重难点12 平行四边形的性质八大重难点题型-2024-2025学年八年级数学下册【重难点考点】专练（人教版）

重难点12 平行四边形的性质 八大重难点题型 ▲知识点一：平行四边形的定义： ★1、定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． ★2、表示方法：平行四边形用符号“□”表示，平行四边形ABCD记作：“□ABCD”， 读作:“平行四边形ABCD”. 【注意】表示平行四边形时，要按照顺时针或者逆时针方向依次书写各顶点字母，不能打乱顺序． ★3、几何语言：(双重含义) ∵ AB∥CD，AD∥BC，∴ 四边形ABCD是平行四边形（判定） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，AD∥BC（性质） ▲知识点二：平行四边形的性质： ★1、边：①平行四边形的对边平行；②平行四边形的对边相等． 几何语言： ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC， AB = CD，AD = BC， ★2、角：①平行四边形的对角相等．②平行四边形的对角互补. 几何语言：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠A =∠C，∠B = ∠D ★3、对角线：平行四边形的对角线互相平分． 几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AO=OC，BO=OD ▲知识点三：两条平行间的距离： ★1、定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离. ★2、两条平行线之间的任何两条平行线段都相等. ★3、如果有两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等. 如图（1），a∥b，c∥d，c，d与a，b分别相交于A，B，C，D四点.由平行四边形的概念和性质可知，四边形ABDC是平行四边形，即AB=CD；如图（2）线段AB（或CD）的长即为两条平行线之间的距离. ★4、三种距离之间的区别与联系 距离 两点之间的距离 点到直线的距离 两条平行线之间的距离 区别 连接两点的线段的长度. 点到直线的垂线段的长度. 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平 行线之间的距离. 联系 都是指线段的长度. ★5、“两条平行线间的距离处处相等”，在作平行四边形的高时，可根据需要灵活选择位置.(常常用来解决三角形同底等高问题.) 【题型一 利用平行四边形的性质求角度 】 1．（2024春•丹徒区期末）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD且交BC于点E，∠D＝58°，则∠AEC的度数是（　　） A．61° B．109° C．112° D．119° 【分析】由平行四边形的性质得AD∥BC，∠B＝∠D＝58°，则∠DAE＝∠BEA，而∠DAE＝∠BAE，所以∠BEA＝∠BAE（180°﹣58°）＝61°，则∠AEC＝180°﹣∠BEA＝119°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∠B＝∠D＝58°， ∴∠DAE＝∠BEA， ∵AE平分∠BAD且交BC于点E， ∴∠DAE＝∠BAE， ∴∠BEA＝∠BAE（180°﹣58°）＝61°， ∴∠AEC＝180°﹣∠BEA＝180°﹣61°＝119°， 故选：D． 【点评】此题重点考查平行四边形的性质、平行线的性质、三角形内角和定理等知识，证明∠BEA＝∠BAE是解题的关键． 2．（2025•长治一模）如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，∠BAD＝135°，∠ACD＝80°，∠CBD＝20°，则∠COD的度数为（　　） A．75° B．53° C．85° D．90° 【分析】根据平行线的性质求出∠OCB＝55°，再根据三角形外角的性质可得结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC， ∴∠BAC＝∠ACD＝80°， ∵∠BAD＝135°， ∴∠CAD＝∠BAD﹣∠BAC＝135°﹣80°＝55°， ∵AD∥BC， ∴∠BCA＝∠CAD＝55°， ∵∠CBD＝20°， ∴∠COD＝∠CBD+∠BCA＝20°+55°＝75°， 故选：A． 【点评】本题主要考查平行线的性质，掌握其性质是解题的关键． 3．（2025•阜平县校级一模）如图，在▱ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E．若∠2＝130°，则∠1的度数为（　　） A．30° B．40° C．45° D．50° 【分析】由平行四边形的性质得AB∥CD，再由平行线的性质得∠BAE＝∠1，易证∠ABE＝90°，然后由三角形的外角性质即可得∠2＝∠1+∠ABE，由此即可求解． 【解答】解：∵BE⊥AB， ∴∠ABE＝90°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠BAE＝∠1， ∵∠2＝∠BAE+∠ABE， ∴∠2＝∠1+∠ABE， ∴∠1+90°＝130°， ∴∠1＝130°﹣90°＝40°， 故选：B． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，三角形的外角和等知识点，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 4．如图，在▱ABCD中，O为对角线AC与BD的交点，AC⊥AB，E为AD的中点，并且OF⊥BC，∠D＝53°，则∠FOE的度数是（　　） A．143° B．127° C．53° D．37° 【分析】先由等角的余角相等证明∠FOC＝∠D＝53°，再根据三角形的中位线定理证明OE∥CD，则∠COE＝180°﹣∠ACD＝90°，即可求得∠FOE＝143°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC， ∴∠CAD＝∠OCF， ∵AC⊥AB，OF⊥BC， ∴∠ACD＝∠CAB＝∠OFC＝90°， ∵∠D+∠CAD＝90°，∠FOC+∠OCF＝90°， ∴∠FOC＝∠D＝53°， ∵O为对角线AC与BD的交点， ∴O为AC的中点， ∵E为AD的中点， ∴OE∥CD， ∴∠COE＝180°﹣∠ACD＝180°﹣90°＝90°， ∴∠FOE＝∠FOC+∠COE＝53°+90°＝143°， 故选：A． 【点评】此题重点考查平行四边形的性质、平行线的性质、等角的余角相等、直角三角形的两个锐角互余、三角形的中位线定理等知识，证明OE∥CD是解题的关键． 5．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AE．若AE平分∠DAB． （1）求证：△ABC≌△EAD； （2）若∠EAC＝25°，求：∠AED的度数． 【分析】（1）由平行四边形的性质可得AD＝BC，∠B＝∠DAE，结合AB＝AE，利用SAS可证明结论； （2）由全等三角形的性质结合角平分线的定义可得△ABE为等边三角形，利用等边三角形的性质可求解∠BAE＝60°，进而可求解∠AED的度数． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC． ∴∠DAE＝∠AEB． ∵AB＝AE， ∴∠AEB＝∠B． ∴∠B＝∠DAE． 在△ABC和△AED中， ， ∴△ABC≌△EAD（SAS）， （2）∵△ABC≌△EAD， ∴∠AED＝∠BAC， ∵AE平分∠DAB（已知）， ∴∠DAE＝∠BAE； 又∵∠DAE＝∠AEB， ∴∠BAE＝∠AEB＝∠B． ∴△ABE为等边三角形． ∴∠BAE＝60°． ∵∠EAC＝25°， ∴∠BAC＝85°， ∴∠AED＝85°． 【点评】本题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，利用SAS证明△ABC≌△EAD是解题的关键． 【题型二 利用平行四边形的性质求线段长 】 1．（2025•山东一模）如图，▱ABCD中，∠DAB的平分线交DC于点E，交BC的延长线于点F，若AD＝3，AB＝5，则CF的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据角平分线的定义及平行四边形的性质可知△EDA、△FEC是等腰三角形，再根据等腰三角形的性质即可解答． 【解答】解：∵AF是∠DAB的平分线， ∴∠DAF＝∠FAB， ∵在▱ABCD中， ∴AD∥BC，CD∥AB，AB＝CD，AD＝BC， ∴∠BFA＝∠DAF＝∠FAB＝∠DEA， ∵∠DEA＝∠FEC， ∴∠BFA＝∠DAF＝∠FAB＝∠DEA＝∠FEC， ∴△EDA、△FEC是等腰三角形， ∴DE＝DA，CF＝CE， ∵AD＝3，AB＝5， ∴CE＝CD﹣DE＝AB﹣AD＝5﹣3＝2， 故选：A． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 2．（2024秋•龙口市期末）如图，在▱ABCD中，AB＝3，AD＝10，AE，DF分别平分∠DAB，∠ADC，那么EF的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．以上都不对 【分析】由平行四边形的性质可得AD∥BC，结合角平分线的定义可求得BE＝AB、CD＝CF，再由线段的和差可求得EF． 