧），满足，．当点运动到某一位置时，四边形的面积有最大值，请直接写出面积的最大值． 【考点18】平面直角坐标系、一次函数几何动点问题 1．（2023·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为，过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点C、点A，直线与交于点D．与y轴交于点E．动点M在线段上，动点N在直线上，若是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，则点M的坐标为    2．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，一次函数，与轴交于点A，与轴交于点，点在轴正半轴， ． （1）求点的坐标与直线的表达式； （2）直线上是否存在一点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； （3）点是中边上一动点（不与A、B重合），将沿所在直线折叠，点A的对应点为点，若所在的直线与的一边垂直，则点的坐标为____________． 3．（24-25八年级上·广东深圳·期末）【综合探究】 （1）如图①，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点， 【解决问题】 ①则点A坐标为 ；点B坐标为 ； ②C，D是正比例函数图象上的两个动点，连接，，若，，则的最小值是 ； （2）如图②，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于B，A两点．将直线绕点A逆时针旋转得到直线l，求直线l对应的函数表达式； 【迁移拓展】 （3）如图③，直线的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，直线与y轴交于点D．点P，Q分别是直线l和直线上的动点，点C的坐标为，当是以为斜边的等腰直角三角形时，直接写出点Q的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 备战2025中考——平面直角坐标系+一次函数（综合压轴题分类专题）（3） 考点目录 篇一：综合部分 【知识点1】平面直角坐标系 【考点1】点的位置............................................................2 【考点2】坐标与图形..........................................................4 【考点3】坐标与规律..........................................................8 【考点4】新定义.............................................................12 【知识点2】函数基础知识 【考点5】函数图象的识别.....................................................15 【考点6】从函数图象中读取信息...............................................17 【考点7】动点问题的函数图象.................................................20 【知识点3】一次函数 【考点8】一次函数解析式.....................................................24 【考点9】一次函数图象平移...................................................27 【考点10】一次函数与坐标轴交点..............................................29 【考点11】一次函数与方程不等式..............................................32 【考点12】一次函数图象与位置综合判断........................................37 【考点13】一次函数与实际应用................................................40 【考点14】一次函数与几何综合................................................43 篇二：压轴部分 【考点15】平面直角坐标系、一次函数中的规律问题..............................48 【考点16】平面直角坐标系、一次函数几何综合问题..............................53 【考点17】平面直角坐标系、一次函数几何最值问题..............................60 【考点18】平面直角坐标系、一次函数几何动点问题..............................66 篇一：综合部分 【知识点1】平面直角坐标系 【考点1】点的位置 1．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点的位置在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的特征，解二元一次方程组等知识，联立方程组 ，求出点P的坐标即可判断． 解：联立方程组， 解得， ∴P的坐标为， ∴点P在第四象限， 故选：D． 2．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）坐标平面内，横纵坐标均为整数的点称为“格点”．已知的三个顶点的坐标分别为，，，则的中线（包括端点）经过的格点数为（    ） A．10个 B．11个 C．12个 D．13个 【答案】B 【分析】先运用中点公式求出M的坐标，设线段的解析式，再结合纵横坐标都是整数，据此即可作答．本题考查了待定系数法解一次函数的解析式以及中点公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 解：∵，， ∴， ∴， 设线段的解析式为， ∵，， ∴， 解得， ∴线段的解析式为， ∵横纵坐标均为整数的点称为“格点”，且的中线（包括端点）经过格点数， ∴是整数， 则是整数， 则， ∴的中线（包括端点）经过的格点数为个． 故选：B． 3．（23-24八年级下·河南新乡·阶段练习）如果点P在直线上，点Q的坐标是，M是线段的中点，那么点M必然在直线 上． 【答案】 【分析】本题考查一次函数上的点的坐标特征，熟练掌握一次函数上的点的坐标性质是解题的关键．设出点坐标为，得出点坐标为，即，，消去即可． 解：∵点P在直线上， ∴设点坐标为， ∵， ∴线段的中点的坐标为， 即， 即，， 得，， ∴， 化简得：， ∴点M必然在直线上， 故答案为：． 【考点2】坐标与图形 1.（2024·山东潍坊·中考真题）如图，在直角坐标系中，等边三角形ABC的顶点的坐标为，点均在轴上．将绕顶点逆时针旋转得到，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查旋转的性质，三角函数的计算，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．作，求出，的值即可得到答案． 解：作，交y轴于点F， 由题可得：， 是等边三角形，， ∴是的角平分线， ， ， 在中，， 即， 解得， ， ， ， ， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，在平面直角坐标系中，将等腰直角三角形沿直角边翻折，点B落在点C处，若点A坐标为，则点C坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，折叠的性质，坐标与图形，过作轴于，过作交于，交轴于，先由翻折得到是等腰直角三角形，再证明，得到，，即可求出点C坐标． 