第十九章 一次函数（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（山西专用，人教版）

第十九章 一次函数（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．徐老师到单位附近的加油站加油，如图是所用的加油机加油过程中某一时刻的数据显示，则其中的常量是（   ） A．金额 B．数量 C．金额和单价 D．单价 2．下面选项中给出了某个变化过程中的两个变量x和y，其中y不是x的函数的是（    ） A．y：正方形的面积，x：这个正方形的周长 B．y：正方形的周长，x：这个正方形的边长 C．y：圆的面积，x：这个圆的直径 D．y：一个正数的平方根，x：这个正数 3．2024年国庆长假期间，“跟着悟空游山西”活动热度不减，“悟空效应”带动文旅热潮，山西各景区游人如织．已知某景区成人门票价格为60元/张，并规定购买团队成人票时，对10张以内（含10张）门票不优惠，超过10张的部分七折优惠．某旅行团参观该景区，需购买成人票张，所需总费用为元，则与的函数关系式为（   ）    A． B． C． D． 4．函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 5．甲、乙两人登山，登山过程中，甲、乙两人距地面的高度（米）与登山时间（分钟）之间的函数图象如图所示．乙提速后的登山速度是甲登山速度的3倍，并先到达山顶．小明根据图象所提供的信息得出了以下4个结论： ①甲登山的速度是每分钟10米； ②乙在地时距地面的高度为30米； ③乙登山6.5分钟时追上甲； ④当甲、乙两人距地面的高度差为50米时，登山时间为乙出发后的4分钟或9分钟． 其中错误的为（   ） A．① B．② C．③ D．④ 6．在平面直角坐标系中，将直线向上平移3个单位后，恰好经过点，则m的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 7．对于函数，下列结论正确的是（   ） A．它的图象必经过点 B．它的图象经过第一、二、三象限 C．当时， D．y的值随x值的增大而增大 8．如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则关于x，y的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 9．如图，已知一次函数，的图象交于点A，它们分别交x轴于点B，C，则的面积为（   ） A．1 B． C．2 D． 10．在测浮力的实验中，将一长方体铁块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数F（N）与铁块下降的高度h（cm）之间的关系如图所示．（温馨提示：当铁块位于水面上方时，，当铁块入水后，．）则以下说法正确的是（    ） A．当铁块下降3cm时，此时铁块在水里． B．当时，F（N）与h（cm）之间的函数表达式为． C．当铁块下降高度为6cm时，此时铁块所受浮力是1.5N． D．当弹簧测力计的示数为8N时，此时铁块底面距离水底8.5cm． 二、填空题：共5题，每题3分，共15分。 11．在弹簧限度内，弹簧挂上物体后弹筑的长度与所挂物体的质量之间的关系如表： 所挂物体的质量 … 弹簧的长度 … 则不挂物体时，弹笽的长度是 ． 12．已知是关于的一次函数，下表列出了部分对应值，则的值为 ． 13．若点，点，点都在一次函数的图象上，则与的大小关系是 ． 14．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，已知，则 ． 15．如图，直线与，轴分别相交于点，，点在线段上，且点坐标为，点为线段的中点，点为上一动点，则当的周长最小时，点的坐标为 ． 3、 解答题：共8题，共75分。 16．（9分）已知一次函数的图象如图所示， (1)求出这个函数关系式． (2)图象上有一点，求的值． (3)判断点是否在此直线上． 17．（9分）在以下平面直角坐标系中， (1)画出函数与的图象； (2)根据图象写出方程组的解； (3)根据图象写出不等式的解集． 18．（8分）甲骑电动摩托车，乙骑自行车从某公园门口出发沿同一路线匀速游玩，设乙行驶的时间为，甲、乙两人距出发点的路程、关于x的函数图象如图1所示，甲、乙两人之间的路程差关于x的函数图象如图2所示，请你解决以下问题： (1)甲的速度是______，乙的速度是______； (2)分别求出、与x的函数关系式； (3)对比图1，图2可知：______，______，______； (4)乙出发多少小时，甲、乙两人相距？（直接写出x的值） 19．（8分）某店计划采购甲、乙两种不同型号的台灯共30台，两种型号的台灯每台进价和销售价格如表所示： 设采购甲型台灯x台，全部售出后获利y元． 型号 甲 乙 每台进价/元 160 250 每台售价/元 200 300 (1)求y与x的函数表达式： (2)若要求采购甲型台灯数量不小于乙型的2倍，如何采购才能使得获利最大？