6.4.3 余弦定理、正弦定理（第2课时）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第二册）

第六章 平面向量及其应用 6.4.3 余弦定理、正弦定理 （第2课时） 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 考点 学习目标 重、难点 核心素养 正弦定理的推导公式 掌握正弦定理；知道正弦定理的多种推导方法 重点 数学运算 逻辑推理 掌握正弦定理的特点，掌握正弦定理的基本作用 正弦定理的应用 借助向量运算，探索三角形边长与角度的关系 难点 直观想象 利用向量结合正弦定理求三角形的边长或角度 问题1：除了SSS，SAS，全等三角形还可以如何判定？ AAS,ASA 如果已知两角和一边，是否也能解三角形呢？ 定性 定量 探究：在中，已知角和边，如何求？ 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 1 问题2：我们从熟悉的直角三角形的边角关系的分析入手。已知观察它的角和三边之间的关系，猜想A、B、a、b之间的联系. A B C c b a 根据锐角三角函数，在中，有: 则： 又因为所以 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 2 1、锐角三角形 如图，在锐角中，过点作与垂直的单位向量， 则与的夹角为，与的夹角为. 因为，所以 由分配律得： 即：， 也即. 所以. B C A 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 3 同理，过点作与垂直的单位向量， 则与的夹角为，与的夹角为. 因为，所以 由分配律，得： 即：， 也即. 所以.综上成立. 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 4 2.钝角三角形（设为钝角）. 过点作与垂直的单位向量， 则与的夹角为，与的夹角为. 因为，所以 由分配律得： 即：， 也即.所以. 同理，有成立. 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 5 正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即： 正弦定理是全等三角形AAS性质的定量计算，它还是“大边对大角，小边对小角”这一性质的定量计算。那么如何用正弦定理证明上述性质呢？ 你能用其他方法证明正弦定理吗？ 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 6 A C a b c B D 锐角三角形 钝角三角形 D A B C a b c ； 即： 同理，有 即： ； 即： 同理，有 即： 法二(几何法)： 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 7 法三 (外接圆)： 设的外接圆是，半径为 延长交于点，连接， 则，， 在中，，即， 所以 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 8 正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即： 变形式： 1、拆分式：，， 2、连比式：, 3、分体式：,, 问题4：根据上面的式子思考，正弦定理可以解决哪些解三角形的问题？ 知两角一边 知两边及其一边的对角 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 9 例7：在中，已知，，，解这个三角形. 解：由三角形内角和定理，得： 由正弦定理，得： 分析：三角形已知的元素是什么？可选用哪个定理作为解题的依据？ 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 10 例8：在中，已知，，，解这个三角形. 解：由正弦定理 ，得： 因为在三角形中，所以 于是或 (1)当时， 此时， (2)当时， 此时， 思考：角C有两个值是否都符合要求呢？需要满足什么要求？ 分析：三角形已知的元素是什么？可选用哪个定理作为解题的依据？ 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 11 思考：在上述练习中，我们发现已知两角一边时，三角形解的个数唯一，而当已知两边及一边的对角时，三角形解的个数出现了多种情况，你能根据前面的例题总结如何判断三角形解的个数呢？ 过程：1、利用正弦定理求出sinB 2、求出sinB在[0,]范围内的解 3、根据三角形三角之和等于180°、大边对大角去掉增根 追问：你还能从几何角度对两边及一边对角的三角形解个数进行讨论吗？ 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 12 探究：在中，已知角和边，. (1)当为锐角时： ①当时，无解 ②当时，有一解 ③当时，有两解 ④当时，有一解 (2)当为直角时： ①当时，无解 ②当时，有一解 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 13 (3)当为钝角时： ①当时，无解 ②当时，有一解 在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画孤，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 14 B 1.以下关于正弦定理的叙述或变形错误的是( ) A.在中， B.在中，若，则 C.在中，若，则；若，则 D.在中， D 练习：在中，，则( ) A. B. C. D. 正弦定理的变形式应用 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 15 2.在中，若a＝bsin A，则一定是（　B　） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 解：由题意＝b＝，则sin B＝1，即B为直角，故是直角三角形. B 练习：在中，若且试判断的形状. 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 16 3.在中，已知，，则的面积是多少？ 思考：你能用三角形的边和角的正弦表示三角形的面积吗？(课本P53 第10题) B (课本54页22题)练习：已知的内角所对的边分别为，且 (1)求. (2)若，则的面积为，求. 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 17 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等 2.正弦定理如何用？ ① 已知两角和任意边，求其他两边和一角 ② 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。(注意解的情况) 正弦定理： ＝ 2R 1.什么是正弦定理？ 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 课堂小结 18 课后作业 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 19 1.完成本节练习第2、3题 感谢观看 解析：∵A+B+C=180°,A∶B∶C=4∶1∶1,∴A=120°,B=30°,C=30°. 由公式得a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=sin 120°∶sin 30°∶sin 30°=∶∶=∶1∶1. $$