第十八章 平行四边形（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（人教版，云南专用）

第十八章 平行四边形（B卷·培优卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：100分 一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 1．在平行四边形中，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的两个对角相等，邻角互补求解即可． 【详解】解：如图， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 2．下列命题中是真命题的是（    ） A．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 C．有一个角是直角且对角线相等的四边形是矩形 D．一个角为且一组邻边相等的四边形是正方形 【答案】B 【分析】本题考查命题的真假判断．根据题意，逐项判断即可． 【详解】解：A.一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，此项不符合题意； B.对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，此项符合题意； C.有一个角是直角且对角线相等的四边形不一定是矩形，此项不符合题意； D.一个角为且一组邻边相等的四边形不一定是正方形，此项不符合题意． 故选：B． 3．某校举行风筝节活动，小明做了一个菱形风筝，他用两个木条沿着菱形的对角线做支架．经测量，，则这个风筝的面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质，解题的关键是掌握：菱形的面积公式是两条对角线的长度乘积的一半．据此列式解答即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴菱形的面积为：． 故选：B． 4．如图，在中，下列结论中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质，平行四边形的对边互相平行且相等，对角线互相平分，据此判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，，， ∴， 根据四边形是平行四边形无法得出， ∴选项A、B、D结论成立，选项C结论不一定成立， 故选：C． 5．证明：平行四边形对角线互相平分， 已知：四边形是平行四边形，如图所示． 求证：，． 以下是排乱的证明过程，正确的顺序应是（　　） ∴，． ∵四边形是平行四边形． ∴，． ∴． ∴，． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形性质，全等三角形的判定和性质等知识，可以从分析法入手，由果索因，进而得出结果，解题的关键是从条件开始，有条理地书写和表达． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴，， 故答案为：． 6．下面是关于如图的不完整推理过程： ∵ ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是菱形； 为使推理成立，横线上可以添加的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查菱形的判定，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，判断即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）； 故选D． 7．如图，在正方形外侧，作等边三角形，、相交于点，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正方形，等边三角形，可得，，则，，计算求解即可． 【详解】解：∵正方形，等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等边对等角，三角形内角和定理．熟练掌握正方形的性质，等边三角形的性质，等边对等角，三角形内角和定理是解题的关键． 8．如图，在四边形中，与相交于点，下列条件不能判定四边形为平行四边形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定定理，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线相互平分的四边形是平行四边形；逐项验证即可得到答案，熟记平行四边形的判定定理是解决问题的关键． 【详解】解：A、由平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形确定可以判定四边形为平行四边形，不符合题意； B、由平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形确定可以判定四边形为平行四边形，不符合题意； C、由平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形确定不能判定四边形为平行四边形，符合题意； D、由平行四边形的判定定理：对角线相互平分的四边形是平行四边形确定可以判定四边形为平行四边形，不符合题意； 故选：C． 9．我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”．木艺活动课上，小明用四根细木条a，b，c，d搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（　　） A．