4.1—4.2 空间的几何体与平面（3知识点+7题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（湘教版2019必修第二册）

4.1—4.2 空间的几何体与平面 课程标准 学习目标 （1）利用实物、计算机软件等观察空间图形, 认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征, 能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。 （2）能用斜二测法画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合）的直观图。 （3）了解与平面有关的基本事实和定理 （1）掌握简单几何体的结构特征； （2）能用斜二测法画出简单几何图形； （3）掌握与平面有关的基本事实（难点) 知识点01 简单几何体的结构特征 1 棱柱 (1) 概念 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱. (2) 性质 · 侧棱都相等，侧面是平行四边形； · 两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； · 过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形； · 直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形. (3) 分类 ① 按底面多边形的边数分为：三棱柱，四棱柱等. ② 按侧棱是否垂直低面分为斜棱柱，直棱柱(底面是正多边形的直棱柱，叫正棱柱；底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体) 2 棱锥 (1) 概念 有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥. 如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥. (2) 性质 · 平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比； · 正棱锥各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形； · 正棱锥中六个元素，即侧棱、高、斜高、侧棱在底面内的射影、斜高在底面的射影、底面边长一半，构成四个直角三角形.) (3) 常见棱锥 正三棱锥是底面是等边三角形，三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥. 　 正四面体是每个面都是全等的等边三角形的三棱锥，正四面体是特殊的正三棱锥. (4) 侧面展开图 正棱锥的侧面展开图是有个全等的等腰三角形组成的. 3 棱台 (1) 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台. (2) 棱台的分类:由三棱锥、四棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台……. (3) 正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台，正棱台各侧棱都相等，各侧面都是全等的等腰梯形. 4 圆柱 (1) 概念 以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱. (2 )性质 上、下底及平行于底面的截面都是等圆；过轴的截面(轴截面)是全等的矩形. (3) 侧面展开图 圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形. 5圆锥 (1) 概念 以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥. (2) 性质 · 平行于底面的截面都是圆，截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比； · 轴截面是等腰三角形；如右图:三角形 · 如上图：. (3) 侧面展开图 圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心，以母线长为半径的扇形. 6圆台 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台. 4 球体 (1) 概念 以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球. (2) 性质 · 球心与截面圆心的连线垂直于截面； · (其中，球心到截面的距离为、球的半径为、截面的半径为). 【即学即练1】 （22-23高二下·甘肃酒泉·期末）下列描述中，不是棱锥几何结构特征的是（    ） A．三棱锥有4个面是三角形 B．棱锥的侧面都是三角形 C．棱锥都有两个互相平行的多边形面 D．棱锥的侧棱交于一点. 知识点02 斜二测画法 1 空间几何体的直观图 用来表示空间几何体的平面图形叫做空间几何体的直观图，常用斜二测画法画它们的直观图. 2 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图 一般步骤如下： · 建立平面直角坐标系: 在已知平面图形中取互相垂直的轴和轴,两轴相交于点. · 画出斜坐标系: 在画直观图的纸上(平面上)画出对应的x'轴和y'轴, 两轴相交于点O',且使度(或度), 它们确定的平面表示水平平面. · 画对应图形: 在已知图形平行于轴的线段, 在直观图中画成平行于轴, 长度保持不变.在已知图形平行于轴的线段, 在直观图中画成平行于轴, 且长度为原来一半. · 对于一般线段，要在原来的图形中从线段的各个端点引垂线，再按上述要求画出这些线段，确定端点，从而画出线段. · 擦去辅助线: 图画好后,要擦去轴,轴及为画图添加的辅助线. 3 斜二测画法口诀 平行依旧垂改斜，横等纵半竖不变，眼见为实遮为虚. 4 斜二侧画法的面积是原来图形面积的倍. 原来的高变成了的线段，且长度是原高的一半，因此新图形的高是这个一半线段的倍，故新高是原来高的，而横向长度不变，所以面积变为原面积的 【即学即练2】 （24-25高二上·江西景德镇·阶段练习）用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角.已知是斜边的中点，且，则的边上的高为（    ）    A．1 B．2 C． D． 知识点03 平面 1 平面 无限延展，无边界. 2 三个基本事实与三个推论 (1) 基本事实1 不共线的三点确定一个平面. (2) 基本事实2 如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内. (3) 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 推论1:直线与直线外的一点确定一个平面. 推论2:两条相交直线确定一个平面. 推论3:两条平行直线确定一个平面. 【即学即练3】 （22-23高一下·河北石家庄·期中）有下列四个判断：①两条相交直线确定一个平面；②两条平行直线确定一个平面；③三个点确定一个平面；④一条直线和一点确定一个平面.正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型一：简单几何体的结构特征】 例1．1（23-24高一下·吉林长春·期中）下列关于空间几何体的论述，正确的是（    ） A．底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 B．所有侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体 C．有两个面是互相平行且相似的平行四边形，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D．三棱锥的四个面都可以是直角三角形 例1．2（23-24高一下·天津南开·期末）给出下列命题： ①圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线； ②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台； ③以直角梯形的一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆台； ④用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形． 其中正确命题是（    ）． A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 变式1-1．（22-23高二下·河北石家庄·期末）下列四个命题：①直平行六面体就是长方体；②有两个相邻的侧面都是矩形的棱柱是直棱柱；③有一个面是多边形、其余各面是三角形的几何体是棱锥；④底面是正方形的棱柱是正棱柱.其中正确的命题个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 变式1-2．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）下列说法不正确的是（   ） A．正棱锥的底面是正多边形，侧面都是等腰三角形 B．棱台的各侧棱延长线必交于一点 C．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分是棱台 D．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形 变式1-3．（23-24高一下·天津·期末）下列说法正确的是（    ） A．在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是该圆柱的母线 B．直四棱柱是长方体 C．将一个等腰梯形绕着较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是一个圆锥 D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 变式1-4．（23-24高一下·江西·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．各侧棱都相等的棱锥为正棱锥 B．有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台 C．棱柱中至少有两个面完全相同 D．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫圆台 【方法技巧与总结】 掌握各简单几何体的结构特征是关键，对于几何体的分类要注意其特征。判断几何体，多尝试举反例进行排除. 【题型二：简单几何体的展开图】 例2．（24-25高二上·湖南长沙·开学考试）如图，圆锥底面半径为3，母线，，一只蚂蚁从A点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B点，最短路线长度为（    ） A． B．16 C． D．12 变式2-1．（20-21高一下·福建泉州·期末）下列几何体的侧面展开图如图所示，其中是棱锥的为（    ） A．B． C． D． 变式2-2．（24-25高二上·安徽合肥·期中）如图，在长方体中，，若点在平面上运动，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 变式2-3．（23-24高一下·山东青岛·期末）如图，圆锥的母线长为3，底面半径为1，一只蚂蚁从点P处沿着该圆锥侧面爬行一周后回到点P处，则蚂蚁爬行的最短路线长为（    ）    A． B．3 C． D． 【方法技巧与总结】 1 理解各几何体的展开图及其它们对应原几何体的几何量； 2 几何体中两点在表面的最短距离问题，往往可以利用几何体的展开图进行求解。 【题型三：斜二测画法画立体图形】 例3．（2024高一下·全国·专题练习）有一个正六棱锥，底面边长为3 cm，高为3 cm，画出这个正六棱锥的直观图． 变式3-1．（24-25高二·上海·课堂例题）用斜二测画法画长、宽、高分别为5cm、3cm、3cm的长方体的直观图． 变式3-2．（2024高三·全国·专题练习）画正六棱柱（底面是正六边形，侧棱垂直于底面）的直观图．（底面边长尺寸不作要求，侧棱长为1.5 cm） 【方法技巧与总结】 1 掌握斜二测画法的基本步骤. 2 斜二测画法口诀： 平行依旧垂改斜，横等纵半竖不变，眼见为实遮为虚. 【题型四：斜二测画法中有关计算】 例4．（24-25高二上·四川达州·期末）如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形的面积为（   ） A．1 B． C． D．3 变式4-1．（24-25高二上·江西景德镇·期末）如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，那么的面积为（    ） A．4 B． C．8 D． 变式4-2．（2025高三下·江苏扬州·学业考试）如图，是水平放置的的直观图，则的周长为（    ） A． B． C． D． 变式4-3．（24-25高二上·北京海淀·阶段练习）如图，是水平放置的的直观图，若，轴，轴，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 斜二侧画法的面积是原来图形面积的倍. 原来的高变成了的线段，且长度是原高的一半，因此新图形的高是这个一半线段的倍，故新高是原来高的，而横向长度不变，所以面积变为原面积的 【题型五：平面的确定】 例5．（21-22高二·全国·课后作业）下列命题中是真命题的是（    ） A．三点确定一个平面 B．一条直线和一个点确定一个平面 C．两条直线确定一个平面 D．两两相交且不共点的三条直线，确定一个平面 变式5-1．（21-22高二·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（    ）． A．三点确定一个平面 B．过一条直线的平面有无数多个 C．两条直线确定一个平面 D．三条两两相交的直线确定三个平面 变式5-2．（21-22高一下·安徽六安·期末）空间中四点可确定的平面有（    ） A．1个 B．4个 C．1个或4个 D．1个或4个或无数个 变式5-3．（23-24高一下·新疆·期末）给出下列四个结论： ①经过两条相交直线，有且只有一个平面；②经过两条平行直线，有且只有一个平面； ③经过三点，有且只有一个平面； ④经过一条直线和一个点，有且只有一个平面. 其中正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式5-4．（2024·陕西商洛·模拟预测）在空间中，下列命题是真命题的是（    ） A．三条直线最多可确定1个平面 B．三条直线最多可确定2个平面 C．三条直线最多可确定3个平面 D．三条直线最多可确定4个平面 【方法技巧与总结】 1 确定即“有且仅有”，理解它的存在性与唯一性； 2 确定平面的方法---不共线的三点确定一个平面、直线与直线外的一点确定一个平面、两条相交直线确定一个平面、两条平行直线确定一个平面. 3 根据点线确定面的数量问题，要注意点线在空间位置的可能性. 【题型六：空间中的点（线）共面问题】 例6．（24-25高二上·上海·期中）在正方体中，、分别为与的中点，求证：、、、四点共面 变式6-1．（24-25高三上·河北承德·期中）如图，在下列正方体中，M，N为正方体的两个顶点，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，M，N，P，Q四点共面的是（   ） A． B． C． D． 变式6-2．（2024高三·全国·专题练习）如图，在正方体 中，分别是棱的中点.求证：四点共面. 变式6-3．（24-25高二上·上海·期中）如图，已知，，，分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点. (1)求证：点在直线上； (2)作出过、、三点的截面；（写出作图过程并保留作图痕迹） 【方法技巧与总结】 1 证明四点共面可转化为两线共面，即证明两直线必定相交或平行(利用推论2：两相交线确定一个平面和推论3：两条平行直线确定一个平面)； 2 证明多线共面，首先由其中两直线确定平面，再证其余直线在此平面内. 【题型七：空间中的点共线或线共点问题】 例7．（24-25高二上·上海·单元测试）已知在正方体中，E、F分别为、的中点，，．求证： (1)D，B，F，E四点共面； (2)若交平面DBFE于R点，则P、Q、R三点共线； (3)DE、BF、三线交于一点． 