1.5.1全称量词与存在量词 课时规范训练-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

　全称量词与存在量词 A　基础巩固练 1.下列命题是“∀x∈R，x＋1＜4”的另一种表述方式的是(　　) A.任选一个x∈R，使得x＋1＜4 B.对有些x∈R，使得x＋1＜4 C.至少有一个x∈R，使得x＋1＜4 D.有一个x∈R，使得x＋1＜4 2.(2024·河南平顶山高一月考)下列语句不是存在量词命题的是(　　) A.至少有一个x，使x2＋x＋1＝0成立 B.有的无理数的平方不是有理数 C.存在x∈R，使3x＋2是偶数 D.梯形有两边平行 3.(多选题)(2024·安徽滁州高一月考)下列命题是“∃x∈R，x2＞3”的另一种表述方法的有(　　) A.有一个x∈R，使得x2＞3成立 B.对有些x∈R，使得x2＞3成立 C.任选一个x∈R，都有x2＞3成立 D.至少有一个x∈R，使得x2＞3成立 4.下列命题中的假命题是(　　) A.∃x∈R，|x|＝0 B.∃x∈R，2x－10＝1 C.∀x∈R，x3＞0 D.∀x∈R，x2＋1＞0 5.已知命题p：∃x∈R，x2＋4x＋a＝0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是(　　) A.{a|0<a<4} B.{a|a>4} C.{a|a<0} D.{a|a≥4} 6.下列语句中，是全称量词命题的是　　　　，是存在量词命题的是　　　　. ①菱形的四条边相等； ②所有含两个60°角的三角形是等边三角形； ③负数的立方根不等于0； ④至少有一个负整数是奇数； ⑤所有有理数都是实数吗？ 7.命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)2＞0”用“∃”写成存在量词命题为　　　　. 8.若命题“二次函数y＝x2－3x＋9a的图象恒在x轴上方”为真命题，则实数a的取值范围是　　　　. 9.用量词符号“∀”“∃”表示下列命题，并判断其真假： (1)实数都能写成分数形式； (2)平行四边形的对角线互相平分； (3)至少有一个集合A，满足A{1，2，3}； (4)存在一个实数x，使得x2＋2x＋3＝0. 10.已知命题“∃－3≤x≤2，3a＋x－2＝0”为真命题，求实数a的取值范围. B　能力进阶练 11.(多选题)命题p：存在实数x∈R，使得数据1，2，3，x，6的中位数为3.若命题p为真命题，则实数x的取值集合可以为(　　) A.{3，4，5} B.{x|x>3} C.{x|x≥3} D.{x|2≤x≤6} 12.已知不等式x＋3≥0的解集是A，则使命题“∀a∈M，a∉A”为真命题的集合M是(　　) A.{a|a≥－3} B.{a|a>－3} C.{a|a≤－3} D.{a|a<－3} 13.若对任意x>3，x>a恒成立，则a的取值范围是　　　　. 14.已知M＝{x|a≤x≤a＋1}. (1)“∀x∈M，x＋1＞0”是真命题，求实数a的取值范围； (2)“∃x∈M，x＋1＞0”成立，求实数a的取值范围. C　探索创新练 15.设命题p：∃x∈R，x2－2x＋m－3＝0，命题q：∀x∈R，x2－2(m－5)x＋m2＋19≠0.若p，q都为真命题，则实数m的取值范围为　　　　. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 　全称量词与存在量词 A　基础巩固练 1.下列命题是“∀x∈R，x＋1＜4”的另一种表述方式的是(　　) A.任选一个x∈R，使得x＋1＜4 B.对有些x∈R，使得x＋1＜4 C.至少有一个x∈R，使得x＋1＜4 D.有一个x∈R，使得x＋1＜4 解析：A　由题意，命题“∀x∈R，x＋1＜4”为全称量词命题，所以该命题的另一种表述方式是“任选一个x∈R，使得x＋1＜4”.故选A. 2.(2024·河南平顶山高一月考)下列语句不是存在量词命题的是(　　) A.至少有一个x，使x2＋x＋1＝0成立 B.有的无理数的平方不是有理数 C.存在x∈R，使3x＋2是偶数 D.梯形有两边平行 解析：D　对于A选项，至少有一个x，使x2＋x＋1＝0成立，有存在量词“至少有一个”，是存在量词命题； 对于B选项，有的无理数的平方不是有理数，有存在量词“有的”，是存在量词命题； 对于C选项，存在x∈R，使3x＋2是偶数，有存在量词“存在”，是存在量词命题； 对于D选项，梯形有两边平行，为梯形几何性质，省略了全称量词“所有”，是全称量词命题.故选D. 3.(多选题)(2024·安徽滁州高一月考)下列命题是“∃x∈R，x2＞3”的另一种表述方法的有(　　) A.有一个x∈R，使得x2＞3成立 B.对有些x∈R，使得x2＞3成立 C.任选一个x∈R，都有x2＞3成立 D.至少有一个x∈R，使得x2＞3成立 解析：ABD　C选项是全称量词命题，ABD选项符合题意，故选ABD. 4.