数学（浙江卷01）-学易金卷：2025年中考第二次模拟考试

2025年中考第二次模拟考试（浙江卷） 数学·参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B D C C B C C D A C 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11． 12． 13． 14．36 15． 16． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）【详解】（1）解： ；（4分） （2）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为．（8分） 18．（8分）【详解】（1）证明：连接， 四边形是平行四边形， ， ， ， 是菱形；（4分） （2）解： 是的中点，， 点是的重心， ， ， 是菱形，， ， 是等边三角形，（6分） ， ， ， ．（8分） 19．（8分）【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为， 由题意得：，，米， 斜坡的坡度， ， 设米，则米， 在中，（米）， 米， ， 解得：， 米，米，（4分） 设米， 米， 在中，， 米，（6分） 在中，， 米， ， ， 解得：， （米）， 这棵木棉树的高度约为20米，（8分） 20．（8分）【详解】（1）解：（名）； 故答案为：100；（2分） （2）解：（名）； （4分） （3）解：（名）； 故选择“踢毽子”的学生有200人；（6分） （4）解：列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 —— 甲乙 甲丙 甲丁 乙 乙甲 —— 乙丙 乙丁 丙 丙甲 丙乙 —— 丙丁 丁 丁甲 丁乙 丁丙 —— 共有12种等可能结果，其中选中甲乙的结果有两种， ∴． 故被选取的两人恰好是甲和乙的概率为．（8分） 21．（8分）【详解】（1）解：如图中，点即为所求： （4分） （2）解：如图中，点，，即为所求． （8分） 22．（10分）【详解】（1）解：∵小佳从甲小区骑电动车去农庄，总路程为，时间为， ∴小佳骑电动车的速度；（2分） （2）根据题意，点E坐标为，A点坐标为， 则点B坐标为，（3分） ∵乙小区到超市，用时6分钟， ∴小乐的速度为， ∴小乐从超市到农庄所用时间为，（4分） ∴点C坐标为， 设线段的函数表达式为， 把，，代入解析式得， 解得：， ∴线段的函数表达式为；（6分） （3）线段的函数解析式为 把点代入解析式得：， 解得， ∴线段的函数解析式为，（8分） 当小乐离开超市后追上小佳时，距离农庄的距离相同， ∴， 解得， ∴． ∴小乐离开超市去农庄的行程中，两人相遇时他们距离农庄的路程（10分） 23．（10分）【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴二次函数的顶点坐标为；（2分） （2）解：∵， ∴， ∴对称轴为直线， 设函数的对称轴为直线， 则；（4分） （3）解：当时，函数图象开口向下， ∵， ∴， 令， 整理得， 解得或， ∴两抛物线的交点的横坐标为0和1， 如图， 由图象可知，当，；（5分） 当时，函数图象开口向上， ∵， ∴， 令， 整理得， 解得或， ∴两抛物线的交点的横坐标为0和1， 如图， 由图象可知，当，；（7分） 当时，与的图象重合，当，；（8分） 当时，函数图象开口向上， ∵， ∴， 令， 整理得， 解得或， ∴两抛物线的交点的横坐标为0和1， 如图， 由图象可知，当，； 综上分析可知，当时，；当时，；当时，；当时，．（10分） 24．（12分）【详解】（1）证明：如图，连接， 是的直径， ， ， 于点， ， ， ， ， ， 四边形内接于， ． ， ， ；（3分） （2）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ． ， ， ∴， 为的半径， ∴是的切线；（7分） （3）解：如图，连接，， ， 设，则，， ，，． ． ， ， 解得， ，．（9分） 设的半径为，则． 在中，， ， 解得， ， ， ， ， ， ． 设，则，， 在和中， 由勾股定理，得， ， 解得， ．（12分） 7 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11 2025年中考第二次模拟考试（浙江卷） 数学·答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷二、填空题（每小题3分，共18分） 11．_________________ 12．___________________ 13．__________________ 14．__________________ 15.__________________ 16．__________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分） 18. （8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19. （8分） 20.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.（8分） 22.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23. （10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24. （12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第二次模拟考试（浙江卷） 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．