专题02 一次函数与几何图形-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（人教版）

专题2 一次函数与几何图形 类型一：一次函数与图形的平移 类型二：一次函数与图形的对称 类型三：一次函数与图形的旋转 类型四：一次函数与三角形 类型五：一次函数与四边形 类型一：一次函数与图形的平移 1．如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB＝90°，BC＝5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y＝2x﹣6上时，线段BC扫过的面积为 　 　． 第1题 第2题 2．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（0，2），AC⊥x轴，点A在第二象限．直线yx+5与x轴、y轴分别交于点N、M．将菱形ABCD沿x轴向右平移m个单位，当点D落在△MON的内部时（不包括三角形的边），则m的值可能是（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 3．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝0.5x+1与x轴、y轴分别交于A、B两点，过点A在第二象限内作AC⊥AB，且AC＝AB． （1）如图1，①求线段AB的长度； ②设直线BC的解析式为y＝kx+b，直接写出关于x的不等式kx+b＞0.5x+1的解集； （2）如图2，将△ABC向右平移得到△A′B′C′，点A的对应点A′始终在x轴上，当点C的对应点C′落在直线y＝0.5x+1上，求C′的坐标． 4．如图，线段MN两个端点的坐标分别为M（1，3），N（1，1），一次函数y＝kx+b的图象经过点（4，0）和（0，﹣3）． （1）求一次函数y＝kx+b的解析式； （2）将直线y＝kx+b向上平移a个单位长度，使平移后的直线经过线段MN的中点，求a的值； （3）若直线y＝mx+n经过点（﹣1，0），且与线段MN有交点，求m的取值范围． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线（k为常数，且k＞0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，已知AB＝10． （1）求A，B两点的坐标． （2）若将直线AB向左平移3个单位长度，求平移后的直线所对应的函数表达式． （3）若P为y轴上一点，将直线AB沿AP翻折，使得点B刚好落在坐标轴上，直接写出点P的坐标． 6．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+3的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点直线l2：y＝mx+1的图象分别与x轴、y轴交于C、D两点，且C点坐标为 ；M（1，2）和N（3，2）是第一象限中的两个点，连接MN． （1）求直线l2的函数解析式； （2）求l1、l2与y轴所围成的三角形的面积； （3）将线段MN向左平移n个单位，若与直线l1、l2同时有公共点，直接写出n的取值范围． 7．如图，直角三角板AOB如图所示在平面直角坐标系内，∠B＝30°，O为坐标原点，作AH⊥x轴，AO＝10，若∠AOH＝30°． （1）点A的坐标为 　 　；OB＝　 ； （2）求边AB所在直线的表达式； （3）直线y＝mx+n自与直线AB重合的位置向下平移，当其平分三角形AOB面积时，直接写出直线y＝mx+n的表达式． 类型二：一次函数与图形的对称 8．如图，直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，M，N分别是y轴和直线AB上的点，AN＝MN，C是点A关于直线MN的对称点，连结CN，CM，若点C落在直线AB上，则点M的纵坐标是（　　） A．﹣2 B．﹣6 C．﹣6或﹣2 D．﹣6或 9．已知一次函数y＝mx﹣3的图象与一次函数y＝2x+n的图象关于y轴对称，则m+n的值是（　　） A．5 B．﹣1 C．1 D．﹣5 10．已知y+6与x+1成正比例，当x＝3时，y＝2． （1）求y与x的函数表达式； （2）若点M（1，m）关于y轴的对称点M′恰好落在该函数的图象上，求m的值． 11．在平面直角坐标系xO中，已知△ABC顶点坐标分别为点A（1，0）、B（5，0），C（3，4），l1是过点M（2，0）与x轴垂直的直线．若直线上存在点Q，使点Q关于直线l1的对称点在△ABC的内部或边上，则b的取值范围是 　 　． 12．【问题导入】如图①，在直线l上找一点P，如何使得PA+PB最小？ 小华同学的思路：作点A关于直线l的对称点A′，连接BA′，与直线l交于点P．由对称可得PA′＝PA，所以PA+PB＝PA′+PB≥A′B，当A′、P、B三点共线的时候，PA′+PB＝A′B，此时PA+PB最小． 如图②，在直线l上找一点P，如何使得|PA﹣PB|最大？ 小明同学的思路：作点A关于直线l的对称点A′，连接BA′并延长交直线l交于点P．由对称可得PA′＝PA，所以|PA﹣PB|＝|PA′﹣PB|≤A′B，当A′、P、B三点共线的时候，|PA﹣PB|＝A′B，此时|PA﹣PB|最大． 可见，解此类问题的关键是将问题转化为“两点之间线段最短”来解决． 【理解运用】（1）如图③，直线上有点A（4，a）、B（﹣2，1），点P在x轴上运动，点Q在直线AB下方的y轴上运动． ①求a、b的值； ②当PA+PB最小时，求点P的坐标； ③令t＝QA﹣QB﹣PA﹣PB，当t的值最大时，求点Q的坐标及t的最大值． 【深度探究】（2）在（1）的条件下，且满足t＝QA﹣QB﹣PA﹣PB，当t的值最大时，若点M、N分别是线段OP、OQ上的动点，且PM＝ON，连接PN、MQ，当PN+MQ最小时，求点M的坐标． 13．如图1，直线y＝kx+1（k＞0）分别与x轴，y轴相交于A，B两点，直线分别与x轴，y轴相交于C，D两点，两条直线相交于点E． （1）点C的坐标为 　 　，点A的坐标为 　 　（点A用含k的代数式表示）； （2）若点A关于y轴的对称点A′恰好落在△BDE的内部，求k的取值范围； （3）如图2，若点D为CE的中点，点Q为直线AB上一点，连接DQ，记点E关于直线DQ的对称点为E′．请问：是否存在点Q，使得点E′恰好落在直线CD上方的坐标轴上？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 类型三：一次函数与图形的旋转 14．如图，△ABC中，AB＝AC＝4，∠B＝45°，△ABC绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△AB'C'，B'C'与BC，AC分别交于点D，E．设CD+DE＝x，△AEC′的面积为y，则y与x的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝3x﹣3的图象分别交x，y轴于点A，B，将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式为 　 　． 16．定义：对于平面直角坐标系xOy中的不在同一条直线上的三点P，M，N，若满足点M绕点P逆时针旋转90°后恰好与点N重合，则称点N为点M关于点P的“逆旋点”．请根据以上定义，完成下列填空： （1）若点M在直线y＝3x+3上，点P与原点O重合，且点M关于点P的“逆旋点”N刚好在坐标轴上，则点N的坐标为　 　； （2）如图，已知点A的坐标为，点C是y轴上的动点，点B是点A关于点C的“逆旋点”，连接OB，AB，则OB+AB的最小值是　 　． 17．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB：与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C与点B关于x轴对称，E为线段OA上一点，直线CE与AB交于D点，且． （1）求直线CE的解析式； （2）P为直线AB上一动点，当S△PCD＝S四边形BDEO，求点P坐标； （3）如图2，将△OCE绕E点逆时针旋转α（0＜α＜180°），得到△O′C′E，直线O′C′与射线AB，AO分别交于M，N，则当△AMN是以MN为腰的等腰三角形时，请直接写出AM的长度． 