3.3—3.4 复数的几何表示与复数的三角表示（2知识点+6题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（湘教版2019必修第二册）

3.3—3.4 复数的几何表示与复数的三角表示 课程标准 学习目标 （1）了解复数加、减运算的几何意义 （2）通过复数的几何意义, 了解复数的三角表示, 了解复数的代数表示与三角表示之间的关系, 了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义。 （1）了解复数的几何表示，会求复数的模和共轭复数； （2）理解复数加减法的几何意义； （3）了解复数的三角表示. 知识点01 复数的几何意义 复数的几何意义 1 复平面的概念 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴. 显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. 复数复平面内的点， 2 复数的几何意义 复数与复平面内的点及平面向量是一一对应关系(复数的实质是有序实数对，有序实数对既可以表示一个点，也可以表示一个平面向量)相等的向量表示同一个复数. 3 复数的模 向量的模叫做复数的模，记作或，表示点到原点的距离， 即 ， 4 共轭复数 的共轭复数记作，易得. 【即学即练1】 （24-25高三上·江西吉安·期末）已知，则（    ） A． B．2 C．1 D． 知识点02 复数的三角表示 1 一般地，任何一个复数都可以表示成 的形式，其中，是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形表示式，简称三角形式. 简称为代数形式. 2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 设， 则， 【即学即练2】 （23-24高一·全国·课后作业）下列各式中已表示成三角形式的复数是（    ）. A． B． C． D． 【题型一：判断复数对应的点所在的象限】 例1．（24-25高三上·河北承德·开学考试）已知为纯虚数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 变式1-1．（2025高三上·广东·学业考试）复数在复平面的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 变式1-2．（23-24高一下·湖北·期末）当时，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 变式1-3．（23-24高一下·辽宁·期末）已知复数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【方法技巧与总结】 1复数复平面内的点； 2 把复数化简成，确定虚部与实部. 【题型二：复数的模】 例2．（24-25高三下·安徽阜阳·开学考试）已知复数z满足，则（    ） A．1 B． C． D．2 变式2-1．（贵州省遵义市2025届高三第二次适应性考试数学试题）在复平面内，复数对应的向量，则（   ） A． B． C． D．1 变式2-2．（24-25高二上·云南红河·期末）已知为虚数单位，复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 变式2-3．（2024·全国·模拟预测）设复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1 向量的模叫做复数的模，记作或，表示点到原点的距离， 即 ， 2 若题中没给到复数的的表示，则可以考虑用待定系数法，设复数再求解. 【题型三：求共轭复数】 例3．（2024·浙江·模拟预测）若复数z满足（i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 变式3-1．（23-24高一下·安徽六安·期末）若复数与其共轭复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 变式3-2．（24-25高三上·山东临沂·阶段练习）设复数（为虚数单位），的共轭复数是，则（    ）. A． B． C． D． 变式3-3．（多选）（24-25高三上·江苏南通·期末）已知是复数，则下列说法正确的是（    ） A．若为实数，则是实数 B．若为虚数，则是虚数 C．若，则是实数 D．若，则 【方法技巧与总结】 1 的共轭复数记作； 2 ； 3 若题中没给到复数的的表示，则可以考虑用待定系数法，设复数再求解. 【题型四：与复数相关的轨迹问题】 例4．（23-24高一下·江苏苏州·期中）已知复数满足，则（是虚数单位）的最小值为（    ） A． B．4 C． D．6 变式4-1．（2025高三·全国·专题练习）若复数满足，则的最大值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 变式4-2．（21-22高一下·黑龙江哈尔滨·期中）已知复数z的共轭复数，满足，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C． D． 变式4-3．（21-22高一下·河南·阶段练习）设复数z在复平面内对应的点为Z，原点为O，为虚数单位，则下列说法正确的是（    ） A．