测量是否有三个角是直角 B．测量对角线是否相等 C．测量两组对边是否分别相等 D．测量对角线是否互相垂直 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定方法，是解题的关键． 根据矩形的判定方法即可得到结论． 【详解】解：A、测量其中三个角是否为直角，能判定矩形；符合题意； B、测量对角线是否相等，不能判定形状；不符合题意； C、测量两组对边是否分别相等，能判定平行四边形；不符合题意； D、测量对角线是否互相垂直，不能判定形状；不符合题意． 故选：A． 10．在综合实践课上，小明画出 ，利用尺规作图找一点 ，使得四边形 为平行四边形． 如图是其作图过程． 小明这一作法判定四边形 为平行四边形的直接依据是（     ） （1）以点 为圆心， 为半径作出第一段圆弧 （2）以点 为圆心， 为半径作出第二段圆弧， 并与第 一段圆弧交于点 ； （3）连接 ， ，四边形 即为所求． A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 【答案】B 【分析】根据作图步骤可知，，根据平行四边形的判定方法即可得解．熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 【详解】由步骤（1）可知， 由步骤（2）可知， 根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”,可得四边形是平行四边形． 故选：B 11．如图，在中，对角线与相交于点，要在对角线上找点，，分别连接，，，，使四边形为平行四边形．现有甲、乙两种方案，下列说法正确的是（    ） 甲方案：只需要满足； 乙方案：只需要满足． A．只有甲方案正确 B．只有乙方案正确 C．甲、乙方案都正确 D．甲、乙方案都不正确 【答案】C 【分析】结合平行四边形的性质，证明，即可解决问题．本题考查了平行四边形的性质与判定，三角形全等的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 甲：， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 四边形为平行四边形，故甲正确； 乙：， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形为平行四边形，故乙正确； 故选：C． 12．为更好地开展劳动教育课程，学校计划将一块空地（如图）修建一条笔直的小路（小路宽度忽略不计）．有两个要求：经过边上一点；分成面积相等的两部分．则小路除了经过点外，还经过（   ） A．点 B．的中点 C．的中点 D．边上的点，且 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质即可得出答案，熟练掌握平行四边形的性质是解此题的关键． 【详解】解：由平行四边形的性质结合题意得：小路除了经过点外，还经过的中点， 故选：B． 13．如图，A、B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A，B间的距离：先在AB外选一点C，然后确定AC，BC的中点M、N，并测量出MN的长为18m，由此他算出了A，B间的距离．在这次探究活动中，他得出下列结论：①AB出下列结论：①AB＝36m，②MN∥AB，③MN＝CB，④CM＝AC，其中正确的是（   ） A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①③④ 【答案】B 【分析】根据三角形的中位线定理即可判断； 【详解】解：∵M、N分别是AC，BC的中点， ∴MN∥AB，MN＝AB，CM＝AC ，CN＝CB， ∵MN=18m， ∴AB=36m， 故①②④正确，③错误． 故选：B． 【点睛】本题考查三角形中位线定理的应用，理解三角形中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题关键． 14．如图，是矩形的对角线的中点，是边的中点，若，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是矩形的性质、中位线定理、勾股定理，解题关键是熟练掌握矩形的性质． 结合矩形性质可知，再由中位线定理得到的长，由勾股定理求出后即可得到． 【详解】解：矩形中，且和互相平分， ， 是的中点，是边的中点， 是的中位线， ， 矩形中，， ， ． 故选：． 15．如图，正方形与正方形，点B，C，E在同一条直线上，点P在边上，，且，连接交于H，有下列结论：①；②；③；④；⑤，以上结论正确的个数有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】利用等角的余角相等得到，则可根据“”判断，则，再利用四边形是正方形得到，则可对①进行判断；由于，则不能判断，于是可对②进行判断；利用得到，加上，所以，则可对③进行判断；通过证明为等腰直角三角形得到，则，利用勾股定理得到，加上，则可对④进行判断；然后利用正方形和等腰三角形的面积公式可对⑤进行判断． 【详解】解：∵， ， 而， ， 在和中 ， ， ， ∵四边形是正方形， ， ，故①正确； ， ∴不能判断， ∴不能确定，故②错误； ∵四边形是正方形， ， ∴， 而， ∴，所以③正确； ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， 而， ∴，所以④错误； ∵，， ∴，所以⑤正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了四边形的综合题，涉及全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定、勾股定理，正方形的性质等知识点，能灵活运用全等三角形的知识解决相关问题是解题的关键． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题2分，共8分） 16．如图，矩形的对角线相交于点O，若，，则的周长是 cm． 【答案】16 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理．由矩形的性质可得，，，，由勾股定理可求，进一步计算即可求的周长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，． ∵，， ∴， ∴， ∴的周长． 故答案为：16． 17．如图所示，在中，A、C分别为边、上的点，请在目前图形中添加一个条件 ，使四边形是平行四边形．    【答案】 【分析】在中可得,即，添加，满足一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 【详解】解：添加条件， 四边形是平行四边形， ， 即， ， 四边形是平行四边形． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质定理是解题关键． 18．如图，在中，，点H、G分别是边、上的动点，连接、，点E为的中点，点F为的中点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，含30度的直角三角形，勾股定理，掌握三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题关键．连接，过点作于点，由三角形中位线定理可得，即当时，即点在位置时，有最小值，此时最小，根据平行四边形的性质和直角三角形的性质，求出，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， 点E为的中点，点F为的中点， 是的中位线， ， 当时，即点在位置时，有最小值，此时最小， 在中，， ， ， ， ， ， 故答案为： 19．知图，在菱形中，对角线、交于点，点E、F分别在边、上（点E不与A、B重合）．且，、分别交于点P、Q，连结、．给出下面四个结论：①平分四边形的周长；②四边形是矩形；③平分；④当时，．上述结论中，所有正确结论的序号是 ．    【答案】①③④ 【分析】根据菱形性质可以判定出四边形为平行四边形，结合等腰三角形的判定与性质可以判定出为菱形，即可判断出①②③，利用勾股定理可以求出的长从而得出结论④． 【详解】解：四边形为菱形， ， ， 四边形为平行四边形，故②四边形是矩形无法判定，不符合题意； ， 垂直平分，， ， ， 为菱形， ，即 ①平分四边形的周长，正确，符合题意； ③平分，正确，符合题意； 为菱形， ，， ， 当时，， ， ，， ，故④正确，符合题意， 综上所述，正确的结论有：①③④， 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握相关性质定理是解题关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共62分．） 20．（7分）如图，的对角线与相交于点，，，的周长是．    (1)求的度数； (2)求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查平行四边形的性质； （1）根据平行四边形对角相等即可得答案； （2）根据平行四边形对角线互相平分可得的长，进而可求出； 【详解】（1）∵四边形是平行四边形， ∴； （2）∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 21．（6分）在学习平行四边形时，小刚同学遇到这样一个问题：如图，在中，连接对角线于点E，过点B作的垂线，垂足为F，试证明线段与相等．小刚的思路是证三角形全等解决问题．请根据小刚的思路完成下面作图和解答： 用直尺和圆规，完成基本作图：过点B作的垂线，垂足为点F（保留作图痕迹，不写作法）． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴____________①，． ．（____________②） ， ∴____________③． ． ． 于是小刚同学得到结论：平行四边形中，一组对角顶点到____________④相等． 【答案】作图见解析；①；②两直线平行内错角相等；③；④对角线的距离 【分析】本题主要考查了尺规作垂线，三角形全等的判定和性质，平行四边形的性质，先以点B为圆心，任意长为半径画弧，交于M、N两点，再分别以M、N为圆心大于为半径画弧，两弧交于点P，连接，交于点F，根据平行四边形的性质和平行线的性质，证明即可得出答案． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴①，． ．（两直线平行内错角相等②） ， ∴③， ， ． 于是小刚同学得到结论：平行四边形中，一组对角顶点到对角线的距离④相等． 22．（7分）如图，在中，点O为线段的中点，延长交的延长线于点E，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接．若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（）证，得，再证四边形是平行四边形，然后证，即可得出结论； （）过点作于点，由矩形的性质得，，再由等腰三角形的性质得，则为的中位线，得，然后由平行四边形的性质得，进而由勾股定理即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵为的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解：如图，过点作于点， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴为的中位线， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即的长为． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理以及勾股定理，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键． 23．（6分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AO上一点，BF⊥BD交DE的延长线于点F，且EF＝DE． (1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)DF交AB于点G，若OD2＝OE•OA，求证：DF•AG＝AE•BD． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）证得OE是△BDF的中位线，推出BD⊥AC，即可证明四边形ABCD是菱形； （2）先证明△EOD∼△DOA，推出∠DAO=∠EDO，得到∠EDO=∠BAO，再证明△AGE∼△DBF，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB=OD， ∵EF=DE， ∴OE是△BDF的中位线， ∴OE//BF． ∴∠DBF=∠DOE， ∵BF⊥BD， ∴∠DBF=90°， ∴∠DOE=90°，即BD⊥AC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是菱形； （2）证明： ∵OD2=OE•OA， ∴， 又∵∠EOD=∠DOA， ∴△EOD∼△DOA， ∴∠DAO=∠EDO， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD，AO⊥BD， ∴∠DAO=∠BAO， ∴∠EDO=∠BAO， 又∵∠AEG=∠DEO，∠AEG+∠BAO+∠AGE=∠DEO+∠EDO+∠AOD=180°， ∴∠AGE=∠AOD=90°， ∵∠DBF=90°， ∴∠AGE=∠DBF， ∴△AGE∼△DBF， ∴， ∴DF•AG=AE•BD． 【点睛】本题考查了菱形的判定，三角形中位的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 24．（8分）【问题背景】 （教材原题）如图1，四边形是正方形，点E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F．求证：（无需证明）． 【问题探究】 (1)如图2，四边形是正方形，点E在上，，，连接，则的度数为 ； (2)如图3，四边形是菱形，点E在上，（），，连接．探究与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）连接，过点E作，交于点H，由可证，可得，即可求出； （2）由可得，可得，，由角的数量关系可求解． 【详解】（1）解：如图2，连接，过点E作，交于点H， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：．证明如下： 证明：如图3，在的延长线上取点G，使得， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了四边形的综合应用，主要考查正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的性质与判定，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 25．（8分）如图，在中，，，E为射线上一点，直线与直线交于点G，于H，的延长线与直线交于点F． (1)当E在线段上时， ①若，，求的面积； ②求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)①；②见解析 (2)2或 【分析】（1）①过点G作，垂足为P，证明是等腰直角三角形，求出，再根据含30度角的直角三角形的特征，求出，利用勾股定理求出，进而得到，利用勾股定理即可求出，即可得到的面积；②如图，延长交的延长线于，连接，利用全等三角形的性质证明即可； （2）根据题意可求，当点E在线段上时，根据，，，，可得，进而得到，即，同理（1）②可证，，进而得到，推出是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一，得到，即可求出；当点E在射线上时，同理证明是等腰三角形，即可解答． 【详解】（1）①解：过点G作，垂足为P， ，， 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积为：； ②如图1中，延长交的延长线于，连接， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：当点E在线段上时， ，，， ， ，， ， ，即， 同理（1）②得，，， ， 是等腰三角形， ， ； 当点E在射线上时， 同理得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， ， ； 综上，长为2或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，直角三角形的特征，等腰三角形的判定与性质，正确的添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 26．