的相反数是（ ） A． B．2025 C． D． 【答案】B 【详解】本题考查了相反数的知识，只有符号不同的两个数互为相反数．根据相反数的定义即可解题． 【分析】解：的相反数是2025， 故选：B． 2．在下列几何体中，其三视图中没有矩形的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据长方体、三棱柱、圆柱以及圆锥的三视图进行判断即可．本题考查简单几何体的三视图，理解视图的意义，掌握简单几何体的三视图的形状是正确判断的前提． 【详解】解：A．该长方体的主视图、左视图、俯视图都是矩形，因此选项A不符合题意； B．该圆柱体的主视图、左视图是矩形，因此选项B不符合题意； C．该三棱柱的主视图、左视图是矩形，因此选项C不符合题意； D．该圆锥的主视图、左视图是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆、所以它的三视图没有矩形，因此选项D符合题意； 故选：D． 3．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的乘除运算等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．直接利用幂的乘方运算法则，同底数幂的乘法和除法的运算法则，合并同类项分别化简得出答案即可． 【详解】解：A、，故此选项错误； B、，故此选项错误； C、，故此选项正确； D、，故此选项错误． 故选：C． 4．中国初创企业“深度求索”公司， 其自主研发的人工智能 () 大语言模型，凭借“好用、 开源、 免费”三大特点， 在全球范围内引发热烈反响． 公司记录了7名工程师在某项任务中编写代码的行数， 数据如下∶ 20， 25， 25， 30， 35， 40， 45，则这组数据的中位数、 众数和平均数分别是（    ） A．30， 25， 30 B．35， 25， C．30， 25， D．25， 30， 35 【答案】C 【分析】本题考查了中位数、 众数和平均数，根据中位数和众数，平均数的概念，即可解答；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，一组数据按从小到大（或从大到小）排序后，位于最中间的数（或中间两数的平均数）是这组数据的中位数，平均数为一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数． 【详解】解：这组数据的中位数为：30，众数为：25，平均数为：， 故选：． 5．中，，，下列结论：①；②；③，其中结论正确的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查锐角三角函数的定义即：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．设，则，根据勾股定理求出，再根据锐角三角函数的定义解答． 【详解】解：在中，，， 设，则， ∴， ①，②；③． 故选：B． 6．如图，和是以点为位似中心的位似图形，，若，则为（    ） A．6 B．9 C．27 D．48 【答案】C 【分析】本题考查了位似图形的概念，相似三角形的判定与性质；根据位似图形的概念得到，得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：∵和是以点O为位似中心的位似图形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 7．点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的有理数分别是a和b．下列四个结论： ①； ②， ③； ④．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【分析】此题主要考查了绝对值的含义和求法，以及数轴的特征和应用，根据图示，可得，，据此逐项判断即可，解答此题的关键是判断出a、b的取值范围． 【详解】解：根据图示，可得，， ①，故①正确； ②，故②正确； ③，故③错误； ④，故④正确． ∴正确的是①②④． 故选：C． 8．如图，以正六边形的顶点为圆心，的长为半径画弧，得到，连接AC，AE，若的长为，则正六边形的边长为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】设正六边形的边长为x，则，，进而求出，，过B作于H，由等腰三角形的性质和含直角三角形的性质得到，，在中，由勾股定理求得，得到，再根据弧长公式列方程求解即可． 【详解】解：设正六边形的边长为x， ∴，， ∵， ∴， 过B作于H， ∴，， 在中，， ∴， 同理可证，， ∴， ∵的长为， ∴， 解得， 正六边形的边长为． 故选：D． 【点睛】本题考查的是正六边形的性质和弧长公式，等腰三角形的性质，勾股定理，一元一次方程的应用． 9．已知抛物线与轴两个交点间的距离为4，将此抛物线向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到一条新抛物线，则新抛物线与轴两个交点间的距离是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象与几何变换等知识点，把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程成为解题的关键． 设抛物线与x轴两个交点的坐标为，则抛物线向右平移5个单位长度后所得抛物线与x轴两个交点的坐标为，利用交点式写出此时抛物线的解析式为，接着把抛物线解析式为向上平移3个单位长度所得新抛物线解析式为，然后解方程得到新抛物线与x轴的交点坐标，从而得到新抛物线与x轴两个交点间的距离． 