专题06 一次函数综合题【四大题型】（北京专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期末真题分类汇编

专题06 一次函数综合题【四大题型】 【题型1 一次函数中的参数范围问题】 1．（2024•平谷区期末）已知：a图形上任意一点M，b图形上任意一点N，若点M与点N之间的距离MN始终满足MN＞0，则称图形a与图形b相离． （1）已知点A（0，﹣2），B（2，6），C（3，4），D（﹣1，0）． ①与直线y＝x+1为相离图形的点是 　 　 ； ②若直线y＝x+b与△ABC相离，求b的取值范围． （2）设直线y＝x+3、直线y＝﹣x+3及直线y＝﹣2围成的图形为W，图形T是边长为2的正方形，且正方形的各边分别与两坐标轴平行，该正方形对角线的交点坐标为（t，0），直接写出图形T与图形W相离时t的取值范围． 2．（2024•海淀区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，对于图形M和图形N给出如下定义：如果图形M上存在点P、y轴上存在点T，使得点P以点T为旋转中心，逆时针旋转90°得到的点Q在图形N上，那么称图形N是图形M的“关联图形”． （1）如图，点A（﹣3，2），B（0，﹣1），C（3，2），D（﹣1，6）． ①在点B，C，D中，可以是点A的“关联图形”是 　 　 ； ②若直线y＝kx﹣2不是点A的“关联图形”，求实数k的值； （2）已知点E（m，0），G（m+1，1），以线段EG为对角线的正方形为EFGH，若正方形EFGH是其自己的“关联图形”，直接写出m的取值范围． 3．（2024•东城区校级期末）定义：对于给定的一次函数y＝ax+b（a≠0），把形如的函数称为一次函数y＝ax+b的衍生函数． （1）已知函数y＝x+1，若点P（1，b1），Q（﹣2，b2）在这个一次函数的衍生函数图象上，则b1＝　 　 ，b2＝　 　 ． （2）已知矩形ABCD的顶点坐标分别为A（1，0），B（1，2），C（﹣3，2），D（﹣3，0），当函数y＝kx﹣3（k＞0）的衍生函数的图象与矩形ABCD有1个交点时，k＝　 　 ；当函数y＝kx﹣3（k＞0）的衍生函数的图象与矩形ABCD有两个交点时，直接写出k的取值范围 　 　 ． （3）已知点E（0，t），以OE为一条对角线作正方形OMEN，当正方形OMEN与一次函数y＝2x﹣2的衍生函数图象有两个交点时，求t的取值范围． 4．（2023•延庆区期末）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l和图形W给出如下定义：若直线l与图形W有且只有一个交点，则称直线l是图形W的“独立关联直线”． 如图1，直线l是菱形ABCD的“独立关联直线”． （1）如图2，点A（1，0），点C（3，1）是矩形ABCD的顶点，若一次函数y＝kx﹣1（k≠0）的图象是这个矩形的“独立关联直线”，求k的值； （2）点F，H是直线y＝x上的两点，点F的横坐标为a，点H的横坐标为a+1；将正方形EFGH的边HE，EF，FG称为图形M（其中点E的横坐标为a），若直线l：y＝﹣2x+2是图形M的“独立关联直线”，直接写出a的取值范围． 【题型2 一次函数中的最值问题】 5．（2024•东城区期末）在平面直角坐标系xOy中，对于线段AB和点Q，给出如下定义：若在直线y＝x上存在点P，使得四边形ABPQ为平行四边形，则称点Q为线段AB的“相随点”． （1）已知，点A（1，3），B（5，3）． ①在点Q1（1，5），Q2（﹣1，3），Q3（0，4），Q4（﹣5，0）中，线段AB的“相随点”是 　 　 ； ②若点Q为线段AB的“相随点”，连接OQ，BQ，直接写出OQ+BQ的最小值及此时点Q的坐标； （2）已知点A（﹣2，3），点B（2，﹣1），正方形CDEF边长为2，且以点（t，1）为中心，各边与坐标轴垂直或平行，若对于正方形CDEF上的任意一点，都存在线段AB上的两点M，N，使得该点为线段MN的“相随点”，请直接写出t的取值范围． 6．（2024•房山区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，对于点P与图形W给出如下定义：N为图形W上任意一点，P，N两点间距离的最小值称为点P与图形W的“近点距离”．特别的，当点P在图形W上时，点P与图形W的“近点距离”为零．如图1，点A（3，1），B（3，5）． （1）点C（4，1）与线段AB的“近点距离”是 　 　 ； 点D（1，0）与线段AB的“近点距离”是 　 　 ； （2）点P在直线y＝x+2上，如果点P与线段AB的“近点距离”为2，那么点P的坐标是 　 ； （3）如图2，将线段AB向右平移3个单位，得到线段EF，连接AE，BF，若直线y＝x+b上存在点G，使得点G与四边形ABFE的“近点距离”小于或等于，直接写出b的取值范围． 7．（2024•西城区校级期末）对于定点P和图形W，给出如下定义：若图形W上存在两个不同的点M，N，使得四边形PMQN是平行四边形，则称点Q是点P关于图形W的衍生点．特别地，当平行四边形PMQN的面积最大时，称点Q是点P关于图形W的最佳衍生点． 在平面直角坐标系xOy中，点A（0，1），B（1，1），C（0，2），D（0，3），E（，2）． （1）点C，D，E中，点O关于线段AB的衍生点是 　 　 ； （2）将点O关于线段AB的最佳衍生点记为T， ①直接写出点T的坐标； ②若直线y＝﹣x+b上存在点O关于四边形ABTC的衍生点，求b的取值范围． 8．（2024•房山区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，对于两点A，B，给出如下定义：以线段AB为边的正方形称为点A，B的“确定正方形”．如图1为点A，B的“确定正方形”的示意图． （1）如果点C的坐标为（0，1），点D的坐标为（2，1），画出点C，D的一个“确定正方形”，这个正方形的面积是 　 　 ； （2）已知点O的坐标为（0，0），点M为直线y＝x+b（b＞0）上一动点，当点O，M的“确定正方形”的面积最小，且最小面积为1时，求b的值． （3）已知点E在以边长为2的正方形的边上，且该正方形的边与两坐标轴平行，对角线交点为P（m，0），点F在直线y＝﹣x﹣2上，若要使所有点E，F的“确定正方形”的面积都不小于2，直接写出m的取值范围． 【题型3 一次函数中的动点问题】 9．（2024•西城区期末）在平面直角坐标系xOy中，对于线段a，给出如下定义：直线l1：y＝2x+b1经过线段a的一个端点，直线l2：y＝﹣3x+b2经过线段a的另一个端点．若直线l1与l2交于点P，且点P不在线段a上，则称点P为线段a的“双线关联点”． （1）如图，线段a的两个端点分别为（0，﹣1）和（0，4），则在点P1（1，1），P2（﹣1，1），P3（﹣1，2）中，线段a的“双线关联点”是 　 　 ； （2）A（m，y1），B（m+4，y2）是直线上的两个动点． ①点P是线段AB的“双线关联点”，且点P的纵坐标为4，求点P的横坐标； ②正方形CDEF的四个顶点的坐标分别为C（t，t），D（t，﹣t），E（3t，﹣t），F（3t，t），其中t＞0．当点A，B在直线上运动时，不断产生线段AB的“双线关联点”，若所有线段AB的“双线关联点”中，恰有两个点在正方形CDEF上，直接写出t的取值范围． 10．（2024•昌平区期末）在平面直角坐标系xOy中，对于两个点P，Q和图形W，给出如下定义：若射线OQ与图形W的一个交点为M，射线PQ与图形W的一个交点为N，且满足四边形OPMN为平行四边形，则称点Q是点P关于图形W的“平心点”．如图1中，点Q是点P关于图中线段ST的“平心点”． 已知点：A（2，2），B（6，2），C（2，0）， （1）点D（1，1），E（2，3），F（，1）中，是点C关于直线AB“平心点”的有 　 　 ； （2）若点C关于线段AB的“平心点”J的横坐标为a时，求a的取值范围； （3）已知点G（6，5），H（2，5），K（0，﹣2），点P是线段CK上的动点（点P不与端点C，K重合），若直线l：y＝kx上存在点P关于矩形ABGH的“平心点”，请直接写出k的取值范围． 11．（2023•西城区期末）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），给出如下定义： 将点P1与P2的“变倍距离”记为d（P1，P2）， 若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则d（P1，P2）＝5|x1﹣x2|+4|y1﹣y2|； 若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则d（P1，P2）＝4|x1﹣x2|+3|y1﹣y2|． 例如，点M（﹣1，5）与N（2，4）的“变倍距离”d（M，N）＝5×3+4×1＝19． 已知点A（2，0）． （1）若点B（0，2），C（0，﹣3），则d（A，B）＝　 　 ，d（A，C）＝　 　 ； （2）点D在y轴负半轴上，且d（A，D）＝15，求点D的坐标； （3）点P、Q是第一、三象限角平分线上的两个动点（P与Q不重合），若d（A，P）＝d（A，Q）＝t，直接写出t的取值范围． 12．（2023•西城区期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点P（x1，y1），Q（x2，y2），给出如下定义： M[P，Q]（x1+x2﹣|x1﹣x2|）（y1+y2﹣|y1﹣y2|）． （1）已知点P（1，0）． ①若点Q与点P重合，则M[P，Q]＝　 　 ； ②若点Q（3，﹣1），则M[P，Q]＝　 　 ； （2）正方形OABC四个顶点的坐标分别是O（0，0），A（t，0），B（t，t），C（0，t），其中t＞0，在正方形OABC内部有一点P（a，b），动点Q在正方形OABC的边上及其内部运动．若M[P，Q]＝a+b，求所有满足条件的点Q组成的图形的面积（用含a，b，t的式子表示）； （3）若点P（1，2），Q（k，5﹣k），M[P，Q]＞0，且M[P，Q]为奇数，直接写出k的取值范围． 【题型4 一次函数中的存在性问题】 13．（2024•怀柔区期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点P（a，b）．如果存在点Q（a′，b′），满足a′＝a﹣b，b′＝a+b，则称点Q为点P的“非常点”． （1）如图1，在Q1（﹣1，3），Q2（3，﹣1），Q3（﹣1，﹣1）中，点P（1，﹣2）的“非常点”是 　 　 ； （2）若点P（a，b）在第一象限，且a＞b，判断△POQ的形状并证明； （3）直线与x轴，y轴分别交于G，H两点，若线段GH上存在点P的非常点Q，请直接写出线段OP长度的取值范围． 14．（2024•顺义区期末）在平面直角坐标系xOy中，对于点P和图形N，给出如下定义：如果图形N上存在点Q，使得PQ＝1，那么称点P为图形N的“拉手点”． 已知点A（﹣4，0），B（0，4）． （1）在点P1（0，5），P2（﹣4，1），P3（﹣2，0）中，线段AB的“拉手点”是 　 　 ； （2）若直线y＝x+b上存在线段AB的“拉手点”，求b的取值范围， （3）O是边长为a的正方形CDEF的对角线的交点．若正方形CDEF上存在线段AB的“拉手点”，直接写出a的取值范围． 15．（2024•海淀区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和点Q给出如下定义：若点Q的坐标为（x，ny）（n＞0），则称点Q为点P的“n倍点”． （1）①若点P（3，3），点Q为点P的“倍点”，则点Q的坐标为 　 　 ； ②当P是直线y＝x+1与x轴的交点时，点P的“n倍点”的坐标为 　 　 ． （2）已知点A（2，3），B（6，3），C（8，5），D（4，5）； ①若对于直线AD上任意一点Q，在直线y＝2x+2上都有点P，使得点Q为点P的“n倍点”，求n的值； ②点P是直线y＝kx+2k（k＞0）上任意一点，若在四边形ABCD的边上存在点P的“n倍点”，且n＝k，直接写出k的取值范围． 16．