类型四：一次函数与三角形 18．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D为BC中点，连结AD，若∠BAD＝y，∠B＝2x，则y与x之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 19．如图，已知一次函数yx+2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称． （1）求△AOB的面积； （2）若点P在一次函数yx+2的图象上，且在第一象限，S四边形OBPC，求点P的坐标． 20．一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以AB为边在第二象限内作等边△ABC． （1）求直线AC的函数解析式； （2）在直线AC上有一点，求△ABP的面积． （3）在x轴上是否存在点M，使△MAB为等腰三角形？若存在，请写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 21．在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，直线BC交x轴于点C（1，0）． （1）先判断△ABC的形状，再说明理由； （2）线段AC上取一点D，使得△BCD是以BC为腰的等腰三角形，求点D的坐标； （3）若在x轴上有一点M，在直线BC上有一点N，满足△MNC≌△AOB，求点M的坐标． 22．如图，已知直线l1：y＝﹣3x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠ABC＝90°，直线l2经过A，C两点． （1）则A点的坐标为 　 　，B点的坐标为 　 　； （2）求直线l2的函数表达式； （3）点P是线段AC上的一点（不与A、C重合），试探究△BPC能否成为以BP为直角边的等腰直角三角形？若能，请直接写出点P的坐标，若不能，请说明理由． 23．如图，一次函数与x轴，y轴分别相交于点A和点B． （1）求点A和点B的坐标； （2）在y轴上有一动点P，若△ABP的面积为3，请求出点P的坐标； （3）在x轴上是否存在点Q，使得△ABQ是以AB为一腰的等腰三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 类型五：一次函数与四边形 24．如图，直线PA是一次函数y＝x+1的图象，直线PB是一次函数y＝﹣2x+2的图象． （1）求A、B、P三点的坐标； （2）求四边形PQOB的面积． 25．如图，四边形OABC是平行四边形，其中点A的坐标是（10，0），点O的坐标是（0，0），点C的坐标是（4，6）． （1）请求出点B的坐标； （2）已知点D是线段CB上一个动点，若三角形OAD是等腰三角形，请求出所有符合要求的点D的坐标； （3）已知直线：y＝kx+b恰好将▱OABC分成面积相等的两部分，请求出k与b之间满足的关系式． 26．直线AB：y＝x+b分别与x，y轴交于A，B两点，点A的坐标为（﹣3，0），过点B的直线交x轴正半轴于点C，且OB：OC＝3：1． （1）求点B的坐标及直线BC的函数表达式； （2）在x轴上方存在点D，使以点A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等，画出△ABD，并求出点D的坐标； （3）在线段OB上存在点P，使点P到点B，C的距离相等，求出点P的坐标． 27．如图，在平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点A，交y轴于点B；直线CD：y＝x+1交y轴于点C，与直线AB交于点D，且OB＝2OA＝4OC． （1）求直线AB的解析式； （2）求△BCD的面积； （3）若点M在此平面直角坐标系中，点N在x轴上，以AC为边，点A、C、M、N为顶点作四边形，请直接写出此四边形为菱形时点M的坐标． 28．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，过点A的直线交y轴的正半轴于点M，且点M为线段OB的中点． （1）求直线AM的函数解析式． （2）如果在y轴上有一点P，使得，请求出点P的坐标． （3）在坐标平面内是否存在点N，使以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有点N的坐标，若不存在，请说明理由． 29．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x+3分别与坐标轴交于A，B两点，点C为x轴正半轴上一点，且满足3OC＝2OB． （1）求直线BC的解析式； （2）如图2，过点A的直线交线段BC于点D，且满足2S△ABD＝S△ACD，点Q为y轴上一动点，求出点D的坐标及|AQ﹣DQ|的最大值； （3）在（2）的条件下，将直线BC沿射线AB方向平移单位长度得到直线l，点N为y轴上任意一点，在直线l上确定一点M，使得以点A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点M的坐标，并任选其中一个点的坐标写出求解过程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2 一次函数与几何图形 类型一：一次函数与图形的平移 类型二：一次函数与图形的对称 类型三：一次函数与图形的旋转 类型四：一次函数与三角形 类型五：一次函数与四边形 类型一：一次函数与图形的平移 1．如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB＝90°，BC＝5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y＝2x﹣6上时，线段BC扫过的面积为 　16　． 【分析】根据题意，线段BC扫过的面积应为一平行四边形的面积，其高是AC的长，底是点C平移的路程．求当点C落在直线y＝2x﹣6上时的横坐标即可． 【解答】解：如图所示． ∵点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0）， ∴AB＝3． ∵∠CAB＝90°，BC＝5， ∴AC＝4． ∴A′C′＝4． ∵点C′在直线y＝2x﹣6上， ∴2x﹣6＝4，解得 x＝5． 即OA′＝5． ∴CC′＝5﹣1＝4． ∴S▱BCC′B′＝4×4＝16． 即线段BC扫过的面积为16． 故答案为16． 2．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（0，2），AC⊥x轴，点A在第二象限．直线yx+5与x轴、y轴分别交于点N、M．将菱形ABCD沿x轴向右平移m个单位，当点D落在△MON的内部时（不包括三角形的边），则m的值可能是（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分表示出点D的坐标，再根据直线解析式求出点D移动到MN上时的x的值，从而得到m的取值范围，再根据各选项数据选择即可． 【解答】解：∵菱形ABCD的顶点C（﹣1，0），点B（0，2），AC⊥x轴， ∴点D的坐标为（﹣2，2）， 当y＝2时，x+5＝2， 解得x＝6， ∴点D向右移动2+6＝8时，点D在MN上， ∵点D落在△MON的内部时（不包括三角形的边）， ∴2＜m＜8， ∵1、2、4、8中只有4在此范围内， ∴m的值可能是4． 故选：C． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝0.5x+1与x轴、y轴分别交于A、B两点，过点A在第二象限内作AC⊥AB，且AC＝AB． （1）如图1，①求线段AB的长度； ②设直线BC的解析式为y＝kx+b，直接写出关于x的不等式kx+b＞0.5x+1的解集； （2）如图2，将△ABC向右平移得到△A′B′C′，点A的对应点A′始终在x轴上，当点C的对应点C′落在直线y＝0.5x+1上，求C′的坐标． 