精品解析：重庆市渝西中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

重庆市渝西中学校高2027届高一下3月考试 数学学科试卷 考试时间：120分钟 总分：150分 一、单选题 1. 下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量基底的定义，逐项判断即得. 【详解】对于A，，A不是； 对于B，由，得不共线，B是； 对于C，，向量共线，C不是； 对于D，，向量共线，D不是. 故选：B 2. 已知，，，则（ ） A. 、、三点共线 B. 、、三点共线 C. 、、三点共线 D. 、、三点共线 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量共线的基本定理逐项判断即可. 【详解】对于A选项，， 故、、三点共线，A对； 对于B选项，因为，，故、不一定共线，B错； 对于C选项，因为，， 所以、不一定共线，C错； 对于D选项，因为，，则、不一定共线，D错. 故选：A. 3. 已知方向相同，且，则等于（ ） A. 16 B. 256 C. 8 D. 64 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量方向相同，得，进而得到答案. 【详解】因为方向相同，且， 所以， 所以， 故选：A. 4. 已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据在方向上的投影向量为即可求解. 【详解】，， 所以在方向上的投影向量为 故选：B. 5. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用正弦定理，结合题中所给的条件，求得结果. 【详解】根据正弦定理可得， 即，解得， 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有利用正弦定理解三角形，属于基础题目. 6. 在中，为边上的中线，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图形的几何性质，以及向量加减法、数乘运算的几何意义，即可得出答案. 【详解】 因为，所以 由已知可得，， 所以，， 所以，. 故选：A. 7. 如图，在三角形中，已知边上的两条中线相交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】方法1，将作为与的夹角，利用向量知识结合题目数据可得答案； 方法2，如图建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积坐标表示完成运算； 方法3，利用余弦定理计算可得答案. 【详解】法一：分别是的中点，. 与的夹角等于， ， 则； 法二：以为轴，过点作与垂直的直线为轴建立平面直角坐标系，则 ， 则 ； 法三：在中，由余弦定理， 又因为P为的重心，则， 在中再由余弦定理， 在中由余弦定理， 在中，由余弦定理，则 . 故选：D. 8. 在中，内角A，，的对边分别为，，，已知，则（ ） A. 4049 B. 4048 C. 4047 D. 4046 【答案】A 【解析】 【分析】根据同角的三角函数关系结合两角和的正弦公式化简可得，利用正余弦定理角化边可得，即可得答案. 【详解】在中，，可得， 即，故， 即，所以， 所以，即，所以 故. 故选：A. 二、多选题 9. 已知向量和实数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若且，则当时，一定有与共线 C. 若 D. 若且，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据平面向量的共线定理、向量数乘和向量数量积的定义逐项分析判断. 【详解】对于A选项：若，则或或，A错误； 对于B选项：根据共线定理，若且，则当且仅当有唯一实数，使得时，一定有与共线，B正确； 对于C选项：当与均不是零向量时，由，可得，即， 故与夹角为或，可得； 当与至少有一个是零向量时，显然； 综上所述：，C正确； 对于D选项：∵且，则， ∴，但不能确定，D错误． 故选：BC． 10. 已知函数部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）. A. B. 的图象关于点对称 C. 在单调递增 D. 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象 【答案】ACD 【解析】 【分析】先根据图象求得的解析式，然后根据对称性、单调性、图象变换等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】根据图象可知，即， 所以，解得，所以A选项正确， 此时， 将代入得，即， 所以，解得， 又，所以，， B选项，，所以B选项错误. C选项，由得，， 是正弦函数的单调递增区间，所以在单调递增，C选项正确. D选项，将函数的图象向右平移个单位得到 ， 所以D选项正确. 故选：ACD 11. 若的内角的对边分别是，外接圆的半径为，若，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A项，由边化角计算即可，对于B项，由切化弦计算即可，对于C项，及计算即可，对于D项，由与可判断范围，进而可得. 【详解】对于A项，，则，即，故A项正确； 对于B项，，则，故B项不成立； 对于C项，因为， 所以，故C项正确； 对于D项，， 由，可知均为锐角，所以， 又，所以， 所以， 所以，故D项正确. 故选：ABD. 三、填空题 12. 已知向量，，若，则________. 【答案】0 【解析】 【分析】根据向量垂直列方程，化简求得. 【详解】，由于， 所以. 故答案：0 13. 在中，角A，B，C对边分别为a，b，c，若，且，则三角形的形状为________. 【答案】等腰三角形 【解析】 【分析】先根据余弦定理和三角形面积公式对进行化简，得出角的值，再根据向量条件判断三角形的形状. 【详解】由余弦定理，移项可得， 由三角形的面积公式得. 将上述两个公式代入可得： ，所以. 所以，又因为，所以. 表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量. 以这两个单位向量为邻边作平行四边形， 则其对角线平分（菱形的对角线平分一组对角）， 所以表示的角平分线方向的向量. 因为，所以的角平分线垂直于， 根据等腰三角形三线合一的性质可知. 所以是等腰三角形，又因为，所以，. 综上，三角形的形状为等腰三角形. 