（2023•海淀区期末）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x0，y0），给出如下定义：若存在实数x1，x2，y1，y2使得x0﹣x1＝x1﹣x2且y0﹣y1＝y1﹣y2，则称点P为以点（x1，y1）和（x2，y2）为端点的线段的等差点． （1）若线段m的两个端点坐标分别为（1，2）和（3，﹣2），则下列点是线段m等差点的有 　 　 ；（填写序号即可） ①P1（﹣1，6）； ②P2（2，0）； ③P3（4，﹣4）； ④P₄（5，﹣6）． （2）点A，B都在直线y＝﹣x上，已知点A的横坐标为﹣2，M（t，0），N（t+1，1）． ①如图1，当t＝﹣1时，线段AB的等差点在线段MN上，求满足条件的点B的坐标； ②如图2，点B横坐标为2，以AB为对角线构造正方形ACBD，在正方形ACBD的边上（包括顶点）任取两点连接的线段中，若线段MN上存在其中某条线段的等差点，直接写出t的取值范围 　 　 ． 16 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 一次函数综合题【四大题型】 【题型1 一次函数中的参数范围问题】 1．（2024•平谷区期末）已知：a图形上任意一点M，b图形上任意一点N，若点M与点N之间的距离MN始终满足MN＞0，则称图形a与图形b相离． （1）已知点A（0，﹣2），B（2，6），C（3，4），D（﹣1，0）． ①与直线y＝x+1为相离图形的点是 　A，B　 ； ②若直线y＝x+b与△ABC相离，求b的取值范围． （2）设直线y＝x+3、直线y＝﹣x+3及直线y＝﹣2围成的图形为W，图形T是边长为2的正方形，且正方形的各边分别与两坐标轴平行，该正方形对角线的交点坐标为（t，0），直接写出图形T与图形W相离时t的取值范围． 解：（1）①∵点A（0，﹣2）， ∴当x＝0时，0+1≠﹣2， ∴点A不在直线y＝x+1上，A（0，﹣2），B（2，6），C（3，4），D（﹣1，0） 同理，点B（2，6）不在直线y＝x+1上，点C（3，4），点D（﹣1，0）在直线上， ∴与直线y＝x+1相离的点是A，B； 答案：A，B； ②当直线y＝x+b过点A（0，﹣2）时， ∴﹣2＝0+b， 解得：b＝﹣1． 当直线y＝x+b过点B（2，6）时， ∴6＝2+b， 解得：b＝4． ∴b的取值范围是b＞4或b＜﹣2． （2）如图所示： 图形T与图形W相离时t的取值范围是t＞5或t＜﹣5或﹣1＜t＜1． 2．（2024•海淀区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，对于图形M和图形N给出如下定义：如果图形M上存在点P、y轴上存在点T，使得点P以点T为旋转中心，逆时针旋转90°得到的点Q在图形N上，那么称图形N是图形M的“关联图形”． （1）如图，点A（﹣3，2），B（0，﹣1），C（3，2），D（﹣1，6）． ①在点B，C，D中，可以是点A的“关联图形”是 　B，C　 ； ②若直线y＝kx﹣2不是点A的“关联图形”，求实数k的值； （2）已知点E（m，0），G（m+1，1），以线段EG为对角线的正方形为EFGH，若正方形EFGH是其自己的“关联图形”，直接写出m的取值范围． 解：（1）①A点绕（0，2）逆时针旋转 90° 得到点B，点A绕（0，5）逆时针旋转90°得到点C， 答案：B，C； ②设点K（0，a），那么点A绕点K逆时针旋转90°得到点A'， 作AJ⊥y轴交y轴于J，作A'S\K⊥y轴交y轴于点K，如图所示， 由旋转可知，AT＝A′T，∠ATA′＝90°， ∵∠AJT＝90°， ∴∠TAJ+∠ATJ＝90°， ∵∠ATJ+∠A′TK＝90°， ∴∠TAJ＝∠A′TK， ∴△ATJ≌△A′KJ（AAS）， ∵A（﹣3，2）， ∴TJ＝a﹣2＝KA′，AJ＝3＝TK， ∴OK＝TO﹣TK＝a﹣3， ∴A坐标为（a﹣2，a﹣3）， 当a＝2时，A'（0，﹣1）， 当a＝3时，有A'（1，0）， 设点A在直线y＝cx+d上运动， 代入（0，﹣1）和（1，0）， 解得：c＝1，d＝﹣1， ∴A'在直线y＝x﹣1上运动． ∵直线y＝kx﹣2不是点A的“关联图形”， ∴直线y＝kx﹣2和直线y＝x﹣1没有交点， 即两直线平行， ∴k＝1． （2）∵E（m，0），G（m+1，1）， ∴H（m，1），F（m+1，0）． 同（1）②，如图，可得点G（m+1，1）绕点K逆时针旋转90°得到点G'（a﹣1，a+m+1）， 且G'在y＝x+m+2上运动， 设y＝x+m+2在x轴的交点为Q，则Q点坐标为（﹣m﹣2，0）．当y＝x+m+2与正方形EFGH有唯一交点，即点F与Q重叠时，m取得最小值．此时，m+1＝﹣m﹣2， ∴m． 同（1）②，如图，可得点E（m，0）绕点K逆时针旋转90°得到点E'（a，a+m）， 且E'在y＝x+m上运动， 当y＝x+m与正方形EFGH有唯一交点， 即点H（m，1）在y＝x+m上时，m取得最大值， 此时，1＝m+m， ∴m． 综上所述，m的取值范围是m． 3．（2024•东城区校级期末）定义：对于给定的一次函数y＝ax+b（a≠0），把形如的函数称为一次函数y＝ax+b的衍生函数． （1）已知函数y＝x+1，若点P（1，b1），Q（﹣2，b2）在这个一次函数的衍生函数图象上，则b1＝　2　 ，b2＝　﹣1　 ． （2）已知矩形ABCD的顶点坐标分别为A（1，0），B（1，2），C（﹣3，2），D（﹣3，0），当函数y＝kx﹣3（k＞0）的衍生函数的图象与矩形ABCD有1个交点时，k＝　1　 ；当函数y＝kx﹣3（k＞0）的衍生函数的图象与矩形ABCD有两个交点时，直接写出k的取值范围 　1＜k＜3　 ． （3）已知点E（0，t），以OE为一条对角线作正方形OMEN，当正方形OMEN与一次函数y＝2x﹣2的衍生函数图象有两个交点时，求t的取值范围． 