解：如图，过作轴于，过作交于，交轴于， ∴， ∴，， ∵点A坐标为， ∴，， ∵将等腰直角三角形沿直角边翻折，点B落在点C处， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴点C坐标为， 故选：A． 3．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，，，，，． （1）连接，若，，则 ； （2） ． 【答案】 【分析】（1）连接，可得是等腰直角三角形，根据角的和差与三角形的内角和即可求解； （2）过点B作轴于点M，作轴于点N，设与y轴的交点为F，证明，得到，从而有，即．过点D作轴于点P，作轴于点Q，可证，得到，从而有，因此，最后由即可求解． 解：（1）连接， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∵， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． （2）过点B作轴于点M，作轴于点N，设与y轴的交点为F， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 过点D作轴于点P，作轴于点Q， 同理可证， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 【点拨】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定及性质，坐标与图形，综合运用相关知识，正确作出辅助线是解题的关键． 【考点3】坐标与规律 1.（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，数学活动小组在用几何画板绘制几何图形时，发现了如“花朵”形的美丽图案，他们将等腰三角形OBC置于平面直角坐标系中，点O的坐标为，点B的坐标为，点C在第一象限，．将沿x轴正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后，点O的对应点为，点C的对应点为，与的交点为，称点为第一个“花朵”的花心，点为第二个“花朵”的花心；……；按此规律，滚动2024次后停止滚动，则最后一个“花朵”的花心的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，等腰直角的性质，点的坐标规律探索．连接，求得，，，分别得到，， ，，推导得到，滚动一次得到，滚动四次得到，滚动七次得到，由此得到滚动2024次后停止滚动，则，据此求解即可． 解：连接， 由题意得，，， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ， 同理， ， ， 滚动一次得到，滚动四次得到，滚动七次得到， ∴滚动2024次后停止滚动，则时，， 故答案为：． 2．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，小好同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称．若点，，，……，，都在函数图象上，这个点的横坐标从开始依次增加，则的值是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】本题是坐标规律题，求函数值，中心对称的性质，根据题意得出，进而转化为求，根据题意可得，，即可求解． 解：∵这个点的横坐标从开始依次增加， ∴， ∴， ∴，而即， ∵， 当时，，即， ∵关于点中心对称的点为， 即当时，， ∴， 故选：D． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，等边三角形的顶点，规定把等边先绕顶点顺时针旋转再关于原点作中心对称得到为第一次变换，再将等边先绕顶点顺时针旋转再关于原点作中心对称得到为第二次变换，依次继续按照上述操作进行，如果这样连续经过次变换后，等边的顶点的坐标为 ．    【答案】/ 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、旋转的性质和中心对称的性质，根据等边三角形的性质求得点C的坐标，再结合旋转和中心对称分别求得对应点的坐标，即可求得以4为周期循环，根据连续经过次变换后与经过3的变化一致即可求得答案． 解：如图：    ∵等边三角形，顶点、， ∴点C的坐标为， 根据题意得：第1次变换后如图中黑色图形，点A、点B、点C的对应点的坐标分别为：、，， 第2次变换后如图红色图形，点A、点B、点C的对应点的坐标分别为：、， 第3次变换后如图粉色图形，点A、点B、点C的对应点的坐标分别为：、、； 第4次变换后点A、点B、点C的对应点的坐标分别为：、，， 发现规律：每4次变换后点C回到原来的位置， ∵， ∴连续经过505次变换后，点C的坐标与第三次旋转对称后的坐标一样，变为． 故答案为：． 【考点4】新定义 1．（2024·山东威海·中考真题）定义新运算： ①在平面直角坐标系中，表示动点从原点出发，沿着轴正方向（）或负方向（）．平移个单位长度，再沿着轴正方向（）或负方向（）平移个单位长度．例如，动点从原点出发，沿着轴负方向平移个单位长度，再沿着轴正方向平移个单位长度，记作． ②加法运算法则：，其中，，，为实数． 若，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了新定义运算，平面直角坐标系，根据新定义得出，即可求解． 解：∵， ∴ 解得：， 故选：B． 2．（24-25七年级下·全国·期末）在平面直角坐标系中，对于点，把点叫作点的友好点．已知点的友好点为点，点的友好点为点这样依次得到点，若点的坐标为，则根据友好点的定义，点的坐标为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点的规律，图形与坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键．由题意可得，，再找出规律求解即可． 解：点的坐标为 ， 观察发现，每6个点为一个循环组依次循环． 点的坐标与点的坐标相同，为． 故选：B 3．（23-24八年级下·上海普陀·期中）在平面直角坐标系中，给出以下定义：对于x轴正半轴上的点与y轴正半轴上的点，如果坐标平面内存在一点N，使得，且，那么称点N为M关于P的“垂转点”．例如图1，已知点和点，以为腰作等腰直角三角形，可以得到M关于P的其中一个垂转点．如图2，如果关于y轴上一点P的垂转点N在一次函数的图象上，那么垂转点N的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，坐标与图形，一次函数的性质；分两种情况讨论，将，分别绕点顺时针和逆时针旋转，点在上，进而根据全等三角形的性质求得点的坐标，即可求解． 解：如图所示，将绕点逆时针旋转，点在上时， 过点作轴于点， 依题意， 又 ∴ ∴ ∴ ∵，则 设，则， ∴ 又∵在上， ∴ 解得： ∴； 如图所示，将绕点顺时针旋转，点在上时， 同理可得， ∴ 又∵在上， ∴ 解得： ∴ 综上所述，或 故答案为：或． 【知识点2】函数基础知识 【考点5】函数图象的识别 1．（2024·四川凉山·中考真题）匀速地向如图所示的容器内注水，直到把容器注满．在注水过程中，容器内水面高度随时间变化的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数图象，根据容器最下面圆柱底面积最小，中间圆柱底面积最大，最上面圆柱底面积最较大即可判断求解，正确识图是解题的关键． 解：由容器可知，最下面圆柱底面积最小，中间圆柱底面积最大，最上面圆柱底面积最较大，所以一开始水面高度上升的很快，然后很慢，最后又上升的更快点， 故选：． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）小明开车从甲地出发去乙地，若小明开车的速度始终保持不变，则小明距离乙地的路程s（单位：）与时间t（单位：h）之间的关系图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象的判定，得出s是t的一次函数，且s随t的增大而减小是解题的关键． 设小明开车的速度为a（单位：）， 甲地与乙地的距离为b（单位：），由于小明开车的速度始终保持不变，a是一个常数，且；甲地与乙地的距离不变，b是一个常用数．所以小明距离乙地的路程s（单位：）与时间t（单位：h）之间的关系为：，即可由一次函数图象性质得出答案． 解：设小明开车的速度为a（单位：）， 甲地与乙地的距离为b（单位：），由于小明开车的速度始终保持不变，a是一个常数，且；甲地与乙地的距离不变，b是一个常用数． ∴小明距离乙地的路程s（单位：）与时间t（单位：h）之间的关系为：， ∴s是t的一次函数， ∵， ∴s随t的增大而减小， ∴只有B选项符合题意； 故选：B． 3．（21-22九年级上·江苏·期末）如图（1），△ABC和是两个腰长不相等的等腰直角三角形，其中，∠A＝．点、C'、B、C都在直线l上，△ABC固定不动，将在直线l上自左向右平移，开始时，点与点B重合，当点移动到与点C重合时停止．设△移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，y与x之间的函数关系如图（2）所示，则BC的长是 ． 【答案】6 【分析】观察函数图象可得，重叠部分的图形均为等腰直角三角形，运动距离为a时函数面积为1，知，求出a的值，再运动4个单位长度，面积保持不变，由此求出的长度，即可得到答案． 解：如图，运动过程中，重叠部分的图形均为等腰直角三角形，图2至图4重叠部分面积不变，都是的值，由题中的函数图象知，．当恰为1时（如图2）． 设，则， ∴a＝2， 使保持1时， 即下图中图2—图4的情形，即图2中的长为4． ∴BC的长为6． 故答案为：6． 【点拨】此题考查了运动问题，函数图象，会看函数图象，根据图形运动结合函数图象得到相关信息由此解决问题是解题的关键． 【考点6】从函数图象中读取信息 1．（2024·山东威海·中考真题）同一条公路连接，，三地，地在，两地之间．甲、乙两车分别从地、地同时出发前往地．甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶．下图表示甲、乙两车之间的距离（）与时间（）的函数关系．下列结论正确的是（    ） A．甲车行驶与乙车相遇 B．，两地相距 C．甲车的速度是 D．乙车中途休息分钟 【答案】A 【分析】本题考查了函数图象，根据函数图象结合选项，逐项分析判断，即可求解． 解：根据函数图象可得两地之间的距离为（） 两车行驶了小时，同时到达地， 如图所示，在小时时，两车同向运动，在第2小时，即点时，两车距离发生改变，此时乙车休息， 点的意义是两车相遇，点意义是乙车休息后再出发， ∴乙车休息了1小时，故D不正确， 设甲车的速度为，乙车的速度为， 根据题意，乙车休息后两车同时到达地，则甲车的速度比乙车的速度慢， ∵ 即 在时，乙车不动，则甲车的速度是， ∴乙车休息前速度为，故C不正确， ∴的距离为千米，故B不正确， 设小时两辆车相遇，依题意得， 解得：即小时时，两车相遇，故A正确 故选：A． 2．（24-25九年级上·山东临沂·期末）小明在学习函数后，在“几何画板”软件中绘制了函数的图象，如图所示．通过观察此图象，下列说法错误的是（   ） A．点在的图象上 B．当时，随的增大而减小 C．最多有三个实数根 D．若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了函数的图象与性质，依据题意，根据函数的图象逐个分析判断可以得解． 解：由题意，对于A，当时，， ∴点在的图象上，故A正确，不合题意； 对于B，结合图象可得，当时，y随x的增大而减小，故B正确，不合题意． 对于C，∵函数与直线的交点如图所示， ∴函数与直线的交点最多3个． ∴方程最多有三个实数根，故C正确，不符合题意； 对于D，结合图象可得 若，则，故D错误，符合题意； 故选：D． 3．（24-25八年级上·浙江金华·期末）甲、乙两地相距2千米，小明从甲地匀速跑步到乙地，小华同时出发沿同一条公路从乙地骑自行车匀速到达甲地后，立刻以原速度返回乙地．小明、小华离甲地的距离（千米）与出发的时间（分）的函数图象如图所示，则小明出发后 分两人第二次相遇． 【答案】 【分析】本题考查用函数图象表示变量之间的关系，根据函数图象求出两人的速度，求出小华到达乙地时，小明的路程，根据第二次相遇为小华追上小明，列出方程进行求解即可． 解：由图可知：小明的速度为：； 小华的速度为：， ∴当小华到达乙地时，小明的路程为：， 由题意，得：，解得：； 故答案为：． 【考点7】动点问题的函数图象 1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在等腰中，，，动点E，F同时从点A出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接，以为边向下做正方形，设点E运动的路程为，正方形和等腰重合部分的面积为y，下列图像能反映y与x之间函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查动态问题与函数图象，能够明确y与x分别表示的意义，并找到几何图形与函数图象之间的关系，以及对应点是解题的关键，根据题意并结合选项分析当与重合时，及当时图象的走势，和当时图象的走势即可得到答案． 解：当与重合时，设，由题可得： ∴，， 在中，由勾股定理可得：， ∴， ∴， ∴当时，， ∵， ∴图象为开口向上的抛物线的一部分， 当在下方时，设，由题可得： ∴，， ∵，, ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， ∵， ∴图象为开口向下的抛物线的一部分， 综上所述：A正确， 故选：A． 2．（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图1，四边形是菱形，点以的速度从点出发，沿着的路线运动，同时点以相同的速度从点出发，沿着的路线运动，设运动时间为，，两点之间的距离为，与的函数关系的图象如图所示，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，函数图象，垂线段最短，勾股定理，连接，交于点，由菱形性质得，，，根据图可知，，，由勾股定理求出，当时，最小，即最小，最后由等面积法即可求解，读懂图象信息，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：连接，交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， 根据图可知，，， ∴，， ∴， ∵同时运动， ∴当时，最小，即最小， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：． 3．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图1，在扇形中，点P从A点出发，沿运动至B点，再沿线段运动至O点．当点P运动到B点时，点Q从O点出发，沿方向运动（当点P到达O点时，P，Q同时停止运动）．已知，点P的速度为5个单位长度每秒，点Q的速度为4个单位长度每秒．P点到O点的距离d与运动时间t（秒）的关系如图2所示． （1）m的值为 ． （2）面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，列函数解析式是解题的关键． （1）由图象得扇形的半径为10，根据弧长公式求出的长即可求解； （2）根据二次函数的性质求解． 解：（1）由图象得：扇形的半径为10， ∴ ， ∴， 故答案为：； （2）设从点B处开始经过时，面积的面积为y， 则： ∴ ∵， ∵， ∴当时，y随x的增大而增大， ∴当时，y取最大值，为， 故答案为：． 