下列命题中的假命题是(　　) A.∃x∈R，|x|＝0 B.∃x∈R，2x－10＝1 C.∀x∈R，x3＞0 D.∀x∈R，x2＋1＞0 解析：C　当x＝0时，x3＝0， 故选项C为假命题. 5.已知命题p：∃x∈R，x2＋4x＋a＝0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是(　　) A.{a|0<a<4} B.{a|a>4} C.{a|a<0} D.{a|a≥4} 解析：B　因为p是假命题，所以方程x2＋4x＋a＝0没有实数根，即Δ＝16－4a<0，即a>4. 6.下列语句中，是全称量词命题的是　　　　，是存在量词命题的是　　　　. ①菱形的四条边相等； ②所有含两个60°角的三角形是等边三角形； ③负数的立方根不等于0； ④至少有一个负整数是奇数； ⑤所有有理数都是实数吗？ 解析：①②③是全称量词命题；④是存在量词命题；⑤不是命题. 答案：①②③　④ 7.命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)2＞0”用“∃”写成存在量词命题为　　　　. 解析：存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”. 答案：∃x＜0，(1＋x)(1－9x)2＞0 8.若命题“二次函数y＝x2－3x＋9a的图象恒在x轴上方”为真命题，则实数a的取值范围是　　　　. 解析：由题意，“二次函数y＝x2－3x＋9a的图象恒在x轴上方”为真命题，根据二次函数的图象与性质，可得Δ＝(－3)2－4×9a＜0，解得a＞，即实数a的取值范围是. 答案： 9.用量词符号“∀”“∃”表示下列命题，并判断其真假： (1)实数都能写成分数形式； (2)平行四边形的对角线互相平分； (3)至少有一个集合A，满足A{1，2，3}； (4)存在一个实数x，使得x2＋2x＋3＝0. 解：(1)∀x∈R，x能写成分数形式.因为无理数不能写成分数形式，所以该命题是假命题. (2)∀x∈{x|x是平行四边形}，x的对角线互相平分.由平行四边形的性质可知此命题是真命题. (3)∃A∈{A|A是集合}，A{1，2，3}.存在A＝{3}，使A{1，2，3}成立，所以该命题是真命题. (4)∃x∈R，x2＋2x＋3＝0.由于x∈R，则x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，因此使得x2＋2x＋3＝0的实数x不存在，所以该命题是假命题. 10.已知命题“∃－3≤x≤2，3a＋x－2＝0”为真命题，求实数a的取值范围. 解：由3a＋x－2＝0，得3a－2＝－x， ∵－3≤x≤2，∴－2≤－x≤3， ∴－2≤3a－2≤3，即0≤a≤， 故实数a的取值范围是. B　能力进阶练 11.(多选题)命题p：存在实数x∈R，使得数据1，2，3，x，6的中位数为3.若命题p为真命题，则实数x的取值集合可以为(　　) A.{3，4，5} B.{x|x>3} C.{x|x≥3} D.{x|2≤x≤6} 解析：ABC　根据中位数定义可知，只需x≥3，则1，2，3，x，6的中位数必为3，A，B，C中的取值集合满足x≥3，D不满足.故选ABC. 12.已知不等式x＋3≥0的解集是A，则使命题“∀a∈M，a∉A”为真命题的集合M是(　　) A.{a|a≥－3} B.{a|a>－3} C.{a|a≤－3} D.{a|a<－3} 解析：D　因为x＋3≥0，所以A＝{x|x≥－3}.又因为对∀a∈M，都有a∉A，所以a<－3.故选D. 13.若对任意x>3，x>a恒成立，则a的取值范围是　　　　. 解析：对于任意x>3，x>a恒成立， 即大于3的数恒大于a，所以a≤3. 答案：{a|a≤3} 14.已知M＝{x|a≤x≤a＋1}. (1)“∀x∈M，x＋1＞0”是真命题，求实数a的取值范围； (2)“∃x∈M，x＋1＞0”成立，求实数a的取值范围. 解：(1)∀x∈M，x＋1＞0是真命题，即a＋1＞0，解得a＞－1，所以实数a的取值范围是{a|a＞－1}. (2)“∃x∈M，x＋1＞0”成立，即a＋1＋1＞0，解得a＞－2，所以实数a的取值范围是{a|a＞－2}. C　探索创新练 15.设命题p：∃x∈R，x2－2x＋m－3＝0，命题q：∀x∈R，x2－2(m－5)x＋m2＋19≠0.若p，q都为真命题，则实数m的取值范围为　　　　. 解析：若命题p：∃x∈R，x2－2x＋m－3＝0为真命题，则Δ＝4－4(m－3)≥0，解得m≤4； 若命题q：∀x∈R，x2－2(m－5)x＋m2＋19≠0为真命题， 即方程x2－2(m－5)x＋m2＋19＝0无实数根. 因此，Δ＝4(m－5)2－4(m2＋19)<0，解得m>. 又p，q都为真命题，所以实数m的取值范围是{m|m≤4}∩＝. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $$