2025年中考数学二轮专题：新题型 网格中的尺规作图 题型与练习

专题六、新题型《网格中的尺规作图》 尺规作图规则与要求： 1.尺规作图:只使用没有刻度的直尺和圆规作几何图形的方法称为尺规作图2.作图公法:尺规作图可以使用的5项基本方法，称为“作公法” (1)通过两个已知点可作一直线; (2)已知圆心和半径可作一个圆; (3)若两已知直线相交，可求其交点: (4)若已知直线和一己知圆相交，可求其交点; (5)若两已知圆相交，可求其交点. 3.网格作图:中考命题中，尺规作图多在网格中进行，以方便绘图和阅卷 4.课标要求:要求学生掌握以下 14种尺规作图: (1)作一个角等于已知角; (2)作一个角的平分线: (3)作一条线段的垂直平分线; (4)过一点作已知直线的垂线: (5)过直线外一点作这条直线的平行线: (6)已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形; (7)已知底边及底边上的高线作等腰三角形: (8)已知一直角边和斜边作直角三角形: (9)过不在同一直线上的三点作圆: (10)作三角形的外接圆: (11)作三角形的内切圆: (12)作圆的内接正方形; (13)作圆的内接正六边形; (14)过圆外一点作圆的切线 典型题目： 1．如图，是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，点A，B，C，O都在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不写画法，保留作图痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．    (1)在图中画出绕点O顺时针旋转所得到的（其中点A，B，C的对应点分别为，，）； (2)D是上一点，在图中画出D关于的对称点； (3)在图中描出的外心P，并直接写出点A到直线的距离． 2．如图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点、、、均在格点上． (1)如图①，连结、交于点，直接写出的值为 ； (2)如图②，在上找一点，使；（只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写画法） (3)如图③，在上找一点，使的面积为（要求同上）． (4)如图④，、交于点，直接写出的值 ． 3．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点．均在格点上，点为线段与网格线的交点． （Ⅰ）的长为 ； （Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，分别在线段上画出点，使得最小．简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 4．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C、D、E均在格点上，，与相交于点 F． （1）请用无刻度的直尺，过点C画一条与平行的线段（点 P在格点上），不写画法； （2）请用无刻度的直尺，在线段上找一点M，使，并简要说明点M的位置是如何找到的（不要求证明） ． 5．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点，，均在格点上． (1)线段的长为　　　　　； (2)点在水平网格线上，过点，，作圆，经过圆与水平网格线的交点作切线，分别与的延长线相交于点，中，点在边上，点在边上，点在边上．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，，，使的周长最短，并简要说明点，，的位置是如何找到的（不要求证明）　　　　　． 6．（1）在正方形方格纸中，我们把顶点都在“格点”上的三角形称为“格点三角形”，如图，△ABC是一个格点三角形，点A的坐标为（－2，2）． ①△ABC的面积为______； ②在所给的方格纸中，请你以原点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的一半；（仅用直尺完成作图） ③在（2）中，若P（a，b）为线段AC上的任一点，则缩小后点P的对应点P1的坐标为______． （2）按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹： 我们知道，三角形具有性质：三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高所在直线相交于一点． 请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图． ①如图1，在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，作BC的中点F． ②如图2，在由小正方形组成的4×3的网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，作△ABC的高AH． 7．图①、图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点，，均在格点上，直线与格线重合．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成下列作图任务，作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示． (1)在图①中，作出关于直线对称的（点，，分别对应，，），并作出的高； (2)在图②中，为上一点，在上作点，使得； (3)在图③中，在线段上作点，使得． 8．如下图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点均为格点，请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果） (1)在图1中，将绕点O旋转得到，请画出和点O； (2)在图1中，在边上找点P，使得； (3)在图2中，经过A，B，C三个格点，作的角平分线； (4)在图2中，在（3）的条件下，上一点N不在网格线上，作弦弦． 9．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A，B、C均在格点上    (1)的大小为____________（度） (2)在如图所示的网格中，以B为中心，取旋转角等于，把顺时针旋转，请用无刻度的直尺，画出旋转后的，并简要说明旋转后点A和点C的对应点点和点的位置是如何而找到的（不要求证明） 10．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A在格点上，B是小正方形边的中点，，经过点A，B的圆的圆心在边上． (1)线段的长等于__________； (2)请用无刻度的直尺，在如图所示的圆上，画出一个点D，使其满足的度数小于的度数，并说明理由． (3)请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点P，使其满足，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）______________________________________________． 参考答案 1．(1)见解析 (2)见解析 (3)作图见解析， 【分析】（1）依题意，分别作出A，B，C的对应点分别为，，，再依次连接，即可作答； （2）先作出B关于的对称点，连接，，与的交点为，连接，延长交于点一点，该点即为点； （3）的外心P是指的外接圆的圆心，即三边的垂直平分线的交点，分别作三边的垂直平分线，它们的交点即为点P；然后利用勾股定理以及等面积法进行作答即可． 【详解】（1）解：如图所示：    （2）解：D关于的对称点，如图所示：    （3）解：的外心P如图所示：    连接，，过点A作交于点，过点P作交于点，如图所示：    根据网格特征以及勾股定理，得， 则，， 因为， 所以 则点A到直线的距离为． 【点睛】本题考查了学生的作图能力，涉及旋转作图、对称作图、三角形的外心、勾股定理等知识内容，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 2．(1) (2)见解析 (3)见解析 (4) 【分析】本题考查了作图-基本作图，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正切的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）证明得到； （2）取点格点，连接交于点，点即为所求； （3）取格点，连接交于点，点即为所求； （4）取格点连接交于点，得到，，证明，得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：； （2）解：如图，取点格点，连接交于点，点即为所求； ， ， ， ； （3）解：如图，取格点，连接交于点，点即为所求； ， ， ， ， ； （4）解：如图，取格点连接交于点， 由图可知，， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 3． 5 见详解 【分析】本题主要考查网格特点、勾股定理、旋转的性质的性质和垂线段最短等知识点， （Ⅰ）根据网格和勾股定理求解即可； （Ⅱ）取格点E，J，连接，，、交网格线于点F，K，连接，可知，则，那么，,结合垂线段最短可知点即为所求． 【详解】解：（Ⅰ）； （Ⅱ）如图， 取格点E，J，连接，，延长交于点M，交于点N，连接，点M，点N即为所求． 4．（1）画图见解析；（2）画图见解析；把四边形向下平移3个单位，再向右平移1个单位，得到四边形，的对应点为，则与的交点为 【分析】（1）取格点，连接，则可由沿到的方向平移得到，则； （2）如图，把四边形向下平移3个单位，再向右平移1个单位，得到四边形，的对应点为，与的交点为；从而可得答案； 【详解】解：（1）如图，线段即为所求； （2）如图，即为所求； 把四边形向下平移3个单位，再向右平移1个单位，得到四边形， 的对应点为，与的交点为； 由平移的性质可得：， ∵，， ∴，， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查的网格作图，同时考查了平移的性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练的画图是解本题的关键． 5．(1) (2)见解析 【分析】此题考查了勾股定理、切线的性质等知识，根据题意正确作图是解题的关键． （1）利用勾股定理即可求解； （2）作点关于、的对称点、，连接、，分别与、相交于点、，的周长等于的长，等腰三角形的腰长为，当的值最小时，的值最小，此时是切点，由此作图即可． 【详解】（1）解：由勾股定理可知，， 故答案为：； （2）解：如图，根据题意，切点为；连接并延长，与网格线相交于点；取圆与网格线的交点和格点，连接并延长，与网格线相交于点；连接，分别与，相交于点，，则点，，即为所求．    6．（1）①；②见解析；③；（2）①见解析；②见解析 【分析】（1）①直接根据三角形的面积公式进行计算即可； ②利用位似图形的性质得出对应点的坐标进而得出答案； ③由位似变换的性质可得答案； （2）①根据平行四边形的性质，先连接和得到的中点，再连接交于点，则点为的重心，连接并延长交于点，则点即为所求； ②先过点作，再平移得到，则，接着作垂直平分线，平移得到，，与的交点为的垂心，所以延长交与，则． 【详解】解：（1）①, 故答案为：； ②如图，即为所求， ③若P（a，b）为线段AC上的任一点， 则缩小后点P的对应点P1的坐标为， 故答案为：； （2）①如图1，点即为所作； ②如图2，即为所作． 【点睛】本题考查了作图－位似变换，重心，平行四边形的性质，三角形的垂心等知识点，熟练掌握相关的图形的性质是解本题的关键． 7．(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【分析】（1）根据轴对称的性质，画出即可，左侧3个格点确定点，连接，与的交点即为点； （2）取的中点，过中点，作线段，连接，交于点，连接并延长，交于点，连接即可； （3）取格点，连接，构造等腰直角三角形，与的交点即为点． 【详解】（1）解：如图，，高即为所求； 由作图可知：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为的高； （2）如图，即为所求； 由作图可知：都是以为顶角的等腰三角形， ∴， ∴； （3）如图，点即为所求； 由作图可知：， ， ∴． 【点睛】本题考查轴对称的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的外角，全等三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识点，构造特殊图形和全等三角形是解题的关键． 8．(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 (4)图见解析 【分析】（1）根据中心对称图形的性质，得到，得到四边形为平行四边形，在下方确定点使四边形为平行四边形，连接，与的交点即为点； （2）取点关于的对称点，连接，交于点，点即为所求； （3）取的中点，过点作，交于点，连接，即为所求； （4）连接，交于点，取格点，连接交于点，连接并延长，交于点，连接即可． 【详解】（1）解：如图所示，和点O，即为所求； 由作图可知，四边形为平行四边形， ∴可看作绕点O旋转得到； （2）如图所示，点即为所求； 由作图可知：； （3）如图所示，即为所求； 由作图和垂径定理可知：， ∴； （4）如图所示，点即为所求； 由作图可知：， ∴， ∴， ∴， ∴点与点关于对称， 由圆的对称性可知：． 【点睛】本题考查中心对称，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂径定理，圆周角定理等知识点，综合性强，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 9．(1) (2)见解析 【分析】（1）根据勾股定理可求，，的长，再根据勾股定理的逆定理可求的大小； （2）延长至点E，使，连接．延长至点，使，作，与交于点．即为所求． 【详解】（1）根据勾股定理得： ， ， ∵， ∴由勾股定理逆定理可知，为直角三角形． ∴， 故答案为：． （2）如图，延长至点E，使（均为方格的对角线长），连接．延长至点，使，作（均为方格的对角线长），与交于点．即为所求．    理由：如下图，作（在方格上），连接、．    ∵， ∴四边形是平行四边形 ∴． ∵ ∴ ∴， ∴ ∴． ∵ ∴平分 ∴ 又∵ ∴ 故即为所求作的三角形． 【点睛】本题考查了直角三角形的证明、作图-旋转变换，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 10．(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据勾股定理即可得到结论； （2）在直线上方的弧上找一点D，使得点C在内，连接，，延长，与交于E，根据外角的性质可得大小； （3）取圆与网格的交点，，连接与交于一点，则这一点是圆心，与网格线相交于，连接并延长交于点，连接并延长，与，的连线相交于点，连接，于是得到结论． 【详解】（1）解：由勾股定理可得：； 故答案为：； （2）如图，点D即为所求； 连接，，延长，与交于E， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）如图，取圆与网格线的交点，，连接与交于一点，则这一点是圆心， 与网格线相交于，连接并延长交于点，连接并延长，与点，的连线相交于点，连接， 则点满足． 理由：第一步：连接得圆心，因为，所以是直径． 第二步：点根据网格相似比，可以知道为的中点，所以是垂径． 第三步：连接并延长，交于，是半径等于，所以， ，， ，又，， ， ， ， ， 又，，， ， ， ． 【点睛】本题考查了作图复杂作图，外角的性质，勾股定理，垂径定理，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的作出图形是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$