【知识点3】一次函数 【考点8】一次函数解析式 1．（2024·江苏苏州·中考真题）直线与x轴交于点A，将直线绕点A逆时针旋转，得到直线，则直线对应的函数表达式是 ． 【答案】 【分析】根据题意可求得与坐标轴的交点A和点B，可得，结合旋转得到，则，求得，即得点C坐标，利用待定系数法即可求得直线的解析式． 解：依题意画出旋转前的函数图象和旋转后的函数图象，如图所示∶    设与y轴的交点为点B， 令，得；令，即， ∴， ， ∴，， 即 ∵直线绕点A逆时针旋转，得到直线， ∴，， ∴， 则点， 设直线的解析式为，则 ，解得， 那么，直线的解析式为， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查一次函数与坐标轴的交点、直线的旋转、解直角三角形以及待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是找到旋转后对应的直角边长． 2．（2025九年级下·浙江·学业考试）下图中的图象所表示的函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了待定系数法求函数解析式．先求出图象所表示的函数的解析式，再将各选项中的解析式均去绝对值符号，写成分段函数形式即可得到答案． 解：当时，设． 将代入，得 ； 当时，设． 将代入，得 ． 当时，， 当时， 故选项A不合题意； 当时，， 当时， 故选项B符合题意； 当时，， 当时， 故选项C不符合题意； 当时，， 当时， 故选项D不符合题意； 故选：B 3．（23-24八年级下·上海青浦·期末）定义：在平面直角坐标系中，距离为1的两条直线叫做“互为伴随线”．如果直线与直线互为伴随线，那么直线的函数解析式为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理，由题意得：，，，，为等腰直角三角形，由勾股定理结合等腰直角三角形的性质求出，得到，即可得出解析式，同理计算即可得出，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：如图： 由题意得：，，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，即， 同理可得：，即， ∴直线的函数解析式为或， 故答案为：或． 【考点9】一次函数图象平移 1．（2023·内蒙古·中考真题）在平面直角坐标系中，将正比例函数的图象向右平移3个单位长度得到一次函数的图象，则该一次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数的平移规律求解即可． 解：正比例函数的图象向右平移3个单位长度得： ， 故选：B． 【点拨】题目主要考查一次函数的平移，熟练掌握平移规律是解题关键． 2．（23-24七年级上·山东淄博·期末）如图，在的方格纸中（每个小正方形的边长均为1）点，，均为格点（即小正方形的顶点），其中点，的坐标分别记为，，过点作直线，则点的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数的平移，以及一次函数图象上点的坐标特征．用待定系数法求出直线的解析式，结合求出直线的解析式，然后逐项代入验证即可． 解：设直线的解析式， 把，代入，得 ， ∴， ∴， ∵点的坐标分别记为， ∴点P的坐标分别记为， ∵， 直线的解析式． A．当时，，∴不可能是点的坐标； B．当时，，∴可能是点的坐标； C．当时，，∴不可能是点的坐标；     D．当时，，∴不可能是点的坐标； 故选B． 3．（22-23八年级下·北京海淀·期末）已知直线，将直线向上平移5个单位后经过点，将直线向下平移5个单位后经过点，那么直线向 （填“左”或“右”）平移 个单位后过点． 【答案】 左 4 【分析】结合已知条件，根据一次函数的图象平移性质列得关于k,b的二元一次方程组，从而求得直线l的解析式，然后设它向左平移m个单位后过点，列得关于m的方程，解方程即可． 解：已知直线 则该直线向上平移个单位后对应的解析式为 ∵它过点 ∴ 原直线向下平移个单位后对应的解析式为 ∵它过点 ∴ 解方程组得， ∴ 设它向左平移m个单位后过点 过点 即 解得： 即直线向左平移个单位后过点， 故答案为：左，． 【点拨】本题考查一次函数图像的平移，掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键． 【考点10】一次函数与坐标轴交点 1．（2024·四川广安·中考真题）如图，直线与轴、轴分别相交于点，，将绕点逆时针方向旋转得到，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点，旋转的性质，正方形的判定和性质等，延长交y轴于点E，先求出点A和点B的坐标，再根据旋转的性质证明四边形是正方形，进而求出和的长度即可求解． 解：如图，延长交y轴于点E， 中，令，则，令，解得， ，， ，， 绕点逆时针方向旋转得到， ，，， 四边形是正方形． ， ， 点的坐标为． 故答案为：． 2．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）已知点在定直线上．直线，的解析式分别为，直线，，分别与轴的交点的横坐标依次为a，b，c，则a，b，c之间的数量关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，先确定定直线的解析式，进而求出的值，进行判断即可． 解：∵点在定直线上， 令， 则定直线为， ∵直线，的解析式分别为，且直线，，分别与轴的交点的横坐标依次为a，b，c， ∴当时，， ∴； 故选A． 3．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）直线与轴、轴分别相交于点、，直线与轴、轴分别相交于点、，两直线交点为． （1）如图，当时，点的坐标为 ； （2）若两点之间距离为2，则 ． 【答案】 或 【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质，求解一次函数的解析式以及交点坐标，当时，求解，结合可得，可得直线为，再求解交点坐标即可；求解，，，，利用，，再建立方程组求解即可． 解：（1）当时，直线为：， 当时，， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴直线为， ∴， 解得：， ∴； 故答案为：； （2）∵直线：，直线：， 同理可得：，，，， ∵，， ∴， 解得：或； 故答案为：或． 【考点11】一次函数与方程不等式 1．（2023·宁夏·中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（    ）    A．随的增大而增大 B． C．当时， D．关于，的方程组的解为 【答案】C 【分析】结合图象，逐一进行判断即可． 解：A、随的增大而增大，故选项A正确； B、由图象可知，一次函数的图象与轴的交点在的图象与轴的交点的下方，即，故选项B正确； C、由图象可知：当时，，故选项C错误； D、由图象可知，两条直线的交点为， ∴关于，的方程组的解为； 故选项D正确； 故选C． 【点拨】本题考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．从函数图象中有效的获取信息，熟练掌握图象法解方程组和不等式，是解题的关键． 2．（2021·江苏无锡·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知直线、、所对应的函数表达式分别为、、（k≠0且k≠1），若与x轴相交于点A，与、分别相交于点P、Q，则△APQ的面积（　　） A．等于8 B．等于10 C．等于12 D．随着k的取值变化而变化 【答案】B 【分析】设与x轴的交点为B，根据三条直线的解析式，即可求出点P、Q、A、B的坐标，再根据即可求出答案． 