【详解】解：设抛物线与x轴两个交点的坐标为， 把抛物线向右平移5个单位长度后所得抛物线与x轴两个交点的坐标为， 此时抛物线解析式为， 把抛物线解析式为向上平移3个单位长度所得新抛物线解析式为， 整理得， 当时，， ，解得：， ∴新抛物线与x轴的交点坐标为， ∴新抛物线与x轴两个交点间的距离． 故选：A． 10．如图，，分别是正方形的边，上的点，将正方形纸片沿折叠，使得点的对应点恰好落在边上，要想知道正方形的边长，只需知道（   ） A．的长度 B．的周长 C．的周长 D．的面积 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，难度较大，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 连接，过点B作于点K，则，先证明，再证明，则，，即可求解． 【详解】解：连接，过点B作于点K，则， ∵四边形是正方形， ∴， 由翻折得，，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的周长为：， 即的周长为正方形边长的2倍，故只需要知道的周长，即可知道正方形的边长，故C符合题意； 对于A、B、D选项条件不足，不能证明， 故选：C． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用完全平方公式进行求解即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． 12．人民财讯3月2日电，据灯塔专业版实时数据，截至3月2日10时23分，影片《哪吒之魔童闹海》票房突破142亿元．将数据142亿用科学记数法表示应为 ． 【答案】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．根据科学记数法表示方法，进行解答． 【详解】解：142亿用科学记数法表示为． 故答案为：． 13．如图，在中，，将绕点C顺时针旋转，使点B的对应点D恰好落在边上，得到，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查旋转的性质，三角形内角和等相关内容，由旋转的性质可知，，，，，，所以，，由三角形内角和可得，，所以，再由三角形内角和定理可知，． 【详解】解：由旋转的性质可知，，，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 14．如图，是正五边形的内切圆，点，，分别是边，，与的切点，则的度数为 ． 【答案】36 【分析】本题考查正多边形与圆，切线的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，如图，连接，．求出，再利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：如图，连接，． ，，分别是，，与的切点， ，， ， ， ， ， 故答案为：36． 15．有8张卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8．现从这8张卡片中随机抽出3张，则抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是条形统计图与扇形统计图的知识，列表法或树状图法求概率，解题的关键是掌握条形统计图与扇形统计图之间的联系，运用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式：概率所求情况数与总情况数之比，求出事件A或B的概率；由题意可知，抽出的3张卡片上的数字为：3，7，8或4，6，8或5，6，7，再画树状图求解即可． 【详解】解：抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等，， 抽出的3张卡片上的数字之和为， 抽出的3张卡片上的数字为：3，7，8或4，6，8或5，6，7， 画树状图如下： 所有等可能的情况有336种，其中抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的情况有18种， 抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为， 故答案为：． 16．如图，矩形的顶点和对角线，的交点都在反比例函数的图象上，若矩形的面积为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，矩形的性质．先利用矩形的性质得到的面积，用表示的面积，即可解答． 【详解】解：如图，过点作于点， 设，， ∵四边形是矩形且面积为，边在上， ∴，，， ∴，，， ∵顶点和对角线，的交点都在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即的值为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）计算： (1) (2)解不等式组： 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数混合运算，解不等式组，熟练掌握立方根定义，特殊角的三角函数值，求出不等式组中每个不等式的解集是解题的关键． （1）根据立方根定义，特殊角的三角函数值，绝对值意义进行计算即可； （2）分别求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为． 18．