（8分）【问题探究】 （1）如图1，在中，连接，． ①求证：是矩形； ②若，探究线段与线段之间的数量关系． 【问题解决】 （2）如图2所示，矩形是一块待开发的旅游景点规划地，是从入口通往三个观光点的路线，其中，且，因自然地理环境的限制，观光点无法直接到达观光点，为方便旅客顺利、便捷地从观光点到达观光点（观光点分别在上），现要在上架一座桥梁，已知，桥梁的造价为200万元/，桥梁的造价为100万元/，求建好和两座桥梁所需要的总造价． 【答案】（1）①见解析，②；（2）400万元 【分析】（1）①根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可；②由得到，在中，运用勾股定理即可求解； （2）延长至点，使得，连接，先证明，则，则，由上知，那么，同上可得，，则，此时，那么，即可求解总造价． 【详解】（1）①证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； ②解：，理由如下， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得； （2）解：延长至点，使得，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴，， 由上知， ∴， 在中，， ∴同上可得， ∴， ∴， ∴， ∴总造价为：（万元）． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确构造全等三角形是解题的关键． 27．（12分）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组学习正方形以后做了以下探究：在正方形中，E，F为平面内两点． 【初步感知】 （1）如图1，当点E在边上时，，且B，C，F三点共线．请写出与的数量关系______； 【深入探究】 （2）如图2，当点E在正方形外部时，，，E，C，F三点共线．若，，求的长； 【拓展运用】 （3）如图3，当点E在正方形外部时，，，，且D，F，E三点共线，猜想并证明，，之间的数量关系． 【答案】（1）；（2）的长为；（3），证明见解析． 【分析】（1）由正方形和的条件，根据证明，即可得到结论； （2）类似（1）证明，可得，，利用勾股定理求出长度，用，即可求解； （3）连接对角线，交于点O，连接，证明，再证明得到，和，间对应关系，利用和中勾股定理转换边长即可解出，，之间的关系． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 由可知：， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ， ，， ， ，， ∴， 在与中， ， ， ，， 在中，根据勾股定理：， ， ， 即：的长为； （3）， 证明：如图，连接对角线，交于点O，连接， 在正方形中，， ， ∴，则， ∴，， ∵，即：， ∴，即：， 由（2）的方法同理可证明：， ，， 在中，由勾股定理：， ， 在中，由勾股定理：， 在中，由勾股定理：， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，解题的关键是对勾股定理的熟练变形运用． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十八章 平行四边形（B卷·培优卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：100分 一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 1．在平行四边形中，，则等于（   ） A． B． C． D． 2．下列命题中是真命题的是（    ） A．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 C．有一个角是直角且对角线相等的四边形是矩形 D．一个角为且一组邻边相等的四边形是正方形 3．某校举行风筝节活动，小明做了一个菱形风筝，他用两个木条沿着菱形的对角线做支架．经测量，，则这个风筝的面积是（    ）    A． B． C． D． 4．如图，在中，下列结论中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 5．证明：平行四边形对角线互相平分， 已知：四边形是平行四边形，如图所示． 求证：，． 以下是排乱的证明过程，正确的顺序应是（　　） ∴，． ∵四边形是平行四边形． ∴，． ∴． ∴，． A． B． C． D． 6．下面是关于如图的不完整推理过程： ∵ ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是菱形； 为使推理成立，横线上可以添加的条件是（　　） A． B． C． D． 7．如图，在正方形外侧，作等边三角形，、相交于点，则为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在四边形中，与相交于点，下列条件不能判定四边形为平行四边形的是（　　） A． B． C． D． 9．我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”．木艺活动课上，小明用四根细木条a，b，c，d搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（　　） A．测量是否有三个角是直角 B．测量对角线是否相等 C．测量两组对边是否分别相等 D．测量对角线是否互相垂直 10．在综合实践课上，小明画出 ，利用尺规作图找一点 ，使得四边形 为平行四边形． 如图是其作图过程． 