变式7-1．（2024高一·江苏·专题练习）如图所示，在正方体中，分别为上的点且．求证：点三点共线．    变式7-2．（19-20高一下·全国·课后作业）如图所示，，，，与，分别在平面的两侧，，．求证：，，三点共线. 变式7-3．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，已知四面体中，E，F分别是AB，AD上的点，G，H分别是BC，CD上的点，且四边形是以EF，GH为底的梯形．求证：直线EG，FH，AC相交于同一点． 【方法技巧与总结】 1证明三点共线，一般思路是证明点在直线上. 2 证明三线共点，一般思路是 (1) 先设两直线相交于点,再证明点. (2) 证明与相交于点，与相交于点，再证明两交点重合； 一、单选题 1．（22-23高一下·全国·课后作业）下面说法中正确的是（    ） A．任何一个平面图形都是一个平面 B．平静的太平洋面是平面 C．平面就是平行四边形 D．在几何体的直观图中，平面多边形和圆、椭圆都可以表示一个平面 2.（23-24高一下·广东湛江·期末）下列说法正确的是（    ） A．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 B．棱柱的侧面都是全等的平行四边形 C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱 D．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 3.（21-22高一下·江苏苏州·期中）下列说法中，正确的个数为（    ） （1）有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 （2）由若干个平面多边形所围成的几何体是多面体 （3）棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是正六棱锥 （4）底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 A．3个 B．2个 C．1个 D．0 4.（24-25高三上·吉林长春·阶段练习）如图，是正三棱锥且侧棱长为a，E，F分别是SA，SC上的动点，的周长的最小值为，则侧棱SA，SC的夹角为（   ） A． B． C． D． 5.（24-25高二上·湖北·期中）如图，斜二测画法的直观图是，的面积为，那么的面积为(    ).    A． B． C． D． 6.（23-24高一下·江苏·阶段练习）下列选项中，，，，分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的是（    ） A． B． C． D． 7（22-23高一下·河南开封·期末）如图，在正方体中，为棱的靠近上的三等分点.设与平面的交点为，则（    ）        A．三点共线，且 B．三点共线，且 C．三点不共线，且 D．三点不共线，且 8.（23-24高一下·安徽合肥·期末）我县为响应政府号召，大力发展民宿产业.现有一民宿为提升游客观赏体验，搭建一批圆锥形屋顶的小屋（如图1）.现测量其中一个屋顶，得到圆锥的底面直径长为，母线长为（如图2）.若是母线的一个三等分点（靠近点），从点到点绕屋顶侧面一周安装灯光带，则灯光带的最小长度为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2025高三·全国·专题练习）（多选）下列说法正确的是（   ） A．以直角三角形的一条边所在的直线为轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥 B．以等腰三角形底边上的中线所在的直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥 C．经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形 D．圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆的直径 10. （24-25高二上·安徽阜阳·期末）若用一平面去截一个四棱锥，则截面的形状可能是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 11.（23-24高一下·新疆·期中）如图，在直三棱柱中，D，G，E分别为所在棱的中点，，三棱柱挖去两个三棱锥，后所得的几何体记为，则（    ） A．有7个面 B．有13条棱 C．有7个顶点 D．直线直线EF 三、填空题 12．（24-25高二上·上海·期中）将一个圆锥的侧面展开后，得到一个半圆，则该圆锥轴截面的顶角等于 . 13. （24-25高三上·河北承德·期中）将扇形纸壳OCD剪掉扇形OAB后得到扇环，，，如图1，用扇环制成一个圆台的侧面，如图2，则该圆台的高为 . 14. （24-25高二上·上海徐汇·期末）已知正四棱柱的底面边长为1，高度为2，一蚂蚁沿着正四棱柱的表面从点爬到点的最短距离是 ． 四、解答题 15．（24-25高一下·全国·课后作业）指出下面两图中的几何体是由哪些简单几何体构成的．      ①             ② 16.（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，四边形绕边所在直线旋转，其中，．当点在射线上的不同位置时，形成的几何体大小、形状不同，比较其不同点．    17.（23-24高二·上海·课堂例题）画出棱长为3cm的正方体的直观图． 18.（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在四面体中，、分别是、的中点，、分别在、上，且． (1)求证：、、、四点共面； (2)设与交于点，求证：、、三点共线． 19.（23-24高二上·四川乐山·阶段练习）在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别边AB，BC上的点，且．求证： (1)四边形EFGH为梯形； (2)直线EH，BD，FG相交于一点． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.1—4.2 空间的几何体与平面 课程标准 学习目标 （1）利用实物、计算机软件等观察空间图形, 认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征, 能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。 （2）能用斜二测法画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合）的直观图。 （3）了解与平面有关的基本事实和定理 （1）掌握简单几何体的结构特征； （2）能用斜二测法画出简单几何图形； （3）掌握与平面有关的基本事实（难点) 知识点01 简单几何体的结构特征 1 棱柱 (1) 概念 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱. (2) 性质 · 侧棱都相等，侧面是平行四边形； · 两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； · 过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形； · 直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形. (3) 分类 ① 按底面多边形的边数分为：三棱柱，四棱柱等. ② 按侧棱是否垂直低面分为斜棱柱，直棱柱(底面是正多边形的直棱柱，叫正棱柱；底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体) 2 棱锥 (1) 概念 有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥. 如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥. (2) 性质 · 平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比； · 正棱锥各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形； · 正棱锥中六个元素，即侧棱、高、斜高、侧棱在底面内的射影、斜高在底面的射影、底面边长一半，构成四个直角三角形.) (3) 常见棱锥 正三棱锥是底面是等边三角形，三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥. 　 正四面体是每个面都是全等的等边三角形的三棱锥，正四面体是特殊的正三棱锥. (4) 侧面展开图 正棱锥的侧面展开图是有个全等的等腰三角形组成的. 3 棱台 (1) 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台. (2) 棱台的分类:由三棱锥、四棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台……. (3) 正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台，正棱台各侧棱都相等，各侧面都是全等的等腰梯形. 4 圆柱 (1) 概念 以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱. (2 )性质 上、下底及平行于底面的截面都是等圆；过轴的截面(轴截面)是全等的矩形. (3) 侧面展开图 圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形. 5圆锥 (1) 概念 以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥. (2) 性质 · 平行于底面的截面都是圆，截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比； · 轴截面是等腰三角形；如右图:三角形 · 如上图：. (3) 侧面展开图 圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心，以母线长为半径的扇形. 6圆台 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台. 4 球体 (1) 概念 以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球. (2) 性质 · 球心与截面圆心的连线垂直于截面； · (其中，球心到截面的距离为、球的半径为、截面的半径为). 【即学即练1】 （22-23高二下·甘肃酒泉·期末）下列描述中，不是棱锥几何结构特征的是（    ） A．三棱锥有4个面是三角形 B．棱锥的侧面都是三角形 C．棱锥都有两个互相平行的多边形面 D．棱锥的侧棱交于一点. 【答案】C 【分析】根据棱锥的定义和几何结构，逐项判定，即可求解. 【详解】A中，根据棱锥的几何结构，可得三棱锥有4个面是三角形    ，所以A正确； B中，根据棱锥的定义，可得棱锥的侧面都是三角形，所以B正确； C中，根据棱锥的定义，可得棱锥都没有两个互相平行的多边形面，所以C错误； D中，根据棱锥的定义，可得棱锥的侧棱交于一点，所以D正确. 故选：C. 知识点02 斜二测画法 1 空间几何体的直观图 用来表示空间几何体的平面图形叫做空间几何体的直观图，常用斜二测画法画它们的直观图. 2 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图 一般步骤如下： · 建立平面直角坐标系: 在已知平面图形中取互相垂直的轴和轴,两轴相交于点. · 画出斜坐标系: 在画直观图的纸上(平面上)画出对应的x'轴和y'轴, 两轴相交于点O',且使度(或度), 它们确定的平面表示水平平面. · 画对应图形: 在已知图形平行于轴的线段, 在直观图中画成平行于轴, 长度保持不变.在已知图形平行于轴的线段, 在直观图中画成平行于轴, 且长度为原来一半. · 对于一般线段，要在原来的图形中从线段的各个端点引垂线，再按上述要求画出这些线段，确定端点，从而画出线段. · 擦去辅助线: 图画好后,要擦去轴,轴及为画图添加的辅助线. 3 斜二测画法口诀 平行依旧垂改斜，横等纵半竖不变，眼见为实遮为虚. 4 斜二侧画法的面积是原来图形面积的倍. 原来的高变成了的线段，且长度是原高的一半，因此新图形的高是这个一半线段的倍，故新高是原来高的，而横向长度不变，所以面积变为原面积的 【即学即练2】 （24-25高二上·江西景德镇·阶段练习）用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角.已知是斜边的中点，且，则的边上的高为（    ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】在直观图中轴，可知原图形中轴，故，求直观图中的长即可求解. 【详解】因为直观图是等腰直角，，所以， 根据直观图中平行于轴的长度变为原来的一半， 所以的边上的高. 故选：C. 知识点03 平面 1 平面 无限延展，无边界. 2 三个基本事实与三个推论 (1) 基本事实1 不共线的三点确定一个平面. (2) 基本事实2 如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内. (3) 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 推论1:直线与直线外的一点确定一个平面. 推论2:两条相交直线确定一个平面. 推论3:两条平行直线确定一个平面. 【即学即练3】 （22-23高一下·河北石家庄·期中）有下列四个判断：①两条相交直线确定一个平面；②两条平行直线确定一个平面；③三个点确定一个平面；④一条直线和一点确定一个平面.正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据平面的有关概念进行分析，从而确定正确答案. 【详解】两条相交直线确定一个平面，两条平行直线确定一个平面，①②正确. 在同一直线上的三个点不能确定一个平面，③错误. 直线和直线上一点不能确定一个平面，④错误. 所以正确的个数为个. 故选：B 【题型一：简单几何体的结构特征】 例1．1（23-24高一下·吉林长春·期中）下列关于空间几何体的论述，正确的是（    ） A．底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 B．所有侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体 C．有两个面是互相平行且相似的平行四边形，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D．三棱锥的四个面都可以是直角三角形 【答案】D 【分析】利用柱、锥、台的结构特征逐项判断即得. 【详解】对于A，在三棱锥中，， 三棱锥的底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形，此三棱锥不是正三棱锥，A错误； 对于B，底面是非正方形的菱形，侧棱垂直于底面，且侧棱长等于底面菱形边长， 显然四个侧面都是正方形，而此几何体不是正方体，B错误； 对于C，若将两个全等的正棱台较大底面接合在一起，拼接而成的组合体， 满足有两个面是互相平行且相似的平行四边形，其余各面都是梯形的多面体，但该几何体不是棱台，C错误； 对于D，在三棱锥中，底面，并且， 此三棱锥的四个面都是直角三角形，D正确. 故选：D 例1．2（23-24高一下·天津南开·期末）给出下列命题： ①圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线； ②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台； ③以直角梯形的一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆台； ④用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形． 其中正确命题是（    ）． A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】根据圆锥母线的定义、棱台的定义、圆台的定义、平面与圆柱底面的位置关系即可依次判断． 【详解】解：①根据圆锥的母线的定义，可知①正确； ②把梯形的腰延长后有可能不交于一点，此时得到几何体就不是棱台，故②错误； ③根据圆台的定义，可知③正确； ④当平面不与圆柱的底面平行且不垂直于底面时，得到的截面不是圆和矩形，故④错误． 故选：B． 变式1-1．（22-23高二下·河北石家庄·期末）下列四个命题：①直平行六面体就是长方体；②有两个相邻的侧面都是矩形的棱柱是直棱柱；③有一个面是多边形、其余各面是三角形的几何体是棱锥；④底面是正方形的棱柱是正棱柱.其中正确的命题个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】根据给定条件，结合相应几何体的结构特征逐一判断各个命题即可. 【详解】对于①，直平行六面体的底面是非矩形的平行四边形，该直平行六面体不是长方体，①错误； 对于②，有两个相邻的侧面都是矩形，则这两个矩形的公共边垂直于底面， 因此有两个相邻的侧面都是矩形的棱柱是直棱柱，②正确； 对于③，由棱锥的定义知，有一个面是多边形，其余各面都是有公共顶点的三角形的几何体是棱锥，③错误； 对于④，底面是正方形的斜棱柱不是正棱柱，④错误， 所以正确的命题个数是1. 故选：D 变式1-2．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）下列说法不正确的是（   ） A．正棱锥的底面是正多边形，侧面都是等腰三角形 B．棱台的各侧棱延长线必交于一点 C．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分是棱台 D．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形 【答案】C 【分析】根据棱锥、棱柱、棱台的定义依次判断选项即可得到答案； 【详解】对于A，正棱锥的底面是正多边形，侧面都是等腰三角形，故A正确； 对于B，根据棱台的定义可得：棱台的各侧棱延长线必交于一点，故B正确； 对于C，用一个平行棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分是棱台，故C错误； 对于D，棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形，故D正确； 故选：C. 变式1-3．（23-24高一下·天津·期末）下列说法正确的是（    ） A．在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是该圆柱的母线 B．直四棱柱是长方体 C．将一个等腰梯形绕着较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是一个圆锥 D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 【答案】D 【分析】要理解旋转体，棱柱、圆锥、正棱锥的概念，正棱锥是底面是多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥． 【详解】解：A．在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线与轴线平行是该圆柱的母线，故选项错误，不符合题意； B．直四棱柱的上下底面不一定是矩形，故不一定是长方体，故选项错误，不符合题意； C．将一个等腰梯形绕着较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是一个简单组合体，由两个圆锥和一个圆柱组成，故选项错误，不符合题意； D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，正确，符合题意， 故选：D． 变式1-4．（23-24高一下·江西·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．各侧棱都相等的棱锥为正棱锥 B．有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台 C．棱柱中至少有两个面完全相同 D．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫圆台 【答案】C 【分析】根据简单几何体的定义以及结构特征去判断即可. 【详解】对于A，各侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，故A错误； 对于B，两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体不一定是棱台， 还要满足各侧棱的延长线交于一点，如图，各侧棱的延长线不交于一点，该几何体不是棱台，故B错误； 对于C，根据棱柱的特征知，棱柱的两个底面一定是全等的， 故棱柱中至少有两个面完全相同，故C正确； 对于D，用一个平行于底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫圆台，故D错误. 故选：C. 【方法技巧与总结】 掌握各简单几何体的结构特征是关键，对于几何体的分类要注意其特征。判断几何体，多尝试举反例进行排除. 【题型二：简单几何体的展开图】 例2．（24-25高二上·湖南长沙·开学考试）如图，圆锥底面半径为3，母线，，一只蚂蚁从A点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B点，最短路线长度为（    ） A． B．16 C． D．12 【答案】C 【分析】把圆锥侧面沿母线剪开，展在同一平面内，再利用两点间距离最短求出结果. 【详解】把圆锥侧面沿母线剪开，展在同一平面内得扇形，连接，如图， 令扇形圆心角大小为，则，解得， 在中，，则， 所以一只蚂蚁从A点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B点，最短路线长度为. 故选：C 变式2-1．（20-21高一下·福建泉州·期末）下列几何体的侧面展开图如图所示，其中是棱锥的为（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】根据选项中的展开图，依次分析沿着折线折起来的几何体的机构特征，判断是否为棱锥即可. 【详解】对于A选项，图形沿着折线翻折起来是一个五棱柱，故A选项不正确； 对于B选项，图形沿着折线翻折起来是一个五棱锥，故B选项正确； 对于C选项，图形沿着折线翻折起来是一个三棱台，故C选项不正确； 对于D选项，图形沿着折线翻折起来是一个四棱柱，故D选项不正确； 故选：B. 变式2-2．（24-25高二上·安徽合肥·期中）如图，在长方体中，，若点在平面上运动，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据长方体的对称性有，即可确定最小值. 【详解】由长方体的结构特征知，关于面对称的点为， 所以， 当且仅当共线时，取等号. 故选：C 变式2-3．（23-24高一下·山东青岛·期末）如图，圆锥的母线长为3，底面半径为1，一只蚂蚁从点P处沿着该圆锥侧面爬行一周后回到点P处，则蚂蚁爬行的最短路线长为（    ）    A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】画出圆锥的侧面展开图，则蚂蚁爬行的最短距离为，在中，解三角形即可. 【详解】已知圆锥的侧面展开图为半径是3的扇形，如图，    一只蚂蚁从点P出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点P的最短距离为， 设，圆锥底面周长为，所以圆弧的长为， 所以， 在中，由，得， 故选：D. 【方法技巧与总结】 1 理解各几何体的展开图及其它们对应原几何体的几何量； 2 几何体中两点在表面的最短距离问题，往往可以利用几何体的展开图进行求解。 【题型三：斜二测画法画立体图形】 例3．（2024高一下·全国·专题练习）有一个正六棱锥，底面边长为3 cm，高为3 cm，画出这个正六棱锥的直观图． 【答案】直观图见解析 【分析】借助直观图的画法逐步画出即可得. 【详解】（1）先画出边长为3 cm的正六边形的水平放置的直观图，如图①所示． （2）过正六边形的中心O′建立z′轴，在z′轴上截取O′V′＝3 cm，如图②所示． （3）连接V′A′，V′B′，V′C′，V′D′，V′E′，V′F′，如图③所示． （4）擦去辅助线，遮挡部分用虚线表示，即得到正六棱锥的直观图，如图④所示． 变式3-1．（24-25高二·上海·课堂例题）用斜二测画法画长、宽、高分别为5cm、3cm、3cm的长方体的直观图． 【答案】作图见解析 【分析】利用斜二测画法可得直观图. 【详解】（1）先建立如图所示的空间直角坐标系，其中； （2）在轴的正半轴上截取线段，在轴的正半轴上截取线段， 过作轴的平行线，过作轴的平行线，交点为，平行四边形为长方体的底面的直观图， （3）在轴的正半轴上截取，过分别作轴的平行线，在这些平行线上分别截取， （4）顺次连接， 由上述4步则可得如图所示的长、宽、高分别为5、3、3的长方体的直观图. 变式3-2．（2024高三·全国·专题练习）画正六棱柱（底面是正六边形，侧棱垂直于底面）的直观图．（底面边长尺寸不作要求，侧棱长为1.5 cm） 【答案】答案见解析 【分析】根据斜二测画法绘制正六棱柱的直观图即可. 【详解】（1）画轴．画轴、轴、轴，使，． （2）画底面．根据轴、轴，画正六边形的直观图ABCDEF． （3）画侧棱．过A，B，C，D，E，F各点分别作轴的平行线， 在这些平行线上分别截取、、、、、都等于1.5 cm. （4）成图．顺次连接，，，，，，去掉辅助线， 将被遮挡的部分改为虚线，就得到正六棱柱的直观图． 【方法技巧与总结】 1 掌握斜二测画法的基本步骤. 2 斜二测画法口诀： 平行依旧垂改斜，横等纵半竖不变，眼见为实遮为虚. 【题型四：斜二测画法中有关计算】 例4．（24-25高二上·四川达州·期末）如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形的面积为（   ） A．1 B． C． D．3 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出梯形的面积，再利用原平面图形面积与直观图面积的关系求出平面图形的面积. 【详解】在梯形中，，则该梯形的高为， 梯形的面积为， 在斜二测画法中，原图形的面积是对应直观图面积的， 所以平面图形的面积. 故选：D 变式4-1．（24-25高二上·江西景德镇·期末）如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，那么的面积为（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】D 【分析】求出矩形的面积，再利用斜二测画法中直观图面积与原图形面积的关系求得答案. 【详解】依题意，矩形的面积， 而斜二测画法中直观图面积与原图形面积的， 所以的面积为. 故选：D 变式4-2．（2025高三下·江苏扬州·学业考试）如图，是水平放置的的直观图，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据斜二测画法得到三角形为直角三角形，，边长，，然后即可求三角形的周长． 【详解】 根据斜二测画法得到三角形为直角三角形，， 底边长，高， 所以， 直角三角形的周长为． 故选：A． 变式4-3．（24-25高二上·北京海淀·阶段练习）如图，是水平放置的的直观图，若，轴，轴，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面图与直观图的联系，分别判断三角形在两坐标系中的边、角关系，计算即得. 【详解】 根据题意，轴，轴，故， 又，则，， 在平面图直角坐标系中，有， 于是，，，， 所以的周长为. 故选：C. 【方法技巧与总结】 斜二侧画法的面积是原来图形面积的倍. 原来的高变成了的线段，且长度是原高的一半，因此新图形的高是这个一半线段的倍，故新高是原来高的，而横向长度不变，所以面积变为原面积的 【题型五：平面的确定】 例5．（21-22高二·全国·课后作业）下列命题中是真命题的是（    ） A．三点确定一个平面 B．一条直线和一个点确定一个平面 C．两条直线确定一个平面 D．两两相交且不共点的三条直线，确定一个平面 【答案】D 【分析】根据公理2以及推论判断A、B、D，根据异面直线判断C. 【详解】A：根据公理2知，必须是不共线的三点确定一个平面，故A错误； B：一条直线和直线外的一点可以确定一个平面，故B错误； C：两条直线不可以确定一个平面，比如两条异面直线不能确定一个平面，故C错误； D：两两相交且不共点的三条直线，则三个交点不共线，故它们确定一个平面， 由公理1知，三条直线都在此平面内，故D正确. 故选：D. 变式5-1．（21-22高二·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（    ）． A．三点确定一个平面 B．过一条直线的平面有无数多个 C．两条直线确定一个平面 D．三条两两相交的直线确定三个平面 【答案】B 【分析】A选项，若三点共线，则此三点不能确定一个平面；B选项，过一条直线的平面有无数多个；C选项，两条直线若异面，则两条直线无法确定一个平面；D选项，三条两两相交的直线若过同一个点，则三条两两相交的直线确定三个平面或一个平面. 【详解】若三点共线，则此三点不能确定一个平面，A错误； 过一条直线的平面有无数多个，B正确； 两条直线若异面，则两条直线无法确定一个平面，C错误； 三条两两相交的直线若过同一个点，则三条两两相交的直线确定三个平面或一个平面，D错误. 故选：B 变式5-2．（21-22高一下·安徽六安·期末）空间中四点可确定的平面有（    ） A．1个 B．4个 C．1个或4个 D．1个或4个或无数个 【答案】D 【分析】根据确定平面的公理，结合平面图形以及三棱锥的几何性质，可得答案. 【详解】当四个点为平面四边形的四个端点时，只能确定唯一平面； 当四个点为三棱锥的四个端点时，可以确定四个不同的平面； 当四个点共线时，可以有无数个平面过这四个点. 故选：D. 变式5-3．（23-24高一下·新疆·期末）给出下列四个结论： ①经过两条相交直线，有且只有一个平面； ②经过两条平行直线，有且只有一个平面； ③经过三点，有且只有一个平面； ④经过一条直线和一个点，有且只有一个平面. 其中正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据点、线、面的基本事实及推论进行判断即可. 【详解】根据基本事实以及推论，易知①②正确. 若三点共线，则经过三点的平面有无数多个，故③错误. 若点在直线外，则确定一个平面，若点在直线上，则可有无数个平面，故④错误. 即正确的命题有2个， 故选：B. 变式5-4．（2024·陕西商洛·模拟预测）在空间中，下列命题是真命题的是（    ） A．三条直线最多可确定1个平面 B．三条直线最多可确定2个平面 C．三条直线最多可确定3个平面 D．三条直线最多可确定4个平面 【答案】C 【分析】根据平面的性质判断即可. 【详解】在空间中，三条直线最多可确定个平面， 例如：三棱锥中的三个侧面. 故选：C 【方法技巧与总结】 1 确定即“有且仅有”，理解它的存在性与唯一性； 2 确定平面的方法---不共线的三点确定一个平面、直线与直线外的一点确定一个平面、两条相交直线确定一个平面、两条平行直线确定一个平面. 3 根据点线确定面的数量问题，要注意点线在空间位置的可能性. 【题型六：空间中的点（线）共面问题】 例6．（24-25高二上·上海·期中）在正方体中，、分别为与的中点，求证：、、、四点共面 【答案】证明见解析 【分析】可得，，所以可得，即可求证. 【详解】 连接， 因为，可知为平行四边形， 则， 因为、分别为与的中点，由中位线可知， 所以， 所以、、、四点共面. 变式6-1．（24-25高三上·河北承德·期中）如图，在下列正方体中，M，N为正方体的两个顶点，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，M，N，P，Q四点共面的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图形及平行公理判断即可. 【详解】对于A：显然、、在正方体的上底面，且三点不共线，不在正方体的上底面， 所以、、、四点不共面，故A错误； 对于B： 如图，，即、、、四点共面，即、、三点共面，且三点不共线， 又平面，所以、、、四点不共面，故B错误； 对于C：显然、、在正方体的下底面，且三点不共线，不在正方体的下底面， 所以、、、四点不共面，故C错误； 对于D： 如图，连接，则，又，所以， 所以、、、四点共面，故D正确. 故选：D 变式6-2．（2024高三·全国·专题练习）如图，在正方体 中，分别是棱的中点.求证：四点共面. 【答案】证明见解析 【分析】取的中点，连接，利用平行关系可得四点共面，四点共面，再根据过不共线的三点的平面具有唯一性，即可证明. 