最大利润为多少？ 20．（8分）如图，直线经过点． (1)求点D的坐标； (2)求直线：与直线及y轴围成图形的面积； 21．（9分）阅读理解： 如图1，若点A，B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使的值最小 做法如下：作点B关于直线l的对称点，连接，与直线l的交点P就是所求的点． 实践运用： 如图2，在平面直角坐标系中，已知两点，．    （1）按前述做法，在x轴上找一点C，使的值最小； （2）（1）中点C的坐标为　 　 拓展延伸：当x为何值时，的值最小？并求出最小值． 22．（12分）综合与实践：生活中的“一次模型” 【发现问题】 为解决学生课桌乱堆乱放现象，班主任李老师计划从文具店购买两种不同型号的书挂袋给学生使用，每名学生1只（班级共40名学生）．购买书挂袋时，发现购买书挂袋的费用随着购买的数量变化而变化． 【提出问题】 在文具店购买两种书挂袋的总费用元与购买型书挂袋数量（为正整数）只，有怎样的函数关系？ 【分析问题】 李老师对文具店销售两种型号的书挂袋情况进行了调查，得到如下信息： 信息一：购买1只型书挂袋，1只型书挂袋共需要45元：购买3只型书挂袋，2只型书挂袋共需115元； 信息二：型书挂袋每只进价18元，型书挂袋每只进价16元． 经过分析研究，李老师得到购买两种书挂袋的总费用元与购买型书挂袋数量只是一次函数关系． 【解决问题】 (1)设文具店型书挂袋每只售价元，型书挂袋每只售价元，求文具店每只型书挂袋和型书挂袋售价各是多少？ (2)求与函数关系式； (3)李老师到该文具店购买型和型两种书挂袋，文具店正在推广型书挂袋，决定将每只型书挂袋降价元，型书挂袋售价不变，若文具店在这次销售过程中，所获利润始终保持不变，则值为多少？文具店所获利润是多少？ 23．（12分）综合与探究 探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，在数学课上，王老师让同学们将等腰直角三角尺放在平面直角坐标系中展开探究：    (1)操作猜想：如图1，在平面直角坐标系中，等腰直角的直角顶点C在原点，若顶点A恰好落在点处，则点A到x轴的距离是__________，点B到x轴的距离是__________． (2)类比探究：如图2，一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，过点B作线段且，直线交x轴于点D，求点D的坐标． (3)拓展探究：如图3，在平面直角坐标系中，的顶点分别在y轴、x轴上，且．若点C的坐标为，点A的坐标为，点P是x轴上的动点，当的面积等于6时，请直接写出线段的长． 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十九章 一次函数（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．徐老师到单位附近的加油站加油，如图是所用的加油机加油过程中某一时刻的数据显示，则其中的常量是（   ） A．金额 B．数量 C．金额和单价 D．单价 【答案】D 【分析】本题主要考查常量和变量．根据常量的定义即可作答． 【详解】解：由题意得，单价是常量． 故选：D． 2．下面选项中给出了某个变化过程中的两个变量x和y，其中y不是x的函数的是（    ） A．y：正方形的面积，x：这个正方形的周长 B．y：正方形的周长，x：这个正方形的边长 C．y：圆的面积，x：这个圆的直径 D．y：一个正数的平方根，x：这个正数 【答案】D 【分析】本题主要考查函数，熟练掌握函数的定义是解决本题的关键．根据函数的定义（在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的么一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数）解决此题． 【详解】解：A．若y为正方形的面积，x为正方形的周长，则，故y是x的函数，A不符合题意． B．y表示正方形的周长，x表示正方形的边长，则，故y是x的函数，B不符合题意． C．y表示圆的面积，x表示圆的直径，则，故y是x的函数，C不符合题意． D．y表示一个正数的平方根，x表示这个正数，那么，故y不是x的函数，D符合题意． 故选：D． 3．2024年国庆长假期间，“跟着悟空游山西”活动热度不减，“悟空效应”带动文旅热潮，山西各景区游人如织．已知某景区成人门票价格为60元/张，并规定购买团队成人票时，对10张以内（含10张）门票不优惠，超过10张的部分七折优惠．某旅行团参观该景区，需购买成人票张，所需总费用为元，则与的函数关系式为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数关系式，根据总费用为元张以内（含10张）门票超过10张的部分门票费用，可得函数关系式． 【详解】解：由题意，得 ． 故选D． 