【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC，AB＝CD＝3，AD＝BC＝10， ∴∠DAE＝∠AEB， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE， ∴∠BAE＝∠AEB， ∴BE＝BA＝3， 同理CF＝CD＝3， ∴EF＝BC﹣BE﹣CF＝10﹣3﹣3＝4， 故选：B． 【点评】本题主要考查平行四边形的性质，结合平行四边形的性质求得AB＝BE＝CF是解题的关键． 3．（2024秋•晋江市期末）如图，在▱ABCD中，AD：AB＝3：4，AE平分∠DAB交CD于点E，交BD于点F，则的值是（　　） A．3：4 B．9：16 C．4：3 D．16：9 【分析】由已知条件和平行四边形的性质易证△ADE是等腰三角形，再进而可求出DE：AB的值． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB， ∴∠DEA＝∠BAE， ∵AE平分∠DAB交CD于点E， ∴∠BAE＝∠DAE， ∴∠DEA＝∠DAE， ∴AD＝DE， ∵AD：AB＝3：4， ∴DE：AB＝3：4， 故选：A． 【点评】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 4．（2024•凉州区三模）如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD，∠ABC的平分线AE，BF分别交CD边于点E，F．若AD＝3，EF＝1，则AB的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】由CD∥AB，得∠DEA＝∠BAE，∠CFB＝∠ABF，而∠DAE＝∠BAE，∠CBF＝∠ABF，则∠DEA＝∠DAE，∠CFB＝∠CBF，所以ED＝AD＝3，FC＝BC＝3，则1+AB＝6，求得AB＝5，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB，AD＝BC＝3， ∴∠DEA＝∠BAE，∠CFB＝∠ABF， ∵AE，BF分别是∠BAD，∠ABC的平分线， ∴∠DAE＝∠BAE，∠CBF＝∠ABF， ∴∠DEA＝∠DAE，∠CFB＝∠CBF， ∴ED＝AD＝3，FC＝BC＝3， ∴EF+DF+FC＝ED+FC＝3+3＝6， ∵EF＝1，DF+FC＝CD＝AB， ∴1+AB＝6， ∴AB＝5， 故选：B． 【点评】此题重点考查平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定等知识，证明ED＝AD，FC＝BC是解题的关键． 5．（2024秋•开远市校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝3cm，AB垂直于BD，点O是两条对角线的交点，OD＝2cm，则AD＝　 　cm． 【分析】由平行四边形的性质得出BD＝2OD＝8cm，由勾股定理求出AB即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BD＝2OD＝4cm， ∵AB⊥BD， ∴∠ABD＝90°， ∵AB＝3cm ∴AD5（cm）， 故答案为：5． 【点评】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 6．如图，平行四边形ABCD中，BD⊥AD，∠A＝45°，E、F分别是AB、CD上的点，且BE＝DF，连接EF交BD于O． （1）求证：BO＝DO； （2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG＝1时，求AE的长． 【分析】（1）由平行四边形的性质和AAS证明△OBE≌△ODF，得出对应边相等即可； （2）证出AE＝GE，再证明DG＝DO，然后由等腰三角形的性质得出OF＝FG＝1，即可得出结果． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB， ∴∠OBE＝∠ODF． 在△OBE与△ODF中， ∴△OBE≌△ODF（AAS）． ∴BO＝DO． （2）解：∵EF⊥AB，AB∥DC， ∴∠GEA＝∠GFD＝90°． ∵∠A＝45°， ∴∠G＝∠A＝45°． ∴AE＝GE ∵BD⊥AD， ∴∠ADB＝∠GDO＝90°． ∴∠GOD＝∠G＝45°． ∴DG＝DO， ∵EF⊥AB， ∴EF⊥CD， ∴OF＝FG＝1， 由（1）可知，OE＝OF＝1， ∴GE＝OE+OF+FG＝3， ∴AE＝3． 【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题（1）的关键． 【题型三 利用平行四边形的性质求周长 】 1．（2024春•萝北县期末）如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若平行四边形ABCD的周长为36，OE＝3，则四边形ABFE的周长为（　　） A．24 B．26 C．28 D．30 【分析】先利用ASA证明△AOE≌△COF，从而得OE＝OF，AE＝CF，再求得平行四边形周长的一半为多少，然后利用关系式AB+AE+BF+EF＝AB+BF+CF+2OE，即可求得答案． 【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，对角线的交点为O， ∴OA＝OC，AD∥BC， ∴∠EAO＝∠FCO， 又∵∠AOE＝∠COF， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴OE＝OF，AE＝CF， ∵平行四边形ABCD的周长为36， ∴AB+BC36＝18， ∴四边形ABFE的周长为： AB+AE+BF+EF＝AB+BF+CF+2OE＝AB+BC+2×3＝18+6＝24． 故选：A． 【点评】本题考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 2．（2024春•宽城区校级期中）如图，在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，EO⊥BD，交AD于点E，连接BE，△ABE的周长为5，则▱ABCD的周长为（　　） A．5 B．10 C．12 D．15 【分析】由平行四边形的性质得OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC，再由△ABE的周长为5得AB+BE+AE＝5，然后由线段垂直平分线的性质得BE＝ED，则AB+BE+AE＝AB+AD＝5，即可解决问题． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC， ∵△ABE 的周长为5， ∴AB+BE+AE＝5， ∵OE⊥BD， ∴OE是线段BD的垂直平分线， ∴BE＝ED， ∴AB+BE+AE＝AB+AD＝5， ∴▱ABCD的周长＝2（AB+AD）＝2×5＝10， 故选：B． 【点评】此题考查了平行四边形的性质、三角形周长以及线段的垂直平分线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和线段垂直平分线的性质是解题的关键． 3．在平行四边形ABCD中，∠A的角平分线把边BC分成长度为4和5的两条线段，则平行四边形ABCD的周长为（　　） A．13或14 B．26或28 C．13 D．无法确定 【分析】设∠A的平分线交BC于点E，可证明AB＝EB，再分两种情况讨论，一是EB＝5，EC＝4，则AB＝EB＝5，BC＝EB+EC＝9；二是EB＝4，EC＝5时，则AB＝EB＝4，BC＝EB+EC＝9，分别求出平行四边形ABCD的周长即可． 【解答】解：设∠A的平分线交BC于点E， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC∥AD， ∴∠BEA＝∠DAE， ∵∠BAE＝∠DAE， ∴∠BEA＝∠BAE， ∴AB＝EB， 当EB＝5，EC＝4时，如图1， 则AB＝EB＝5，BC＝EB+EC＝9， ∴2AB+2BC＝2×5+2×9＝28； 当EB＝4，EC＝5时，如图2， 则AB＝EB＝4，BC＝EB+EC＝9， ∴2AB+2BC＝2×4+2×9＝26， ∴平行四边形ABCD的周长为26或28， 故选：B． 【点评】此题重点考查平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键． 4．（2024春•郯城县期中）如图，▱ABCD的对角线AC与BD交于点O，若AB＝8，AC＝12，BD＝20． （1）求∠BAO的度数； （2）求▱ABCD的周长． 【分析】（1）通过平行四边形性质求出线段长，得出OA2+AB2＝OB2，即可求出结论； （2）先求，即可求出周长． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，且AC＝12，BD＝20， ∴OA＝6，OB＝10， ∵AB＝8， ∴OA2+AB2＝OB2， ∴△AOB是直角三角形，且∠BAO＝90°； （2）∵AB＝8，AC＝12，∠BAO＝90°， 在直角三角形ABC中，由勾股定理得：， ∴平行四边形ABCD的周长为． 【点评】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理及其逆定理． 5．（2024秋•招远市期末）如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，交BE于点G． （1）求证：AF＝DE． （2）若AD＝16，EF＝12，请求出▱ABCD的周长． 