解：联立， 解得：， ∴P（2，4）． 联立， 解得：， ∴Q（，）． 对于，令，则， 解得：， ∴A（-2，0）． 设与x轴的交点为B， 对于，令，则， 解得：， ∴B（，0）． ∴， ∴ 当时，， 当时，（不合题意）， 当时，． 综上可知的面积为10． 故选B． 【点拨】本题考查一次函数与几何的综合．根据各直线解析式求出其交点坐标，直线与坐标轴交点坐标是解题关键． 3．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，将一次函数在x轴下方的图象沿x轴翻折，x轴上方的图象保持不变，所得的图象对应的新函数记为函数G．若，是函数G的图象上两点，其中，已知t为实数，且当时，都有，则t的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查一函数的性质，一次函数解析，对称的性质，根据题意画出函数图象，求出函数G的解析式为，结合函数图象，分三种情况讨论，当；当；当；分别列出不等式求解即可． 解：如图， 当时，，当时，， ， 一次函数在x轴下方的图象沿x轴翻折， ， 设x轴下方的图象沿x轴翻折后的函数解析式为， 则，解得， x轴下方的图象沿x轴翻折后的函数解析式为， 函数G的解析式为， 如图，当时， 显然，，不符合题意； 如图，当时， 此时，点P，Q都在的函数图象上， ， ； 如图，当时， 此时，点P在的函数图象上，点Q在的函数图象上， ， ， ， ； 综上，当时，都有， 故答案为：． 【考点12】一次函数图象与位置综合判断 1．（2024·湖南长沙·中考真题）对于一次函数，下列结论正确的是（    ） A．它的图象与y轴交于点 B．y随x的增大而减小 C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数的性质逐个判断即可得到答案． 解：A.当时，，即一次函数的图象与y轴交于点，说法正确； B.一次函数图象y随x的增大而增大，原说法错误； C.当时，，原说法错误； D.一次函数的图象经过第一、三、四象限，原说法错误； 故选A． 2．（24-25八年级上·四川·期中）一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，O为坐标原点，下列说法错误的是（    ） A．，图象经过第二、三、四象限 B． C．图象不经过第二象限，当时， D．为函数图象上两点，若，则 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题关键．结合一次函数解析式可知当时，图象经过二、三、四象限，可判断A；分别求出A和B点坐标，再结合三角形面积公式求解，即可判断B，注意m的符号未确定；结合A和B的坐标，根据，可列出关于m的等式，再结合图象不经过第二象限，舍去不满足的m的值，即可判断C；由，可判断y随x的增大而增大，即直接得出，可判断D． 解：A．∵一次函数解析式为， ∴． ∵， ∴图象经过二、三、四象限，故该选项正确，不符合题意； B．对于，令，则， 解得：， ∴． 令，则， ∴， ∴，故该选项错误，符合题意； C．∵， ∴结合B选项可知：， 解得：． ∵图象不经过第二象限， ∴，故该选项正确，不符合题意； D．∵若， ∴y随x的增大而增大， ∴，故该选项正确，不符合题意． 故选B． 3．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象交y轴正半轴于点A，下列结论：①且；②一次函数经过点；③方程（其中）的解为；④若时，，则．其中正确的有 （填写序号即可）． 【答案】①②③ 【分析】本题考查的是一次函数的性质，一次函数与方程与不等式的关系，理解题意是解本题的关键；由一次函数的图象交y轴正半轴于点A，可得，且，即可判断①；当时，，可判断②，再结合方程与不等式的性质可判定③④； 解：∵一次函数的图象交y轴正半轴于点A， ∴，且， 解得：且；故①符合题意； 当时，， ∴一次函数经过点；故②符合题意； ∵， ∴， ∵，即， 解得：， ∵， 整理得：， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴且，故④不符合题意； 故答案为：①②③ 【考点13】一次函数与实际应用 1．（2024·内蒙古·中考真题）2024年春晚吉祥物“龙辰辰”，以十二生肖龙的专属汉字“辰”为名．某厂家生产大小两种型号的“龙辰辰”，大号“龙辰辰”单价比小号“龙辰辰”单价贵15元，且用2400元购进小号“龙辰辰”的数量是用2200元购进大号“龙辰辰”数量的1.5倍，则大号“龙辰辰”的单价为 元．某网店在该厂家购进了两种型号的“龙辰辰”共60个，且大号“龙辰辰”的个数不超过小号“龙辰辰”个数的一半，小号“龙辰辰”售价为60元，大号“龙辰辰”的售价比小号“龙辰辰”的售价多30%．若两种型号的“龙辰辰”全部售出，则该网店所获最大利润为 元． 【答案】 55 1260 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．设大号“龙辰辰”的单价为元，则小号“龙辰辰”的单价为元，根据题意建立分式方程，解方程即可得；设购进小号“龙辰辰”的数量为个，则购进大号“龙辰辰”的数量为个，先求出的取值范围，再设该网店所获利润为元，建立关于的函数关系式，利用一次函数的性质求解即可得． 解：设大号“龙辰辰”的单价为元，则小号“龙辰辰”的单价为元， 由题意得：， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， 所以大号“龙辰辰”的单价为55元，小号“龙辰辰”的单价为40元． 设购进小号“龙辰辰”的数量为个，则购进大号“龙辰辰”的数量为个， 由题意得：， 解得， 设该网店所获利润为元， 则， 由一次函数的性质可知，在内，随的增大而减小， 则当时，取得最大值，最大值为， 即该网店所获最大利润为1260元， 故答案为：55；1260． 2．（24-25九年级下·陕西西安·期中）如图，从光源发出一束光，经轴上的一点反射后，得到光线，光线经轴上一点反射后，得到光线．若，且光线所在直线的函数表达式为，则光线所在直线的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的实际应用，延长交轴于点，把点代入，求出直线的解析式，进而求出点的坐标，证明，进而求出点坐标，根据两直线平行，值相等，结合点坐标，求出的解析式即可． 解：延长交轴于点，如图， 把代入，得：，解得：， ∴， ∴， 由光的反射可知：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：； ∴； 故选D． 3．（23-24八年级下·河北唐山·期末）某商场计划购进两种服装共100件，甲种服装进价160元/件，售价元/件；乙种服装进价元/件，售价160元/件．设购进甲种服装件，两种服装全部售完，商场获利最大利润为4950元，则的值为 ．（其中） 【答案】9 【分析】本题考查一次函数的实际应用，设商场获得的利润为，根据总利润等于两种服装的利润之和，列出一次函数关系式，根据一次函数的性质，结合商场获利最大利润为4950元，进行求解即可． 解：设商场获得的利润为，由题意，得： ， 整理，得：， ∵， 当，即：时，随的增大而减小， ∴当时，商场获得最大利润， 即：，解得：（舍去）； 当时，即：时，随的增大而增大， ∴当时，商场获得最大利润， 即：，解得：； 故答案为：9． 【考点14】一次函数与几何综合 1．（2022·山东日照·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），P是x轴上一动点，把线段PA绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，连接OF，则线段OF长的最小值是 ．    