解：（1）∵点P（1，b1），Q（﹣2，b2）在一次函数y＝x+1的衍生函数图象上， ①x＝1＞0， ∴b1＝1+1＝2， ②x＝﹣2＜0， ∴b2＝2+1＝3， 答案：2，3； （2）根据题意，函数y＝kx﹣3（k＞0）的衍生函数可以表示为y＝|k|x﹣3， 如图1所示，当直线在位置①时，函数和矩形有1个交点， 当x＝3时，y＝|k|x﹣3＝|k|×3﹣3＝0， 解得k＝±1， ∵k＞0， ∴取k＝1， 当直线在位置②时，函数与矩形有3个交点， 当x＝1时，y＝|k|x﹣3＝|k|×1﹣3＝0， 解得k＝±3， ∵k＞0， ∴取k＝3， 故函数在①②之间的位置时，函数与矩形有两个交点， 即1＜k＜3； 答案：1，1＜k＜3； （3）根据题意分情况如下： ①当t＞0时，如图2， ∵四边形OMEN是正方形，点E在y轴上，且OE为对角线， ∴OM与x轴的正半轴夹角为45°， ∴直线OM的解析式为y＝x， ∴， 解得， ∴M（2，2），N（﹣2，2）， ∴MN＝4， ∴OE＝4， 即t＝4， ②﹣2＜t＜0时，如图3， ∴此时，同理可求t， ③t＝﹣2时，如图4， 此时正方形OMEN与一次函数y＝2x﹣2的衍生函数图象有三个交点， ∴当t＜﹣2时，正方形OMEN与一次函数y＝2x﹣2的衍生函数图象有两个交点， 综上，t的取值范围为t＝4或t或t＜﹣2． 4．（2023•延庆区期末）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l和图形W给出如下定义：若直线l与图形W有且只有一个交点，则称直线l是图形W的“独立关联直线”． 如图1，直线l是菱形ABCD的“独立关联直线”． （1）如图2，点A（1，0），点C（3，1）是矩形ABCD的顶点，若一次函数y＝kx﹣1（k≠0）的图象是这个矩形的“独立关联直线”，求k的值； （2）点F，H是直线y＝x上的两点，点F的横坐标为a，点H的横坐标为a+1；将正方形EFGH的边HE，EF，FG称为图形M（其中点E的横坐标为a），若直线l：y＝﹣2x+2是图形M的“独立关联直线”，直接写出a的取值范围． （1）解：如图，当y＝kx﹣1（k≠0）与y轴的交点为（0，﹣1），当直线经过点D（1，1）或B（3，0）时满足条 ∴1＝k﹣1或 0＝3k﹣1． ∴k＝2 或． （2）∵点F，H是直线y＝x上的两点，点F的横坐标为a，点H的横坐标为a+1，点E的横坐标为a， ∴F（a，a），G（a+1，a），H（a+1，a+1）， 若直线l：y＝﹣2x+2是图形M的“独立关联直线”，存在以下两种情况： 第一种情况，直线l：y＝﹣2x+2经过点F（a，a）， ∴a＝﹣2a+2， ∴a． 第二种情况，直线l：y＝﹣2x+2只与EH相交．当直线l经过点H（a+1，a+1）时，a+1＝﹣2（a+1）+2， ∴a， 当直线l经过点G（a+1，a）时，a＝﹣2（a+1）+2， ∴a＝0， ∴直线l：y＝﹣2x+2只与EH相交时a取值范围是， 综上，a取值范围是或． 【题型2 一次函数中的最值问题】 5．（2024•东城区期末）在平面直角坐标系xOy中，对于线段AB和点Q，给出如下定义：若在直线y＝x上存在点P，使得四边形ABPQ为平行四边形，则称点Q为线段AB的“相随点”． （1）已知，点A（1，3），B（5，3）． ①在点Q1（1，5），Q2（﹣1，3），Q3（0，4），Q4（﹣5，0）中，线段AB的“相随点”是 　Q1（1，5），Q3（0，4）　 ； ②若点Q为线段AB的“相随点”，连接OQ，BQ，直接写出OQ+BQ的最小值及此时点Q的坐标； （2）已知点A（﹣2，3），点B（2，﹣1），正方形CDEF边长为2，且以点（t，1）为中心，各边与坐标轴垂直或平行，若对于正方形CDEF上的任意一点，都存在线段AB上的两点M，N，使得该点为线段MN的“相随点”，请直接写出t的取值范围． 解：（1）①∵点A（l，3），B（5，3）． ∴AB＝5﹣1＝4， ∵四边形ABPQ为平行四边形， ∴AB∥PQ，AB＝PQ＝4， ∵点P在直线y＝x上， ∴设P（x，x）， 当Q1（1，5）时，若PQ1∥AB，且PQ1＝AB， ∴x﹣1＝4，x＝5， ∴x＝5， ∴P（5，5）符合题意， ∴Q1（1，5）是线段AB的“相随点”； 当Q2（﹣1，3）时，若PQ2∥AB，且PQ2＝AB， ∴x﹣（﹣1）＝4，x＝3， ∴x＝3， ∴P（3，3），此时点P，Q和点A，B共线，围不成平行四边形，不符合题意； 当Q3（0，4）时，若PQ3∥AB，且PQ3＝AB， ∴x﹣0＝4，x＝4， ∴x＝4， ∴P（4，4）符合题意， ∴Q3（0，4）是线段AB的“相随点”； 当Q4（﹣5，0）时，若PQ4∥AB，且PQ4＝AB， ∴x﹣（﹣5）＝4，x＝0， ∴x＝﹣l与x＝0相矛盾，不符合题意； 综上所述，线段AB的“相随点”是Q1（1，5），Q3（0，4）， 答案：Q1（1，5），Q3（0，4）； ②∵点Q为线段AB的“相随点”， ∴四边形ABPQ为平行四边形， ∴AB∥PQ，AB＝PQ＝4， ∴设P（y，y），Q（x，y）， ∴y﹣x＝4， ∴y＝x+4， ∴点Q在直线y＝x+4上运动， 如图所示，连接OQ，BQ，作点O关于直线y＝x+4的对称点O′，连接QO′，BO'， 则QO'＝QO， ∴OQ+BQ＝O'Q+BQ≥BO'， ∴当点O′，Q，B三点共线时，OQ+BQ有最小值，即BO′的长度， ∵点O和点O′关于直线y＝x+4对称， ∴O′（﹣4，4）， ∵B（5，3）， ∴O′B， ∴OQ+BQ的最小值为， 设直线O′B的解析式为y＝kx+b，则， 解得：， ∴直线O′B的解析式为yx， 联立得：， 解得：， ∴此时点Q的坐标为（，）； （2）对于线段AB上的M，N，使得四边形MNPQ为平行四边形， ∴xM+xP＝xN+xQ， ∴xN﹣xM＝xP﹣xQ，∵A（﹣2，3），B（2，﹣1）， ∴xB﹣xA＝4， ∴﹣4≤xN﹣xM≤4，∵xP＝m， ∴m一4≤xQ≤m+4．纵坐标同理可得， ∴当xQ＝m﹣4时，yQ＝m+4，此时Q在直线y＝x+8上，当xQ＝m+4，yQ＝m﹣4，此时Q在直线y＝x﹣8上， ∴Q点所形成的区域是直线y＝x+8与y＝x﹣8之间，且不包含直线AB上与直线y＝x上． ∴当正方形T1左上角端点过y＝x+8时，此时t﹣1＝﹣6， 解得t＝﹣5， 当正方形T2右上角端点过AB时，t+1＝﹣1， 解得：t＝﹣2， 当正方形T3左上角端点过y＝x时，此时t﹣1＝2， 解得t＝3， 当正方形T3右下角端点过y＝x﹣8时，t+1＝8， 解得t＝7． ∵正方形与y＝x+8与y＝x﹣8是可以有交点的，正方形与y＝x与直线AB是不能有交点的， ∴﹣5≤t＜﹣2或3＜t≤7． ∴t的取值范围为：﹣5≤t＜﹣2或3＜t≤7． 