小明这一作法判定四边形 为平行四边形的直接依据是（     ） （1）以点 为圆心， 为半径作出第一段圆弧 （2）以点 为圆心， 为半径作出第二段圆弧， 并与第 一段圆弧交于点 ； （3）连接 ， ，四边形 即为所求． A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 11．如图，在中，对角线与相交于点，要在对角线上找点，，分别连接，，，，使四边形为平行四边形．现有甲、乙两种方案，下列说法正确的是（    ） 甲方案：只需要满足； 乙方案：只需要满足． A．只有甲方案正确 B．只有乙方案正确 C．甲、乙方案都正确 D．甲、乙方案都不正确 12．为更好地开展劳动教育课程，学校计划将一块空地（如图）修建一条笔直的小路（小路宽度忽略不计）．有两个要求：经过边上一点；分成面积相等的两部分．则小路除了经过点外，还经过（   ） A．点 B．的中点 C．的中点 D．边上的点，且 13．如图，A、B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A，B间的距离：先在AB外选一点C，然后确定AC，BC的中点M、N，并测量出MN的长为18m，由此他算出了A，B间的距离．在这次探究活动中，他得出下列结论：①AB出下列结论：①AB＝36m，②MN∥AB，③MN＝CB，④CM＝AC，其中正确的是（   ） A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①③④ 14．如图，是矩形的对角线的中点，是边的中点，若，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 15．如图，正方形与正方形，点B，C，E在同一条直线上，点P在边上，，且，连接交于H，有下列结论：①；②；③；④；⑤，以上结论正确的个数有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 二、填空题（本大题共4个小题，每小题2分，共8分） 16．如图，矩形的对角线相交于点O，若，，则的周长是 cm． 17．如图所示，在中，A、C分别为边、上的点，请在目前图形中添加一个条件 ，使四边形是平行四边形．    18．如图，在中，，点H、G分别是边、上的动点，连接、，点E为的中点，点F为的中点，连接，则的最小值为 ． 19．知图，在菱形中，对角线、交于点，点E、F分别在边、上（点E不与A、B重合）．且，、分别交于点P、Q，连结、．给出下面四个结论：①平分四边形的周长；②四边形是矩形；③平分；④当时，．上述结论中，所有正确结论的序号是 ．    三、解答题（本大题共8个小题，共62分．） 20．（7分）如图，的对角线与相交于点，，，的周长是．    (1)求的度数； (2)求的长． 21．（6分）在学习平行四边形时，小刚同学遇到这样一个问题：如图，在中，连接对角线于点E，过点B作的垂线，垂足为F，试证明线段与相等．小刚的思路是证三角形全等解决问题．请根据小刚的思路完成下面作图和解答： 用直尺和圆规，完成基本作图：过点B作的垂线，垂足为点F（保留作图痕迹，不写作法）． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴____________①，． ．（____________②） ， ∴____________③． ． ． 于是小刚同学得到结论：平行四边形中，一组对角顶点到____________④相等． 22．（7分）如图，在中，点O为线段的中点，延长交的延长线于点E，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接．若，求的长． 23．（6分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AO上一点，BF⊥BD交DE的延长线于点F，且EF＝DE． (1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)DF交AB于点G，若OD2＝OE•OA，求证：DF•AG＝AE•BD． 24．（8分）【问题背景】 （教材原题）如图1，四边形是正方形，点E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F．求证：（无需证明）． 【问题探究】 (1)如图2，四边形是正方形，点E在上，，，连接，则的度数为 ； (2)如图3，四边形是菱形，点E在上，（），，连接．探究与的数量关系，并证明你的结论． 25．（8分）如图，在中，，，E为射线上一点，直线与直线交于点G，于H，的延长线与直线交于点F． (1)当E在线段上时， ①若，，求的面积； ②求证：； (2)若，，求的长． 26．（8分）【问题探究】 （1）如图1，在中，连接，． ①求证：是矩形； ②若，探究线段与线段之间的数量关系． 【问题解决】 （2）如图2所示，矩形是一块待开发的旅游景点规划地，是从入口通往三个观光点的路线，其中，且，因自然地理环境的限制，观光点无法直接到达观光点，为方便旅客顺利、便捷地从观光点到达观光点（观光点分别在上），现要在上架一座桥梁，已知，桥梁的造价为200万元/，桥梁的造价为100万元/，求建好和两座桥梁所需要的总造价． 27．（12分）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组学习正方形以后做了以下探究：在正方形中，E，F为平面内两点． 【初步感知】 （1）如图1，当点E在边上时，，且B，C，F三点共线．请写出与的数量关系______； 【深入探究】 （2）如图2，当点E在正方形外部时，，，E，C，F三点共线．若，，求的长； 【拓展运用】 （3）如图3，当点E在正方形外部时，，，，且D，F，E三点共线，猜想并证明，，之间的数量关系． / 学科网（北京）股份有限公司 $$