【答案】2 【分析】点F运动所形成的图象是一条直线，当OF⊥F1F2时，垂线段OF最短，当点F1在x轴上时，由勾股定理得：，进而得，求得点F1的坐标为，当点F2在y轴上时，求得点F2的坐标为（0，-4），最后根据待定系数法，求得直线F1F2的解析式为y=x-4，再由线段中垂线性质得出，在Rt△OF1F2中，设点O到F1F2的距离为h，则根据面积法得，即，解得h=2，根据垂线段最短，即可得到线段OF的最小值为2． 解：∵将线段PA绕点P顺时针旋转60°得到线段PF， ∴∠APF=60°，PF=PA， ∴△APF是等边三角形， ∴AP=AF， 如图，当点F1在x轴上时，△P1AF1为等边三角形， 则P1A=P1F1=AF1，∠AP1F1=60°， ∵AO⊥P1F1， ∴P1O=F1O，∠AOP1=90°， ∴∠P1AO=30°，且AO=4， 由勾股定理得：， ∴， ∴点F1的坐标为， 如图，当点F2在y轴上时，    ∵△P2AF2为等边三角形，AO⊥P2O， ∴AO=F2O=4， ∴点F2的坐标为（0，-4）， ∵， ∴∠OF1F2=60°， ∴点F运动所形成的图象是一条直线， ∴当OF⊥F1F2时，线段OF最短， 设直线F1F2的解析式为y=kx+b， 则， 解得， ∴直线F1F2的解析式为y=x-4， ∵AO=F2O=4，AO⊥P1F1， ∴， 在Rt△OF1F2中，OF⊥F1F2， 设点O到F1F2的距离为h，则， ∴， 解得h=2， 即线段OF的最小值为2， 故答案为2． 【点拨】本题属于三角形的综合题，主要考查了旋转的性质，勾股定理的应用，等边三角形的性质以及待定系数法的运用等，解决问题的关键是作辅助线构造等边三角形以及面积法求最短距离，解题时注意勾股定理、等边三角形三线合一以及方程思想的灵活运用． 2．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C为x的负半轴上的一点，连接，过点C作，与线段交于点D，若，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一次函数与几何综合，由直线求出点坐标，得出，过点D作于点E，证明，得，设点，则，得出，代入，求出的值即可． 解：对于，当时，， ∴， ∴， 过点D作于点E，如图， 则 ∴， ∵， ∴ ∴ ∴， 又 ∴， ∴， 设点，则， ∴， 把代入，得， 解得，， ∴, 故选：D． 3．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，一次函数与轴分别交于，两点，已知，另一函数过点和点，，交轴于点． （1） ； （2）在坐标平面内存在点，使，点的坐标为 ． 【答案】 4 或或 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式、三角形的面积、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． （1）依据一次函数，求得，，依据D是的中点，可得，运用待定系数法即可得到直线的函数表达式；求得，，再根据的面积的面积的面积，进行计算即可； （2）在另三个象限内分别找到点F，使得以点C，O，F为顶点的三角形与全等． 解：（1）一次函数， 令，则；令，则， ∴，， ∵， ∴D是的中点， ∴，即， 设直线的函数表达式为， 把代入解析式得， ， 解得，， ∴直线的函数表达式为， 当时，， 解得，， ∴， ∴ ∴ ∴的面积的面积的面积； 故答案为：4 （2）如图， 当点F在第二象限时，点F的坐标为； 当点F在第三象限时，点F的坐标为； 当点F在第四象限时，点F的坐标为． 故答案为：或或 篇二：压轴部分 【考点15】平面直角坐标系、一次函数中的规律问题 1．（2024·四川广安·中考真题）已知，直线与轴相交于点，以为边作等边三角形，点在第一象限内，过点作轴的平行线与直线交于点，与轴交于点，以为边作等边三角形（点在点的上方），以同样的方式依次作等边三角形，等边三角形，则点的横坐标为 ． 【答案】 【分析】直线直线可知，点坐标为，可得，由于是等边三角形，可得点，把代入直线解析式即可求得的横坐标，可得，由于是等边三角形，可得点；同理，，发现规律即可得解，准确发现坐标与字母的序号之间的规律是解题的关键． 解：∵直线l：与x轴负半轴交于点， ∴点坐标为， ∴， 过，，作轴交x轴于点M，轴交于点D，交x轴于点N，    ∵为等边三角形， ∴ ∴， ∴ ∴， 当时，，解得：， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，，解得：， ∴； 而， 同理可得：的横坐标为， ∴点的横坐标为， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标的特征，勾股定理的应用，等边三角形的性质，特殊图形点的坐标的规律，掌握探究的方法是解本题的关键. 2．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，在平面直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成；已知变换过程中各点坐标分别为，，，，，，，． （1）观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此规律再将变换成，则的坐标为______，的坐标为______，的面积为______． （2）按以上规律将进行n次变换得到，则的坐标为______，的坐标为______； （3）的面积为______ 【答案】（1），，48；（2），；（3） 【分析】此题考查了坐标规律的探索，解题的关键是根据已知点的坐标，总结出点的坐标规律． （1）根据、、的坐标求出的坐标即可，根据、、的坐标求出的坐标即可； （2）根据前几个点的坐标，总结出规律分别求出、的坐标即可； （3）根据三角形面积公式以及、的坐标，求解即可． 解：（1）解：、、． 的横坐标为：，纵坐标为：3． 故点的坐标为：． 又、、． 的横坐标为：，纵坐标为：0． 故点的坐标为：． 的面积为 故答案为：，，48； （2）解：由、、，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是3． 故的坐标为：， 由、、，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是0． 故的坐标为：； 故答案为：，； （3）解：的坐标为：，的坐标为：， 的面积为． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，直线对应的函数表达式为，在直线上顺次取点，，，，，…，，构成形如“7”的图形，阴影部分的面积分别为，，，…． 根据以上规律，解决下列问题： （1）______，______（用含的式子表示）． （2）计算：． 【答案】（1）（或12）；（或）；（2） 【分析】本题主要考查平面直角坐标中点的规律，整数的运算，有理数的混合运算 （1）根据点与阴影部分面积的计算可得（或），由此即可求解； （2）把面积的值代入，运用有理数的混合运算法则计算即可求解． 解：（1）解：∵，，，，阴影部分的面积分别为，，， ∴（或）， ∴（或12） 故答案为：；． （2）解： ． 【考点16】平面直角坐标系、一次函数几何综合问题 1．（2022·贵州黔西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A在第一象限，B，D分别在y轴上，AB交x轴于点E，轴，垂足为F．若，．以下结论正确的个数是（    ） ①；②AE平分；③点C的坐标为；④；⑤矩形ABCD的面积为． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定得出，利用相似三角形的性质及已知，的值即可判断结论①；由①分析得出的条件，结合相似三角形、矩形的性质（对角线）即可判断结论②；根据直角坐标系上点的表示及结论①，利用勾股定理建立等式求解可得点坐标，再根据关于原点对称的点的坐标得出点坐标，即可判断结论③；由③可知，进而得出的值，根据矩形的性质即可判断结论④；根据矩形的性质及④可知，利用三角形的面积公式求解即可判断结论⑤． 