【分析】（1）由直线AB的解析式求出点A，B的坐标，再利用勾股定理求出线段AB 的长度．利用图象可得出不等式的解集． （2）先过点C作CD⊥x轴，构造全等三角形求出C点的坐标，通过平移性质表示出点C′的坐标，再将点C′的坐标代入直线AB的解析式中即可求出C′的坐标． 【解答】解：（1）①由y＝0.5x+1可知，当x＝0时，y＝1，即点B（0，1），当y＝0时，x＝﹣2，即点A（﹣2，0）， ∴OA＝2，OB＝1， ∴在Rt△AOB中，AB2＝OA2+OB2． ∴AB． 故答案为：AB． ②如图1，根据图象找出直线BC：y＝kx+b在直线AB：y＝0.5x+1的上方的图象对应的x的值的范围即可求出； ∵直线BC与直线AB的交点事点B（0，1）， ∴kx+b＞0.5x+1的解集为：x＜0， 故答案为：x＜0． （2）如图2：过点C作CD⊥x轴于D， ∵AC⊥AB， ∴∠CAD+∠OAB＝90°，∠BAO+∠ABO＝90°． ∴∠CAD＝∠ABO， ∵∠CDA＝∠AOB＝90°，AC＝AB， ∴△ACD≌△ABO（AAS）． ∴CD＝OA＝2，AD＝OB＝1， ∴OD＝3， ∴点C的坐标为（﹣3，2）． 设点C向右平移b（b＞0）个单位得到点C′，即点C′的坐标为（﹣3+b，2）， ∵点C′在直线AB上，则将（﹣3+b，2）代入y＝0.5x+1，得b＝5， ∴点C′的坐标为（2，2）， 故答案为：（2，2）． 4．如图，线段MN两个端点的坐标分别为M（1，3），N（1，1），一次函数y＝kx+b的图象经过点（4，0）和（0，﹣3）． （1）求一次函数y＝kx+b的解析式； （2）将直线y＝kx+b向上平移a个单位长度，使平移后的直线经过线段MN的中点，求a的值； （3）若直线y＝mx+n经过点（﹣1，0），且与线段MN有交点，求m的取值范围． 【分析】（1）把 （4，0）和 （0，﹣3）代入y＝kx+b可求得解析式； （2）设平移后的直线的解析式为，可得M（1，3），N（1，1），求出AB的中点坐标，代入可求解； （3）把点（﹣1，0）和M、N坐标代入，即可求得． 【解答】解：（1）把 （4，0）和 （0，﹣3）代入y＝kx+b可得， ， 解得， ∴这个一次函数的解析式为：； （2）设平移后的直线的解析式为：， ∵M（1，3），N（1，1）， ∴线段AB的中点坐标为（1，2）， 把（1，2）代入， 得， 解得：； （3）把 （﹣1，0）代入 y＝mx+n，得 n＝m， ∴y＝mx+m， 把 M（1，3）代入 y＝mx+m 得，m+m＝3， 解得； 把N（1，1）代入 y＝mx+m 得，m+m＝1． 解得； ∴m的取值范围是：． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线（k为常数，且k＞0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，已知AB＝10． （1）求A，B两点的坐标． （2）若将直线AB向左平移3个单位长度，求平移后的直线所对应的函数表达式． （3）若P为y轴上一点，将直线AB沿AP翻折，使得点B刚好落在坐标轴上，直接写出点P的坐标． 【分析】（1）根据题意分别令x，y＝0，得出A（8，0），B（0，﹣k），根据勾股定理求得k＝6，即可求解； （2）根据题意可得平移后的直线与x轴的交点为（5，0），设平移后的直线所对应的函数表达式为，代入（5，0），即可求解； （3）设B点关于AP的对称点为B′，P（0，t），分B′在x轴负半轴，B′在x轴正半轴，当B′在y轴正半轴，三种情况，分别列出方程，解方程，即可求解． 【解答】解：（1）在平面直角坐标系中，直线（k为常数，且k＞0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，已知AB＝10． 当x＝0时，得：y＝﹣k， ∴A（8，0）， ∴OA＝8， 当y＝0时，解得：x＝8， ∴B（0，﹣k）， ∴OB＝k， 在Rt△ABO中，由勾股定理得：， ∴k＝6， ∴B（0，﹣6）； （2）由（1）可得直线AB解析式为， ∵将直线AB向左平移3个单位长度，A（8，0）， ∴平移后的直线与x轴的交点为（5，0）， 设平移后的直线所对应的函数表达式为，将（5，0）代入得： ， 解得：， ∴平移后的直线所对应的函数表达式为； （3）或（0，0）或（0，24）；理由如下： 设B点关于AP的对称点为B′，P（0，t）， 当B′在x轴负半轴时，如图1， ∵AB＝AB′＝10，A（8，0）， ∴B′（﹣2，0）， ∴B′P2＝（﹣2）2+t2＝t2+4，PB＝t﹣（﹣6）＝t+6， ∵PB＝PB′， ∴t2+4＝（t+6）2， 解得：， ∴； 当B′在x轴正半轴时，如图2， ∵AB＝AB′＝10，A（8，0）， ∴B′（18，0）， ∴B′P2＝182+t2，PB＝t﹣（﹣6）＝t+6， ∵PB＝PB′， ∴t2+182＝（t+6）2， 解得：t＝24， ∴P（0，24）； 当B′在y轴正半轴时，如图3，OB＝OB′＝6， ∴P点与O点重合，即P（0，0）， 综上所述，或（0，0）或（0，24）． 6．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+3的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点直线l2：y＝mx+1的图象分别与x轴、y轴交于C、D两点，且C点坐标为 ；M（1，2）和N（3，2）是第一象限中的两个点，连接MN． （1）求直线l2的函数解析式； （2）求l1、l2与y轴所围成的三角形的面积； （3）将线段MN向左平移n个单位，若与直线l1、l2同时有公共点，直接写出n的取值范围． 【分析】（1）将点C坐标代入y＝mx+1求出m即可得到l2解析式； （2）根据解析式分别求出点B、D坐标和两直线的交点坐标，根据三角形面积公式计算即可； （3）根据解析式分别求出线段MN和线段EF长，根据题意可得n的取值范围． 【解答】解：（1）∵C（，0）在直线l2：y＝mx+1的图象上， ∴0，解得m＝3， ∴直线l2的函数解析式为：y＝3x+1； （2）在函数y＝x+3中，当x＝0时，y＝3， 在函数y＝3x+1中，当x＝0时，y＝1， ∴B（0，3），D（0，1）， ∴BD＝3﹣1＝2， 联立方程组，解得， ∴两直线交点坐标为（1，4）， ∴l1、l2与y轴所围成的三角形的面积1． （3）∵M（1，2）和N（3，2）， ∴MN＝2， 设直线MN与l1和l2分别交于点E和F， 在函数y＝x+3中，当y＝2时，x＝﹣1， 在函数y＝3x+1中，当y＝2时，x， ∴E（﹣1，2），F（，2）， ∴EF， ME＝2，即线段MN向左平移2个单位开始有2个交点， MN﹣EF＝2， ∴n的范围为2≤n≤2． 故将线段MN向左平移n个单位，若与直线l1、l2同时有公共点，直接写出n的取值范围为2． 7．如图，直角三角板AOB如图所示在平面直角坐标系内，∠B＝30°，O为坐标原点，作AH⊥x轴，AO＝10，若∠AOH＝30°． （1）点A的坐标为 　（﹣5，5）　；OB＝　10　； （2）求边AB所在直线的表达式； （3）直线y＝mx+n自与直线AB重合的位置向下平移，当其平分三角形AOB面积时，直接写出直线y＝mx+n的表达式． 【分析】（1）在Rt△AOH中，∠AOH＝30°，则AHAO＝5，OH＝10cos30°＝5，进而求解； （2）用待定系数法即可求解； （3）由△HNOOH•OHOH2S△ABO＝25，即可求解． 【解答】解：（1）在Rt△AOH中，∠AOH＝30°， 则AHAO＝5，OH＝10cos30°＝5， 故点A的坐标为：（﹣5，5）， 在Rt△AOB中，∠B＝30°， 则BOAO＝10， 故答案为：（﹣5，5），10； （2）过点B作BT⊥x轴于点T， 则∠BOT＝60°， 则OTBO＝5，同理可得：BT＝15， 即点B（5，15）， 设直线AB的表达式为：y＝sx+t， 则， 解得：， 故直线AB的表达式为：yx+10； （3）S△ABOAO•BO10×1050， 设直线l：y＝mx+n交OB于点H，交OA于点N， 由O、B坐标得，直线OB的表达式为：yx， 设点H（r，r）， 在Rt△OHN中，∠HNO＝∠BAO＝60°，则ONOH， 当直线l平分三角形AOB面积时， 则△HNOOH•OHOH2S△ABO＝25， 解得：OH2＝150， 即r2+（r）2＝150， 解得：r， 则点H的坐标为：（，）， 则直线l的表达式为：y（x）x+5． 