浙江省杭州学军中学西溪校区2024-2025学年高三下学期半月考（3）数学试题

高三数学学科 命题人：杨海江 审题人：刘武林 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则中元素的个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 已知向量，若反向共线，则实数的值为（ ） A. B. 3 C. 3或 D. 或7 3. 已知各项均为正数的数列的前n项和为，，，，则（ ） A. 511 B. 61 C. 41 D. 9 4. 设锐角，，则（ ） A. B. C. D. 5. 设，则“”是“”（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，A是双曲线C的左顶点，以为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于P，Q两点，且，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 7. 已知函数（）在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知对任意正整数对，定义函数如下：，，，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，全对得6分，部分选对得部分分，共18分） 9. 体育教育既能培养学生自觉锻炼身体的习惯，又能培养学生开拓进取、不畏艰难的坚强性格.杭州学军中学西溪校区高三学生参加体育测试，其中理科班女生的成绩与文科班女生的成绩均服从正态分布，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示，正方体棱长为2，正方形内（不含边界）一动点P在运动过程中始终满足．下列说法中正确的为（ ） A. 存在点P使得 B. 直线与点P的轨迹有公共点 C. 点P运动轨迹长为 D. 三棱锥P-BCD体积最大值为8 11. 函数的图象类似于汉字“囧”字，被称为“囧函数”，并把其与y轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，以“囧点”为圆心，凡是与“囧函数”有公共点的圆，皆称之为“囧圆”，则当，时，下列结论正确的是( ) A. 函数的图象关于直线对称 B. 当时，的最大值为－1 C. 函数的“囧点”与函数图象上的点的最短距离为 D. 函数的所有“囧圆”中，面积的最小值为 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 已知复数z满足，则_______． 13. 已知的展开式的二项式系数和为64，各项系数和为729，则其展开式的常数项为_______. 14. 我们想把9张写着1~9的卡片放入三个不同盒子中，满足每个盒子中都有3张卡片，且存在两个盒子中卡片的数字之和相等，则不同的放法有___________种. 四、解答题（本题共7小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，在四边形中，与相交于点，且为的角平分线，，． （1）求； （2）若，求四边形面积． 16. 如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，为棱上的点，且． （1）求证：平面； （2）设为棱上的点（不与重合），且直线与平面所成角的正弦值为，求的值． 17. 已知实数，设． （1）若，求函数的图象在点处的切线方程； （2）若对于任意的，总存在，使得，求的取值范围． 18. 在平面直角坐标系中，已知双曲线经过点，点与点关于原点对称，为上一动点，且异于两点. （1）求的离心率； （2）若△的重心为，点，求的最小值； （3）若△垂心为，求动点的轨迹方程. 19. 对于无穷数列，，，，，我们称为数列的生成函数.生成函数是重要的计数工具之一.对于给定的正整数p，记方程的非负整数解的个数为，则为展开式中前的系数. （1）写出无穷常数列1，1，1，…的生成函数并化简； （2）证明：； （3）本次测试共分为十一个大项，前十项各有三个小项，第十一项仅有两个小项.学生需参加所有项目获取最终分数.计分规则如下：通过第大项中的每一个小项，都可获得分，通过第十一项中的每一个小项，可获得1分.记为总分为n分的所有得分组合数，求． 高三数学学科 命题人：杨海江 审题人：刘武林 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】C 二、多选题（每小题6分，全对得6分，部分选对得部分分，共18分） 【9题答案】 【答案】AC 【10题答案】 【答案】AC 【11题答案】 【答案】BCD 三、填空题（每小题5分，共15分） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】240 【14题答案】 【答案】204 四、解答题（本题共7小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 【15题答案】 【答案】（1）；（2）. 【16题答案】 【答案】（1）证明见解析； （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2） （3）（去除点）. 【19题答案】 【答案】（1） （2）证明见解析， （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$