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得：AD∥BC，AB＝CD，根据平行线性质和角平分线的定义求出∠ABE＝∠AEB，推出AE＝AB，同理求出DF＝CD，即可证明AE＝DF，即可求解； （2）由AD＝16，可得AF＝2，从而得出AB的长，即可得出▱ABCD的周长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB＝CD， ∴∠AEB＝∠CBE， ∵BE是∠ABC的平分线， ∴∠ABE＝∠CBE∠ABC， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴AE＝AB， 同理可得：DF＝CD， ∴AE＝DF， ∴AE﹣EF＝DF﹣EF， ∴AF＝DE； （2）解：∵AD＝16， ∴AF+EF+DE＝16， ∵AF＝DE，EF＝12， ∴AF+12+AF＝16， 解得AF＝2， ∴AB＝AE＝AF+EF＝2+12＝14， ∴▱ABCD的周长为2（AB+AD）＝2×（16+14）＝60，即▱ABCD的周长为60． 【点评】本题考查了平行四边形性质，角平分线性质，等腰三角形的性质和判定等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键． 【题型四 利用平行四边形的性质求面积 】 1．（2025•大渡口区模拟）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若AE＝4，AF＝6，且▱ABCD的周长为40，则▱ABCD的面积为（　　） A．24 B．36 C．40 D．48 【分析】设BC＝x，由平行四边形的周长表示出CD，再根据平行四边形的面积列式求出x，然后根据平行四边形的面积公式列式进而求出x＝12，即可得出结论． 【解答】解：设BC＝x， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC， ∵▱ABCD的周长为40， ∴BC+CD＝20， ∴CD＝20﹣x， ∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F， ∵▱ABCD的面积＝BC•AE＝CD•AF， ∴4x＝6（20﹣x）， 解得：x＝12， ∴▱ABCD的面积＝BC•AE＝12×4＝48． 故选：D． 【点评】本题考查了平行四边形的性质以及平行四边形面积公式，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 2．（2024春•江津区期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，P是CD上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA．如果AD＝5cm，AP＝8cm，则△ABP的面积等于（　　）cm2． A．24 B．30 C．6 D．12 【分析】根据平行四边形性质得出AD∥CB，AB∥CD，推出∠DAB+∠CBA＝180°，求出∠PAB+∠PBA＝90°，在△APB中求出∠APB＝90°，由平行线的性质和角平分线的性质可求AB的长，由勾股定理可求PB的长，即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥CB，AB∥CD， ∴∠DAB+∠CBA＝180°， 又∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA， ∴∠PAB+∠PBA（∠DAB+∠CBA）＝90°， 在△APB中，∠APB＝180°﹣（∠PAB+∠PBA）＝90°， ∴AP⊥PB， ∵AP平分∠DAB且AB∥CD， ∴∠DAP＝∠PAB＝∠DPA． ∴△ADP是等腰三角形． ∴AD＝DP＝5cm， 同理可得CP＝BC＝5cm， ∴CD＝AB＝10cm， ∴PB6cm， ∴△ABP的面积6×8＝24cm2， 故选：A． 【点评】本题考查了平行四边形性质，平行线性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，勾股定理等知识点的综合运用；熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理是关键． 3．（2024秋•崂山区期末）如图，在▱ABCD中，BC的垂直平分线EO交AD于点E，垂足为点O，连接BE，CE，过点C作CF∥BE，交EO的延长线于点F，连接BF．若AD＝8，CE＝6，则四边形BFCE的面积为 　 　． 【分析】先根据平行四边形的性质得出AD＝BC＝8，再由EF是线段BC的垂直平分线得出EF⊥BC，OB＝OCBC＝4，根据勾股定理求出OE的长，再由CF∥BE可得出∠OCF＝OBE，故可得出△OCF≌△OBE，OE＝OF，利用S四边形BFCE＝S△BCE+S△BFC即可得出结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AD＝8， ∴AD＝BC＝8， ∵由EF是线段BC的垂直平分线， ∴EF⊥BC，OB＝OCBC＝4， ∵CE＝6， ∴OE2． ∵CF∥BE， ∴∠OCF＝∠OBE， 在△OCF与△OBE中， ， ∴△OCF≌△OBE（ASA）， ∴OE＝OF＝2， ∴S四边形BFCE＝S△BCE+S△BFC BC•OEBC•OF 8×28×2 ＝88 ＝16． 故答案为：16． 【点评】本题考查的是平行四边形的性质，三角形的面积及线段垂直平分线的性质，根据题意得出OE＝OF是解题的关键． 4．（2024春•义乌市期中）如图，P为平行四边形ABCD内一点，过点P分别作AB，AD的平行线，交平行四边形ABCD的四边于E、F、G、H四点，若平行四边形BHPE面积为6，平行四边形GPFD面积为4，则△APC的面积为 　 　． A． B． C．1 D．2 【分析】由平行四边形的性质得S△ABC＝S△ACD，证出四边形EPGA、四边形GPFD、四边形EPHB、四边形PHCF均为平行四边形，得S△AEP＝S△AGPS平行四边形AEPG，S△PHC＝S△PCFS平行四边形PHCF，进而通过三角形与四边形之间的面积转化得出结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC，S△ABC＝S△ACD， ∵EF∥AD，GH∥AB， ∴EF∥AD∥BC，AB∥CD∥GH， ∴四边形EPGA、四边形GPFD、四边形EPHB、四边形PHCF均为平行四边形， ∴S△AEP＝S△AGPS平行四边形AEPG，S△PHC＝S△PCFS平行四边形PHCF， ∵S△ABC＝S△AEP+S平行四边形BHPE+S△PHC﹣S△APC①，S△ACD＝S△AGP+S平行四边形GPFD+S△PFC+S△APC②， ∴②﹣①得：S平行四边形GPFD﹣S平行四边形BHPE+2S△APC＝0， 即2S△APC＝6﹣4＝2， ∴S△APC＝1． 故答案为：1． 【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的对角线平分平行四边形的面积． 5．（2024秋•招远市期末）如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，交BE于点G． （1）求证：AF＝DE． （2）若AD＝16，EF＝12，请求出▱ABCD的周长． 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得：AD∥BC，AB＝CD，根据平行线性质和角平分线的定义求出∠ABE＝∠AEB，推出AE＝AB，同理求出DF＝CD，即可证明AE＝DF，即可求解； （2）由AD＝16，可得AF＝2，从而得出AB的长，即可得出▱ABCD的周长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB＝CD， ∴∠AEB＝∠CBE， ∵BE是∠ABC的平分线， ∴∠ABE＝∠CBE∠ABC， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴AE＝AB， 同理可得：DF＝CD， ∴AE＝DF， ∴AE﹣EF＝DF﹣EF， ∴AF＝DE； （2）解：∵AD＝16， ∴AF+EF+DE＝16， ∵AF＝DE，EF＝12， ∴AF+12+AF＝16， 解得AF＝2， ∴AB＝AE＝AF+EF＝2+12＝14， ∴▱ABCD的周长为2（AB+AD）＝2×（16+14）＝60，即▱ABCD的周长为60． 【点评】本题考查了平行四边形性质，角平分线性质，等腰三角形的性质和判定等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键． 【题型五 利用平行四边形的性质进行证明 】 1．（2025•雁塔区校级二模）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且AE＝CF，EF，BD相交于点O，求证：OE＝OF． 【分析】先判断出DE＝BF，进而判断出△DOE≌△BOF即可． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴∠ODE＝∠OBF， ∵AE＝CF， ∴DE＝BF，且∠DOE＝∠BOF，∠ODE＝∠OBF， ∴△DOE≌△BOF（AAS）， ∴OE＝OF 【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，证明△DOE≌△BOF是本题的关键． 2．（2025•南安市模拟）在平行四边形ABCD中，E为BC上一点，点F为AE的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点G，求证：BG＝CE． 