4．函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查函数自变量有意义的条件，根据分式的分母不为零，二次根式的被开方数为非负数解题即可． 【详解】解：由题可得：，， 解得：且， 故选：D． 5．甲、乙两人登山，登山过程中，甲、乙两人距地面的高度（米）与登山时间（分钟）之间的函数图象如图所示．乙提速后的登山速度是甲登山速度的3倍，并先到达山顶．小明根据图象所提供的信息得出了以下4个结论： ①甲登山的速度是每分钟10米； ②乙在地时距地面的高度为30米； ③乙登山6.5分钟时追上甲； ④当甲、乙两人距地面的高度差为50米时，登山时间为乙出发后的4分钟或9分钟． 其中错误的为（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息、一元一次方程的应用，读懂函数图象，正确获取信息是解题关键．根据函数图象可得甲登山用20分钟，距离地面的高度从100米增加到300米，由此即可判断①正确；求出在提速前，乙登山的速度，由此即可判断②正确；设乙登山分钟时追上甲，根据追上时，两人距离地面的高度相等建立方程，解方程即可判断③正确；先求出图象中，再分四种情况：，，和，分别建立方程，解方程即可判断④错误． 【详解】解：由函数图象可知，甲登山用20分钟，距离地面的高度从100米增加到300米， 则甲登山的速度是（米/分钟），结论①正确； 由函数图象可知，在提速前，乙登山的速度是（米/分钟）， 则（米），结论②正确； 设乙登山分钟时追上甲， 则， 解得， 即乙登山分钟时追上甲，结论③正确； 由题意得：提速后，乙登山的速度为（米/分钟）， 由函数图象可知，， 当时，则，解得，不符合题设，舍去； 当时，则，解得，符合题设； 当时，则，解得，符合题设； 当时，则，解得，符合题设； 综上，当甲、乙两人距地面的高度差为50米时，登山时间为乙出发后的4分钟或9分钟或15分钟，则结论④错误； 故选：D． 6．在平面直角坐标系中，将直线向上平移3个单位后，恰好经过点，则m的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，正确求出平移后的直线解析式是解题的关键． 先根据平移规律求出直线向上平移3个单位的直线解析式，再把点代入，即可求出m的值． 【详解】解：将直线向上平移3个单位， 得到直线， 把点代入， 得， 解得，． 故选：B． 7．对于函数，下列结论正确的是（   ） A．它的图象必经过点 B．它的图象经过第一、二、三象限 C．当时， D．y的值随x值的增大而增大 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，根据一次函数的图象与性质逐一分析四个选项的正误是解题的关键，利用一次函数图象的性质进行解答即可． 【详解】解：、当时，代入函数得，，故说法错误，不合题意； ,函数图象经过一、二、四象限，说法错误，不合题意； 、当时，,又因为随增大而减小，时，,说法正确，符合题意； 、随增大而减小，说法错误，不合题意； 故选：． 8．如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则关于x，y的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标；运用数形结合的方法解决此类问题． 先把代入中计算出n的值，从而得到，然后利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标解决问题． 【详解】解：把代入得， 即， ∵一次函数 的图象与的图象相交于点， ∴关于x，y的方程组的解为． 故选：B． 9．如图，已知一次函数，的图象交于点A，它们分别交x轴于点B，C，则的面积为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】题目主要考查一次函数的基本性质及交点和三角形面积问题，根据题意得出，，结合图形计算面积即可，熟练掌握一次函数与坐标轴的交点方法是解题关键 【详解】解：∵一次函数， ∴当时，， 解得：， ∵一次函数, ∴当时，， 解得： ， ∴， 当时，， 解得：， ∴， ∴， ∴， 边上的高即为点A的纵坐标1， ∴的面积为：， 故选：B 10．在测浮力的实验中，将一长方体铁块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数F（N）与铁块下降的高度h（cm）之间的关系如图所示．（温馨提示：当铁块位于水面上方时，，当铁块入水后，．）则以下说法正确的是（    ） A．当铁块下降3cm时，此时铁块在水里． B．当时，F（N）与h（cm）之间的函数表达式为． C．当铁块下降高度为6cm时，此时铁块所受浮力是1.5N． D．当弹簧测力计的示数为8N时，此时铁块底面距离水底8.5cm． 【答案】D 【分析】根据函数图像待定系数法求得线段的解析式，进而逐项分析判断即可求解． 