6．（2024•房山区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，对于点P与图形W给出如下定义：N为图形W上任意一点，P，N两点间距离的最小值称为点P与图形W的“近点距离”．特别的，当点P在图形W上时，点P与图形W的“近点距离”为零．如图1，点A（3，1），B（3，5）． （1）点C（4，1）与线段AB的“近点距离”是 　1　 ； 点D（1，0）与线段AB的“近点距离”是 　　 ； （2）点P在直线y＝x+2上，如果点P与线段AB的“近点距离”为2，那么点P的坐标是 　（1，3）或　 ； （3）如图2，将线段AB向右平移3个单位，得到线段EF，连接AE，BF，若直线y＝x+b上存在点G，使得点G与四边形ABFE的“近点距离”小于或等于，直接写出b的取值范围． 解：（1）如图， ∵C（4，1），A（3，1）， ∴点C（4，1）与线段AB的“近点距离”是1； ∵D（1，0），A（3，1）， ∴， ∴点D（1，0）与线段AB的“近点距离”是； 答案：1；； （2）如图，当P在AB左边时， 当PN⊥AB时，P，N两点间距离最小， ∵点P与线段AB的“近点距离”为2， ∴PN＝2， ∵xN＝3， ∴xP＝1， ∴yP＝1+2＝3， ∴P（1，3）， 当P在AB的右边时，如图中的P， ∴AP'＝2， 过B作x轴的平行线，过P′作x轴的垂线，交点为Q， ∵直线P′B为y＝x+2， ∴△BQP'为等腰直角三角形， ∴， ∴； 答案：（1，3）或； （3）如图，过B作BG⊥直线y＝x+b，则线段GB的长度为点G与四边形ABFE的“近点距离”， ∵一次函数y＝x+b， ∴∠GMT＝45°＝∠GTM， ∴∠OWT＝∠OTW＝45°， ∴设OT＝OW＝n， ∴W（0，n），T（n，0）， 设直线GT为y＝ex+f， ∴， 解得， ∴直线GT为y＝﹣x+8， ∴T（8，0）， ∴， 当时，， 过G作GV⊥x轴于V， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，过E作EG⊥直线y＝x+b，则线段EG的长度为点G与四边形ABFE的“近点距离”， ∵由平移可得E（6，1）， 同理可得直线GE为y＝﹣x+7， ∴K（0，7）， ∴， 当时，则， 过G作GV⊥y轴于V， ∴， ∴， ∴， ∴， ， 解得； ∴直线y＝x+b上存在点G，使得点G与四边形ABFE 的“近点距离”小于或等于，b的取值范围为． 7．（2024•西城区校级期末）对于定点P和图形W，给出如下定义：若图形W上存在两个不同的点M，N，使得四边形PMQN是平行四边形，则称点Q是点P关于图形W的衍生点．特别地，当平行四边形PMQN的面积最大时，称点Q是点P关于图形W的最佳衍生点． 在平面直角坐标系xOy中，点A（0，1），B（1，1），C（0，2），D（0，3），E（，2）． （1）点C，D，E中，点O关于线段AB的衍生点是 　E　 ； （2）将点O关于线段AB的最佳衍生点记为T， ①直接写出点T的坐标； ②若直线y＝﹣x+b上存在点O关于四边形ABTC的衍生点，求b的取值范围． 解：（1）如图1，点C，D，E中，点O关于线段AB的衍生点是E； 答案：E； （2）①如图2，∵点O关于线段AB的最佳衍生点记为T， 即▱OABT的面积最大， ∴T（1，2）； ②将直线y＝﹣x+b上存在的点O关于四边形ABTC的衍生点记为点H， ∵点A（0，1），B（1，1），C（0，2），T（1，2）， ∴四边形ABTC是正方形， 考虑正方形ABTC及其内部的任意点K（除顶点A、B、T、C外），总能够在正方形ABTC上找到两点M，N，使 点K是MN的中点， 由题意可知：四边形OMHN是平行四边形， ∴由平行四边形的性质可知：K也是O，H的中点， ∴所有的点H组成正方形CB1C1D1和及其内部（边OD1上的点和B1，C1除外），如图3，将它记为图形G， 依题意：只需要直线y＝﹣x+b与图形G有一个公共点即可， 当直线y＝﹣x+b经过点C1（2，4）时，b＝6， 当直线y＝﹣x+b经过点C（0，2）时，b＝2， ∴b的取值范围是2＜b＜6． 8．（2024•房山区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，对于两点A，B，给出如下定义：以线段AB为边的正方形称为点A，B的“确定正方形”．如图1为点A，B的“确定正方形”的示意图． （1）如果点C的坐标为（0，1），点D的坐标为（2，1），画出点C，D的一个“确定正方形”，这个正方形的面积是 　4　 ； （2）已知点O的坐标为（0，0），点M为直线y＝x+b（b＞0）上一动点，当点O，M的“确定正方形”的面积最小，且最小面积为1时，求b的值． （3）已知点E在以边长为2的正方形的边上，且该正方形的边与两坐标轴平行，对角线交点为P（m，0），点F在直线y＝﹣x﹣2上，若要使所有点E，F的“确定正方形”的面积都不小于2，直接写出m的取值范围． 解：（1）由C（0，1），D（2，1）得：CD＝2， ∴这个正方形的面积为：2×2＝4． 答案：4． （2）如图（1），当OM垂直与直线y＝kx+b时，点O，M的“确定正方形”的面积最小， ∵最小面积为1， ∴边长OM＝1， ∵直线y＝x+b（b＞0）是直线y＝x向上平移b个单位所得，且y＝x是一三象限的角平分线， ∴直线y＝x+b与x轴成45°角， ∴∠MOy＝45°， ∴M（，）， 把点M代入y＝x+b得，b， 解得：b． （3）对直线y＝﹣x﹣2，当y＝0时，x＝﹣2， ∴直线y＝﹣x﹣2与x轴的交点为（﹣2，0）， 如图（2）， ①当正方形在直线y＝﹣x﹣2下方，PE垂直y＝﹣x﹣2于点F时，点E，F的“确定正方形”的面积最小为2， ∴EF， ∵正方形的边长为2，点P是对角线的交点， ∴PE， ∴PF＝2， ∵∠FPO＝45°， ∴OP＝2PF＝2+4＝6， ∴m＝﹣6， ∵点E，F的“确定正方形”的面积都不小于2， ∴m≤﹣6， ②当正方形在直线y＝﹣x﹣2的上方时，PE垂直y＝﹣x﹣2于点F时，点E，F的“确定正方形”的面积最小为2， ∴EF， ∵正方形的边长为2，点P是对角线的交点， ∴PE， ∴PF＝2， ∵∠FPO＝45°， ∴OPPF﹣2＝4﹣2＝2， ∴m＝2， ∵点E，F的“确定正方形”的面积都不小于2， ∴m≥2， 综上所述：m≤﹣6或m≥2． 