【详解】如图， 取的中点，连接， 因为分别是棱的中点， 所以，，所以，四点共面， 又，，所以，四点共面， 又因为过不共线的三点的平面具有唯一性， 则平面与平面重合，故四点共面. 变式6-3．（24-25高二上·上海·期中）如图，已知，，，分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点. (1)求证：点在直线上； (2)作出过、、三点的截面；（写出作图过程并保留作图痕迹） 【答案】(1)证明见详解 (2)图形见详解 【分析】（1）通过证明在平面与平面的交线上,来证得在直线上. （2）取的中点P，连接，易证，则即为所求截面. 【详解】（1）平面平面, 由于平面 所以平面, 同理平面, 所以平面， 所以,即点在直线上. （2）如图所示，取的中点，连接， 因为，， 所以，故共面. 则即为所求截面. 【方法技巧与总结】 1 证明四点共面可转化为两线共面，即证明两直线必定相交或平行(利用推论2：两相交线确定一个平面和推论3：两条平行直线确定一个平面)； 2 证明多线共面，首先由其中两直线确定平面，再证其余直线在此平面内. 【题型七：空间中的点共线或线共点问题】 例7．（24-25高二上·上海·单元测试）已知在正方体中，E、F分别为、的中点，，．求证： (1)D，B，F，E四点共面； (2)若交平面DBFE于R点，则P、Q、R三点共线； (3)DE、BF、三线交于一点． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）先证明两直线平行，再根据两平行线可确定一平面证明共面； （2）结合面面交线证明三点共线； （3）根据面面相交于一条直线，再证明三线交于一点； 【详解】（1）证明：因为EF是的中位线，所以． 在正方体中，，所以． 所以EF、BD确定一个平面，即D、B、F、E四点共面． （2）在正方体中，设平面为、平面BDEF为． 因为，所以．又，所以．所以Q是与的公共点． 同理，P也是与的公共点．所以． 又，所以，，且．则， 故P、Q、R三点共线． （3）因为且，所以DE与BF相交， 设交点为M，则由，平面，得平面， 同理，点平面．又平面平面， 所以．所以DE、BF、三线交于一点M． 变式7-1．（2024高一·江苏·专题练习）如图所示，在正方体中，分别为上的点且．求证：点三点共线．    【答案】证明见解析 【分析】由题意可证平面，平面，进而，即可证明. 【详解】因为，且平面，所以平面， 同理平面， 从而M在两个平面的交线上， 因为平面∩平面，所以成立． 所以点三点共线． 变式7-2．（19-20高一下·全国·课后作业）如图所示，，，，与，分别在平面的两侧，，．求证：，，三点共线. 【答案】证明见解析 【分析】推导出、、是平面与平面的公共点，由此能证明，，三点共线． 【详解】证明：，，，与，分别在平面的两侧， ，、、、构成一个平面， ，．，， 、、是平面与平面的公共点， 、、都在平面与平面的交线上， ，，三点共线． 变式7-3．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，已知四面体中，E，F分别是AB，AD上的点，G，H分别是BC，CD上的点，且四边形是以EF，GH为底的梯形．求证：直线EG，FH，AC相交于同一点． 【答案】证明见解析 【分析】先设两腰EG，FH的延长线相交于一点，再应用平面的基本性质证明三条线交于一点. 【详解】四边形是梯形，其两腰所在直线必相交． 设两腰EG，FH的延长线相交于一点， 平面ABC，平面ACD，平面ABC，平面ACD． 又平面平面， ，故直线EG，FH，AC相交于同一点． 【方法技巧与总结】 1证明三点共线，一般思路是证明点在直线上. 2 证明三线共点，一般思路是 (1) 先设两直线相交于点,再证明点. (2) 证明与相交于点，与相交于点，再证明两交点重合； 一、单选题 1．（22-23高一下·全国·课后作业）下面说法中正确的是（    ） A．任何一个平面图形都是一个平面 B．平静的太平洋面是平面 C．平面就是平行四边形 D．在几何体的直观图中，平面多边形和圆、椭圆都可以表示一个平面 【答案】D 【分析】根据平面的概念，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，平面是无限延展的，所以一个平面图形不是一个平面，所以A不正确； 对于B中，平静的太平洋面是个有边界的图形，不是平面，所以B不正确； 对于C中，平面可以用平行四边形表示，但平面不是是平行四边形，所以C不正确； 对于D中，在几何体的直观图中，平面多边形和圆、椭圆都可以表示一个平面，所以D正确. 故选：D. 2.（23-24高一下·广东湛江·期末）下列说法正确的是（    ） A．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 B．棱柱的侧面都是全等的平行四边形 C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱 D．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 【答案】C 【分析】利用棱柱的定义判断ABC；利用棱台的定义判断D. 【详解】对于A，正六棱柱正对的两个侧面平行，但它们不是正六棱柱的底面，A错误； 对于B，底面邻边不等的长方体的相邻两个侧面不全等，B错误； 对于C，由棱柱的定义知，C正确； 对于D，当截面与棱锥的底面不平行时，棱锥底面与截面之间的部分不是棱台，D错误. 故选：C 3.（21-22高一下·江苏苏州·期中）下列说法中，正确的个数为（    ） （1）有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 （2）由若干个平面多边形所围成的几何体是多面体 （3）棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是正六棱锥 （4）底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 A．3个 B．2个 C．1个 D．0 【答案】C 【分析】利用棱台的定义判断（1），利用多面体的定义判断（2），利用正六棱锥的定义判断（3），利用正三棱锥的定义判断（4） 【详解】（1） 如图，侧棱延长线可能不交于一点，故（1）错误 （2）正确，符合多面体的定义 （3）不正确，不存在这样的正六棱锥，正六边形中心与各个顶点连线，构成了6个全等的小正三角，所以正六棱锥棱长不可能与底边相等，故（3）错误. （4）错误 . 不一定是正三棱锥,如图所示: 三棱锥中有. 满足底面为等边三角形. 三个侧面 ，， 都是等腰三角形，但长度不一定等于，即三条侧棱不一定全部相等． 故选：C 4.（24-25高三上·吉林长春·阶段练习）如图，是正三棱锥且侧棱长为a，E，F分别是SA，SC上的动点，的周长的最小值为，则侧棱SA，SC的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先将三棱锥的侧面沿着剪开，得到，即，即可得到答案. 【详解】将三棱锥的侧面沿着剪开，如图所示： 因为的周长的最小值为， 所以当四点共线时，的周长最小，即， 又因为，所以，即， 又因为三棱锥是正三棱锥， 所以，即侧棱SA，SC的夹角为. 故选：A 5.（24-25高二上·湖北·期中）如图，斜二测画法的直观图是，的面积为，那么的面积为(    ).    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先用面积公式得到的面积，把斜二测画出的三角形还原原图象，求得的面积，计算判断即可. 【详解】由，则， 如图，作出还原后，则， 故，所以. 故选：A.    6.（23-24高一下·江苏·阶段练习）下列选项中，，，，分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间中平行关系的转化可判断ABC正确，根据异面直线的定义可判断D错误. 【详解】在A图中，分别连接， 由正方体可得四边形为矩形，则， 因为为中点，故，则，所以四点共面. 在B图中，设为所在棱的中点，分别连接， 由A的讨论可得，故四点共面， 同理可得，故，同理可得， 故平面，平面，所以六点共面. 在C图中，由为中点可得，同理， 故，所以四点共面. 在D图中，为异面直线，四点不共面. 故选：D. 7（22-23高一下·河南开封·期末）如图，在正方体中，为棱的靠近上的三等分点.设与平面的交点为，则（    ）        A．三点共线，且 B．三点共线，且 C．