本题考查了一次函数的应用，求得函数解析式，数形结合是解题的关键． 【详解】解：由图知，铁块下降到5cm时，刚好接触水面， ∴A选项错误； 当时，设所在直线的关系式为：， 把，代入得， 解得， ∴F与h的关系式为：， ∴B选项错误； 当时，， 由图知， ∵， ∴， ∴C选项错误； 当时，， 解得， 此时铁块底面距离水底， ∴D选项正确； 故选：D． 二、填空题：共5题，每题3分，共15分。 11．在弹簧限度内，弹簧挂上物体后弹筑的长度与所挂物体的质量之间的关系如表： 所挂物体的质量 … 弹簧的长度 … 则不挂物体时，弹笽的长度是 ． 【答案】 【分析】根据表格数据可直接得出答案． 【详解】解：由表格可知，当所挂物体的质量为，即不挂物体时， 弹簧的长度是， 故答案为：． 【点睛】此题考查了函数的表示方法—列表法，学会从表格数据中观察出函数的关系是解决本题的关键． 12．已知是关于的一次函数，下表列出了部分对应值，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，根据给定数据，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键． 根据给定数据，利用待定系数法可求出一次函数解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出的值． 【详解】解：设一次函数的解析式为， 将，代入得：， 解得：， 一次函数的解析式为， 当时，， ， 故答案为：． 13．若点，点，点都在一次函数的图象上，则与的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 先根据点代入可得，再根据一次函数的增减性即可得． 【详解】点在一次函数的图象上， ，解得：， 一次函数解析式为， ， 随的增大而减小， 又点，点都在一次函数的图象上，且， ． 故答案为：． 14．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与三角形面积，待定系数法；由待定系数法得直线的解析式为，求出的坐标，由即可求解；能熟练求解一次函数与三角形的面积是解题的关键． 【详解】解：如图， 当时，， 当时，， 解得：， ，，， 设直线的解析式为，则有 ， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， ， ， ； 故答案：． 15．如图，直线与，轴分别相交于点，，点在线段上，且点坐标为，点为线段的中点，点为上一动点，则当的周长最小时，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，轴对称的性质，两点之间线段最短，掌握知识点的应用是解题的关键． 作关于轴对称点，连接，交轴于点，当点与点重合时，的周长最小，由直线，分别求出，，又点为线段的中点，则，所以，求出直线解析式为即可． 【详解】解：如图，作关于轴对称点，连接，交轴于点，当点与点重合时，的周长最小， ∴， 由根据两点之间线段最短可得：的周长， ∵点在直线上， ∴， ∴， 由直线，当时，， ∴， ∵点为线段的中点， ∴， ∴， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为， 当时，， ∴点的坐标为， 故答案为：． 3、 解答题：共8题，共75分。 16．（9分）已知一次函数的图象如图所示， (1)求出这个函数关系式． (2)图象上有一点，求的值． (3)判断点是否在此直线上． 【答案】(1) (2) (3)点不在此直线上 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，函数图象上的点的坐标特征，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键． （1）运用待定系数法即可求解； （2）将点代入解析式即可； （3）把代入解析式即可． 【详解】（1）解：由题意得，把代入， ， 解得：， ∴； （2）解：由题意得，将代入， ； （3）解：由题意得，把代入得：， ∴点不在此直线上． 17．（9分）在以下平面直角坐标系中， (1)画出函数与的图象； (2)根据图象写出方程组的解； (3)根据图象写出不等式的解集． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了画一次函数图象、一次函数与方程组的关系、一次函数与不等式的关系等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）运用列表、描点、连线的步骤画出函数图象即可； （2）根据二元一次方程组的解为其对应函数交点的坐标，据此即可解答； （3）根据函数图象确定在上方部分所对应的自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：列表如下： 描点、连线、画图如下： （2）解：方程组可化为：， 由函数图象可知直线与直线的交点坐标为， 所以方程组的解为； （3）解：∵当时，函数的图象在函数的下方， ∴不等式的解集为． 18．（8分）甲骑电动摩托车，乙骑自行车从某公园门口出发沿同一路线匀速游玩，设乙行驶的时间为，甲、乙两人距出发点的路程、关于x的函数图象如图1所示，甲、乙两人之间的路程差关于x的函数图象如图2所示，请你解决以下问题： (1)甲的速度是______，乙的速度是______； (2)分别求出、与x的函数关系式； (3)对比图1，图2可知：______，______，______； (4)乙出发多少小时，甲、乙两人相距？（直接写出x的值） 【答案】(1)30，12 (2)， (3)12，，24 (4)或或或 【分析】本题考查了实际问题的函数图象，一次函数的应用，一元一次方程的应用，能够从函数中读取信息是解题的关键． （1）根据图象中的信息求解即可； （2）利用待定系数法求解即可； （3）首先求出当时，和，然后作差即可求出a；根据题意得到时，，即此时甲乙两人相遇，然后联立表达式求解即可；求出当时，和，然后作差即可求出c； （4）根据题意分4种情况讨论，分别列出方程求解即可． 【详解】（1）甲的速度是，乙的速度是； （2）设 将，代入得， 解得 ∴； 设 将代入得， 解得 ∴； （3）当时，， ∴； 根据图2可得，时，，即此时甲乙两人相遇 ∴联立得， 解得 ∴； 当时，， ∴； （4）根据题意得， 当甲还没出发时， 解得； 当甲出发后，追上乙前， 解得 当甲追上后，还没到终点前， 解得 当甲到达终点后，乙还没到终点前， 解得 综上所述，乙出发或或或小时，甲、乙两人相距． 19．（8分）某店计划采购甲、乙两种不同型号的台灯共30台，两种型号的台灯每台进价和销售价格如表所示： 设采购甲型台灯x台，全部售出后获利y元． 型号 甲 乙 每台进价/元 160 250 每台售价/元 200 300 (1)求y与x的函数表达式： (2)若要求采购甲型台灯数量不小于乙型的2倍，如何采购才能使得获利最大？最大利润为多少？ 【答案】(1) (2)采购甲型台灯20台，乙型台灯10台时商店获得最大利润，最大利润是1300元 【分析】此题考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式的应用，方案问题的解决方法，正确理解题意，根据题意列出对应的函数关系式或不等式解答问题是解题的关键． （1）根据利润等于每台台灯的利润乘以台数列得函数关系式即可； （2）根据题意求出x的取值范围，根据函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴y与x的函数表达式为：； （2）解：由题意得：， 解得：， ， ∵，且， 随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值，最大值， , ∴采购甲型台灯20台，乙型台灯10台时商店获得最大利润，最大利润是1300元． 20．（8分）如图，直线经过点． (1)求点D的坐标； (2)求直线：与直线及y轴围成图形的面积； 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数图象的交点，关键是正确从函数图象中获得正确信息． （ 1）利用待定系数法求一次函数解析式，令求出y即可； （ 2）联立两直线解析式，解方程组即可得到点C的坐标，根据三角形的面积公式即可求出答案； 【详解】（1）解：∵直线经过点， ∴， 解得， ∴， 当时，， ∴点D的坐标为； （2）解：∵若直线与直线相交于点C， ∴， 解得， 故点， ∵与分别交y轴于点E和点D， ∴， ∴直线：与直线及y轴围成图形的面积为：； 21．（9分）阅读理解： 如图1，若点A，B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使的值最小 做法如下：作点B关于直线l的对称点，连接，与直线l的交点P就是所求的点． 实践运用： 如图2，在平面直角坐标系中，已知两点，．    （1）按前述做法，在x轴上找一点C，使的值最小； （2）（1）中点C的坐标为　 　 拓展延伸：当x为何值时，的值最小？并求出最小值． 【答案】（1）见解析；（2）；拓展：，最小值为13 【分析】（1）过A作轴于，延长使，连接，交x轴于，从而可得答案； （2）先求解，设直线为，而利用待定系数法可得直线为，再求解直线与x轴的交点坐标； （3）如图，设，，，可得，如图，取，则，关于x轴对称，可得，此时最短，再仿照（2）的方法求解即可． 【详解】解：（1）如图，C点即为所求；    （2）∵，轴，， ∴， 设直线为，而． ∴，解得：， ∴直线为， 当时，， 解得：， ∴； （3）如图，设，，， ∴，， ∴， 如图，取，则，关于x轴对称， ∴，    ∴，此时最短， ∴最短距离为：； ∵，， 同理可得：直线为， 当时，则，则， ∴当时，最小值为13． 