解：∵矩形ABCD的顶点A在第一象限，轴，垂足为F， ,，． ， ． ，， ，即．（①符合题意） ，， ，． ． AE平分．（②符合题意） ， 点的横坐标为4． ， ，即． ，点的纵坐标为． ． 点与点关于原点对称， ．（③符合题意） ， ．（④不符合题意） ， ．（⑤符合题意） 结论正确的共有4个符合题意． 故选：C． 【点拨】本题考查矩形与坐标的综合应用．涉及矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角坐标系上点的表示，关于原点对称的点的坐标，三角形的面积公式等知识点．矩形的对角线相等且互相平分；两角分别相等的两个三角形相似；相似三角形对应角相等，对应边成比例；两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点位．灵活运用相关知识点，通过已知条件建立等式关系是解本题的关键． 2．（2025·天津红桥·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，是等腰直角三角形，，，顶点，点B在第一象限，正方形的顶点，点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限． （1）填空：如图①，点B的坐标为______，点D的坐标为______； （2）将正方形沿x轴向右平移，得到正方形，点O，C，D，E的对应点分别为，，，．设，正方形与重叠部分的面积为S． ①如图②，当正方形与重叠部分为五边形时，与相交于点F，与相交于点G，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】（1）；；（2）①② 【分析】本题考查了二次函数与几何综合，熟练数形结合，列出二次函数是解题的关键． （1）过点作，交于点，根据等腰直角三角形的性质和正方形的性质，即可解答； （2）①当时，正方形与重叠部分为五边形，利用面积的加减即可解答； ②分类讨论，即重叠部分为三角形，五边形时，求得重叠部分的面积的最大值和最小值，即可解答． 解：（1）解：如图，过点作，交于点， 顶点， ， 是等腰直角三角形， ， ， 正方形的顶点， ， ， 故答案为：；； （2）解：如图②，当时，正方形与重叠部分为五边形， 此时， ， 为等腰直角三角形， ， 则， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ； ②当时，如图，，此时当时，取最小值为，当时，取最大值为，则； 当时，，当时，取最大值为，则； 当时，如图，，当时，取最大值为2，当时，取最小值为，此时； 综上，S的取值范围为． 3．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，函数的图象与轴，轴分别相交于点，，直线经过点和点，直线，相交于点． （1）求点的坐标； （2）点在直线上，使得，求点的坐标； （3）在直线上是否存在点，使得，，三点构成的三角形与全等，若存在求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）或；（3）存在； 【分析】（1）设直线的表达式：，将点和点代入解析式，解方程组，得到具体的解析式，联立已知构造方程组，解答即可． （2）连接，根据，分别用坐标方式表示三角形的面积，解答即可． （3）利用两点间距离公式，计算线段的长度，依此判定三角形全等的方式，利用平行线的性质，直线平行的坐标特点，建立等式，构造方程组确定交点坐标即可． 解：（1）解：设直线的表达式：，将点和点代入 ， 解得：， ∴， 联立：， 解得， ∴． （2）解：连接，， ∵直线的函数表达式为，分别与轴，轴交于点， ∴， ∵， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴或． （3）解：∵点和点， ∴， ∵点点， ∴， ∴ 当以，，三点构成的三角形与全等时，只有， ∴， ∴， ∴ 设的解析式为， 根据题意，得， 解得：， ∴， 由题意得直线， ∴， ∴直线表达式： 联立， 解得：， ∴点． 【点拨】本题考查了函数交点坐标的计算，方程组的构造，待定系数法求解析式，全等三角形的判定和性质，熟练掌握待定系数法，全等的判定和性质是解题的关键． 【考点17】平面直角坐标系、一次函数几何最值问题 1．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在直线上，且点A的横坐标为4，直角三角板的直角顶点C落在x轴上，一条直角边经过点A，另一条直角边与直线交于点B，当点C在x轴上移动时，线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用一次函数求出点A的坐标，利用勾股定理求出，当点C在x轴上移动时，作与关于对称，且交x轴于点，由对称性质可知，，，当 轴于点时，最短，记此时点C所在位置为，作于点，有，设，则，利用锐角三角函数建立等式求出，证明，再利用相似三角形性质求出，最后根据求解，即可解题． 解：点A在直线上，且点A的横坐标为4， 点A的坐标为， ， 当点C在x轴上移动时，作与关于对称，且交x轴于点， 由对称性质可知，， 当 轴于点时，最短，记此时点C所在位置为， 由对称性质可知，， 作于点，有， 设，则， ， ， 解得， 经检验是方程的解， ，， ， ， ， ， ， 解得， ． 故答案为：． 【点拨】本题考查了轴对称性质，勾股定理，锐角三角函数，相似三角形性质和判定，角平分线性质，垂线段最短，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据轴对称性质和垂线段最短找出最短的情况． 2．（24-25九年级上·四川巴中·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数（）的图象与，轴分别交于、两点．点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点在线段上．动点从点出发，沿运动，当点运动到点时，停止运动．已知点在上的速度为个单位长度每秒，在上的速度为个单位长度每秒．     （1）求直线的解析式； （2）设点的运动时间为，求当最小时的坐标及的值； （3）在（2）的条件下，点在轴上，点在轴的右侧，是否存在点使得以点，，，为顶点的四边形是菱形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）当最小时的坐标为，的值为；（3）， 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据点的坐标得出，根据题意得出当时，的最小值为：，即可求解； （3）根据点在轴上，点在轴的右侧，设，根据勾股定理求得，分为边时，为对角线两种情况，根据菱形的性质求得点的坐标，进而根据中点坐标公式，即可求解． 解：（1）解：将点的坐标为，点的坐标为，代入得， 解得： ∴ （2）解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴ ∴ ∴ ∵点在上的速度为个单位长度每秒，在上的速度为个单位长度每秒． ∴ 当时，等于号成立， 又∵点的坐标为， ∴，此时的横坐标为 ∴的纵坐标为 ∴当最小时的坐标为，的值为 （3）解：设， ∵点的坐标为，点的坐标为 ∴ 设， 当为边时， ∴ ∴或 ∴或 ∴或 ∴ 当为对角线时， ∴ 解得： ∴， ∴， 解得： ∴ 综上所述，， 【点拨】本题考查了解直角三角形，待定系数法求一次函数解析式，菱形的性质，中点坐标公式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 3．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，且，点从点出发以每秒2个单位沿轴负方向运动． （1）________，________； （2）如图1，连接、交于点，则当点运动多少秒时，； （3）如图2，点是轴负半轴上的一点，过点作轴的平行线，在直线上取两点、（点在点右侧），满足，．当点运动到某一位置时，四边形的面积有最大值，请直接写出面积的最大值． 【答案】（1）；（2）；（3）25 【分析】本题主要考查图形与坐标及平移的性质，算术平方根，熟练掌握图形与坐标及平移的性质是解题的关键． （1）根据算术平方根的非负性求解即可； （2）连接，过B作于E，过A作轴于F，则，设C运动的时间为t秒时，，则，根据，可得，即可得解； （3）平移至，则，，根据面积关系可得，当时，的面积最大，求出的面积的最大值即可得解． 解：（1）解：， ， ， ， 故答案为：； （2）解：由（1）知：，， 连接，过B作于E，过A作轴于F，则， ， ， 设C运动的时间为t秒时，，则， ， ， ， ， 当点运动秒时，； （3）解：平移至，则，， ， 当四边形的面积有最大时，的面积也最大， 当时，的面积最大，的面积的最大值为：， 四边形的面积的最大值为25． 【考点18】平面直角坐标系、一次函数几何动点问题 1．（2023·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为，过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点C、点A，直线与交于点D．与y轴交于点E．动点M在线段上，动点N在直线上，若是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，则点M的坐标为    【答案】或 【分析】如图，由是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，可得在以为直径的圆上，，可得是圆与直线的交点，当重合时，符合题意，可得，当N在的上方时，如图，过作轴于，延长交于，则，，证明，设，可得，，而，则，再解方程可得答案． 解：如图，∵是以点N为直角顶点的等腰直角三角形， ∴在以为直径的圆上，， ∴是圆与直线的交点，    当重合时， ∵，则， ∴，符合题意， ∴， 当N在的上方时，如图，过作轴于，延长交于，则，， ∴，    ∵，， ∴， ∴， ∴，设， ∴，， 而， ∴， 解得：，则， ∴， ∴； 综上：或． 故答案为：或． 【点拨】本题考查的是坐标与图形，一次函数的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，本题属于填空题里面的压轴题，难度较大，清晰的分类讨论是解本题的关键． 2．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，一次函数，与轴交于点A，与轴交于点，点在轴正半轴， ． （1）求点的坐标与直线的表达式； （2）直线上是否存在一点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； （3）点是中边上一动点（不与A、B重合），将沿所在直线折叠，点A的对应点为点，若所在的直线与的一边垂直，则点的坐标为____________． 【答案】（1），；（2）或；（3）或或或 【分析】本题主要考查的是一次函数综合运用、三角形的面积、图形的翻折等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）由题意可得，易得，然后根据待定系数法求解即可； （2）如图：设，则，解得：或，进而完成解答． （3）当时，如图，设交x轴于点H，由，则，进而得到即可求得点D的坐标，再说明关于y轴的对称点符合题意；然后再求解两种情况即可． 解：（1）解：∵一次函数，与轴交于点A，与轴交于点， ∴当时，，当时，， ∴点A、C的坐标分别为，， ∴， ∴，即， 设直线的解析式为， 则，解得：． ∴直线的表达式为：． （2）解：如图：设， ∵， 解得：或， ∴点P的坐标为：或． （3）解：由（1）知，， ∴，，即， 如图：在y轴上截取，则，即， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ①当时，如图，设交x轴于点H，则， ∴， ∵， ∴， 在中，， 设，则， ∴，解得：， ∴，， 设，则， ∴，解得：， ∴，故点； 如图：为关于y轴的对称点，即， ∵将沿所在直线折叠，点A的对应点为点， ∴， ∵，即轴， ∴， ∴， ∴， ∴点共线， ∴， ∴轴， ∴符合题意； ②当时，则， ∴， ∵如图：点H为①图中的点H，， ∴，即， ∴，即，解得：（舍弃负值）， ∵，， ∴是等边三角形， ∵轴， ∴点D和①中的H关于y轴对称， ∵， ∴点； ③当时，如图：延长交于点H， ∵， ∴， ∵， ∴，即点E在y轴的负半轴上， 设，则， ∴，解得：， ∴点； 综上，点D的坐标为或或或． 故答案为：或或或． 3．（24-25八年级上·广东深圳·期末）【综合探究】 （1）如图①，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点， 【解决问题】 ①则点A坐标为 ；点B坐标为 ； ②C，D是正比例函数图象上的两个动点，连接，，若，，则的最小值是 ； （2）如图②，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于B，A两点．将直线绕点A逆时针旋转得到直线l，求直线l对应的函数表达式； 【迁移拓展】 （3）如图③，直线的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，直线与y轴交于点D．点P，Q分别是直线l和直线上的动点，点C的坐标为，当是以为斜边的等腰直角三角形时，直接写出点Q的坐标． 【答案】（1）①，；②；（2）；（3）点Q的坐标为或 【分析】（1）①分别令和求解即可； ②由于D是正比例函数图象上的动点，根据垂线段最短，当时，取得最小值，利用勾股定理求得，证明，可得； （2）过点作于点F，过点F作轴于点G，过点A作于点E,可证得，设，则，，建立方程求得，可得，再运用待定系数法即可求得答案； （3）设，，过点P作轴于点E，过点Q作于点F，证得，分两种情况：当点P在直线的右侧，点Q在直线的下方时，当点P在直线的左侧，点Q在直线的下方时，分别求得点Q的坐标即可． 解：（1）①在中，令，得， 解得：， ∴， 令，得， ∴， 故答案为：，； ②∵D是正比例函数图象上的动点， ∴根据垂线段最短，当时，取得最小值，如图1， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴, ∴， 在中，， ∴AD的最小值是， 故答案为：； （2）∵一次函数的图象与x轴，y轴分别交于B，A两点， ∴，， 将直线绕点A逆时针旋转得到直线，如图2， 过点B作于点F，过点F作轴于点G，过点A作于点E， 则， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴； 设直线l的解析式为， 把，分别代入得， 解得：， ∴直线l对应的函数表达式为； （3）设，，又， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，， 当点P在直线的右侧，点Q在直线的下方时，如图1， 过点P作轴于点E，过点Q作于点F， 则，，，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 解得：， ∴； 当点P在直线的左侧，点Q在直线的下方时，如图1， 过点P作轴于点E，过点Q作于点F， 则，，，， 同理可得：， ∴，， ∴， 解得：， ∴； 综上所述，点Q的坐标为或． 【点拨】本题考查一次函数的应用，涉及待定系数法求函数解析式、垂线段最短、全等三角形的判定与性质、坐标与图形、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，理解题中新定义方法，添加合适辅助线构造“一线三直角”是解答的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$