类型二：一次函数与图形的对称 8．如图，直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，M，N分别是y轴和直线AB上的点，AN＝MN，C是点A关于直线MN的对称点，连结CN，CM，若点C落在直线AB上，则点M的纵坐标是（　　） A．﹣2 B．﹣6 C．﹣6或﹣2 D．﹣6或 【分析】依据题意，由直线为y＝2x+4，可得B（0，4），A（﹣2，0），又设OM＝m，又点C落在直线AB上，故∠ANC＝180°，从而画出图形，结合点C是点A关于直线MN的对称点，可得∠ANM＝∠CNM，AN＝CN，AM＝CM，故∠ANM＝∠CNM＝90°，又AN＝MN，故△AMN是等腰直角三角形，则△CMN和△CMA都是等腰直角三角形，进而先证得△DCM≌△OMA（AAS），则DM＝OA＝2，CD＝OM＝m，从而C（﹣m，﹣m﹣2），又C在直线y＝2x+4上，故﹣m﹣2＝﹣2m+4，求出m的值后即可判断得解． 【解答】解：由题意，∵直线为y＝2x+4， ∴令x＝0，则y＝4，故B（0，4）；令y＝0，则x＝﹣2，故A（﹣2，0）． 设OM＝m， ∵点C落在直线AB上， ∴∠ANC＝180°． 如图， ∵点C是点A关于直线MN的对称点， ∴∠ANM＝∠CNM，AN＝CN，AM＝CM． ∴∠ANM＝∠CNM＝90°． ∵AN＝MN， ∴△AMN是等腰直角三角形，则△CMN和△CMA都是等腰直角三角形． ∴∠AMC＝90°． 作CD⊥y轴于点D， ∴∠CDM＝∠MOA＝∠AMC＝90°． ∴∠DCM＝90°﹣∠CMD＝∠OMA． ∵AM＝CM， ∴△DCM≌△OMA（AAS）． ∴DM＝OA＝2，CD＝OM＝m． ∴C（﹣m，﹣m﹣2）． ∵C在直线y＝2x+4上， ∴﹣m﹣2＝﹣2m+4． ∴m＝6． ∴点M的纵坐标为﹣6． 故选：B． 9．已知一次函数y＝mx﹣3的图象与一次函数y＝2x+n的图象关于y轴对称，则m+n的值是（　　） A．5 B．﹣1 C．1 D．﹣5 【分析】根据两个一次函数的图象关于y轴对称，得出它们与y轴的交点相同，进而可求出n的值，再在所得一次函数y＝2x+n的图象上任意取一点，将其关于y轴的对称点坐标代入y＝mx﹣3即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为一次函数y＝mx﹣3的图象与一次函数y＝2x+n的图象关于y轴对称，且一次函数y＝mx﹣3与y轴的交点坐标为（0，﹣3）， 则将（0，﹣3）代入y＝2x+n得，n＝﹣3， 所以一次函数的解析式为y＝2x﹣3． 令x＝1得，y＝﹣1， 则点（1，﹣1）关于y轴的对称点坐标为（﹣1，﹣1）． 将（﹣1，﹣1）代入y＝mx﹣3得， ﹣m﹣3＝﹣1， 解得m＝﹣2， 所以m+n＝﹣2+（﹣3）＝﹣5． 故选：D． 10．已知y+6与x+1成正比例，当x＝3时，y＝2． （1）求y与x的函数表达式； （2）若点M（1，m）关于y轴的对称点M′恰好落在该函数的图象上，求m的值． 【分析】（1）根据成正比例的定义，设y+6＝k（x+1），然后把已知的对应值代入求出k，从而可得到与x的函数表达式； （2）先根据关于y轴对称的点的坐标特征得到M'（﹣1，m），然后把M′点的坐标代入（1）中的解析式，从而得到m的值． 【解答】解：（1）设y+6＝k（x+1）， 把x＝3，y＝2代入得2+6＝4k， 解得k＝2， ∴y+6＝2（x+1）， ∴y与x的函数表达式为y＝2x﹣4； （2）∵点M'是点M（1，m）关于y轴的对称点， ∴点M'的坐标为（﹣1，m）， 又∵点M在该函数的图象上， ∴﹣2﹣4＝m． 解得m＝﹣6． 11．在平面直角坐标系xO中，已知△ABC顶点坐标分别为点A（1，0）、B（5，0），C（3，4），l1是过点M（2，0）与x轴垂直的直线．若直线上存在点Q，使点Q关于直线l1的对称点在△ABC的内部或边上，则b的取值范围是 　　． 【分析】求得直线经过点B关于直线l1的对称点B′时的b的值，求得直线经过点BC关于直线l1的对称点C′时的b的值，结合图形即可求解． 【解答】解：∵点A（1，0）、B（5，0），C（3，4），l1是过点M（2，0）， ∴B（5，0）关于直线l1的对称点B′为（﹣1，0），C（3，4）关于直线l1的对称点C′为（1，4）， 如图，当经过点B′时，则，解得b， 当直线经过点C′时，则4，解得b， 故由图形可知，若直线上存在点Q，使点Q关于直线l1的对称点在△ABC的内部或边上，则b的取值范围是． 故答案为：． 12．【问题导入】如图①，在直线l上找一点P，如何使得PA+PB最小？ 小华同学的思路：作点A关于直线l的对称点A′，连接BA′，与直线l交于点P．由对称可得PA′＝PA，所以PA+PB＝PA′+PB≥A′B，当A′、P、B三点共线的时候，PA′+PB＝A′B，此时PA+PB最小． 如图②，在直线l上找一点P，如何使得|PA﹣PB|最大？ 小明同学的思路：作点A关于直线l的对称点A′，连接BA′并延长交直线l交于点P．由对称可得PA′＝PA，所以|PA﹣PB|＝|PA′﹣PB|≤A′B，当A′、P、B三点共线的时候，|PA﹣PB|＝A′B，此时|PA﹣PB|最大． 可见，解此类问题的关键是将问题转化为“两点之间线段最短”来解决． 【理解运用】（1）如图③，直线上有点A（4，a）、B（﹣2，1），点P在x轴上运动，点Q在直线AB下方的y轴上运动． ①求a、b的值； ②当PA+PB最小时，求点P的坐标； ③令t＝QA﹣QB﹣PA﹣PB，当t的值最大时，求点Q的坐标及t的最大值． 【深度探究】（2）在（1）的条件下，且满足t＝QA﹣QB﹣PA﹣PB，当t的值最大时，若点M、N分别是线段OP、OQ上的动点，且PM＝ON，连接PN、MQ，当PN+MQ最小时，求点M的坐标． 【分析】（1）①将A，B两点坐标代入，求得方程组的解，从而得出结果； ②作点B关于x轴对称点B′，连接AB′，交x轴于点P，则PA+PB最小，根据A，B′两点坐标求出AB′的解析式，进一步得出结果； ③作点B关于y轴对称点B″（2，1），作直线AB″，交y轴于点Q，则t＝QA﹣QB﹣PA﹣PB最大，先求得AB″的解析式，进一步得出结果； （2）作PG⊥x轴，截取PG＝OP，可证得△GPM≌△PON，从而PN＝GM，从而得出PN+MQ＝GM+MQ≥GQ，当G、M、Q共线时，PM+QN最小，进一步得出结果． 【解答】解：（1）①由题意得， ， ∴； ②如图1， 作点B关于x轴对称点B′，连接AB′，交x轴于点P，则PA+PB最小， 设直线AB′的解析式为：y＝kx+m， ∴， ∴， ∴y， 当y＝0时，0， ∴x， ∴（，0）； ③如图1， 作点B关于y轴对称点B″（2，1），作直线AB″，交y轴于点Q， 则t＝QA﹣QB﹣PA﹣PB最大， 设直线AB″的解析式为：y＝px+q， ∴， ∴， ∴y， 当x＝0时，y＝﹣2， ∴Q（0，﹣2）， ∵QA﹣QB＝QA﹣QB″＝AB″， PA+PB＝PA+PB′＝AB′， t最大＝QA﹣QB﹣PA﹣PB； （2）如图2， 作PG⊥x轴，截取PG＝OP， ∵PM＝ON，∠GPM＝∠PON＝90°， ∴△GPM≌△PON（SAS）， ∴PN＝GM， ∴PN+MQ＝GM+MQ≥GQ， ∴当G、M、Q共线时，PM+QN最小， ∵G（，），Q（0，﹣2）， ∴直线GQ的解析式为：y， 当y＝0时，， ∴x， ∴M（，0）． 13．如图1，直线y＝kx+1（k＞0）分别与x轴，y轴相交于A，B两点，直线分别与x轴，y轴相交于C，D两点，两条直线相交于点E． （1）点C的坐标为 　（4，0）　，点A的坐标为 　（）　（点A用含k的代数式表示）； （2）若点A关于y轴的对称点A′恰好落在△BDE的内部，求k的取值范围； （3）如图2，若点D为CE的中点，点Q为直线AB上一点，连接DQ，记点E关于直线DQ的对称点为E′．