故答案为：等腰三角形 14. 已知是面积为的等边三角形，且 其中实数满足 ，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】延长至，使得，化简所给条件可知三点共线，取线段的中点，连接，利用向量的加法减法及数量积运算化简，转化为求的最小值. 【详解】依题意，解得，延长至，使得，如图， 因为， 所以点在直线上，取线段的中点，连接， 则， 显然当时，有最小值， 又易知，，所以的最小值为，所以， 故的最小值为， 故答案为：． 四、解答题 15. 已知，，且与的夹角为120°，求： （1）； （2）若向量与平行，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平方的方法来求得正确答案. （2）根据向量平行列方程来求得. 【小问1详解】 ， 所以. 【小问2详解】 由于向量与平行， 所以存在实数，使得， 所以，解得. 16. 在中，角的对边分别为，且. （1）求； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简得到，求得，即可求解； （2）由余弦定理列出方程求得，结合三角形的面积公式，即可求解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理，可得， 即， 化简得， 因为，可得，所以， 因为，所以. 【小问2详解】 因为且， 由余弦定理，可得， 即，解得或（舍去）， 故的面积为. 17. 某海域的东西方向上分别有两个观测点（如图），它们相距海里.现有一艘轮船在点发出求救信号，经探测得知点位于点北偏东，点北偏西，这时，位于点南偏西且与点相距海里的点有一救援船，其航行速度为海里/小时. （1）求点到点的距离； （2）若命令处的救援船立即前往点营救，求该救援船到达点需要的时间. 【答案】（1） （2）2小时 【解析】 【分析】（1）在中利用正弦定理，求出； （2）在中，利用余弦定理求出，根据速度求出时间． 【小问1详解】 由题意知海里， ， ， 在中，由正弦定理得， ， （海里）. 【小问2详解】 在中，， （海里），由余弦定理得 ， （海里），则需要的时间（小时）． 答：救援船到达点需要2小时． 18. 定义函数的“源向量”为，非零向量的“伴随函数”为，其中为坐标原点． （1）若向量的“伴随函数”为，求在的值域； （2）若函数的“源向量”为，且以为圆心，为半径的圆内切于正（顶点恰好在轴的正半轴上），求证：为定值； （3）在中，角的对边分别为，若函数的“源向量”为，且已知，求的取值范围． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 分析】（1）根据“伴随函数”定义可得，可得值域； （2）利用向量的坐标运算即可求得； （3）由余弦定理并利用二次函数性质即可得的取值范围. 【小问1详解】 函数的“源向量”为， 所以，， 则，则当时， 则当时，， 所以函数的值域为 【小问2详解】 因，则，则， 又，所以）， 且，从而， ， 则 ； 因此可得为定值. 【小问3详解】 如下图所示： 函数的“源向量”为， 则，则 则 则又， 即， 所以， 因为，即，当且仅当时取等号， 又因为当顶点无限接近顶点，边无限接近0，即无限接近0， 综上所述， 令，则 从而，其中， 所以， 即的取值范围． 【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解“源向量”和“伴随函数”的定义，并能写出“源向量”的伴随函数以及某函数的“源向量”，再根据三角函数性质、平面向量运算法则求得结果. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市渝西中学校高2027届高一下3月考试 数学学科试卷 考试时间：120分钟 总分：150分 一、单选题 1. 下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知，，，则（ ） A. 、、三点共线 B. 、、三点共线 C 、、三点共线 D. 、、三点共线 3. 已知方向相同，且，则等于（ ） A. 16 B. 256 C. 8 D. 64 4. 已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（ ） A. B. C. 2 D. 6. 在中，为边上的中线，，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在三角形中，已知边上的两条中线相交于点，则（ ） A. B. C. D. 8. 在中，内角A，，对边分别为，，，已知，则（ ） A. 4049 B. 4048 C. 4047 D. 4046 二、多选题 9. 已知向量和实数，下列说法正确的是（ ） A 若，则或 B. 若且，则当时，一定有与共线 C. 若 D. 若且，则 10. 已知函数部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）. A. B. 的图象关于点对称 C. 在单调递增 D. 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象 11. 若的内角的对边分别是，外接圆的半径为，若，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12. 已知向量，，若，则________. 13. 在中，角A，B，C对边分别为a，b，c，若，且，则三角形形状为________. 14. 已知是面积为的等边三角形，且 其中实数满足 ，则的最小值为__________. 四、解答题 15. 已知，，且与的夹角为120°，求： （1）； （2）若向量与平行，求实数的值． 16. 在中，角对边分别为，且. （1）求； （2）若，求的面积. 17. 某海域的东西方向上分别有两个观测点（如图），它们相距海里.现有一艘轮船在点发出求救信号，经探测得知点位于点北偏东，点北偏西，这时，位于点南偏西且与点相距海里的点有一救援船，其航行速度为海里/小时. （1）求点到点的距离； （2）若命令处的救援船立即前往点营救，求该救援船到达点需要的时间. 18. 定义函数的“源向量”为，非零向量的“伴随函数”为，其中为坐标原点． （1）若向量的“伴随函数”为，求在的值域； （2）若函数的“源向量”为，且以为圆心，为半径的圆内切于正（顶点恰好在轴的正半轴上），求证：为定值； （3）在中，角的对边分别为，若函数的“源向量”为，且已知，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $