精品解析：上海市松江区上海师范大学附属外国语中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

2024学年第二学期高一数学3月学科诊断卷 一、填空题（1－6题每题4分，7－12题每题5分，共54分） 1. 的角属于第______象限. 2. 已知在角的终边上，则___________. 3. 已知扇形圆心角所对的弧长，则该扇形面积为__________. 4. 已知，则__________. 5. 若是第三象限角，且，则等于_____. 6. 在中，，其面积为，则边______. 7. 若，则______. 8. 的值为__． 9 若，则__________． 10. 如图，圆与轴的正半轴的交点为，点，在圆上，且点位于第一象限，点的坐标为，．若，则的值为______． 11. 已知内角，，的对边分别为，，．若，则的最小值为______． 12. 在中，若，，三点分别在边，，上（均不在端点上），则，，的外接圆交于一点O，称为密克点.在梯形ABCD中，，，M为CD的中点，动点P在BC边上（不包含端点），与的外接圆交于点Q（异于点P），则的最小值为______. 二、选择题（13－14题每题4分，15-16题每题5分，共18分） 13. 设是第一象限的角，则所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第三象限 C. 第一象限或第三象限 D. 第二象限或第四象限 14. 已知为锐角的内角，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 充要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 在中，，，，若满足条件有2个，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 16. 设集合，则集合的元素个数为（ ） A. 1011 B. 1012 C. 2022 D. 2023 三、解答题（14+14+14+18+18） 17. 已知，，． （1）求的值； （2）计算的值．（用反三角表示） 18. 如图，为了测量山顶M和山顶N之间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一铅垂平面内．飞机从点A到点B路程为a，途中在点A观测到M，N处的俯角分别为，，在点B观测到M，N处的俯角分别为，． （1）求的面积（用字母表示）； （2）若，，，，，求M，N之间的距离． 19. 已知条件：①；②；③.在这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.问题：在中，角，，，满足：______.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分. （1）求角的大小； （2）若为锐角三角形，求的取值范围. 20. 在平面直角坐标系中，，是位于不同象限任意角，它们的终边交单位圆（圆心在坐标原点O）于A，B两点 （1）已知点A，将绕原点顺时针旋转到，求点B的坐标； （2）若角为锐角，且终边绕原点逆时针转过后，终边交单位圆于，求的值； （3）若A，B两点的纵坐标分别为正数a，b，且，求的最大值. 21. 对于集合和常数，定义：为集合相对“余弦方差”． （1）若集合，，求集合相对的“余弦方差”； （2）求证：集合，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，并求此定值； （3）若集合，，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，求出、． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第二学期高一数学3月学科诊断卷 一、填空题（1－6题每题4分，7－12题每题5分，共54分） 1. 的角属于第______象限. 【答案】一 【解析】 【分析】根据终边相同的角的性质即可求解. 【详解】由于，且为第一象限角， 故的角属于第一象限角， 故答案为：一 2. 已知在角的终边上，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】先由三角函数的定义求出；再利用诱导公式化简求值即可. 【详解】因为在角的终边上 所以由三角函数的定义可得 则. 故答案为： 3. 已知扇形圆心角所对的弧长，则该扇形面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据弧长公式以及扇形面积公式即可求解. 【详解】由弧长公式可得，所以扇形面积为， 故答案为： 4. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】左右平方利用同角三角函数的基本关系可得结果. 详解】∵，则， 即，故. 故答案为：. 5. 若是第三象限角，且，则等于_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用差角的正弦公式将已知条件化简后求出，再利用平方关系求出，进而求出. 【详解】 ， ， 是第三象限角， ， . 