请问：是否存在点Q，使得点E′恰好落在直线CD上方的坐标轴上？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）分别把y＝0代入函数解析式，解方程，进一步得出结果； （2）求出A′（），根据A′恰好落在△BDE的内部得出不等式，从而得出k； （3）可推出DE＝DE′＝CD，E（﹣4，﹣6），进而得出OE′＝OC＝4，从而得出EE′∥y轴，从而得出yQ＝﹣3，求得直线BE的解析式后，代入求得x的值，进而得出结果；当点E′在y轴上时，可求得点E（0，2），F（﹣2，﹣2），求得直线直线DF的解析式后，与直线BE的解析式联立成方程组，进一步得出结果． 【解答】解：（1）当y＝0时， 0，0＝kx+1， ∴x＝4，x， ∴C（4，0），A（）， 故答案为：（4，0），（）； （2）∵A′（），C（4，0），A′恰好落在△BDE的内部， ∴， ∴k； （3）如图1， 当点E′落在x轴上时，设E′（a，0）， ∵E关于直线DQ的对称点为E′， ∴DE′＝DE，∠E′DQ＝′EDQ， 当x＝0时，y＝﹣3， ∴D（0，﹣3）， ∵点D是CE的中点， ∴DE＝CD，E（﹣4，﹣3×2） ∴DE′＝CD，E（﹣4，﹣6）， ∴OD⊥CE′， ∴OE′＝OC＝4， ∴E′（﹣4，0）， ∴EE′∥y轴， ∵DE′＝DE，∠E′DQ＝′EDQ， ∴DF⊥EE′， ∴DE′⊥y轴， ∴yQ＝﹣3， y＝kx+1过E（﹣4，﹣6）， ∴﹣6＝﹣4k+1， ∴k， ∴y， 由﹣3得， x， ∴Q（）， 如图2， 当点E′在y轴上时， ∵DE′＝DE＝CD5，OD＝3， ∴OE′＝2， ∴E（0，2）， ∵∠E′DQ＝′EDQ， ∴E′F＝EF， ∴F（，），即F（﹣2，﹣2）， 设直线DF的解析式为：y＝mx+n， ∴， ∴， ∴y， 由得， ， ∴Q（）， 综上所述：Q（）或（）． 类型三：一次函数与图形的旋转 14．如图，△ABC中，AB＝AC＝4，∠B＝45°，△ABC绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△AB'C'，B'C'与BC，AC分别交于点D，E．设CD+DE＝x，△AEC′的面积为y，则y与x的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】易得△ABF≌△AC′E，那么AF＝AE，可得到FB′＝CE，进而可得△DB′F≌△DCE，则DB′＝CD，那么B′E＝x，即可判断出C′E的长度，易得△AEC′中C′E边上的高，根据三角形的面积公式可得相应的函数解析式． 【解答】解：由题意得：∠BAF＝∠C′AE＝α，AB＝AC＝AB′＝AC′，∠B＝∠C′＝45°， ∴△ABF≌△AC′E（ASA）， ∴AF＝AE， ∴FB′＝CE， ∵∠B′＝∠C＝45°，∠FDB′＝∠CDE， ∴△DB′F≌△DCE（AAS）， ∴DB′＝CD， ∵CD+DE＝x， ∴DB′+DE＝x， 即B′E＝x， ∵AB＝AC＝4， ∴BC＝4，BC边上的高为2， ∴B′C′＝4，B′C′边上的高为2， ∴C′E＝4x， ∴y（4x）×28x． 故选C． 15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝3x﹣3的图象分别交x，y轴于点A，B，将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式为 　yx﹣3　． 【分析】根据已知条件得到A（1，0），B（0，﹣3），求得OA＝1，OB＝3，过A作AF⊥AB交BC于F，过F作FE⊥x轴于E，得到AB＝AF，根据全等三角形的性质得到AE＝OB＝3，EF＝OA＝1，求得F（4，﹣1），设直线BC的函数表达式为：y＝kx+b，解方程组于是得到结论． 【解答】解：∵一次函数y＝3x﹣3的图象分别交x、y轴于点A、B， ∴令x＝0，得y＝﹣3，令y＝0，则x＝1， ∴A（1，0），B（0，﹣3）， ∴OA＝1，OB＝3， 过A作AF⊥AB交BC于F，过F作FE⊥x轴于E， ∵∠ABC＝45°， ∴△ABF是等腰直角三角形， ∴AB＝AF， ∵∠OAB+∠ABO＝∠OAB+∠EAF＝ 90°， ∴∠ABO＝∠EAF， 在△ABO和△FAE中 ， ∴△ABO≌△FAE（AAS）， ∴AE＝OB＝3，EF＝OA＝1， ∴F（4，﹣1）， 设直线BC的函数表达式为：y＝kx+b， ∴ 解得，， ∴直线BC的函数表达式为：yx﹣3， 故答案为：yx﹣3． 16．定义：对于平面直角坐标系xOy中的不在同一条直线上的三点P，M，N，若满足点M绕点P逆时针旋转90°后恰好与点N重合，则称点N为点M关于点P的“逆旋点”．请根据以上定义，完成下列填空： （1）若点M在直线y＝3x+3上，点P与原点O重合，且点M关于点P的“逆旋点”N刚好在坐标轴上，则点N的坐标为　（﹣3，0）或（0，﹣1）　； （2）如图，已知点A的坐标为，点C是y轴上的动点，点B是点A关于点C的“逆旋点”，连接OB，AB，则OB+AB的最小值是　　． 【分析】（1）依据题意，分点N落在x轴上、点N落在y轴两种情况，分别求解即可； （2）依据题意，作BH⊥OH于H，设点C的坐标为（0，m），则OC＝HB＝m，OA＝HC＝3，得到点B（m，3+m），即可得出BO+BA＝+，相当于在直线y＝x上寻找一点P（m，m），使得点P到M（0，﹣3），到N（3，﹣3）的距离和最小，即可求解． 【解答】解：（1）①当点N落在x轴上时，则OM⊥x轴， ∴点M在y轴上， 当x＝0时，y＝3x+3＝3， ∴M（0，3）， ∴点N（﹣3，0）； ②当点N落在y轴时，则OM⊥y轴， ∴点M在x轴上， 当y＝0时，则3x+3＝0，解得x＝﹣1， ∴M（﹣1，0）， ∴点N（0，﹣1）； 综上，点N（﹣3，0）或（0，﹣1）， 故答案为：（﹣3，0）或（0，﹣1）； （2）如图1，作BH⊥OH于H． 设点C的坐标为（0，m）， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACO+∠BCH＝90°， ∵∠ACO+∠OAC＝90°， ∴∠BCH＝∠OAC， ∵∠BHC＝∠COA＝90°，BC＝CA， ∴△BCH≌CAO（AAS）， ∴OC＝HB＝m，OA＝HC， ∴点B（m，m）， 则BO+BA，相当于在直线y＝x上寻找一点P（m，m），使得点P到M（0，），到N（，）的距离和最小， 如图2，作M关于直线y＝x的对称点M′（，0）， ∴M′N． ∵PM+PN＝PM′+PN≥NM′， ∴PM+PN的最小值为． ∴OB+AB的最小值为． 故答案为：． 17．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB：与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C与点B关于x轴对称，E为线段OA上一点，直线CE与AB交于D点，且． （1）求直线CE的解析式； （2）P为直线AB上一动点，当S△PCD＝S四边形BDEO，求点P坐标； （3）如图2，将△OCE绕E点逆时针旋转α（0＜α＜180°），得到△O′C′E，直线O′C′与射线AB，AO分别交于M，N，则当△AMN是以MN为腰的等腰三角形时，请直接写出AM的长度． 【分析】（1）先求出A，B两点的坐标，根据，求出E点坐标，再根据点C与点B关于x轴对称可得C点坐标，利用待定系数法即可解答； （2）由（1）知直线CE的解析式，联立直线CE和直线AB的解析式求出D点坐标，进而可以求出四边形BEDO和△PCD的面积，再分类讨论求解即可； （3），分AM＝MN，AN＝MN，两种情况讨论即可． 