若，则或 B．若，则点Z的集合为以为圆心，1为半径的圆 C．若，则点Z的集合所构成的图形的面积为 D．若，则点Z的集合中有且只有两个元素 变式4-4．（多选）（24-25高三下·江苏苏州·开学考试）已知复数，（）（为虚数单位），则（   ） A． B． C． D．若，则 【方法技巧与总结】 若 表示到的距离，即 表示以为圆心，为半径的圆. 【题型五：复数的三角表示】 例5．（24-25高一上·上海·课后作业）的三角形式是（    ） A． B． C． D． 变式5-1．（21-22高二上·辽宁·开学考试）（i是虚数单位），则z的辐角主值（    ） A． B． C． D． 变式5-2．（24-25高三上·黑龙江大庆·期中）下列复数与复数相等的是（    ） A． B． C． D． 变式5-3．（23-24高一下·江苏南京·期末）在复平面内，常把复数和向量进行一一对应.现把与复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，所得的向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 一般地，任何一个复数都可以表示成 的形式，其中，是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形表示式，简称三角形式. 简称为代数形式. 【题型六：复数乘除法的三角表示及其几何意义】 例6．（2023·广东·模拟预测）棣莫弗公式（为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667－1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，已知复数，则的值是（    ） A． B． C． D． 变式6-1．（22-23高一下·河北张家口·阶段练习）法国数学家棣莫弗发现的公式推动了复数领域的研究.根据该公式，可得（    ） A． B． C． D． 变式6-2．（22-23高一·全国·课后作业）计算的值是（    ） A． B． C． D． 变式6-3．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知复数z满足，则（   ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 设， 则， 一、单选题 1．（2024·甘肃张掖·一模）已知复数（i为虚数单位），则复数在复平面上对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2.（23-24高一下·湖南株洲·期末）已知复数满足，则在复平面内所对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3.（24-25高三上·广东·开学考试）若，则（    ） A． B．13 C．5 D．25 4.（24-25高三下·山东·开学考试）已知，则（   ） A． B． C． D． 5.（23-24高一下·广东清远·期中）已知复数，则（    ） A．的虚部为 B． C． D．在复平面内对应的点在第三象限 6. （2024·山东烟台·三模）若复数z满足，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 7.（2023·湖北恩施·模拟预测）任意一个复数都可以表示成三角形式，即．棣莫弗定理是由法国数学家棣莫弗（1667－1754年）创立的，指的是：设两个复数，，则，已知复数，则（    ） A． B． C． D．1 8.（23-24高一下·北京·期末）已知i为虚数单位，下列说法中正确的有（    ）个 （1）若复数z满足，则复数z对应的点在以(1，0)为圆心，为半径的圆上； （2）若复数z满足，则复数； （3）复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模； （4）复数对应的向量为，复数对应的向量为，若，则 A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 9．（23-24高一下·内蒙古兴安盟·期末）已知复数，则（    ） A．z的共轭复数为 B．z是纯虚数 C．z的模是5 D．z在复平面内对应的点位于第四象限 10. （24-25高三下·河南·开学考试）已知复数满足，设为虚数单位，则（   ） A．z可以是 B．对另一任意复数z1，一定存在 C． D．若z为纯虚数，则其虚部为2 11. （24-25高三下·河北石家庄·开学考试）已知复数，则（    ） A．若互为共轭复数，则为实数 B．若，则或 C． D． 三、填空题 12．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）已知复数 满足 ， 则 . 13．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）已知复数，则 . 14．（2025高三·全国·专题练习）在复平面内，复数、所对应的点分别为、，对于下列四个等式：（1）；（2）；（3）；（4）.其中恒成立的等式的个数是 四、解答题 15．（23-24高一·上海·课堂例题）若复数满足，求． 16. （24-25高二上·全国·开学考试）已知复数． (1)若，求； (2)在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是原点，求的大小． 17. （2024高一下·上海·专题练习）已知，且，若． (1)求复数的三角形式，并且复数的辐角主值； (2)求． 18. （23-24高一下·广东东莞·期末）通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对看作一个向量，记，称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，我们有如下运算法则：①；②；③；④. (1)设，求和； (2)类比平面向量数量积满足的运算律，得出复向量的一个相关结论，判断其是否正确并说明理由； (3)设，集合.求的最小值；并证明当取最小值时，对于任意的. 19. （23-24高一下·浙江杭州·期末）对于，记为关于的“差比模”.若取遍，记关于的“差比模”的最大值为，最小值为，若，则称关于的“差比模”是协调的. (1)若，求关于的“差比模”； (2)若，是否存在，使得关于的“差比模”是协调的？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； (3)若且，若关于的“差比模”是协调的，求的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.3—3.4 复数的几何表示与复数的三角表示 课程标准 学习目标 （1）了解复数加、减运算的几何意义 （2）通过复数的几何意义, 了解复数的三角表示, 了解复数的代数表示与三角表示之间的关系, 了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义。 （1）了解复数的几何表示，会求复数的模和共轭复数； （2）理解复数加减法的几何意义； （3）了解复数的三角表示. 知识点01 复数的几何意义 复数的几何意义 1 复平面的概念 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴. 显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. 复数复平面内的点， 2 复数的几何意义 复数与复平面内的点及平面向量是一一对应关系(复数的实质是有序实数对，有序实数对既可以表示一个点，也可以表示一个平面向量)相等的向量表示同一个复数. 3 复数的模 向量的模叫做复数的模，记作或，表示点到原点的距离， 即 ， 4 共轭复数 的共轭复数记作，易得. 【即学即练1】 （24-25高三上·江西吉安·期末）已知，则（    ） A． B．2 C．1 D． 【答案】A 【分析】利用复数除法运算求出，再利用共轭复数及复数模的意义求解. 【详解】依题意，，则， 所以. 故选：A 知识点02 复数的三角表示 1 一般地，任何一个复数都可以表示成 的形式，其中，是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形表示式，简称三角形式. 简称为代数形式. 2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 设， 则， 【即学即练2】 （23-24高一·全国·课后作业）下列各式中已表示成三角形式的复数是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】复数的三角表示为，对比选项得到答案. 【详解】复数的三角表示为：，其中，B选项满足. 故选：B. 【题型一：判断复数对应的点所在的象限】 例1．（24-25高三上·河北承德·开学考试）已知为纯虚数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】首先根据复数的特征求，再根据复数的几何意义求解. 【详解】复数为纯虚数，则，则， 所以， 所以复数在复平面内对应的点为，位于第二象限. 故选：B 变式1-1．（2025高三上·广东·学业考试）复数在复平面的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】利用复数的几何意义可得出结论. 【详解】复数在复平面内的点的坐标为，该点位于第四象限. 故选：D. 变式1-2．（23-24高一下·湖北·期末）当时，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据复数的运算法则和复数的几何意义可得，结合即可下结论. 【详解】, 所以该复数在复平面所对应的点的坐标为， 又，所以， 所以点位于第四象限. 故选：D 变式1-3．（23-24高一下·辽宁·期末）已知复数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】利用复数的运算结合复数的几何意义求解. 【详解】因为，所以， 所以， 则在复平面内对应的点位于第二象限. 故选：B. 【方法技巧与总结】 1复数复平面内的点； 2 把复数化简成，确定虚部与实部. 【题型二：复数的模】 例2．（24-25高三下·安徽阜阳·开学考试）已知复数z满足，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】设（），代入已知等式，再根据复数模的计算公式求出的值. 【详解】设（），已知，则. 根据复数模的性质，对两边取模可得，即. 因为，所以，又，则. 由，且，可得，即. 故选：B. 