三点不共线，且 D．三点不共线，且 【答案】B 【分析】连接，利用公理2可直接证得，并且由三角形相似得比例关系，从而求出结果. 【详解】连接连接，，    直线平面平面. 又平面，平面平面直线 ∴三点共线. . 故选：B. 8.（23-24高一下·安徽合肥·期末）我县为响应政府号召，大力发展民宿产业.现有一民宿为提升游客观赏体验，搭建一批圆锥形屋顶的小屋（如图1）.现测量其中一个屋顶，得到圆锥的底面直径长为，母线长为（如图2）.若是母线的一个三等分点（靠近点），从点到点绕屋顶侧面一周安装灯光带，则灯光带的最小长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将圆锥侧面沿着母线展开，计算出展开图扇形的圆心角，结合勾股定理可求得灯光带的最小长度. 【详解】将圆锥侧面沿母线展开，其侧面展开图为如图所示的扇形， 则的长度即为灯光带的最小长度， 因为，是母线的一个三等分点（靠近点）, 所以圆锥的底面周长也就是侧面展开图的弧长,， 所以扇形的圆心角， 所以. 故最小长度为(m). 故选：B. 二、多选题 9．（2025高三·全国·专题练习）（多选）下列说法正确的是（   ） A．以直角三角形的一条边所在的直线为轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥 B．以等腰三角形底边上的中线所在的直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥 C．经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形 D．圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆的直径 【答案】BCD 【分析】根据圆锥的定义及性质直接判断. 【详解】A不正确，直角三角形绕斜边所在直线旋转得到的旋转体不是圆锥； B正确，以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥； C正确，因为圆锥的母线长都相等，所以经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形； D正确，如图所示，当圆锥的母线圆锥的高夹角小于时，，即， 所以圆锥侧面的母线长l有可能大于圆锥底面圆半径r的2倍（即直径）； 故选：BCD． 10. （24-25高二上·安徽阜阳·期末）若用一平面去截一个四棱锥，则截面的形状可能是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】ABC 【分析】根据四棱锥的几何特点解题即可. 【详解】如下图 （1）截面为三角形 （2）截面为四边形 （3）截面为五边形 而四棱锥共5个面，故截面的形状不可能是六边形. 故选：ABC 11.（23-24高一下·新疆·期中）如图，在直三棱柱中，D，G，E分别为所在棱的中点，，三棱柱挖去两个三棱锥，后所得的几何体记为，则（    ） A．有7个面 B．有13条棱 C．有7个顶点 D．直线直线EF 【答案】ABD 【分析】根据平面的定义，结合柱体和锥体的性质、线线平行传递性逐一判断即可. 【详解】对于A，由图可知，有面BCGF，面EFG，面，面，面，面，面共7个，故A正确； 对于C，有顶点B，C，G，F，E，，，D共8个，故C错误； 对于B，有棱BF，FG，GC，CB，FE，EG，BD，，，，，，共13条棱，故B正确； 对于D，取AB中点H，连接CH，，则可得，， 因为，则F为AH中点，且E为中点，则， 所以直线直线BD，故D正确； 故选：ABD 三、填空题 12．（24-25高二上·上海·期中）将一个圆锥的侧面展开后，得到一个半圆，则该圆锥轴截面的顶角等于 . 【答案】 【分析】和分别表示底面圆半径和母线长，由题意得到等量关系，得到，从而知道轴截面的顶角值. 【详解】设底面半径为，母线成为， 则，即， ∴该圆锥轴截面的顶角等于， 故答案为： 13. （24-25高三上·河北承德·期中）将扇形纸壳OCD剪掉扇形OAB后得到扇环，，，如图1，用扇环制成一个圆台的侧面，如图2，则该圆台的高为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，求出圆台的上下底面圆半径，再利用等腰梯形的性质求出高. 【详解】依题意，圆台上底面圆周长为，则圆台上底半径， 圆台下底面圆周长为，则圆台下底半径， 圆台轴截面是等腰梯形，上下底边长分别为，，腰长为， 所以圆台的高，即等腰梯形的高为. 故答案为： 14. （24-25高二上·上海徐汇·期末）已知正四棱柱的底面边长为1，高度为2，一蚂蚁沿着正四棱柱的表面从点爬到点的最短距离是 ． 【答案】 【分析】分别求解不同情况下的展开图的长度，即可比较作答. 【详解】如图正四棱柱中，若沿着侧棱展开，可得图（1） 此时, 若沿着侧重展开，可得图（2），此时, 若沿着侧重展开，可得图（3），此时 由于，故最短距离为， 故答案为： 四、解答题 15．（24-25高一下·全国·课后作业）指出下面两图中的几何体是由哪些简单几何体构成的．     ①            ② 【答案】①由2个四棱锥构成；②由1个三棱柱和1个四棱柱构成 【分析】由组合体结合简单几何体判断． 【详解】由组合体结合简单几何体知道①由2个四棱锥构成；②由1个三棱柱和1个四棱柱构成. 16.（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，四边形绕边所在直线旋转，其中，．当点在射线上的不同位置时，形成的几何体大小、形状不同，比较其不同点．    【答案】答案见解析 【分析】根据给定条件，利用旋转体的结构特征分别按分析即可. 【详解】当时，四边形绕旋转一周所得的几何体是由底面半径为的圆柱和圆锥拼接而成的组合体，如图1； 当时，四边形绕旋转一周所得的几何体是圆柱，如图2； 当时，四边形绕旋转一周所得的几何体是由圆柱挖去一个同底的圆锥而得到的，如图3.    17.（23-24高二·上海·课堂例题）画出棱长为3cm的正方体的直观图． 【答案】答案见解析. 【分析】先画底面图形，按照横不变，纵减半，指的是和x轴重合或者平行的线段长度不变，和y轴平行或者重合的线段长度减半，画出底面的平行四边形；再就是z轴的方向上的线段长度不变，画出长方体的高，连接各个顶点即可． 【详解】(1)作水平放置的正方形的直观图，使，. (2)过点A作z′轴，使，分别过点A，B，C，D，沿z′轴的正方向取. (3)连接如下图①，擦去辅助线，把被遮住的线改为虚线，得到的图形如下图②就是所求的正方体的直观图．    18.（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在四面体中，、分别是、的中点，、分别在、上，且． (1)求证：、、、四点共面； (2)设与交于点，求证：、、三点共线． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)证明过程见解析 【分析】（1）根据三角形中位线定理、平行线的性质，结合基本事实进行证明即可； （2）根据面面交成线进行证明即可. 【详解】（1）因为、分别是、的中点， 所以， 又因为、分别在、上，且． 所以，于是有， 所以、、、四点共面； （2）∵EG与HF交于点P， ∴P在面ABC内， 同理P在面DAC内. 又∵面面， ∴P在直线AC上，∴P、A、C三点共线． 19.（23-24高二上·四川乐山·阶段练习）在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别边AB，BC上的点，且．求证： (1)四边形EFGH为梯形； (2)直线EH，BD，FG相交于一点． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）作出辅助线，由中位线得到平行关系及比例关系，进而得到，且，故四边形为梯形； （2）由（1）得到相交于一点，因为平面，平面，而平面平面，所以，证明出结论. 【详解】（1）由题意，作图如下： 连接、，因为空间四边形中，分别是的中点， 所以，且， 又因为，所以，且， 所以，且， 故四边形为梯形. （2）由（1）知四边形为梯形，且是梯形的两腰， 所以相交于一点. 设交点为， 因为平面，所以平面， 同理平面，而平面平面，所以， 故点是直线的公共点，即直线相交于一点. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$