【解答】解：（1）∵直线与x轴，y轴分别交于A，B两点， 令x＝0，则y＝6； 令y＝0，则x+6＝0， 解得：， ∴，B（0，6）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点C与点B关于x轴对称， ∴C（﹣6，0）， 设直线CE的解析式为y＝kx+b（k≠0）， 则， 解得：， ∴直线CE的解析式为； （2）由（1）知直线CE的解析式为， 联立， 解得：， ∴， ∴S四边形BDEO＝S△AOB﹣S△ADEAE•yD＝12， ∴S△PCD＝12， 方法一：①当点P在点D右侧时， S△PCD＝S△BCD﹣S△BCPBC（|xD|﹣|xP|）12×（3|xP|）＝12， ∴|xP|， ∴xP，此时yP＝5， ∴P（，5）； ②当点P在点D右边时， S△PCD＝S△BCP﹣S△BCDBC（|xP|﹣|xD|）12×（|xP|﹣3）＝12， ∴|xP|＝5， ∴xP＝﹣5，此时yP＝1， ∴P（﹣5，1）； 综上，P点坐标为（，5）或（﹣5，1）； 方法二：过P作PH∥y轴交CD于点H， 设P（p，p+6），则H（p，p﹣6）， ∴PH＝|p+6p+6|＝|p+12|， ∴S△PCDPH（xC﹣xD）|p+12|12， ∴|p+12|＝8， 解得p或﹣5， 当p时，p+6＝5，此时P（，5）， 当p＝﹣5时，p+6＝1，此时P（，1）， 综上，P点坐标为（，5）或（﹣5，1）； （3）如图，连接ME，BE， 由（1）（2）知CD⊥AB，，，B（0，6），C（0，﹣6），，， ∴∠ADE＝∠COE＝90°， ∵，3， ∴点D是AB的中点， ∴△ABE是等腰三角形， ∴∠AED＝∠BED，AE＝BE， ∵点C与点B关于x轴对称， ∴BE＝CE， ∴△CBE是等腰三角形， ∵BC⊥OE， ∴∠CEO＝∠BEO， ∵DE＝OE，BE＝BE， ∴Rt△BDE≌Rt△BOE（HL）， ∴∠CED＝∠BEO， ∵∠CEO＝∠AED， ∴∠AED＝∠BED＝∠BEO， ∵∠AED+∠BED+∠BEO＝180°， ∴∠AED＝∠BED＝∠BEO＝60°， ∴∠DAE＝∠DBE＝∠CBE＝∠BCE＝30°， 由旋转的性质得到∠BCE＝∠ECM＝30°，CE＝CE， ∴CE＝AE， 设． ①如图，当AM＝MN时， 则CE与x轴重合，即C'和N两点重合， ∴∠AEM＝∠CEM＝90°，即ME⊥x轴， ∴， 则， 即， ∴； ②如图，当AN＝MN时， 则∠NAM＝∠NMA＝30°， ∴∠ANM＝60°， ∵∠EO'N＝90°， ∴∠AEO'＝30°， ∵∠C'EO＝60°， ∴∠C'EA＝∠C'EO'+∠AEO'＝90°， ∴CE⊥x轴， 由旋转的性质得，OC＝O'C'＝6， ∴， ∴DE＝O'E， ∵ME＝ME，∠MDE＝∠MO'E＝90°， ∴Rt△DME≌Rt△O'ME（HL）， ∴MD＝MO'， ∵AD＝O'C'＝6， ∴AD﹣MD＝O'C'﹣MO'，即AM＝MC'， ∵ME＝ME，AE＝C'E， ∴△AEM≌△CEM（SSS）， ∴S△AEM＝SΔC'EM， ∴， ∴， 解得n＝﹣6， 则， ∴， ∴， 综上，AM的长度为8或． 类型四：一次函数与三角形 18．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D为BC中点，连结AD，若∠BAD＝y，∠B＝2x，则y与x之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意，先得出y与x的函数关系式，再结合x的取值范围进行判断即可． 【解答】解：由题知， 因为AD⊥BC， 所以∠BAD+∠B＝90°， 即y+2x＝90°， 所以y＝﹣2x+90°． 因为0°＜﹣2x+90°＜90°， 所以0°＜x＜45°， 显然D选项符合题意． 故选：D． 19．如图，已知一次函数yx+2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称． （1）求△AOB的面积； （2）若点P在一次函数yx+2的图象上，且在第一象限，S四边形OBPC，求点P的坐标． 【分析】（1）根据一次函数解析式先求出点A、B坐标，再求出三角形AOB面积即可； （2）先求出点C坐标，设点P（m，）（m＞0），再分别求出S四边形OBPC＝S△BOP+S△POC（）＝2m+4，S△APC（）＝2m+8，根据条件列出方程，求出m值即可得到点P坐标． 【解答】解：（1）在一次函数yx+2中，当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝﹣4， ∴A（﹣4，0），B（0，2）， ∴S△AOB4； （2）∵点C与点A关于y轴对称． ∴C（4，0）， 如图，连接OP， 设点P（m，）（m＞0）， S四边形OBPC＝S△BOP+S△POC（）＝2m+4， S△APC（）＝2m+8， ∵S四边形OBPC， ∴2m+4（2m+8），解得m＝2． ∴P（2，3）． 20．一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以AB为边在第二象限内作等边△ABC． （1）求直线AC的函数解析式； （2）在直线AC上有一点，求△ABP的面积． （3）在x轴上是否存在点M，使△MAB为等腰三角形？若存在，请写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）首先令x＝0，y＝0，解方程得到A（，0），B（0，2）．然后根据勾股定理求出AB的长，根据等边三角形的性质得到点C的坐标为（，2）；设直线AC的解析式为y＝kx+b．解方程组即可得到结论； （2）解方程得到点P的坐标，根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）设出点M的坐标，分三种，列方程即可得出结论． 【解答】解：（1）yx+2与x轴、y轴交于A、B两点， ∴A（，0），B（0，2）． ∵△AOB为直角三角形， ∴AB， ∴OA，OB＝2， ∴tan∠ABO， ∴∠ABO＝30°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠CBA＝60°，∠CBO＝60°+30°＝90°， ∴BC∥x轴， ∴点C的纵坐标和点B的纵坐标相同，都是2， ∵△ABC是等边三角形， ∴BC＝AB， ∴点C的坐标为（，2）； 设直线AC的解析式为y＝kx+b， ∴， ∴， ∴直线AC的解析式为yx﹣2； （2）∵在直线AC上有一点， ∴a﹣2， ∴a， ∴P（，）， 过P作PH⊥x轴于H， ∴△ABP的面积＝四边形PHOB的面积﹣△APH的面积﹣△AOB的面积2； （3）如图2， 设点M（m，0）， ∵A（，0），B（0，2）． ∵△MAB为等腰三角形， ∴①MA＝MB， ∴MA2＝MB2， ∴（m）2＝m2+22， ∴m， ∴M（，0）， ②MA＝AB， ∴MA2＝AB2， ∴（m）2， ∴m或m， ∴M（，0）或（，0）， ③当MB＝AB， ∵OB⊥AM， ∴OA＝OM ∴M（，0）． ∴满足条件的M的坐标为（，0）或（，0）． 21．在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，直线BC交x轴于点C（1，0）． （1）先判断△ABC的形状，再说明理由； （2）线段AC上取一点D，使得△BCD是以BC为腰的等腰三角形，求点D的坐标； （3）若在x轴上有一点M，在直线BC上有一点N，满足△MNC≌△AOB，求点M的坐标． 【分析】（1）由AC2＝AB2+BC2，即可求解； （2）△BCD是以BC为腰的等腰三角形，当BC＝BD时，则点C、D关于y轴对称，即点D（﹣1，0）；当BC＝CD时，则CD，则点D（1，0），即可求解； （3）如下图，当点M在点C的右侧时，由△MNC≌△AOB，则CM＝AB＝2，即可求解；当点M在点C的左侧时，同理可解． 【解答】解：（1）△ABC的形状为直角三角形，理由： 对于，当x＝0时，y＝2，令y＝0，则x＝﹣4， 即点A、B的坐标分别为：（﹣4，0）、（0，2）， 由点A、B、C的坐标得，AB2＝20，BC2＝5，AC2＝25， 则AC2＝AB2+BC2， 即△ABC的形状为直角三角形； （2）△BCD是以BC为腰的等腰三角形， 当BC＝BD时，则点C、D关于y轴对称，即点D（﹣1，0）； 当BC＝CD时，则CD，则点D（1，0）， 即D（﹣1，0）或（1，0）； （3）如下图，当点M在点C的右侧时， ∵△MNC≌△AOB，则CM＝AB＝2， 则点M（1+2，0）， 当点M在点C的左侧时， 同理可得，点M（1﹣2，0）， 综上，M（1+2，0）或（1﹣2，0）． 