变式2-1．（贵州省遵义市2025届高三第二次适应性考试数学试题）在复平面内，复数对应的向量，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】由复数的坐标表示和模长计算可得. 【详解】由题意可得， 所以. 故选：A. 变式2-2．（24-25高二上·云南红河·期末）已知为虚数单位，复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设且，应用复数模长的求法及已知列方程求虚部. 【详解】设且，则， 由，则，解得. 故选：B 变式2-3．（2024·全国·模拟预测）设复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设复数，计算，根据复数相等，列等式求出，然后计算即可. 【详解】依题意，设复数， 由得，， 所以，解得， 所以. 故选：B. 【方法技巧与总结】 1 向量的模叫做复数的模，记作或，表示点到原点的距离， 即 ， 2 若题中没给到复数的的表示，则可以考虑用待定系数法，设复数再求解. 【题型三：求共轭复数】 例3．（2024·浙江·模拟预测）若复数z满足（i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】利用复数的运算法则求出z，再根据复数的代数表示及其几何意义得出z对应的点，进而求解． 【详解】设，则， 则，即，所以，， 解得，，故，对应的点在第四象限． 故选：D． 变式3-1．（23-24高一下·安徽六安·期末）若复数与其共轭复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】由复数的计算公式及复数的几何意义即可判断. 【详解】设复数，则， 所以，即 所以， 所以 所以复数在复平面上对应的点为，位于第二象限. 故选：B. 变式3-2．（24-25高三上·山东临沂·阶段练习）设复数（为虚数单位），的共轭复数是，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用共轭复数的定义得，利用复数的除法化简复数可得结果. 【详解】因为，所以，所以， 故选：C. 变式3-3．（多选）（24-25高三上·江苏南通·期末）已知是复数，则下列说法正确的是（    ） A．若为实数，则是实数 B．若为虚数，则是虚数 C．若，则是实数 D．若，则 【答案】BC 【分析】对于AB，设，由复数概念以及乘法即可判断；对于CD，设，由复数概念以及乘法即可判断. 【详解】对于A，B，设，则， 若为实数，则，但这不一定能得到，比如， 这个时候满足为实数，但不是实数，故A错误； 若为虚数，则，这一定能得到，也就是说这个时候是虚数，故B正确； 对于C，D，设， 若，这就表明， 所以是实数，故C正确； 若， 这表明， 但不一定等于0， 比如，这个时候有， 但，故D错误. 故选：BC. 【方法技巧与总结】 1 的共轭复数记作； 2 ； 3 若题中没给到复数的的表示，则可以考虑用待定系数法，设复数再求解. 【题型四：与复数相关的轨迹问题】 例4．（23-24高一下·江苏苏州·期中）已知复数满足，则（是虚数单位）的最小值为（    ） A． B．4 C． D．6 【答案】B 【分析】根据复数模长的几何意义即可求得结果. 【详解】设，则由， 所以复数在复平面内对应的点坐标在为圆心，1为半径的圆上，如下图所示： 而， 即求复平面内点到距离的最小值， 由圆的几何性质可知当点位于与圆心点连线交点时，取到最小值， 即 故选：B 变式4-1．（2025高三·全国·专题练习）若复数满足，则的最大值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】设，则由，得，然后利用复数的几何意义可求得的最大值. 【详解】设，则由，得， 所以表示复数对应的动点在单位圆上， 因为 所以表示单位圆上的动点到点的距离， 所以最大值为. 故选：B 变式4-2．（21-22高一下·黑龙江哈尔滨·期中）已知复数z的共轭复数，满足，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】设先分析出点(x,y)在以（-4，-2）为圆心，1为半径的圆上.利用几何法求出的最小值. 【详解】设（是虚数单位）.则. 因为，所以表示点(x,y)在以（-4，-2）为圆心，1为半径的圆上. 而表示圆上任意一点到（0，1）的距离. 由几何法可知：的最小值为（0，1）到圆心（-4，-2）减去圆的半径，即为. 故选：A 变式4-3．（21-22高一下·河南·阶段练习）设复数z在复平面内对应的点为Z，原点为O，为虚数单位，则下列说法正确的是（    ） A．若，则或 B．若，则点Z的集合为以为圆心，1为半径的圆 C．若，则点Z的集合所构成的图形的面积为 D．若，则点Z的集合中有且只有两个元素 【答案】C 【分析】根据的几何意义可知Z的集合为以原点为圆心，1为半径的圆，由此可判断A;由得几何意义是表示以为圆心，1为半径的圆，可判断B; 由的几何意义是表示以原点为圆心，分别以1和为半径的两圆所夹的圆环,求出圆环的面积，可判断C；由的几何意义是表示以点，为端点的线段的垂直平分线，可判断D. 【详解】若，则点Z的集合为以原点为圆心，1为半径的圆，有无数个圆上的点与复数z对应，故A错误； 若，则点Z的集合为以为圆心，1为半径的圆，故B错误； 若，则点Z的集合为以原点为圆心，分别以1和为半径的两圆所夹的圆环，所以点Z的集合所构成的图形的面积为 ，故C正确; 若，则点Z的集合是以点，为端点的线段的垂直平分线，集合中有无数个元素，故D错误, 故选:C． 