【分析】根据平行四边形的性质证明△AFD≌△EFG，得到GE＝BC，即可证明． 【解答】证明：∵点F为AE的中点， ∴AF＝FE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴∠ADF＝∠EGF， ∵∠AFD＝∠EFG， ∴△AFD≌△EFG（AAS）， ∴AD＝GE， ∴GE＝BC， ∴BG＝CE． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 3．（2025春•湖里区校级月考）如图，在▱ABCD中，E，F是对角线BC上两点，且∠AFC＝∠DEB．求证：AF＝DE． 【分析】根据平行四边形的性质得出AC＝BD，AC∥BD，根据平行线的性质求出∠ACF＝∠DBE，进而利用全等三角形的判定和性质解答即可． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AC＝BD，AC∥CD， ∴∠ACF＝∠DBE， 在△ACF与△DBE中， ， ∴△ACF≌△DBE（AAS）， ∴AF＝DE． 【点评】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质得出AC＝BD，AC∥BD解答． 4．（2024秋•周村区期末）如图，在▱ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分线分别交AD于点E，F，BE，CF相交于点G． （1）求证：BE⊥CF； （2）若AB＝5，CF＝6，求BE的长． 【分析】（1）根据平行四边形两组对边分别平行可得∠ABC+∠BCD＝180°，再根据角平分线的性质可得∠EBC+∠FCBABC∠DCB＝90°，进而可得BE⊥CF； （2）过A作AM∥FC，首先证明△ABE是等腰三角形，进而得到BO＝EO，再利用勾股定理计算出EO的长，进而可得答案． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠ABC+∠BCD＝180°， ∵∠ABC、∠BCD的平分线BE、CF分别与AD相交于点E、F， ∴∠EBC+∠FCBABC∠DCB＝90°， ∴EB⊥FC； （2）解：如图，过A作AM∥FC， ∵AM∥FC， ∴∠AOB＝∠FGB， ∵EB⊥FC， ∴∠FGB＝90°， ∴∠AOB＝90°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠EBC， ∵AD∥BC， ∴∠AEB＝∠CBE， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴AB＝AE＝5， ∵AO⊥BE， ∴BO＝EO， 在△AOE和△MOB中， ， ∴△AOE≌△MOB（ASA）， ∴AO＝MO， ∵AF∥CM，AM∥FC， ∴四边形AMCF是平行四边形， ∴AM＝FC＝6， ∴AO＝3， ∴EO4， ∴BE＝8． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质． 5．如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点， 且AE＝EF＝FC． （1）求证：DE∥BF； （2）若BE⊥BC，DE＝6，求对角线AC的长． 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AD＝BC，AD∥BC，AB＝CD，∠BAC＝∠DCA，利用全等三角形的判定和性质得出∠AFB＝∠CED，再由平行线的判定即可证明； （2）根据（1）中全等三角形的性质得出DE＝BF＝6，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BF＝CF＝EF＝6，即可得出结果． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC，AB＝CD， ∴∠BAC＝∠DCA， ∵AE＝FC， ∴AE+EF＝FC+EF，即AF＝EC， ∴△ABF≌△CDE（SAS）， ∴∠AFB＝∠CED， ∴DE∥BF； （2）解：由（1）得△ABF≌△CDE， ∴DE＝BF＝6， ∵BE⊥BC，CF＝EF， ∴点F为△BEC的中点， ∴BF＝CF＝EF＝6， ∵CF＝EF＝AE， ∴AC＝18． 【点评】此题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线的性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 6．在平行四边形ABCD中，点E在CD边上，点F在AB边上，连接AE、CF、DF、BE，∠DAE＝∠BCF． （1）如图1，求证：DE＝BF； （2）如图2，设AE交DF于点G，BE交CF于点H，连接GH，若E是CD边的中点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中以G为顶点并且与△EHC全等的所有三角形． 【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB∥CD，∠ADE＝∠CBF，AD＝BC，由ASA证明△ADE≌△CBF，得出DE＝BF； （2）由中点的定义得出DE＝CE，由平行四边形的判定方法即可得出平行四边形． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，∠ADE＝∠CBF，AD＝BC， 在△ADE和△CBF中， ， ∴△ADE≌△CBF（ASA）， ∴DE＝BF； （2）解：∵E是CD的中点， ∴DE＝CE， ∴以GH为边的平行四边形有平行四边形GHFA、平行四边形GHBF、平行四边形GHED、平行四边形GHCE． 【点评】本题考查了平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等得出DE＝BF是解决问题（1）的关键． 【题型六 两条平行线间的距离】 1．如图，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，交CD于F．直线MN交AB于点M，CD于点N，EF于点O．若直线AB和CD之间的距离可以是图中一条线段的长，则这条线段是（　　） A．MN B．OE C．EF D．OF 【分析】夹在两条平行线间的垂线段的长度即为两平行线的距离． 【解答】解：因为直线AB∥CD，EF⊥AB于E，交CD于F，所以直线EF也垂直于直线CD，则直线AB和CD之间的距离是线段EF的长． 故选：C． 【点评】本题主要考查垂直于同一条直线的两条直线平行，也就是说，垂直于一条直线，必定也垂直于平行于这条直线的直线． 2．如图，四边形ABCD是平行四边形，点M在边AB上，AE⊥BC，MN⊥CD，垂足分别为E、N，则平行线AB与CD之间的距离是（　　） A．AE的长 B．MN的长 C．AB的长 D．AC的长 【分析】由平行四边形的性质和平行线之间的距离可直接求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∵MN⊥CD， ∴平行线AB与CD之间的距离是MN的长， 故选：B． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，平行线之间的距离，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 3．（2024春•冷水滩区校级期末）在同一平面内，已知a∥b，b∥c，若直线a、b之间的距离为7cm，直线b、c之间的距离为3cm，则直线a、c间的距离为（　　） A．4cm或10cm B．4cm C．10cm D．不确定 【分析】分两种情况，当直线c在直线a、b之间时，当直线c在直线a、b外部时，即可解决问题． 【解答】解：当直线c在直线a、b之间时，如图（1）， 直线a、c间的距离为7﹣3＝4（cm）； 当直线c在直线a、b外部时，如图（2）， 直线a、c间的距离为7+3＝10（cm）， ∴直线a、c间的距离是4或10cm． 故选：A． 【点评】本题考查平行线的距离，解题时注意分类讨论． 4．（2024春•巴彦县期末）已知AB∥CD，点E，F分别为AB，CD上的点，连接EF，EF＝10，若∠AEF＝135°，则两直线AB与CD间的距离是（　　） A．5 B．6 C．3 D．5 【分析】作FH⊥AB于H，得到△FEH是等腰直角三角形，因此HFFE＝5． 【解答】解：如图，作FH⊥AB于H， ∵∠AEF＝135°， ∴∠FEH＝180°﹣∠AEF＝45°， ∴△FEH是等腰直角三角形， ∴HFFE， ∵EF＝10， ∴FH＝5． 故选：D． 【点评】本题考查平行线之间的距离，关键是掌握平行线之间的距离的定义；作FH⊥AB于H，得到△FEH是等腰直角三角形，即可求解． 5．（2024春•香洲区期末）四边形ABCD中，AD∥BC，AD与BC之间的距离为4，AB＝AD＝CD＝5，则边BC的长为 　． 【分析】先根据勾股定理得到BM、CN的长，根据矩形得到MN的长，再利用线段之间的关系得到BC的长． 【解答】解：过点A作AM⊥BC于点M，过点D作DN⊥BC于点N， ∵AD与BC之间的距离为4， ∴AM＝DN＝4，四边形AMND为矩形， ∴AD＝MN＝5， 在Rt△ABM中，BM3， ∵AM＝DN，AB＝CD， ∴CN＝3， 在图1中，BC＝3+5+3＝11； 在图2中，BC＝3+5﹣3＝5； 在图3中，BC＝5﹣3+3＝5． 综上所述，BC的长为11或5． 故答案为：11或5． 【点评】本题考查了两平行线间的距离，其中能考虑到分类讨论是解题关键．从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离． 