（8分）如图，在中，是的中点，连接交于点，连接，． (1)求证：是菱形． (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定及四边形面积的求法，熟练掌握是解答本题的关键． （1）连接，利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可证明； （2）根据是的中点，，得到点是的重心，可证明是等边三角形，得到，即可求出面积． 【详解】（1）证明：连接， 四边形是平行四边形， ， ， ， 是菱形； （2）解： 是的中点，， 点是的重心， ， ， 是菱形，， ， 是等边三角形， ， ， ， ． 19．（8分）如图，小乐和小静一起从点出发去拍摄木棉树FH．小乐沿着水平面步行到达点时拍到树顶点，仰角为；小静沿着坡度：的斜坡步行到达点时拍到树顶点，仰角为，求这棵木棉树的高度（结果精确到）（参考数据：） 【答案】20米 【分析】本题考查了勾股定理，解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据题意可得：，，米，再根据已知可设米，则米，然后在中，利用勾股定理进行计算可得米，米，最后设米，则米，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于的方程进行计算，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为， 由题意得：，，米， 斜坡的坡度， ， 设米，则米， 在中，（米）， 米， ， 解得：， 米，米， 设米， 米， 在中，， 米， 在中，， 米， ， ， 解得：， （米）， 这棵木棉树的高度约为20米， 20．（8分）我市义务教育学校全面施行优化课间时长，课间时长从10分钟延长为15分钟，上午、下午各安排一次30分钟的大课间体育活动．某学校编制《课间15分快乐菜单》可供班级选择：A．踢足球，B．踢毽子，C．跳绳，D．丢沙包，E．跳皮筋，学校就学生参加这五项课间活动的意向对学生进行了抽样调查（每名学生只能从中选择一种最喜欢的），并将调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图． 请结合图中所给信息，解答下列问题： (1)本次参与抽样调查的学生共有______人； (2)补全条形统计图； (3)该校共有1000名学生，请估计选择“踢毽子”的学生有多少人？ (4)在最喜欢“跳绳”的学生中，有甲、乙、丙、丁四位同学表现优秀，现从这四位同学中随机选出两名同学参加上级的跳绳比赛，请用列表或画树状图法求被选取的两人恰好是甲和乙的概率． 【答案】(1)100名 (2)见解析 (3)200名 (4) 【分析】本题考查了统计图和概率，熟练掌握条形统计图和扇形统计图的互补性，补全条形统计图，样本估计总体，列表法或画树状图法求概率，是解题的关键． （1）用A项数据计算； （2）总人数减去A、B、C、E的人数得到D项有人数，补上条形图即可； （3）1000乘踢毽子人数的占比即得； （4）列表求出所有等可能情况总数和同时选中甲乙的情况总数，用概率公式计算即得． 【详解】（1）解：（名）； 故答案为：100； （2）解：（名）； （3）解：（名）； 故选择“踢毽子”的学生有200人； （4）解：列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 —— 甲乙 甲丙 甲丁 乙 乙甲 —— 乙丙 乙丁 丙 丙甲 丙乙 —— 丙丁 丁 丁甲 丁乙 丁丙 —— 共有12种等可能结果，其中选中甲乙的结果有两种， ∴． 故被选取的两人恰好是甲和乙的概率为． 21．（8分）在四边形中，仅用无刻度的直尺和圆规完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹） (1)如图，在边上确定点，使点到边、的距离相等． (2)如图，在四边形的边上确定点的位置，使，若点有不同位置，请用、…区分； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图—角平分线、作一个角等于已知角，角平分线的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）作平分交于点，点即为所求； （2）在上取点，使得，延长到，要使，在四边形中，只需要，因为，所以只需作即可；延长到，要使，在四边形中，只需要，因为，所以只需作，即点，，即为所求． 【详解】（1）解：如图中，点即为所求： （2）解：如图中，点，，即为所求． 22．（10分）周末小佳和小乐相约去农庄游玩．小佳从甲小区骑电动车出发，同时，小乐从乙小区开车出发．途中，小乐去超市购物后，按原来的速度继续去农庄．甲、乙小区，超市和农庄之间的路程如图1所示，图2中线段和折线分别表示小佳和小乐离甲小区的路程（千米）与时间（分钟）的函数关系的图象，且两人行车速度均保持不变．根据图中信息，解答下列问题： (1)求小佳骑电动车的速度． (2)求线段所在直线的函数表达式． (3)小乐离开超市去农庄的行程中，求两人相遇时他们距离农庄的路程． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． （1）根据题意可知小佳从甲小区骑电动车去农庄，总路程为，时间为，进而可得出答案； （2）求出B，C坐标，然后用待定系数法求出函数解析式； （3）先求出两人相遇时所走的路程，再用总路程减去所走路程． 【详解】（1）解：∵小佳从甲小区骑电动车去农庄，总路程为，时间为， ∴小佳骑电动车的速度； （2）根据题意，点E坐标为，A点坐标为， 则点B坐标为， ∵乙小区到超市，用时6分钟， ∴小乐的速度为， ∴小乐从超市到农庄所用时间为， ∴点C坐标为， 设线段的函数表达式为， 把，，代入解析式得， 解得：， ∴线段的函数表达式为； （3）线段的函数解析式为 把点代入解析式得：， 解得， ∴线段的函数解析式为， 当小乐离开超市后追上小佳时，距离农庄的距离相同， ∴， 解得， ∴． ∴小乐离开超市去农庄的行程中，两人相遇时他们距离农庄的路程 23．