22．如图，已知直线l1：y＝﹣3x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠ABC＝90°，直线l2经过A，C两点． （1）则A点的坐标为 　（2，0）　，B点的坐标为 　（0，6）　； （2）求直线l2的函数表达式； （3）点P是线段AC上的一点（不与A、C重合），试探究△BPC能否成为以BP为直角边的等腰直角三角形？若能，请直接写出点P的坐标，若不能，请说明理由． 【分析】（1）对直线l1关系式y＝﹣3x+6，令x＝0或y＝0，即可求出A、B两点的坐标． （2）通过构造△CBE≌△BAO全等，求出点C的坐标，再由A、C两点坐标根据待定系数法求得直线l2的函数表达式． （3）设点P的坐标为（m，2m﹣4），过点C作x轴的垂线，垂足为D，过P作x轴的平行线交y轴于点M，交CD于点N，同（2）理可证得△BMP≌△PNC，从而BM＝PN，MP＝CN，然后根据PM＝CN列方程求解即可． 【解答】解：（1）在l1：y＝﹣3x+6中， 令x＝0，则y＝6，所以点B坐标为（0，6）； 令y＝0，则x＝2，所以点A坐标为（2，0）． 所以点A、B坐标分别是（2，0）和（0，6）； 故答案为：（2，0）；（0，6）； （2）如图，过点C向y轴作垂线，E为垂足． 由条件可知AB＝BC． ∵∠CBE+∠ABO＝180°﹣90°＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°， ∴∠CBE＝∠BAO． 在△CBE和△BAO中，∠CBE＝∠BAO，∠BEC＝∠AOB，BC＝AB． ∴△CBE≌△BAO（AAS）． ∴EC＝BO＝yB＝6，BE＝OA＝xA＝2． ∴OE＝6+2＝8． 故点C坐标为（6，8）． 设l2函数表达式为y＝kx+b，把A、C两点坐标代入得： ，解得． ∴直线l2的函数表达式为y＝2x﹣4； （3）设点P的坐标为（m，2m﹣4），假设以BP为直角边的△BPC是等腰直角三角形， 如图．过点C作x轴的垂线，垂足为D，过P作x轴的平行线交y轴于点M，交CD于点N， 在△BMP和△PNC中， ， ∴△BMP≌△PNC（AAS）， ∴BM＝PN，MP＝CN， ∵BM＝6﹣（2m﹣4）＝10﹣2m， PN＝6﹣m，MP＝m，CN＝8﹣（2m﹣4）＝12﹣2m． ∴由PM＝CN，m＝12﹣2m，m＝4， 此时BM＝PN＝2，m适合题意． 此时P（4，4）． 23．如图，一次函数与x轴，y轴分别相交于点A和点B． （1）求点A和点B的坐标； （2）在y轴上有一动点P，若△ABP的面积为3，请求出点P的坐标； （3）在x轴上是否存在点Q，使得△ABQ是以AB为一腰的等腰三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由一次函数与坐标轴交点坐标特点即可求解； （2）设P（0，b），由（1）得点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（0，1），则OA＝2，OB＝1，PB＝|b﹣1|，然后由即可求出b的值，从而求解； （3）分①当时和当AB＝BQ3时进行分析即可． 【解答】解：（1）由得， 当x＝0时y＝1；当y＝0时，x＝﹣2， ∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（0，1）； （2）设P（0，b）， 由（1）得点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（0，1）， ∴OA＝2，OB＝1， ∴PB＝|b﹣1|， ∵△ABP的面积为3， ∴，即 ， ∴|b﹣1|＝3， 解得：b＝4或b＝﹣2， ∴点P的坐标为（0，4）或（0，﹣2）； （3）存在，理由：如图， ∵点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（0，1）， ∴， ①当时， ∴Q1的坐标为，Q2的坐标为， ②当AB＝BQ3时， ∴OQ3＝OA＝2， ∴Q3的坐标为（2，0）． 综上分析，存在，点Q的坐标为（2，0）或或． 类型五：一次函数与四边形 24．如图，直线PA是一次函数y＝x+1的图象，直线PB是一次函数y＝﹣2x+2的图象． （1）求A、B、P三点的坐标； （2）求四边形PQOB的面积． 【分析】（1）令一次函数y＝x+1与一次函数y＝﹣2x+2的y＝0可分别求出A，B的坐标，再由可求出点P的坐标； （2）根据四边形PQOB的面积＝S△BOM﹣S△QPM即可求解． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝x+1的图象与x轴交于点A，∴A（﹣1，0）， 一次函数y＝﹣2x+2的图象与x轴交于点B，∴B（1，0）， 由，解得，∴P（，）． （2）因为直线PA与y轴交于点Q，则Q（0，1），直线PB与y轴交于点M，则M（0，2）， ∴四边形PQOB的面积＝S△BOM﹣S△QPM1×21． 25．如图，四边形OABC是平行四边形，其中点A的坐标是（10，0），点O的坐标是（0，0），点C的坐标是（4，6）． （1）请求出点B的坐标； （2）已知点D是线段CB上一个动点，若三角形OAD是等腰三角形，请求出所有符合要求的点D的坐标； （3）已知直线：y＝kx+b恰好将▱OABC分成面积相等的两部分，请求出k与b之间满足的关系式． 【分析】（1）由点A坐标是（10，0），点O坐标是（0，0），得到OA＝10，根据平行四边形的性质得到BC∥OA，BC＝OA，于是得到B（14，6）； （2）设D（m，6），①当OD＝OA＝10时，根据勾股定理得到OD10，求得m＝8（负值舍去），得到D（8，6）；②当OD＝AD时，得到点D在OA的垂直平分线上，求得D（5，6）；③OA＝AD＝10时，根据勾股定理得到AD10，求得m＝2＜4（不合题意舍去），于是得到结论； （3）如图，连接AC，OB交于E，根据平行四边形的性质得到AE＝CE，求得E（5，3），根据题意得到直线y＝kx+b过E（5，3），于是得到结论． 【解答】解：（1）点A坐标是（10，0），O（0，0）， ∴OA＝10， ∵四边形OABC是平行四边形， ∴BC∥OA，BC＝OA， ∵点C坐标是（4，6）， ∴B（14，6）； （2）∵点D是线段CB上一个动点， ∴设D（m，6）， ①当OD＝OA＝10时，三角形OAD是等腰三角形， ∴OD10， ∴m＝8（负值舍去）， ∴D（8，6）， ②当OD＝AD时，三角形OAD是等腰三角形， 则点D在OA的垂直平分线上， ∴D（5，6）， ③OA＝AD＝10时， ∴AD10， ∴m＝2＜4（不合题意舍去）， 综上所述，D（8，6）或（5，6）； （3）如图，连接AC，OB交于E， ∵四边形OABC是平行四边形， ∴AE＝CE， ∵点A坐标是（10，0），点C坐标是（4，6）， ∴E（7，3）， ∵y＝kx+b正好将平行四边形OABC分成面积相等的两部分， ∴直线y＝kx+b过E（7，3）， ∴3＝7k+b， ∴k， 即k与b的函数关系式为kb． 26．直线AB：y＝x+b分别与x，y轴交于A，B两点，点A的坐标为（﹣3，0），过点B的直线交x轴正半轴于点C，且OB：OC＝3：1． （1）求点B的坐标及直线BC的函数表达式； （2）在x轴上方存在点D，使以点A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等，画出△ABD，并求出点D的坐标； （3）在线段OB上存在点P，使点P到点B，C的距离相等，求出点P的坐标． 【分析】（1）由直线AB过点A，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出b的值，进而可得出点B的坐标及OB的长度，结合OB：OC＝3：1可求出点C的坐标，再由点B、C的坐标，利用待定系数法即可求出直线BC的函数表达式； （2）分△BAD≌△ABC和△ABD≌△ABC两种情况考虑：①当△BAD≌△ABC时，由OA＝OB可得出∠BAC＝45°，由全等三角形的性质可得出∠ABD＝∠BAC＝45°、BD＝AC＝4，利用内错角相等两直线平行可得出BD∥AC，结合BD的长度即可得出点D的坐标；②当△ABD≌△ABC时，有∠BAD＝∠BAC＝45°、AD＝AC＝4，由∠DAC＝∠BAD+∠BAC可得出∠DAC＝90°，结合BD的长度即可得出点D的坐标； （3）设OP＝x，则PB＝PC＝3﹣x，在Rt△POC中，利用勾股定理可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）∵直线AB：y＝x+b过点A（﹣3，0）， ∴0＝﹣3+b， ∴b＝3． 当x＝0时，y＝x+b＝b＝3， ∴点B的坐标为（0，3），即OB＝3． ∵OB：OC＝3：1， ∴OC＝1． ∵点C在x轴正半轴， ∴点C的坐标为（1，0）． 设直线BC的解析式为y＝kx+c（k≠0）， 将B（0，3）、C（1，0）代入y＝kx+c，得：， 解得：， ∴直线BC的函数表达式为y＝﹣3x+3． （2）分△BAD≌△ABC和△ABD≌△ABC两种情况考虑（如图1）： ①当△BAD≌△ABC时，∵OA＝OB＝3， ∴∠BAC＝45°． ∵△BAD≌△ABC， ∴∠ABD＝∠BAC＝45°，BD＝AC＝4， ∴BD∥AC， ∴点D的坐标为（﹣4，3）； ②当△ABD≌△ABC时，∠BAD＝∠BAC＝45°，AD＝AC＝4， ∴∠DAC＝90°， ∴点D的坐标为（﹣3，4）． 综上所述，点D的坐标为（﹣4，3）或（﹣3，4）． （3）依照题意画出图形，如图2所示． ∵PB＝PC， ∴设OP＝x，则PB＝PC＝3﹣x． 在Rt△POC中，∠POC＝90°， ∴OP2+OC2＝PC2，即x2+12＝（3﹣x）2， 解得：x， ∴点P的坐标为（0，）． 27．如图，在平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点A，交y轴于点B；直线CD：y＝x+1交y轴于点C，与直线AB交于点D，且OB＝2OA＝4OC． （1）求直线AB的解析式； （2）求△BCD的面积； （3）若点M在此平面直角坐标系中，点N在x轴上，以AC为边，点A、C、M、N为顶点作四边形，请直接写出此四边形为菱形时点M的坐标． 【分析】（1）先利用y＝x+1求出点C，从而求出OC，OA，OB长，从而得到坐标A、B，待定系数法即可求出直线AB解析式； （2）先联立直线AB和直线CD求出点D的坐标，然后利用公式计算即可； （3）先对N点的位置分类讨论，再利用菱形的性质计算即可． 【解答】解：（1）在y＝x+1中，令x＝0，y＝1，则C（0，1）， ∴OC＝1， ∵OB＝2OA＝4OC， ∴OB＝4，OA＝2， ∴A（2，0），B（0，4）， 设直线AB解析式为y＝kx+b（k≠0）， 将点A、B代入得：， ∴， ∴y＝﹣2x+4； （2）令x+1＝﹣2x+4，则x＝1 ∴D（1，2）， ∴； （3）如图，当点N在点A左侧时，对应菱形ACNM1，菱形ACM2N， ①在菱形ACNM1中，CM1⊥AN，OC＝OM1＝1，则M1（0，﹣1）； ②在菱形ACM2N中，CM2∥AN，AC＝AN，则M2（，1）； 如图，当点N在点A右侧时，对应菱形ACM3N，此时CM3∥AN，CM3＝AC， ∴， 综上所述，以AC为边，以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形时，M的坐标为（0，﹣1）或（，1）或． 28．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，过点A的直线交y轴的正半轴于点M，且点M为线段OB的中点． （1）求直线AM的函数解析式． （2）如果在y轴上有一点P，使得，请求出点P的坐标． （3）在坐标平面内是否存在点N，使以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有点N的坐标，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求得点A，B的坐标，由点M是线段OB的中点可得出点M的坐标，根据A、M的坐标，利用待定系数法即可求得直线AM的解析式； （2）设点P的坐标为P（0，n），求出，根据，得到，求出MP＝1，由此得到点P的坐标； （3）设点N的坐标为（m，n），分别以△ABM的三边为对角线，利用平行四边形的对角线互相平分，结合中点坐标公式即可得到关于m，n的方程，解之即可求解． 【解答】解：（1）当x＝0，y＝4， ∴B（0，4）， 当y＝0，即，解得x＝3， ∴A（3，0）， ∵点M为线段OB的中点， ∴M（0，2）． 设直线AM的函数解析式为y＝kx+b，将A（3，0），M（0，2）代入得， ， 解得， ∴直线AM的函数解析式为． （2）设点P的坐标为P（0，n）， ∵， ∴， ∴MP＝1， ∴点P的坐标为P（0，1）或P（0，3）． （3）如图所示，以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形存在以下三种情况，设N的坐标为（m，n） ①当BM为平行四边形对角线时，由中点坐标公式得， ， 解得， ∴N1（﹣3，6）， ②当AB为平行四边形对角线时，由中点坐标公式得， 解得， ∴N2（3，2）， ③当AM为平行四边形对角线时，由中点坐标公式得， 解得， ∴N3（3，﹣2）， 综上所述，在坐标平面内是存在点N，使以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，点N坐标为（﹣3，6），（3，2），或（3，﹣2）． 29．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x+3分别与坐标轴交于A，B两点，点C为x轴正半轴上一点，且满足3OC＝2OB． （1）求直线BC的解析式； （2）如图2，过点A的直线交线段BC于点D，且满足2S△ABD＝S△ACD，点Q为y轴上一动点，求出点D的坐标及|AQ﹣DQ|的最大值； （3）在（2）的条件下，将直线BC沿射线AB方向平移单位长度得到直线l，点N为y轴上任意一点，在直线l上确定一点M，使得以点A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点M的坐标，并任选其中一个点的坐标写出求解过程． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由2S△ABD＝S△ACD，得到AC×yD＝BE×（xD﹣xA），即（m+3）＝（）×（m+3），即可求出点D的坐标，取D关于y轴的对称点，根据三角形三边关系，确定|AQ﹣DQ|的最大值即可； （3）当AD为对角线时，由中点坐标公式，即可求解；当AN或AM为对角线时，同理可解． 【解答】解：（1）直线y＝x+3分别与坐标轴交于A，B两点，则点A、B的坐标分别为：（﹣3，0）、（0，3）， ∵3OC＝2OB，则OC＝2，即点C（2，0）， 由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：yx+3； （2）设直线AD交y轴于点E，设点D（m，m+3）， 由点A、D的坐标得，直线AD的表达式为：y（x+3），则点E（0，）， 则BE＝3， ∵2S△ABD＝S△ACD，即AC×yD＝BE×（xD﹣xA），即（m+3）＝（）×（m+3）， 解得：m，即点D（，2）； 取D关于y轴对称点D′，则D′（，2）， ∴DQ＝D′Q， ∵|AQ﹣D′Q|≥AD′， ∴|AQ﹣DQ|的最大值为AD′； （3）将直线BC沿射线AB方向平移单位长度，即向右向上分别平移了2个单位， 则直线l的表达式为：y（x﹣2）+3+2x+8，设点M（m，m+8），点N（0，y）， 当AD为对角线时， 由中点坐标公式得：3＝m+0，则m，即点M（，）； 当AN或AM为对角线时， 同理可得：﹣3＝m或m﹣3＝0，则m或，即点M（，）或（，）， 综上，M（，）或（，）或（，）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$