【题型七 平行四边形与平面直角坐标系的综合】 1．（2024秋•长安区期末）在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3），则顶点C的坐标是（　　） A．（3，7） B．（5，3） C．（7，3） D．（8，2） 【分析】根据平行四边形的性质得出DC∥AB，DC＝AB，再根据点的坐标求出点C的坐标即可． 【解答】解：∵平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3）， ∴DC∥AB，DC＝AB＝5， ∴点C的横坐标＝5+2＝7，纵坐标＝点D的纵坐标＝3， 即点C的坐标是（7，3）， 故选：C． 【点评】本题考查了平行四边形的性质和坐标与图形性质，能熟记平行四边形的对边平行且相等是解此题的关键． 2．如图，已知▱ABCD三个顶点坐标是A（﹣1，0）、B（﹣1，﹣3）、C（2，﹣1），那么第四个顶点D的坐标是（　　） A．（2，1） B．（2，2） C．（3，1） D．（3，2） 【分析】由平行四边形的性质可得出答案． 【解答】解：∵A（﹣1，0）、B（﹣1，﹣3）， ∴AB＝3，AB∥y轴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝3， ∵C（2，﹣1）， ∴D（2，2）， 故选：B． 【点评】本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质，点的坐标与图形性质等知识点，熟练掌握平行四边形的性质是解此题的关键． 3．（2025•浑南区模拟）如图，▱ABCD中，顶点A落在y轴上，顶点B，C落在x轴上，其中点C的坐标是（3，0），AB边的中点E的坐标是，则点D的坐标是（　　） A． B．（5，3） C．（4，3） D． 【分析】根据点E的坐标，可以得到点A和点B的坐标，然后根据平行四边形的性质，可以得到点D的坐标． 【解答】解：∵AB边的中点E的坐标是， ∴点B的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（0，3）， ∵点C的坐标是（3，0）， ∴BC＝3﹣（﹣2）＝5， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC＝5， ∴点D的坐标为（5，3）， 故选：B． 【点评】本题考查平行四边形的性质、坐标与图形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 4．（2024秋•福山区期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD三个顶点坐标分别为A（﹣1，﹣2），D（1，1），C（5，2），则顶点B的坐标为 　 ． 【分析】设B点的坐标为（x，y），根据平行四边形的对角线互相平分，利用中点坐标公式即可求解． 【解答】解：设B点的坐标为（x，y）， ∵平行四边形ABCD三个顶点坐标分别为A（﹣1，﹣2），D（1，1），C（5，2）， ∴， 解得x＝3，y＝﹣1， ∴B（3，﹣1）． 故答案为：（3，﹣1）． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，掌握平行四边形的性质是本题的关键． 5．（2024秋•莱西市期末）如图，平面直角坐标系中，点A，C两点的坐标分别为（1，3），（5，2），若四边形是平行四边形，则B点的坐标为 　 ． 【分析】连接OB、AC交于点F，设F（m，n），B（a，b），则AF＝CF，OF＝BF，所以m（1+5）＝3，n（3+2），则F（3，），所以3a，b，则B（6，5），于是得到问题的答案． 【解答】解：连接OB、AC交于点F，设F（m，n），B（a，b）， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AF＝CF，OF＝BF， ∵点A，C两点的坐标分别为（1，3），（5，2）， ∴m（1+5）＝3，n（3+2）， ∴F（3，）， ∴3a，b， ∴a＝6，b＝5， ∴B（6，5）， 故答案为：（6，5）． 【点评】此题重点考查图形与坐标、平行四边形的性质、线段的中点坐标的求法等知识，正确地求出线段OB的中点坐标是解题的关键． 【题型八 平行四边形的折叠问题】 1．如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B'处，若∠1＝∠2＝36°，∠B为（　　） A．36° B．144° C．108° D．126° 【分析】根据翻折可得∠B′AC＝∠BAC，根据平行四边形可得DC∥AB，所以∠BAC＝∠DCA，从而可得∠1＝2∠BAC，进而求解． 【解答】解：根据翻折可知：∠B′AC＝∠BAC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB， ∴∠BAC＝∠DCA， ∴∠BAC＝∠DCA＝∠B′AC， ∵∠1＝∠B′AC+∠DCA， ∴∠1＝2∠BAC＝36°， ∴∠BAC＝18°， ∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠2＝180°﹣18°﹣36°＝126°， 故选：D． 【点评】本题考查了翻折变换、平行四边形的性质，解决本题的关键是利用翻折的性质． 2．如图，平行四边形ABCD中，∠A＝50°，AD⊥BD，沿直线DE将△ADE翻折，使点A落在点A′处，A′E交BD于F，则∠DEF＝（　　） A．35° B．45° C．55° D．65° 【分析】由平行四边形的性质可得出CD∥AB，进而得出∠A′DE＝∠AED，再根据翻折的性质以及三角形内角和即可求出∠DEF＝∠AED＝65°，此题得解． 【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴CD∥AB， ∴∠A′DE＝∠AED． 由翻折可知：∠ADE＝∠A′DE，∠DEF＝∠AED． ∴∠ADE＝∠AED． ∵∠A＝50°， ∴∠AED（180°﹣∠A）＝65°， ∴∠DEF＝65°． 故选：D． 【点评】本题考查了平行四边形的性质以及翻折变换，根据翻折变换以及平行四边形的性质找出∠DEF＝∠AED＝∠ADE是解题的关键． 3．如图，在平行四边形ABCD中，E为边CD上的一个点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F，若∠B＝50°，∠DAE＝20°，则∠FED′＝（　　）度． A．40 B．35 C．30 D．50 【分析】由平行四边形的性质得∠B＝∠D＝50°，再由三角形的外角性质得∠AEC＝∠D+∠DAE＝70°，则∠AED＝110°，然后由折叠的性质得∠AED＝∠AED′＝110°，即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B＝∠D＝50°， ∵∠DAE＝20°， ∴∠AEC＝∠D+∠DAE＝50°+20°＝70°， ∴∠AED＝180°﹣70°＝110°， ∵将△ADE沿AE折叠至△AD′E处， ∴∠AED＝∠AED′＝110°， ∴∠FED′＝∠AED′﹣∠AEC＝110°﹣70°＝40°， 故选：A． 【点评】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质以及三角形的外角性质等知识；熟练掌握翻折变换得性质和平行四边形的性质，求出∠AEC的度数是解题的关键． 4．将一张平行四边形纸片ABCD折叠成如图所示的图形，DE为折痕，点C的对应点为C′．若∠1＝20°，∠2＝60°，则∠C的度数为（　　） A．60° B．50° C．40° D．45° 【分析】设∠ADE＝α，可得∠EDC'＝α+20°，根据将一张平行四边形纸片ABCD折叠成如图所示的图形，DE为折痕，有∠C'＝∠C，∠EDC'＝∠EDC＝α+20°，故∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝2α+20°，即可得∠C＝180°﹣∠ADC＝160°﹣2α＝∠C'，再用三角形内角和定理列方程可解得α，从而可得答案． 【解答】解：设∠ADE＝α， ∵∠1＝20°， ∴∠EDC'＝α+20°， ∵将一张平行四边形纸片ABCD折叠成如图所示的图形，DE为折痕， ∴∠C'＝∠C，∠EDC'＝∠EDC＝α+20°， ∴∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝α+（α+20°）＝2α+20°， ∵AD∥BC， ∴∠C＝180°﹣∠ADC＝180°﹣（2α+20°）＝160°﹣2α， ∴∠C'＝160°﹣2α， ∵∠2＝60°，∠C'+∠2+∠EDC'＝180°， ∴160°﹣2α+60°+α+20°＝180°， 解得α＝60°， ∴∠C＝160°﹣2α＝40°， 故选：C． 【点评】本题考查平行四边形中的翻折问题，解题的关键是掌握平行四边形的性质和翻折的性质． 5．如图，▱ABCD中，点E在边BC上，以AE为折痕，将△ABE向上翻折，点B正好落在CD上的点F处，若△FCE的周长为7，△FDA的周长为21，则FD的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】根据翻折变换的性质、平行四边形的性质证明AD+DC＝14，此为解题的关键性结论；运用△FDA的周长为21，求出FD的长，即可解决问题． 【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD＝BC，AB＝DC； 由题意得：BE＝FE，AB＝AF； ∵△FCE的周长为7，△FDA的周长为21， ∴CE+CF+EF＝7，DF+AD+AF＝21， ∴（CE+EF）+（DF+CF）+AD+AF＝28， 即2（AD+DC）＝28， ∴AD+DC＝14，即AD+AF＝14， ∴FD＝21﹣14＝7， 故选：C． 【点评】该题主要考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质等几何知识点及其应用问题，解题的方法是准确找出图形中隐含的等量关系；解题的关键是灵活运用翻折变换的性质、平行四边形的性质等几何知识点来分析、判断、解答． 6．如图所示，平行四边形ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD上的F处，若△FDE的周长为8，△FCB的周长为22，则FC的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】根据折叠的性质可得EF＝AE、BF＝BA，从而▱ABCD的周长可转化为：△FDE的周长+△FCB的周长，求出AB+BC，再由△FCB的周长为22，求出FC的长，即可解决问题． 【解答】解：由折叠的性质可得EF＝AE、BF＝AB， ∴▱ABCD的周长＝DF+FC+CB+BA+AE+DE＝△FDE的周长+△FCB的周长＝8+22＝30， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB+BC＝15， ∵△FCB的周长＝CF+BC+BF＝CF+BC+AB＝22， 即FC+15＝22， ∴FC＝7， 故选：C． 【点评】本题主要考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质等几何知识点；根据折叠的性质将平行四边形的周长与△FCB的周长进行转化是解决问题的关键． 1．（2024秋•南川区期中）如图，将▱ABCD的一边BC延长至点E，若∠1＝65°，则∠A＝（　　） A．120° B．105° C．125° D．115° 【分析】由∠1＝65°，求得∠BCD＝115°，由平行四边形的性质得∠A＝∠BCD＝115°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵∠1＝65°， ∴∠BCD＝180°﹣∠1＝180°﹣65°＝115°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠BCD＝115°， 故选：D． 【点评】此题重点考查平行四边形的性质，由∠1＝65°，求得∠BCD＝115°是解题的关键． 2．（2024春•酒泉期末）如图，平行四边形ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是（0，1），（﹣2，﹣2），（2，﹣2），则顶点D的坐标是（　　） A．（﹣4，﹣1） B．（4，﹣2） C．（4，1） D．（2，1） 【分析】由B，C的坐标求解线段BC的长度，再利用平行四边形的性质可得答案． 【解答】解：∵平行四边形ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是（0，1），（﹣2，﹣2），（2，﹣2）， ∴AD＝BC＝2﹣（﹣2）＝4， ∵BC∥x轴，AD∥BC， ∴AD∥x轴， ∴D（4，1）， 故选：C． 【点评】本题主要考查的是坐标与图形，平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解本题的关键． 3．如图，在平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD，交AB于点E，AE＝3，EB＝5，ED＝4．则CE的长是（　　） A．2 B．6 C．5 D．4 【分析】由平行四边形的性质和角平分线的性质可证BE＝BC＝5，由勾股定理的逆定理可求∠AED＝90°，由勾股定理可求CE的长． 【解答】解：∵AE＝3，EB＝5， ∴AB＝8， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD＝BC，AB＝CD＝8， ∴∠DCE＝∠BCE，∠AED＝∠EDC， ∵CE平分∠BCD， ∴∠DCE＝∠BCE， ∴∠BCE＝∠BEC， ∴BE＝BC＝5， ∴AD＝5， ∵AD2＝25＝16+9＝DE2+AE2， ∴∠AED＝90°， ∴∠AED＝∠EDC＝90°， ∴CE4， 故选：D． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，勾股定理及勾股定理的逆定理，证明∠AED＝90°是解题的关键． 4．如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝70°，将平行四边形折叠，使点D、C分别落在点F、E处（点F、E都在AB所在的直线上），折痕为MN，则∠AMF等于（　　） A．70° B．40° C．30° D．20° 【分析】由平行四边形与折叠的性质，易得CD∥MN∥AB，然后根据平行线的性质，即可求得∠DMN＝∠FMN＝∠A＝70°，又由平角的定义，即可求得∠AMF的度数． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， 根据折叠的性质可得：MN∥AE，∠FMN＝∠DMN， ∴AB∥CD∥MN， ∵∠A＝70°， ∴∠FMN＝∠DMN＝∠A＝70°， ∴∠AMF＝180°﹣∠DMN﹣∠FMN＝180°﹣70°﹣70°＝40°． 故选：B． 【点评】此题考查了平行四边形的性质、平行线的性质与折叠的性质．此题难度不大，注意数形结合思想的应用，注意折叠中的对应关系． 5．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，AD＝7，AE平分∠BAD交BC于点E，作DG⊥AE于点G并延长交BC于点F，则线段EF的长为（　　） A．2 B． C．3 D． 【分析】据平行四边形的性质证明∠DAE＝∠BEA，∠ADF＝∠CFD，进而证明∠BAE＝∠BEA得到BE＝BA＝5，∠CDF＝∠CFD得到CF＝CD＝5，由此即可得到答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD，CD＝AB＝6，BC＝AD＝7， ∴∠BAD+∠ADC＝180°，∠DAE＝∠BEA，∠ADF＝∠CFD， ∵AG⊥DG， ∴∠AGD＝90°， ∴∠DAE+∠ADF＝90°， ∴∠BAE+∠CDF＝∠BAD+∠ADC﹣∠DAE﹣∠ADF＝90°， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE， ∴∠BAE＝∠BEA， ∵∠BEA+∠CFD＝90°， ∴BE＝BA＝5，∠CDF＝∠CFD， ∴CE＝BC﹣BE＝2，CF＝CD＝5， ∴EF＝CF﹣CE＝3， 故选：C． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，证明BE＝BA＝5，CF＝CD＝5是解题的关键． 6．如图，将平行四边形ABCD折叠，使点D与点B重合，折痕为EF．若平行四边形ABCD周长为20，则△ABE周长为（　　） A．1 B．5 C．10 D．20 【分析】由平行四边形ABCD是周长为20，推出AB+AD＝10，利用翻折变换的性质，推出△ABE的周长等于AB+AD，即可解决问题． 【解答】解：∵平行四边形ABCD是周长为20， ∴AB+AD＝10， 由翻折可知：EB＝DE， ∴△ABE的周长＝AB+AE+EB＝AB+AE+ED＝AB+AD＝10， 故选：C． 【点评】本题考查翻折变换，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握翻折的性质，得出△ABE的周长等于AB+AD，属于中考常考题型． 7．（2024秋•厦门期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，AC＝AD，AE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E，F．证明AE＝DF． 【分析】根据平行四边形的性质得出AD∥BC，进而利用AAS证明△ADF与△ACE全等，利用全等三角形的性质解答即可． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAF＝∠ACE， ∵AE⊥BC，DF⊥AC， ∴∠AEC＝∠AFD＝90°， 在△ADF与△ACE中， ， ∴△ADF≌△ACE（AAS）， ∴AE＝DF． 【点评】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的对边平行解答． 8．（2024•泉山区校级三模）已知，如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AB、CD的延长线上，BE＝DF，连接EF，分别交BC、AD于G、H．求证：EG＝FH． 【分析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，∠ABC＝∠CDA， ∴∠EBG＝∠FDH，∠E＝∠F， 在△BEG与△DFH中， ， ∴△BEG≌△DFH（ASA）， ∴EG＝FH． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 9．（2024秋•紫金县期末）如图，在▱ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，BD是对角线． （1）求证：△ADE≌△CBF； （2）若∠ADB＝90°，BD＝DE＝2，求四边形BEDF的面积． 【分析】（1）根据“SAS”及平行四边形的性质证明； （2）根据勾股定理及平行四边形的判定和性质求解． 【解答】（1）证明：在▱ABCD中，有AD＝BC，AB＝CD，∠A＝∠C， ∵E，F分别为边AB，CD的中点， ∴AEAB，CFCD， ∴AE＝CF， 在△ADE和△CBF中， ， ∴△ADE≌△CBF（SAS）； （2）解：∵∠ADB＝90°，E为边AB的中点， ∴DEAB＝2， ∴AB＝4， ∴AD2， ∴S△ABDAD•DB＝2， ∴S△BDE， 在▱ABCD中，有AB＝CD，AB∥CD， ∵E，F分别为边AB，CD的中点， ∴AEAB，CFCD， ∴AE＝CF， ∴四边形BEDF为平行四边形， ∴S▱BEDF＝2S△BDE＝2． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质及全等三角形的判定和性质是解题的关键． 10．如图，将▱ABCD的边BC延长到点E，使BE＝CD，连接AE交CD于点F． （1）求证：AE平分∠BAD； （2）已知BC＝CE＝3，EF＝4，FG⊥AB，求FG的长． 【分析】（1）利用平行四边形的性质得AB＝CD，AD∥BE，再证明∠BAE＝∠E得到AB＝BE，然后利用等边对等角等知识证得结论即可； （2）根据平行四边形的性质得到AD＝BC，AD∥BE，求得∠D＝∠DCE，∠DAF＝∠FEC，根据全等三角形的性质得到AF＝EF＝4，根据勾股定理得到BF2，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB＝CD，AD∥BE， ∴∠DAE＝∠E， ∵AE平分∠BAD， ∴∠DAE＝∠BAE， ∴∠BAE＝∠E， ∴AB＝BE， ∴∠BAE＝∠E， ∴∠BAE＝∠DAE， ∴AE平分∠BAD； （2）解：由BE＝CD，AB＝CD， ∴△ABE为等腰三角形， ∴AB＝BE＝6， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BE， ∴∠D＝∠DCE，∠DAF＝∠FEC， ∵BC＝CE＝3， ∴AD＝CE， ∴△ADF≌△ECF（ASA）， ∴AF＝EF＝4， ∴BF⊥AE， ∵AB＝BE＝6， ∴BF2， ∵S△ABFAB•FGAF•BF， ∴FG． 故FG的长为． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点12 平行四边形的性质 八大重难点题型 ▲知识点一：平行四边形的定义： ★1、定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． ★2、表示方法：平行四边形用符号“□”表示，平行四边形ABCD记作：“□ABCD”， 读作:“平行四边形ABCD”. 【注意】表示平行四边形时，要按照顺时针或者逆时针方向依次书写各顶点字母，不能打乱顺序． ★3、几何语言：(双重含义) ∵ AB∥CD，AD∥BC，∴ 四边形ABCD是平行四边形（判定） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，AD∥BC（性质） ▲知识点二：平行四边形的性质： ★1、边：①平行四边形的对边平行；②平行四边形的对边相等． 几何语言： ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC， AB = CD，AD = BC， ★2、角：①平行四边形的对角相等．②平行四边形的对角互补. 几何语言：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠A =∠C，∠B = ∠D ★3、对角线：平行四边形的对角线互相平分． 几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AO=OC，BO=OD ▲知识点三：两条平行间的距离： ★1、定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离. ★2、两条平行线之间的任何两条平行线段都相等. ★3、如果有两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等. 如图（1），a∥b，c∥d，c，d与a，b分别相交于A，B，C，D四点.由平行四边形的概念和性质可知，四边形ABDC是平行四边形，即AB=CD；如图（2）线段AB（或CD）的长即为两条平行线之间的距离. ★4、三种距离之间的区别与联系 距离 两点之间的距离 点到直线的距离 两条平行线之间的距离 区别 连接两点的线段的长度. 点到直线的垂线段的长度. 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平 行线之间的距离. 联系 都是指线段的长度. ★5、“两条平行线间的距离处处相等”，在作平行四边形的高时，可根据需要灵活选择位置.(常常用来解决三角形同底等高问题.) 【题型一 利用平行四边形的性质求角度 】 1．（2024春•丹徒区期末）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD且交BC于点E，∠D＝58°，则∠AEC的度数是（　　） A．61° B．109° C．112° D．119° 2．（2025•长治一模）如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，∠BAD＝135°，∠ACD＝80°，∠CBD＝20°，则∠COD的度数为（　　） A．75° B．53° C．85° D．90° 3．（2025•阜平县校级一模）如图，在▱ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E．若∠2＝130°，则∠1的度数为（　　） A．30° B．40° C．45° D．50° 4．如图，在▱ABCD中，O为对角线AC与BD的交点，AC⊥AB，E为AD的中点，并且OF⊥BC，∠D＝53°，则∠FOE的度数是（　　） A．143° B．127° C．53° D．37° 5．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AE．若AE平分∠DAB． （1）求证：△ABC≌△EAD； （2）若∠EAC＝25°，求：∠AED的度数． 【题型二 利用平行四边形的性质求线段长 】 1．（2025•山东一模）如图，▱ABCD中，∠DAB的平分线交DC于点E，交BC的延长线于点F，若AD＝3，AB＝5，则CF的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2024秋•龙口市期末）如图，在▱ABCD中，AB＝3，AD＝10，AE，DF分别平分∠DAB，∠ADC，那么EF的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．以上都不对 3．（2024秋•晋江市期末）如图，在▱ABCD中，AD：AB＝3：4，AE平分∠DAB交CD于点E，交BD于点F，则的值是（　　） A．3：4 B．9：16 C．4：3 D．16：9 4．（2024•凉州区三模）如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD，∠ABC的平分线AE，BF分别交CD边于点E，F．若AD＝3，EF＝1，则AB的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 5．（2024秋•开远市校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝3cm，AB垂直于BD，点O是两条对角线的交点，OD＝2cm，则AD＝　 　cm． 6．如图，平行四边形ABCD中，BD⊥AD，∠A＝45°，E、F分别是AB、CD上的点，且BE＝DF，连接EF交BD于O． （1）求证：BO＝DO； （2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG＝1时，求AE的长． 【题型三 利用平行四边形的性质求周长 】 1．（2024春•萝北县期末）如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若平行四边形ABCD的周长为36，OE＝3，则四边形ABFE的周长为（　　） A．24 B．26 C．28 D．30 2．（2024春•宽城区校级期中）如图，在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，EO⊥BD，交AD于点E，连接BE，△ABE的周长为5，则▱ABCD的周长为（　　） A．5 B．10 C．12 D．15 3．在平行四边形ABCD中，∠A的角平分线把边BC分成长度为4和5的两条线段，则平行四边形ABCD的周长为（　　） A．13或14 B．26或28 C．13 D．无法确定 4．（2024春•郯城县期中）如图，▱ABCD的对角线AC与BD交于点O，若AB＝8，AC＝12，BD＝20． （1）求∠BAO的度数； （2）求▱ABCD的周长． 5．（2024秋•招远市期末）如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，交BE于点G． （1）求证：AF＝DE． （2）若AD＝16，EF＝12，请求出▱ABCD的周长． 【题型四 利用平行四边形的性质求面积 】 1．（2025•大渡口区模拟）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若AE＝4，AF＝6，且▱ABCD的周长为40，则▱ABCD的面积为（　　） A．24 B．36 C．40 D．48 2．