（10分）已知二次函数（a，b为常数，）． (1)若，求二次函数的顶点坐标． (2)若，设函数的对称轴为直线，求k的值． (3)点在函数图象上，点在函数图象上，当，时，试比较m，n的大小． 【答案】(1) (2) (3)当时，；当时，；当时，；当时， 【分析】（1）将代入抛物线解析式求出解析，再化成顶点式即可求得； （2）把代入抛物线解析式中求出解析式，再根据对称轴公式即可求得； （3）令，解得或，即可得出两抛物线的交点的横坐标为0和1，分四种情况时， 时， 时， 时，画出函数图象，根据图象即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴二次函数的顶点坐标为； （2）解：∵， ∴， ∴对称轴为直线， 设函数的对称轴为直线， 则； （3）解：当时，函数图象开口向下， ∵， ∴， 令， 整理得， 解得或， ∴两抛物线的交点的横坐标为0和1， 如图， 由图象可知，当，； 当时，函数图象开口向上， ∵， ∴， 令， 整理得， 解得或， ∴两抛物线的交点的横坐标为0和1， 如图， 由图象可知，当，； 当时，与的图象重合，当，； 当时，函数图象开口向上， ∵， ∴， 令， 整理得， 解得或， ∴两抛物线的交点的横坐标为0和1， 如图， 由图象可知，当，； 综上分析可知，当时，；当时，；当时，；当时，． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，数形结合是解题的关键． 24．（12分）如图，是的直径，弦于点，点为上一点，，连接并延长交于点，过点作，分别交，的延长线于点，连接交于点H，连接，，． (1)求证：； (2)求证：是的切线； (3)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接，根据圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，圆内接四边形等知识即可得到结论； （2）连接，由，得，由，得，进而得，继而可证明，，即可证明是的切线； （3）连接，，设，则，，，， ．．由，可求，进而可得，．设的半径为，由勾股定理可求，进而得，设，则，， 由勾股定理，得，解方程可得答案． 【详解】（1）证明：如图，连接， 是的直径， ， ， 于点， ， ， ， ， ， 四边形内接于， ． ， ， ； （2）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ． ， ， ∴， 为的半径， ∴是的切线； （3）解：如图，连接，， ， 设，则，， ，，． ． ， ， 解得， ，． 设的半径为，则． 在中，， ， 解得， ， ， ， ， ， ． 设，则，， 在和中， 由勾股定理，得， ， 解得， ． 【点睛】本题主要涉及圆的相关性质：直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，圆内接四边形对角互补、切线的判定等，勾股定理等，熟知相关性质定理，正确的做出辅助线是解题的关键． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年中考第二次模拟考试（浙江卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．的相反数是（ ） A． B．2025 C． D． 2．在下列几何体中，其三视图中没有矩形的是（   ） A．   B．   C．   D．   3．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．中国初创企业“深度求索”公司， 其自主研发的人工智能 () 大语言模型，凭借“好用、 开源、 免费”三大特点， 在全球范围内引发热烈反响． 公司记录了7名工程师在某项任务中编写代码的行数， 数据如下∶ 20， 25， 25， 30， 35， 40， 45，则这组数据的中位数、 众数和平均数分别是（    ） A．30， 25， 30 B．35， 25， C．30， 25， D．25， 30， 35 5．中，，，下列结论：①；②；③，其中结论正确的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 6．如图，和是以点为位似中心的位似图形，，若，则为（    ） A．6 B．9 C．27 D．48 7．点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的有理数分别是a和b．下列四个结论： ①； ②， ③； ④．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 8．如图，以正六边形的顶点为圆心，的长为半径画弧，得到，连接AC，AE，若的长为，则正六边形的边长为（   ） A．2 B． C． D． 9．已知抛物线与轴两个交点间的距离为4，将此抛物线向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到一条新抛物线，则新抛物线与轴两个交点间的距离是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 10．如图，，分别是正方形的边，上的点，将正方形纸片沿折叠，使得点的对应点恰好落在边上，要想知道正方形的边长，只需知道（   ） A．的长度 B．的周长 C．的周长 D．的面积 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．