【题型3 一次函数中的动点问题】 9．（2024•西城区期末）在平面直角坐标系xOy中，对于线段a，给出如下定义：直线l1：y＝2x+b1经过线段a的一个端点，直线l2：y＝﹣3x+b2经过线段a的另一个端点．若直线l1与l2交于点P，且点P不在线段a上，则称点P为线段a的“双线关联点”． （1）如图，线段a的两个端点分别为（0，﹣1）和（0，4），则在点P1（1，1），P2（﹣1，1），P3（﹣1，2）中，线段a的“双线关联点”是 　P1，P3　 ； （2）A（m，y1），B（m+4，y2）是直线上的两个动点． ①点P是线段AB的“双线关联点”，且点P的纵坐标为4，求点P的横坐标； ②正方形CDEF的四个顶点的坐标分别为C（t，t），D（t，﹣t），E（3t，﹣t），F（3t，t），其中t＞0．当点A，B在直线上运动时，不断产生线段AB的“双线关联点”，若所有线段AB的“双线关联点”中，恰有两个点在正方形CDEF上，直接写出t的取值范围． 解：（1）若直线l1经过点（0，﹣1），直线l2经过点（0，4）， 则代入得b1＝﹣1，b2＝4， ∴直线l1：y＝2x﹣1，直线l2：y＝﹣3x+4， 联立得， 解得， ∴点P1是线段a的“双线关联点”； 若直线l1经过点（0，4），直线l2经过点（0，﹣1）， 则同理可求直线l1：y＝2x+4，直线l2：y＝﹣3x﹣1， 联立得， 解得， ∴点P3是线段a的“双线关联点”， 答案：P1，P3； （2）①将点A、B代入， 得，， ∴，， 当直线l1经过点，直线l2经过时， 则代入得，， 解得，， ∴直线，直线l2：， 联立得， 解得， ∴， 解得， ∴； 当直线l1经过点，直线l2经过点时， 同上可求l1，直线l2：， 联立得， 解得， ∴， 解得， ∴； 综上所述，点P的横坐标为或； ②设线段AB的“双线关联点”为M，N，则， 由①得， 消去m可得， ∴点M在直线上运动， 同理可求点N在直线l：上运动， ∵线段AB的“双线关联点”中，恰有两个点在正方形CDEF上， ∴正方形CDEF与直线和直线恰有2个交点， 当t＞0且t很小时，此时正方形与两条直线无交点，不符合题意，如图， 随着t增大，当点E落在直线l上，此时1个交点，不符合题意，如图， 则， 解得； 当t继续增大，此时，则直线l与正方形有2个交点，符合题意，如图， 当t继续增大，直至点C（t，t）落在直线P， 则， 解得t＝15，此时有3个交点，不符合题意，如图， ∴满足2个交点，则； 当时，此时有4个交点，不符合题意，如图， 综上，． 10．（2024•昌平区期末）在平面直角坐标系xOy中，对于两个点P，Q和图形W，给出如下定义：若射线OQ与图形W的一个交点为M，射线PQ与图形W的一个交点为N，且满足四边形OPMN为平行四边形，则称点Q是点P关于图形W的“平心点”．如图1中，点Q是点P关于图中线段ST的“平心点”． 已知点：A（2，2），B（6，2），C（2，0）， （1）点D（1，1），E（2，3），F（，1）中，是点C关于直线AB“平心点”的有 　D、F　 ； （2）若点C关于线段AB的“平心点”J的横坐标为a时，求a的取值范围； （3）已知点G（6，5），H（2，5），K（0，﹣2），点P是线段CK上的动点（点P不与端点C，K重合），若直线l：y＝kx上存在点P关于矩形ABGH的“平心点”，请直接写出k的取值范围． 解：（1）根据题意作图如下： A（2，2），B（6，2），C（2，0），O（0，0），D（1，1）， 直线AB所在直线为 y＝2， 设直线OD所在直线为 y＝mx， 将点D（1，1）代入得：m＝1， ∴y＝x，其交直线 y＝2于点（2，2）， 设直线CD所在直线为y＝nx+d， 则，解得 ， ∴直线CD所在直线为 y＝﹣x+2，其交直线 y＝2 于点（0，2）， ∴两个交点之间的距离为 2﹣0＝2， ∵AB所在直线平行于x轴， ∴四边形为平行四边形，符合题意； 同理点E不符合题意；点F符合题意； 答案：D、F； （2）根据题意结合图象，连接AC，则中点，即J（2，1）， 连接OB，则中点 即J1（3，1）， ∴2≤a≤3； （3）根据题意得：“平心点”为平行四边形对角线的交点， 如图所示，将各点描出，然后连线，得四边形ABGH为矩形， 根据题意，平移OP，使得平移后的线段落在矩形ABGH上，O点平移后的对应点为N，F 点平移后的对应点为点M， 平移线段OP，平移后的线段可能落在矩形左下角或右上角， 当落在左下角时，如图所示： 点P接近点K时，点M接近点A，点P接近点C时，由（2）得点M接近AB中点（4，2）， OM 所在直线即为直线l：y＝kx， 将点A（2，2）代入得：k＝1， 将点（4，2）代入得：， ∴， 当落在右上角时，如图所示： 点P接近点K时，点M接近点G（6，5）， 点P接近点C时，G（6，5），K（0，﹣2），点M接近点（6，3）， OM所在直线即为直线l：y＝kx， 将点 G（6，5）代入得：， 将点（6，3）代入得：， ∴， 综上可得：． 11．（2023•西城区期末）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），给出如下定义： 将点P1与P2的“变倍距离”记为d（P1，P2）， 若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则d（P1，P2）＝5|x1﹣x2|+4|y1﹣y2|； 若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则d（P1，P2）＝4|x1﹣x2|+3|y1﹣y2|． 例如，点M（﹣1，5）与N（2，4）的“变倍距离”d（M，N）＝5×3+4×1＝19． 已知点A（2，0）． （1）若点B（0，2），C（0，﹣3），则d（A，B）＝　18　 ，d（A，C）＝　17　 ； （2）点D在y轴负半轴上，且d（A，D）＝15，求点D的坐标； （3）点P、Q是第一、三象限角平分线上的两个动点（P与Q不重合），若d（A，P）＝d（A，Q）＝t，直接写出t的取值范围． 