变式4-4．（多选）（24-25高三下·江苏苏州·开学考试）已知复数，（）（为虚数单位），则（   ） A． B． C． D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据共轭复数的概念求，复数模的定义求，判断A，根据复数的乘法运算法则求，结合复数的模的定义求，由此判断B，结合复数的乘法法则，模的定义求判断C，结合复数的模的几何意义判断D. 【详解】对于A，复数的共轭复数， 所以，， 所以，A正确； 对于B，，，B错误； 对于C，因为，，因为，所以，C正确； 对于D，若，则， 所以点到点的距离小于等于， 故点在以为圆心，为半径的圆上或圆内， 所以原点到的距离的最大值为原点到圆心的距离加半径， 所以，D正确， 故选：ACD． 【方法技巧与总结】 若 表示到的距离，即 表示以为圆心，为半径的圆. 【题型五：复数的三角表示】 例5．（24-25高一上·上海·课后作业）的三角形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】合理化简原复数，表示为三角形式即可. 【详解】由题意得，故D正确. 故选：D 变式5-1．（21-22高二上·辽宁·开学考试）（i是虚数单位），则z的辐角主值（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】复数可以写成 的形式，即可求得复数的辐角主值. 【详解】，所以复数的辐角主值. 故选：A 变式5-2．（24-25高三上·黑龙江大庆·期中）下列复数与复数相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数的除法运算化简，再转化为三角形式，从而确定正确答案. 【详解】由题设， ， 故A，C，D错误，B正确． 故选：B 变式5-3．（23-24高一下·江苏南京·期末）在复平面内，常把复数和向量进行一一对应.现把与复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，所得的向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由复数乘法的几何意义可知，根据复数的三角表示可得顺时针旋转后对应的复数为. 【详解】根据题意可知， 复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转可得， 即所得的向量对应的复数为. 故选：A. 【方法技巧与总结】 一般地，任何一个复数都可以表示成 的形式，其中，是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形表示式，简称三角形式. 简称为代数形式. 【题型六：复数乘除法的三角表示及其几何意义】 例6．（2023·广东·模拟预测）棣莫弗公式（为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667－1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，已知复数，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用棣莫弗公式及三角函数的特殊值，结合三角函数的诱导公式即可求解. 【详解】依题意知，， 由棣莫弗公式，得 ， 所以. 故选：C. 变式6-1．（22-23高一下·河北张家口·阶段练习）法国数学家棣莫弗发现的公式推动了复数领域的研究.根据该公式，可得（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题中定义化简式子，再根据复数乘法计算即可. 【详解】根据题意可知， 故. 故选：B. 变式6-2．（22-23高一·全国·课后作业）计算的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的三角运算公式运算即可. 【详解】因为 所以， 所以， 故选：B. 变式6-3．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知复数z满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据复数的三角形式计算可得答案. 【详解】设， 所以， 可得，两式相除可得， 可得，， 因为，所以， 当时，，解得，此时， 当时，，解得，舍去， 当时，，解得，此时， 当时，，解得，舍去， 当时，，解得，此时， 当时，，解得，舍去， 结合选项，只有D正确. 故选：D. 【方法技巧与总结】 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 设， 则， 一、单选题 1．（2024·甘肃张掖·一模）已知复数（i为虚数单位），则复数在复平面上对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】由题意，根据共轭复数的定义和复数的几何意义即可求解. 【详解】因为，所以， 所以复数对应的点的坐标为，位于复平面的第三象限， 故选：C. 2.