分解因式： ． 12．人民财讯3月2日电，据灯塔专业版实时数据，截至3月2日10时23分，影片《哪吒之魔童闹海》票房突破142亿元．将数据142亿用科学记数法表示应为 ． 13．如图，在中，，将绕点C顺时针旋转，使点B的对应点D恰好落在边上，得到，则的度数为 ． 14．如图，是正五边形的内切圆，点，，分别是边，，与的切点，则的度数为 ． 15．有8张卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8．现从这8张卡片中随机抽出3张，则抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为 ． 16．如图，矩形的顶点和对角线，的交点都在反比例函数的图象上，若矩形的面积为，则的值为 ． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）计算： (1) (2)解不等式组： 18．（8分）如图，在中，是的中点，连接交于点，连接，． (1)求证：是菱形． (2)若，求的面积． 19．（8分）如图，小乐和小静一起从点出发去拍摄木棉树FH．小乐沿着水平面步行到达点时拍到树顶点，仰角为；小静沿着坡度：的斜坡步行到达点时拍到树顶点，仰角为，求这棵木棉树的高度（结果精确到）（参考数据：） 20．（8分）我市义务教育学校全面施行优化课间时长，课间时长从10分钟延长为15分钟，上午、下午各安排一次30分钟的大课间体育活动．某学校编制《课间15分快乐菜单》可供班级选择：A．踢足球，B．踢毽子，C．跳绳，D．丢沙包，E．跳皮筋，学校就学生参加这五项课间活动的意向对学生进行了抽样调查（每名学生只能从中选择一种最喜欢的），并将调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图． 请结合图中所给信息，解答下列问题： (1)本次参与抽样调查的学生共有______人； (2)补全条形统计图； (3)该校共有1000名学生，请估计选择“踢毽子”的学生有多少人？ (4)在最喜欢“跳绳”的学生中，有甲、乙、丙、丁四位同学表现优秀，现从这四位同学中随机选出两名同学参加上级的跳绳比赛，请用列表或画树状图法求被选取的两人恰好是甲和乙的概率． 21．（8分）在四边形中，仅用无刻度的直尺和圆规完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹） (1)如图，在边上确定点，使点到边、的距离相等． (2)如图，在四边形的边上确定点的位置，使，若点有不同位置，请用、…区分； 22．（10分）周末小佳和小乐相约去农庄游玩．小佳从甲小区骑电动车出发，同时，小乐从乙小区开车出发．途中，小乐去超市购物后，按原来的速度继续去农庄．甲、乙小区，超市和农庄之间的路程如图1所示，图2中线段和折线分别表示小佳和小乐离甲小区的路程（千米）与时间（分钟）的函数关系的图象，且两人行车速度均保持不变．根据图中信息，解答下列问题： (1)求小佳骑电动车的速度． (2)求线段所在直线的函数表达式． (3)小乐离开超市去农庄的行程中，求两人相遇时他们距离农庄的路程． 23．（10分）已知二次函数（a，b为常数，）． (1)若，求二次函数的顶点坐标． (2)若，设函数的对称轴为直线，求k的值． (3)点在函数图象上，点在函数图象上，当，时，试比较m，n的大小． 24．（12分）如图，是的直径，弦于点，点为上一点，，连接并延长交于点，过点作，分别交，的延长线于点，连接交于点H，连接，，． (1)求证：； (2)求证：是的切线； (3)若，，求的长． 试题 第7页（共7页） 试题 第4页（共7页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第二次模拟考试（浙江卷） 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．的相反数是（ ） A． B．2025 C． D． 2．在下列几何体中，其三视图中没有矩形的是（   ） A．   B．   C．   D．   3．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．中国初创企业“深度求索”公司， 其自主研发的人工智能 () 大语言模型，凭借“好用、 开源、 免费”三大特点， 在全球范围内引发热烈反响． 公司记录了7名工程师在某项任务中编写代码的行数， 数据如下∶ 20， 25， 25， 30， 35， 40， 45，则这组数据的中位数、 众数和平均数分别是（    ） A．30， 25， 30 B．35， 25， C．30， 25， D．25， 30， 35 5．中，，，下列结论：①；②；③，其中结论正确的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 6．如图，和是以点为位似中心的位似图形，，若，则为（    ） A．6 B．9 C．27 D．48 7．点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的有理数分别是a和b．下列四个结论： ①； ②， ③； ④．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 8．如图，以正六边形的顶点为圆心，的长为半径画弧，得到，连接AC，AE，若的长为，则正六边形的边长为（   ） A．2 B． C． D． 9．已知抛物线与轴两个交点间的距离为4，将此抛物线向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到一条新抛物线，则新抛物线与轴两个交点间的距离是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 10．如图，，分别是正方形的边，上的点，将正方形纸片沿折叠，使得点的对应点恰好落在边上，要想知道正方形的边长，只需知道（   ） A．的长度 B．的周长 C．的周长 D．的面积 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．分解因式： ． 12．人民财讯3月2日电，据灯塔专业版实时数据，截至3月2日10时23分，影片《哪吒之魔童闹海》票房突破142亿元．将数据142亿用科学记数法表示应为 ． 13．如图，在中，，将绕点C顺时针旋转，使点B的对应点D恰好落在边上，得到，则的度数为 ． 14．如图，是正五边形的内切圆，点，，分别是边，，与的切点，则的度数为 ． 15．有8张卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8．现从这8张卡片中随机抽出3张，则抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为 ． 16．如图，矩形的顶点和对角线，的交点都在反比例函数的图象上，若矩形的面积为，则的值为 ． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）计算： (1) (2)解不等式组： 18．（8分）如图，在中，是的中点，连接交于点，连接，． (1)求证：是菱形． (2)若，求的面积． 19．（8分）如图，小乐和小静一起从点出发去拍摄木棉树FH．小乐沿着水平面步行到达点时拍到树顶点，仰角为；小静沿着坡度：的斜坡步行到达点时拍到树顶点，仰角为，求这棵木棉树的高度（结果精确到）（参考数据：） 20．（8分）我市义务教育学校全面施行优化课间时长，课间时长从10分钟延长为15分钟，上午、下午各安排一次30分钟的大课间体育活动．某学校编制《课间15分快乐菜单》可供班级选择：A．踢足球，B．踢毽子，C．跳绳，D．丢沙包，E．跳皮筋，学校就学生参加这五项课间活动的意向对学生进行了抽样调查（每名学生只能从中选择一种最喜欢的），并将调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图． 请结合图中所给信息，解答下列问题： (1)本次参与抽样调查的学生共有______人； (2)补全条形统计图； (3)该校共有1000名学生，请估计选择“踢毽子”的学生有多少人？ (4)在最喜欢“跳绳”的学生中，有甲、乙、丙、丁四位同学表现优秀，现从这四位同学中随机选出两名同学参加上级的跳绳比赛，请用列表或画树状图法求被选取的两人恰好是甲和乙的概率． 21．（8分）在四边形中，仅用无刻度的直尺和圆规完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹） (1)如图，在边上确定点，使点到边、的距离相等． (2)如图，在四边形的边上确定点的位置，使，若点有不同位置，请用、…区分； 22．（10分）周末小佳和小乐相约去农庄游玩．小佳从甲小区骑电动车出发，同时，小乐从乙小区开车出发．途中，小乐去超市购物后，按原来的速度继续去农庄．甲、乙小区，超市和农庄之间的路程如图1所示，图2中线段和折线分别表示小佳和小乐离甲小区的路程（千米）与时间（分钟）的函数关系的图象，且两人行车速度均保持不变．根据图中信息，解答下列问题： (1)求小佳骑电动车的速度． (2)求线段所在直线的函数表达式． (3)小乐离开超市去农庄的行程中，求两人相遇时他们距离农庄的路程． 23．（10分）已知二次函数（a，b为常数，）． (1)若，求二次函数的顶点坐标． (2)若，设函数的对称轴为直线，求k的值． (3)点在函数图象上，点在函数图象上，当，时，试比较m，n的大小． 24．（12分）如图，是的直径，弦于点，点为上一点，，连接并延长交于点，过点作，分别交，的延长线于点，连接交于点H，连接，，． (1)求证：； (2)求证：是的切线； (3)若，，求的长． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$1 2025年中考第二次模拟考试（浙江卷） 数学·答题卡 第Ⅰ卷(请用 2B铅笔填涂) 第Ⅱ卷 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 二、填空题（每小题 3分，共 18分） 11．_________________ 12．___________________ 13．__________________ 14．__________________ 15.__________________ 16．__________________ 一、选择题（每小题 3分，共 30分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm黑色签字笔 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 三、（本大题共 8个小题，共 72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分） 18. （8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19. （8分） 20.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.（8分） 22.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23. （10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24. （12分）