故答案为：. 6. 在中，，其面积为，则边______. 【答案】10 【解析】 【分析】由三角形的面积公式求解． 详解】由，得， 得， 故答案为：10 7. 若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】 根据二倍角公式和平方关系，即可求出． 【详解】． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二倍角公式和平方关系的应用，属于基础题． 8. 的值为__． 【答案】##-0.5 【解析】 【分析】直接利用二倍角公式以及诱导公式化简求解即可． 【详解】． 故答案为：． 9. 若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用两角和与差的三角公式将化简为，利用同角三角函数的基本关系式求得，得出结论. 【详解】解：， 故答案为：. 10. 如图，圆与轴的正半轴的交点为，点，在圆上，且点位于第一象限，点的坐标为，．若，则的值为______． 【答案】##0.8 【解析】 【分析】根据三角函数的定义可得，进而由图可得，利用二倍角公式即可化简求解 【详解】由于的坐标为，故，故在单位圆上，设终边所对角为， 由于，故,， 所以，故， ， 故答案为： 11. 已知的内角，，的对边分别为，，．若，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】 由二倍角公式，正弦定理，余弦定理化简已知等式可得，利用均值不等式求解即可. 【详解】∵， ∴，即， 由正弦定理得，∴， 由余弦定理知，， ∴， 则， ∵， ∴，则，当且仅当时，等号成立 即的最小值为． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：利用正弦定理、余弦定理可得,再根据重要不等式 求解，余弦定理、正弦定理的灵活运用是解题关键. 12. 在中，若，，三点分别在边，，上（均不在端点上），则，，的外接圆交于一点O，称为密克点.在梯形ABCD中，，，M为CD的中点，动点P在BC边上（不包含端点），与的外接圆交于点Q（异于点P），则的最小值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】延长，交于点E得为正三角形，且得、、的外接圆有唯一公共点为密克点Q，接着由题给条件推出是直角三角形，进而得其外接圆半径，再在中由余弦定理求出即可得的最小值. 【详解】延长，交于点E，则由题可知为正三角形， 由题设结论，，的外接圆有唯一公共点，该公共点即为题中的点Q， 故点Q在外接圆上，如上图， 又由题，, 所以，故， 所以是直角三角形，故其外接圆半径， 在中，由余弦定理， 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：解决本题得关键是正确作出辅助线，从而创造密克环境找到并明确点位置，从而结合已知条件得出是直角三角形且其外接圆半径以及是点B与外接圆上的点的距离，于是求出即可求出. 二、选择题（13－14题每题4分，15-16题每题5分，共18分） 13. 设是第一象限的角，则所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第三象限 C. 第一象限或第三象限 D. 第二象限或第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据是第一象限的角，求出的范围判断即可得解. 【详解】因为是第一象限的角， 所以，， 所以， 当时，，为第一象限角； 当时，，第三象限角. 故选：C 14. 已知为锐角的内角，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 充要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 由充分条件和必要条件的定义进行判断即可 【详解】解：因为为锐角三角形，所以， 因为，所以， 反之当时，， 所以“”是“”的充要条件， 故选：B 【点睛】此题考查充分条件和必要条件的判断，属于基础题 15. 在中，，，，若满足条件的有2个，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦定理，结合三角形解的个数，即可列式求解. 【详解】根据正弦定理，，则， 若满足条件的有两个，则，解得， 所以的取值范围是. 故选：D. 16. 设集合，则集合的元素个数为（ ） A. 1011 B. 1012 C. 2022 D. 2023 【答案】B 【解析】 【分析】依题意由表达式中角的特征可知当时，的取值各不相同，当时，利用诱导公式以及集合元素的互异性即可求得元素个数为. 【详解】根据题意可知，当时，，此时； 又因为为奇数，为偶数，且中的任意两组角都不关于对称， 所以的取值各不相同，因此当时集合中的取值会随着的增大而增大， 所以当时，集合中有1011个元素； 当时，易知 又易知，所以可得 ， 即时的取值与时的取值相同， 根据集合元素的互异性可知，时并没有增加集合中的元素个数， 当时，易知 ， 可得当时，集合中的元素个数只增加了一个0， 所以可得集合的元素个数为个. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于通过观察集合中元素的特征，利用的三角函数值的范围以及图象的对称性，由集合中元素的互异性得出当时，集合中的元素个数的增加情况即可求得结果. 三、解答题（14+14+14+18+18） 17. 已知，，． （1）求的值； （2）计算的值．（用反三角表示） 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用同角基本关系式与正弦函数的和差公式即可得解； （2）利用余弦函数的倍角公式与反三角表示即可得解. 【小问1详解】 因为， 所以， 则. 【小问2详解】 因为， 又，则，故. 18. 如图，为了测量山顶M和山顶N之间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一铅垂平面内．飞机从点A到点B路程为a，途中在点A观测到M，N处的俯角分别为，，在点B观测到M，N处的俯角分别为，． （1）求的面积（用字母表示）； （2）若，，，，，求M，N之间的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理表示出边，利用面积公式可求答案； （2）先利用正弦定理求出,再利用余弦定理可求答案. 【小问1详解】 由题意可知，由正弦定理，得， 面积. 【小问2详解】 由（1）知， 在中，，， 在中，， 由余弦定理可得 ， 所以. 19. 已知条件：①；②；③.在这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.问题：在中，角，，，满足：______.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分. （1）求角的大小； （2）若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】（1）条件选择见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）根据选择的条件，利用同角三角函数的关系、倍角公式、两角和的正弦公式化简，可求角的大小； （2）由（1）知，，则，利用倍角公式降幂，两角差的余弦公式和辅助角公式化简，由角的范围，求的取值范围. 【小问1详解】 选择条件①： 则有，， ，，于是，又，所以. 选择条件②： 因为， 解得，又，所以. 选择条件③： 即， 整理得：，由得：，又，所以 【小问2详解】 由（1）知，，为锐角三角形， 所以， ， 因为，所以， 所以， ，故的取值范围为. 20. 在平面直角坐标系中，，是位于不同象限的任意角，它们的终边交单位圆（圆心在坐标原点O）于A，B两点 （1）已知点A，将绕原点顺时针旋转到，求点B的坐标； （2）若角为锐角，且终边绕原点逆时针转过后，终边交单位圆于，求的值； （3）若A，B两点的纵坐标分别为正数a，b，且，求的最大值. 【答案】（1）；（2）；（3）。 【解析】 【分析】（1）设点在角的终边上，根据任意角的三角函数的定义可得再根据题意可知点在角的终边上，且，根据诱导公式即可求出点的坐标； （2）由题意利用任意角的三角函数的定义求得和的值，再利用两角和差的三角公式，求得要求式子的值； （3）由题意，角和角一个在第一象限，另一个在第二象限，再利用任意角的三角函数的定义、两角和差的三角公式，可得，平方可得，再利用基本不等式，即可求出结果． 【详解】（1）设点在角的终边上， 又，则， 所以点在角的终边上，且， 所以点的横坐标为，纵坐标为，即点坐标为. （2）∵顶点在原点的锐角绕原点逆时针转过后，终边交单位圆于， ∴，且，求得， 则，， 则 ． （3）角和角一个在第一象限，另一个在第二象限， 不妨假设在第一象限，则在第二象限， 根据题意可得，且， ∴，， ∴， 即，平方可得，，当且仅当时，取等号． ∴，当且仅当时，取等号，故当时，取得最大值为． 21. 对于集合和常数，定义：为集合相对的“余弦方差”． （1）若集合，，求集合相对的“余弦方差”； （2）求证：集合，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，并求此定值； （3）若集合，，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，求出、． 【答案】（1） （2）证明见解析， （3），或， 【解析】 【分析】（1）根据余弦方差的定义代入即可求解， （2）根据余弦差定义可得化简分子，根据和差角公式以及同角平方关系即可求解， （3）根据余弦差定义列出关系式，利用和差角公式以及二倍角公式化简，根据题意可得，即可结合三角函数的性质求解. 【小问1详解】 依题意得，； 【小问2详解】 证明：由“余弦方差”定义得： ， 则分子 ， 为定值，与的取值无关． 【小问3详解】 分子 ． 要使是一个与无关的定值， 则， ， 与终边关于轴对称或关于原点对称， 又，得与终边只能关于轴对称， 又 则当时， 当时，． 故，或， 故，或，时，相对任何常数“余弦方差”是一个与无关的定值． 【点睛】关键点点睛：利用公式将所给的集合代入运算，利用和差角公式，二倍角公式化简. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$