解：（1）∵2﹣0＝|0﹣2|， ∴d（A，B）＝5×2+4×2＝18， ∵2﹣0＜|0﹣（﹣3）|， ∴d（A，C）＝4×2+3×3＝17， 答案：18，17； （2）设D（0，y），y＜0， 当﹣2≤y＜0时，2≥﹣y， d（A，D）＝5×2+4×（﹣y）＝15， ∴y， 当y＜﹣2时，2＜﹣y， d（A，D）＝4×2﹣3y＝15， y， ∴D（0，）或（0，）； （3）设P（x1，y1），Q（x2，y2），x1≠x2， 当P（1，1）时，|x1﹣2|＝|y1﹣0|，d＝（A，P）＝t＝9， ①当1＜x1＜2时，|x1﹣2|＜|y1﹣0|，d＝（A，P）＝t＝4（2﹣x1）+3x1＝8﹣x1， ∴6＜t＜7； ②当P（2，2）时，d（A，P）＝t＝6， 当x1＞2时，|x1﹣2|＜|y1﹣0|，d＝（A，P）＝t＝4（x1﹣2）+3x1＝7x1﹣8， ∴t＞6； ③当0＜x2≤1时，|x2﹣2|＞|y2﹣0|，d＝（A，Q）＝t＝5（2﹣x2）+4x2＝10﹣x2， ∴9≤t＜10； ④当x≤0时，|x2﹣2|＞|y2﹣0|，d＝（A，Q）＝t＝5（2﹣x2）﹣4x2＝10﹣9x2， ∴t≥10； ∵P、Q不重合， ∴6＜t＜7或t≥9． 12．（2023•西城区期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点P（x1，y1），Q（x2，y2），给出如下定义： M[P，Q]（x1+x2﹣|x1﹣x2|）（y1+y2﹣|y1﹣y2|）． （1）已知点P（1，0）． ①若点Q与点P重合，则M[P，Q]＝　1　 ； ②若点Q（3，﹣1），则M[P，Q]＝　0　 ； （2）正方形OABC四个顶点的坐标分别是O（0，0），A（t，0），B（t，t），C（0，t），其中t＞0，在正方形OABC内部有一点P（a，b），动点Q在正方形OABC的边上及其内部运动．若M[P，Q]＝a+b，求所有满足条件的点Q组成的图形的面积（用含a，b，t的式子表示）； （3）若点P（1，2），Q（k，5﹣k），M[P，Q]＞0，且M[P，Q]为奇数，直接写出k的取值范围． 解：（1）①由题意得：M[P，Q]1， 答案：1． ②由题意得：M[P，Q]0， 答案：0． （2）设点Q的坐标为（x，y）， ∴M[P，Q]， ∴当x≥a，y≥b时，M[P，Q]a+b， 当x≥a，y＜b时，M[P，Q]， 当x＜a，y≥b时，M[P，Q]， 当x＜a，y＜b时，M[P，Q]， ∵M[P，Q]＝a+b， ∴x≥a，y≥b， ∴所有满足条件的点Q组成的图形是如图所示的阴影区域，面积为 （t﹣a）（t﹣b）， （3）由题意得，M[P，Q]， 当k＜1时，M[P，Q]， ∵M[P，Q]＞0， ∴k+2＞0， ∴﹣2＜k＜1， ∵M[P，Q]为奇数，即k为奇数， ∴k＝﹣1； 当1≤k≤3时，M[P，Q]， 此时满足M[P，Q]＞0且M[P，Q]为奇数， ∴1≤k≤3， 当k＞3时，M[P，Q]， ∵M[P，Q]＞0， ∴6﹣k＞0， ∴3＜k＜6， ∵M[P，Q]为奇数，即k为奇数， ∴k＝5； 综上，1≤k≤3或k＝﹣1或k＝5． 【题型4 一次函数中的存在性问题】 13．（2024•怀柔区期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点P（a，b）．如果存在点Q（a′，b′），满足a′＝a﹣b，b′＝a+b，则称点Q为点P的“非常点”． （1）如图1，在Q1（﹣1，3），Q2（3，﹣1），Q3（﹣1，﹣1）中，点P（1，﹣2）的“非常点”是 　Q2　 ； （2）若点P（a，b）在第一象限，且a＞b，判断△POQ的形状并证明； （3）直线与x轴，y轴分别交于G，H两点，若线段GH上存在点P的非常点Q，请直接写出线段OP长度的取值范围． 解：（1）若点Q（a，b）为点P（1，﹣2）的“非常 点”，则a＝1﹣（﹣2）＝3，b＝1+（﹣2）＝﹣1，即Q（3，﹣1）， ∴Q2（3，﹣1）满足题意； 答案：Q2； （2）△POQ是等腰直角三角形； 证明：如图2， ∵P（a，b），Q（a﹣b，a+b）， ∴，，， ∴PQ2+OP2＝OQ2， ∴△POQ是直角三角形， 同时PQ＝OP， ∴△POQ是等腰直角三角形； （3）．理由如下： 如图3， ∵点Q（a﹣b，a+b）在线段GH上， ∴， 整理得， ∵点P（a，b）的非常点为点Q， ∴点P（a，b）是直线 上的动点， ∵点Q（a﹣b，a+b）在线段GH上， ∴当点Q在点G处时，点P在点A处，当点Q在点H处时，点P在点B处， 即点P在线段AB上运动， 当点P在点A处时，点Q在点G处， 令y＝0，则， 解得 x＝﹣2， ∴G（﹣2，0）， 由（2）知，△GAO是等腰直角三角形， ∴A（﹣1，1）， 即此时P（﹣1，1），， 当点P在点B处时，点Q在点H处， 令x＝0，则， ∴， 由（2）知，△OBH是等腰直角三角形， ∴， 即此时 ，， ∴OP的最大值为， 设直线与直线相交于点D， 联立方程组， 解得 ， ∴， ∴， 过点O作OC⊥BD于点C， 当点P在点C处时，点Q在点D处，此时OP取最小值， ∵△OCD是等腰直角三角形， ∵， 即OP的最小值是， ∴线段OP长度的取值范围是． 14．（2024•顺义区期末）在平面直角坐标系xOy中，对于点P和图形N，给出如下定义：如果图形N上存在点Q，使得PQ＝1，那么称点P为图形N的“拉手点”． 已知点A（﹣4，0），B（0，4）． （1）在点P1（0，5），P2（﹣4，1），P3（﹣2，0）中，线段AB的“拉手点”是 　P1，P2　 ； （2）若直线y＝x+b上存在线段AB的“拉手点”，求b的取值范围， （3）O是边长为a的正方形CDEF的对角线的交点．若正方形CDEF上存在线段AB的“拉手点”，直接写出a的取值范围． 解：（1）由图可知，P1B＝1，P2A＝1， ∴在点P1（0，5），P2（﹣4，1），P3（﹣2，0）中，线段AB的“拉手点”是P1，P2， 答案：P1，P2； （2）如图，当直线y＝x+b在点B上方时，延长AB交直线y＝﹣x+b于点C，设直线y＝﹣x+b与y轴交于点D，y＝﹣x+b与x轴交于点N， ∵A（﹣4，0），B（0，4），∠AOB＝90°， ∴OA＝4，OB＝4， ∴∠OBA＝∠OAB＝45°， ∴∠CBD＝45°， ∵在直线y＝﹣x+b中，x＝0，y＝b；y＝0，x＝b， ∴DO＝ON， ∵∠DON＝90°， ∴∠CDB＝45°＝∠CBD， ∴∠DCB＝90°， 此时点B到直线y＝﹣x+b的距离是BC， ∴当BC＝CD＝1，则， 过点B作BH⊥DF（DF：y＝x+b），则BH＝CD＝1，直线y＝x+b与线段AB有“拉手点”， ∴； 当往下平移也满足条件，即， 假设点D1满足DB＝D1B，则符合直线y＝x+b上存在线段AB的“拉手点”， ∴， ∴， ∴直线y＝x+b上存在线段AB的“拉手点”，则b的取值范围为； （3）当线段AB在正方形CDEF内部时，如图， 即过（0，5），则a＝10； 当线段AB在正方形CDEF外部时，过点E作EG⊥AB于点G， ∵∠GAE＝45°＝∠GEA， ∴△GEA是等腰直角三角形， 当GE＝1时，， ∴， ∴， ∴当正方形CDEF上存在线段AB的“拉手点”， 则a的取值范围为． 15．（2024•海淀区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和点Q给出如下定义：若点Q的坐标为（x，ny）（n＞0），则称点Q为点P的“n倍点”． （1）①若点P（3，3），点Q为点P的“倍点”，则点Q的坐标为 　（3，1）　 ； ②当P是直线y＝x+1与x轴的交点时，点P的“n倍点”的坐标为 　（﹣1，0）　 ． （2）已知点A（2，3），B（6，3），C（8，5），D（4，5）； ①若对于直线AD上任意一点Q，在直线y＝2x+2上都有点P，使得点Q为点P的“n倍点”，求n的值； ②点P是直线y＝kx+2k（k＞0）上任意一点，若在四边形ABCD的边上存在点P的“n倍点”，且n＝k，直接写出k的取值范围． 解：（1）①根据“倍点”的定义，点P（3，3）的“倍点”为（3，3），即（3，1）， 答案：（3，1）； ②在y＝x+1中，令y＝0得x＝﹣1， ∴P（﹣1，0）， ∵n×0＝0， ∴点P的“n倍点”的坐标为（﹣1，0）； 答案：（﹣1，0）； （2）①由A（2，3），D（4，5）得直线AD解析式为y＝x+1， 设Q（p，p+1）， ∵在直线y＝2x+2上都有点P，使得点Q为点P的“n倍点”， ∴P（p，）， 把P（p，）代入y＝2x+2得： 2p+2， ∴p+1＝2pn+2n，即（1﹣2n）（p+1）＝0对任意的p都成立， ∴1﹣2n＝0， 解得：n； ②设P（m，km+2k）， 若点P的“k倍点”为A（2，3），则， 解得k＝±， ∵k＞0， ∴k； 同理若点P的“k倍点”为B（6，3），可得k；若点P的“k倍点”为C（8，5），可得k；若点P的“k倍点”为D（4，5），可得k， ∴当k时，P的“k倍点”在边AB上； 当k时，P的“k倍点”在边AD上； 当k时，P的“k倍点”在边BC上； 当k时，P的“k倍点”在边CD上； ∵在四边形ABCD的边上存在点P的“n倍点”，且n＝k， ∴k的取值范围是k． 16．（2023•海淀区期末）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x0，y0），给出如下定义：若存在实数x1，x2，y1，y2使得x0﹣x1＝x1﹣x2且y0﹣y1＝y1﹣y2，则称点P为以点（x1，y1）和（x2，y2）为端点的线段的等差点． （1）若线段m的两个端点坐标分别为（1，2）和（3，﹣2），则下列点是线段m等差点的有 　①④　 ；（填写序号即可） ①P1（﹣1，6）；②P2（2，0）；③P3（4，﹣4）；④P₄（5，﹣6）． （2）点A，B都在直线y＝﹣x上，已知点A的横坐标为﹣2，M（t，0），N（t+1，1）． ①如图1，当t＝﹣1时，线段AB的等差点在线段MN上，求满足条件的点B的坐标； ②如图2，点B横坐标为2，以AB为对角线构造正方形ACBD，在正方形ACBD的边上（包括顶点）任取两点连接的线段中，若线段MN上存在其中某条线段的等差点，直接写出t的取值范围 　﹣7≤t≤﹣2或1≤t≤6　 ． 解：（1）m的两个端点坐标分别为（1，2）和（3，﹣2） ①P1（﹣1，6）：∵﹣1﹣1＝1﹣3，6﹣2＝2﹣（﹣2）， ∴P1（﹣1，6）是等差点； ②P2（2，0）：∵2﹣1≠1﹣3，且2﹣3≠3﹣1， ∴P2（2，0）不是等差点； ③P3（4，﹣4）：∵4﹣1≠1﹣3，且4﹣3≠3﹣1， ∴P3（4，﹣4）不是等差点； ④P4（5，﹣6）：∵5﹣3＝3﹣1，且﹣6﹣（﹣2）＝（﹣2）﹣2， ∴P4（5，﹣6）是等差点． 答案：①④． （2）①∵点A直线y＝﹣x上，横坐标为﹣2， ∴A（﹣2，2）， 当t＝﹣1 时，M（﹣1，0），N（0，1）， 设直线MN解析式为y＝kx+b（k≠0）， 则， 解得， ∴直线MN解析式为y＝x+1， 联立， 解得， ∴交点即等差点坐标为（﹣0.5，0.5）； 设点B（a，﹣a）， 则﹣0.5﹣a＝a﹣（﹣2）或﹣0.5﹣（﹣2）＝（﹣2）﹣a， 解得a＝﹣1.25或a＝﹣1.75， ∴B（﹣1.25，1.25）或（﹣3.5，3.5）； ②如图，点B横坐标为2，以AB为对角线构造正方形ACBD， 可知A（﹣2，2），B（2，﹣2），C（﹣2，﹣2），D（2，2），且M（t，0），N（t+1，1）分别在x轴、直线y＝1上， 根据等差点定义知，正方形上两点（2，2），（﹣2，1.5）的一个等差点为（﹣6，1）， ∴点N（t+1，1）位于 N1（﹣6，1）时，t取最小值， ∴t+1＝﹣6， 即t＝﹣7； 正方形上两点 （﹣2，2），（2，1）的一个等差点为（6，0）， ∴点M（t，0）位于 M4（6，0）时，t取最大值， 即t＝6； ∵正方形ACBD的边上（包括顶点）任取两点连接的线段的等差点不可能出现在正方形内部， ∴t≤﹣2或t+1≥2， 即t≤﹣2或t≥1， 综上，﹣7≤t≤﹣2或1≤t≤6． 答案：﹣7≤t≤﹣2或1≤t≤6． 16 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$