（23-24高一下·湖南株洲·期末）已知复数满足，则在复平面内所对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】先求等式右边复数的模长，然后由复数的除法求出，根据共轭复数得到，然后由复数的几何意义进行判断. 【详解】根据复数的模长公式，， 则，故，故， 根据复数的几何意义，在复平面上对应点是，在第四象限. 故选：D 3.（24-25高三上·广东·开学考试）若，则（    ） A． B．13 C．5 D．25 【答案】C 【分析】先根据复数相等得出,再应用复数的模的公式计算． 【详解】由，得且，解得， 则. 故选:C. 4.（24-25高三下·山东·开学考试）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，利用共轭复数的定义及复数的运算，即可求解. 【详解】因为，则， 所以， 故选：C. 5.（23-24高一下·广东清远·期中）已知复数，则（    ） A．的虚部为 B． C． D．在复平面内对应的点在第三象限 【答案】C 【分析】根据复数虚部、共轭复数、模和对应点坐标所在象限的知识，选出正确选项. 【详解】复数的虚部为，故A不正确； ，故B不正确； ，故C正确； 在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限，故D不正确. 故选：C. 6. （2024·山东烟台·三模）若复数z满足，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】由复数的几何意义即可求解. 【详解】若复数z满足，则由复数的几何意义可知复数对应的点集是线段的垂直平分线，其中， 所以的最小值为. 故选：B. 7.（2023·湖北恩施·模拟预测）任意一个复数都可以表示成三角形式，即．棣莫弗定理是由法国数学家棣莫弗（1667－1754年）创立的，指的是：设两个复数，，则，已知复数，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】将化为三角形式，根据棣莫弗定理可求得的值，即可求得答案. 【详解】由题意可得， 故， 所以 . 故选：B 8.（23-24高一下·北京·期末）已知i为虚数单位，下列说法中正确的有（    ）个 （1）若复数z满足，则复数z对应的点在以(1，0)为圆心，为半径的圆上； （2）若复数z满足，则复数； （3）复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模； （4）复数对应的向量为，复数对应的向量为，若，则 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据复数在复平面内的几何意义对选项一一分析即可. 【详解】对于（1），若复数z满足，则复数z对应的点在以(0，1)为圆心，为半径的圆上，故（1）错误； 对于（2），若复数z满足，设，则，解得， 则，故（2）错误； 对于（3），复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模，故（3）正确； 对于（4），若，有， 两边同时平方，根据向量运算有，即，故（4）正确； 故（3）（4）正确，共有2个. 故选：B 二、多选题 9．（23-24高一下·内蒙古兴安盟·期末）已知复数，则（    ） A．z的共轭复数为 B．z是纯虚数 C．z的模是5 D．z在复平面内对应的点位于第四象限 【答案】AD 【分析】根据共轭复数的定义判断A选项，根据复数类型判断B选项，应用模长公式判断C选项，根据复数对应点判断D选项. 【详解】对于A，由共轭复数定义知的共轭复数为，故A正确； 对于B，纯虚数要求实部为0，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，z在复平面内对应的点为，位于第四象限，故D正确． 故选：AD． 10. （24-25高三下·河南·开学考试）已知复数满足，设为虚数单位，则（   ） A．z可以是 B．对另一任意复数z1，一定存在 C． D．若z为纯虚数，则其虚部为2 【答案】AC 【分析】直接求的模判断A；当时，结论不成立，判断B；计算，可判断C；根据题设求出虚部判断D. 【详解】对于A，若，则，符合题意，故A正确； 对于B，当时，和无意义，所以对另一任意复数z1，不一定存在，故B错误； 对于C，设，且，， 所以，C正确； 对于D，设，由，可得或，D错误. 故选：AC 11. （24-25高三下·河北石家庄·开学考试）已知复数，则（    ） A．若互为共轭复数，则为实数 B．若，则或 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据复数的乘法运算即可判断A；举出反例即可判断B；根据复数的乘法运算及复数的模即可判断C；根据复数的加减法运算及复数的模即可判断D. 【详解】对于A，设，则， 所以为实数，所以A正确； 对于B，设，则，但且，所以B错误； 对于C，设， 则 ， 又，则，所以C正确； 对于D，设，， 则，， 则 ， 故 ，所以D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）已知复数 满足 ， 则 . 【答案】 【分析】可以采用向量方法求解，原问题等价于：已知，，求. 【详解】原题等价于，，求. ，， ， . 故答案为：. 13．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）已知复数，则 . 