【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题，坐标与图形，利用待定系数法求解一次函数的解析式，熟练掌握轴对称的性质和勾股定理的应用是解题的关键． 22．（12分）综合与实践：生活中的“一次模型” 【发现问题】 为解决学生课桌乱堆乱放现象，班主任李老师计划从文具店购买两种不同型号的书挂袋给学生使用，每名学生1只（班级共40名学生）．购买书挂袋时，发现购买书挂袋的费用随着购买的数量变化而变化． 【提出问题】 在文具店购买两种书挂袋的总费用元与购买型书挂袋数量（为正整数）只，有怎样的函数关系？ 【分析问题】 李老师对文具店销售两种型号的书挂袋情况进行了调查，得到如下信息： 信息一：购买1只型书挂袋，1只型书挂袋共需要45元：购买3只型书挂袋，2只型书挂袋共需115元； 信息二：型书挂袋每只进价18元，型书挂袋每只进价16元． 经过分析研究，李老师得到购买两种书挂袋的总费用元与购买型书挂袋数量只是一次函数关系． 【解决问题】 (1)设文具店型书挂袋每只售价元，型书挂袋每只售价元，求文具店每只型书挂袋和型书挂袋售价各是多少？ (2)求与函数关系式； (3)李老师到该文具店购买型和型两种书挂袋，文具店正在推广型书挂袋，决定将每只型书挂袋降价元，型书挂袋售价不变，若文具店在这次销售过程中，所获利润始终保持不变，则值为多少？文具店所获利润是多少？ 【答案】(1)文具店型书挂袋每只售价25元，型书挂袋每只售价20元 (2)与的函数关系式为 (3)为3时，文具店所获利润始终不变，是160元 【分析】本题考查二元一次方程组、一次函数解实际应用题，读懂题意，准确找到等量关系确定方程组及函数关系是解决问题的关键． （1）设文具店型书挂袋每只售价元，型书挂袋每只售价元，由题中等量关系列方程组求解即可得到答案； （2）根据题意，直接得到，整理即可得到与的函数关系式为； （3）设文具店这次销售过程中所获利润为元，由题意得，再由文具店在这次销售过程中，所获利润始终保持不变，得求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设文具店型书挂袋每只售价元，型书挂袋每只售价元， 依题意得，解得， 答：文具店型书挂袋每只售价25元，型书挂袋每只售价20元； （2）解：由已知得， 整理得， 与的函数关系式为； （3）解：设文具店这次销售过程中所获利润为元， 依题意得， 整理得， 文具店在这次销售过程中，所获利润始终保持不变， ，解得，此时， 答：为3时，文具店所获利润始终不变，是160元． 23．（12分）综合与探究 探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，在数学课上，王老师让同学们将等腰直角三角尺放在平面直角坐标系中展开探究：    (1)操作猜想：如图1，在平面直角坐标系中，等腰直角的直角顶点C在原点，若顶点A恰好落在点处，则点A到x轴的距离是__________，点B到x轴的距离是__________． (2)类比探究：如图2，一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，过点B作线段且，直线交x轴于点D，求点D的坐标． (3)拓展探究：如图3，在平面直角坐标系中，的顶点分别在y轴、x轴上，且．若点C的坐标为，点A的坐标为，点P是x轴上的动点，当的面积等于6时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)2，1 (2) (3)或 【分析】（1）作轴于点E，轴于点F，由可得，，，易证，，，因此，再进一步可得答案； （2）一次函数，分别令，，即可得点A，点B的坐标；过点C作轴于M，由，根据全等三角形的性质即可解决问题； （3）过点B作轴于N，由，根据全等三角形的性质即可解决问题，即可求出点B的坐标，再进一步可得答案． 【详解】（1）解：如图1，作轴于点E，    ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴．而， ∴点A到x轴的距离是，点B到x轴的距离是． （2）令，则 ∴， 令，则，解得：， ∴， ∴，， 过点C作轴于M，    ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点C的坐标为， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， 当时，则， ∴； （3）如图3，过点B作轴于N，    ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵在轴上，设， ∴， ∵的面积等于6， ∴， 解得：或， ∴或； ∵， ∴或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，熟练掌握一次函数的性质与三角形全等的判定是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$