（2024春•江津区期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，P是CD上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA．如果AD＝5cm，AP＝8cm，则△ABP的面积等于（　　）cm2． A．24 B．30 C．6 D．12 3．（2024秋•崂山区期末）如图，在▱ABCD中，BC的垂直平分线EO交AD于点E，垂足为点O，连接BE，CE，过点C作CF∥BE，交EO的延长线于点F，连接BF．若AD＝8，CE＝6，则四边形BFCE的面积为 　 　． 4．（2024春•义乌市期中）如图，P为平行四边形ABCD内一点，过点P分别作AB，AD的平行线，交平行四边形ABCD的四边于E、F、G、H四点，若平行四边形BHPE面积为6，平行四边形GPFD面积为4，则△APC的面积为 　 　． A． B． C．1 D．2 5．（2024秋•招远市期末）如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，交BE于点G． （1）求证：AF＝DE． （2）若AD＝16，EF＝12，请求出▱ABCD的周长． 【题型五 利用平行四边形的性质进行证明 】 1．（2025•雁塔区校级二模）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且AE＝CF，EF，BD相交于点O，求证：OE＝OF． 2．（2025•南安市模拟）在平行四边形ABCD中，E为BC上一点，点F为AE的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点G，求证：BG＝CE． 3．（2025春•湖里区校级月考）如图，在▱ABCD中，E，F是对角线BC上两点，且∠AFC＝∠DEB．求证：AF＝DE． 4．（2024秋•周村区期末）如图，在▱ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分线分别交AD于点E，F，BE，CF相交于点G． （1）求证：BE⊥CF； （2）若AB＝5，CF＝6，求BE的长． 5．如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点， 且AE＝EF＝FC． （1）求证：DE∥BF； （2）若BE⊥BC，DE＝6，求对角线AC的长． 6．在平行四边形ABCD中，点E在CD边上，点F在AB边上，连接AE、CF、DF、BE，∠DAE＝∠BCF． （1）如图1，求证：DE＝BF； （2）如图2，设AE交DF于点G，BE交CF于点H，连接GH，若E是CD边的中点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中以G为顶点并且与△EHC全等的所有三角形． 【题型六 两条平行线间的距离】 1．如图，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，交CD于F．直线MN交AB于点M，CD于点N，EF于点O．若直线AB和CD之间的距离可以是图中一条线段的长，则这条线段是（　　） A．MN B．OE C．EF D．OF 2．如图，四边形ABCD是平行四边形，点M在边AB上，AE⊥BC，MN⊥CD，垂足分别为E、N，则平行线AB与CD之间的距离是（　　） A．AE的长 B．MN的长 C．AB的长 D．AC的长 3．（2024春•冷水滩区校级期末）在同一平面内，已知a∥b，b∥c，若直线a、b之间的距离为7cm，直线b、c之间的距离为3cm，则直线a、c间的距离为（　　） A．4cm或10cm B．4cm C．10cm D．不确定 4．（2024春•巴彦县期末）已知AB∥CD，点E，F分别为AB，CD上的点，连接EF，EF＝10，若∠AEF＝135°，则两直线AB与CD间的距离是（　　） A．5 B．6 C．3 D．5 5．（2024春•香洲区期末）四边形ABCD中，AD∥BC，AD与BC之间的距离为4，AB＝AD＝CD＝5，则边BC的长为 　． 【题型七 平行四边形与平面直角坐标系的综合】 1．（2024秋•长安区期末）在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3），则顶点C的坐标是（　　） A．（3，7） B．（5，3） C．（7，3） D．（8，2） 2．如图，已知▱ABCD三个顶点坐标是A（﹣1，0）、B（﹣1，﹣3）、C（2，﹣1），那么第四个顶点D的坐标是（　　） A．（2，1） B．（2，2） C．（3，1） D．（3，2） 3．（2025•浑南区模拟）如图，▱ABCD中，顶点A落在y轴上，顶点B，C落在x轴上，其中点C的坐标是（3，0），AB边的中点E的坐标是，则点D的坐标是（　　） A． B．（5，3） C．（4，3） D． 4．（2024秋•福山区期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD三个顶点坐标分别为A（﹣1，﹣2），D（1，1），C（5，2），则顶点B的坐标为 　 ． 5．（2024秋•莱西市期末）如图，平面直角坐标系中，点A，C两点的坐标分别为（1，3），（5，2），若四边形是平行四边形，则B点的坐标为 　 ． 【题型八 平行四边形的折叠问题】 1．如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B'处，若∠1＝∠2＝36°，∠B为（　　） A．36° B．144° C．108° D．126° 2．如图，平行四边形ABCD中，∠A＝50°，AD⊥BD，沿直线DE将△ADE翻折，使点A落在点A′处，A′E交BD于F，则∠DEF＝（　　） A．35° B．45° C．55° D．65° 3．如图，在平行四边形ABCD中，E为边CD上的一个点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F，若∠B＝50°，∠DAE＝20°，则∠FED′＝（　　）度． A．40 B．35 C．30 D．50 4．将一张平行四边形纸片ABCD折叠成如图所示的图形，DE为折痕，点C的对应点为C′．若∠1＝20°，∠2＝60°，则∠C的度数为（　　） A．60° B．50° C．40° D．45° 5．如图，▱ABCD中，点E在边BC上，以AE为折痕，将△ABE向上翻折，点B正好落在CD上的点F处，若△FCE的周长为7，△FDA的周长为21，则FD的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 6．如图所示，平行四边形ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD上的F处，若△FDE的周长为8，△FCB的周长为22，则FC的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 1．（2024秋•南川区期中）如图，将▱ABCD的一边BC延长至点E，若∠1＝65°，则∠A＝（　　） A．120° B．105° C．125° D．115° 2．（2024春•酒泉期末）如图，平行四边形ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是（0，1），（﹣2，﹣2），（2，﹣2），则顶点D的坐标是（　　） A．（﹣4，﹣1） B．（4，﹣2） C．（4，1） D．（2，1） 3．如图，在平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD，交AB于点E，AE＝3，EB＝5，ED＝4．则CE的长是（　　） A．2 B．6 C．5 D．4 4．如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝70°，将平行四边形折叠，使点D、C分别落在点F、E处（点F、E都在AB所在的直线上），折痕为MN，则∠AMF等于（　　） A．70° B．40° C．30° D．20° 5．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，AD＝7，AE平分∠BAD交BC于点E，作DG⊥AE于点G并延长交BC于点F，则线段EF的长为（　　） A．2 B． C．3 D． 6．如图，将平行四边形ABCD折叠，使点D与点B重合，折痕为EF．若平行四边形ABCD周长为20，则△ABE周长为（　　） A．1 B．5 C．10 D．20 7．（2024秋•厦门期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，AC＝AD，AE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E，F．证明AE＝DF． 8．（2024•泉山区校级三模）已知，如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AB、CD的延长线上，BE＝DF，连接EF，分别交BC、AD于G、H．求证：EG＝FH． 9．（2024秋•紫金县期末）如图，在▱ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，BD是对角线． （1）求证：△ADE≌△CBF； （2）若∠ADB＝90°，BD＝DE＝2，求四边形BEDF的面积． 10．如图，将▱ABCD的边BC延长到点E，使BE＝CD，连接AE交CD于点F． （1）求证：AE平分∠BAD； （2）已知BC＝CE＝3，EF＝4，FG⊥AB，求FG的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$