【答案】/i+1 【分析】先利用复数的除法化简复数，再求其共轭复数和模长代入即可. 【详解】依题意，，则， 所以. 故答案为：. 14．（2025高三·全国·专题练习）在复平面内，复数、所对应的点分别为、，对于下列四个等式：（1）；（2）；（3）；（4）.其中恒成立的等式的个数是 【答案】2 【分析】通过举反例排除（1）；利用复数的四则运算和复数的模的定义推理计算即得（2）；利用平面向量数量积的定义易得（3）成立；利用向量数量积的定义式分析即可排除（4）. 【详解】对于（1），取，则，，显然，（1）错； 对于（2），设，， 则， 所以， ，（2）对； 对于（3），由平面向量数量积的定义可得，（3）对； 对于（4），因为，则， 所以，，（4）错. 故恒成立的等式有（2）、（3）共2个. 故答案为：2 四、解答题 15．（23-24高一·上海·课堂例题）若复数满足，求． 【答案】或 【分析】设，根据复数模公式可得，解方程组即可求解. 【详解】设（）， ， , 解得或， 或. 16. （24-25高二上·全国·开学考试）已知复数． (1)若，求； (2)在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是原点，求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据共轭复数定义和复数的乘除运算法则化简求出，再求其模长即得； （2）利用复数的几何意义求出，和，由两向量的夹角公式即可求得. 【详解】（1） （2）依题意向量 于是有 为与的夹角， ， 17. （2024高一下·上海·专题练习）已知，且，若． (1)求复数的三角形式，并且复数的辐角主值； (2)求． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（1）直接利用三角变换可得复数的三角形式及辐角主值. （2）设，结合求得，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解． 【详解】（1）， 则； （2）设，而，则， 又，于是， 则，解得，，即， 因此，所以． 18. （23-24高一下·广东东莞·期末）通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对看作一个向量，记，称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，我们有如下运算法则：①；②；③；④. (1)设，求和； (2)类比平面向量数量积满足的运算律，得出复向量的一个相关结论，判断其是否正确并说明理由； (3)设，集合.求的最小值；并证明当取最小值时，对于任意的. 【答案】(1)； (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）代入公式①③即可求解； （2）根据所给定义，以及向量的代数运算法则，即可求解； （3）设满足条件的，表示出，即可得到，根据完全平方数的性质计算可得最小值. 根据所给条件求出，再证明对任意的，根据定义证明即可. 【详解】（1）由， 得，； （2）设，，，、、、、、 ， ，，， ， 因为，， 所以， ，故正确； （3）不妨令，则， 则 ， 当，时取得最小值2， 此时， 设满足条件的，， ， 则，， 【点睛】关键点睛：对于新定义问题，关键是理解所给定义，再结合所学相应知识解决问题. 19. （23-24高一下·浙江杭州·期末）对于，记为关于的“差比模”.若取遍，记关于的“差比模”的最大值为，最小值为，若，则称关于的“差比模”是协调的. (1)若，求关于的“差比模”； (2)若，是否存在，使得关于的“差比模”是协调的？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； (3)若且，若关于的“差比模”是协调的，求的值. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 (3) 【分析】（1）由“差比模”定义代入复数，由复数的代数运算及求模可得； （2）由，利用共轭复数的性质与模的性质可得，利用基本不等式可得可知不存在，使得关于的“差比模”是协调的； （3）设，由平方整理再结合辅助角公式可得，利用三角函数有界性可得关于的不等式，由此可解得，结合韦达定理与题意关于的“差比模”是协调的，化简可求. 【详解】（1）由题意得 ， 故关于的“差比模”为. （2）先证明共轭复数有如下性质：若任意，则. 证明：设， 则， 而， 故. ； ； 故. 综上，共轭复数的性质得证. 记当“差比模”取最大值时的复数为，即. 由已知发现， 由已证明共轭复数的性质与复数模的性质可得 因为， 所以若当时取得，则时取到， 故可知， 由取遍，不恒为常数，则， 故由基本不等式可得， 故不存在，使得关于的“差比模”是协调的. （3）且，设， 则， 平方整理可得： 所以， 即， 平方整理得：， 令，设方程， 则， 故方程有两个不等的实数根，设为，不妨设. 由题意知， ， 则，且， 故方程有两不等的正实数根， 由关于的不等式， 解得， 则，， 由已知关于的“差比模”是协调的，则， 所以， 利用韦达定理，， 则有， 化简可得， 故． 【点睛】结论点睛：有关共轭复数及模的常用性质有： （1）任意，则； （2）任意，则. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$