专题01 坐标平面上的直线+圆(十三大题型+优选提升题)（沪教版2020选择性必修，上海专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期中真题分类汇编

专题01 坐标平面上的直线+圆 题型概览 题型01倾斜角及求参问题 题型02 直线的法向量、点法式方程等 题型03 直线其他的方程 题型04 直线的平行、垂直及求参 题型05 距离问题 题型06直线的夹角问题及求参 题型07直线的其他应用 题型08圆的有关概念及求参 题型09圆的周长、面积 题型10圆的位置关系及求参 题型11根据圆的位置关系求直线方程 题型12圆的综合应用 题型13解答题 ( 题型01 )倾斜角及求参问题 1．（24-25高二上·上海奉贤·期中）直线的倾斜角为 ． 2．（24-25高二上·上海·期中）直线的倾斜角的大小是 （用表示）. 3．（24-25高二上·上海·期中）经过两点和的直线l的倾斜角是（   ） A．30° B．60° C．120° D．150° 4．（23-24高二下·上海浦东新·期中）若直线：的倾斜角为，则实数的值为 ． 5．（24-25高二上·上海·期中）若直线的倾斜角的取值范围是，则其斜率的取值范围是 . ( 题型02 )直线的法向量、点法式方程等 6．（24-25高二上·上海·期中）直线的一个法向量为 ． 7．（23-24高二下·上海·期中）直线过点，法向量为，则的一般式方程为 . 8．（24-25高二上·上海·期中）过点且平行于向量的直线的点法式方程是 ( 题型03 ) 直线的其他方程 9．（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知两点、，则直线的斜截式方程是 ． 10．（22-23高二下·上海徐汇·期中）经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线l为 ． 11．（24-25高二上·上海·期中）已知直线经过点，倾斜角为，则该直线的方程为 ( 题型04 ) 直线的平行、垂直及求参 12．（24-25高二上·上海·期中）直线与平行，则实数 . 13．（24-25高二上·上海·期中）已知直线，，若，则实数的值为 . 14．（24-25高三上·上海·期中）已知直线，若，则实数的值为 . 15．（20-21高二上·上海长宁·期中）已知直线，动直线，则下列结论错误的是（    ） A．存在，使得的倾斜角为； B．对任意的，与都有公共点； C．对任意的，与都不重合； D．对任意的，与都不垂直； 16．（23-24高二下·上海·期中）直线，若三条直线无法构成三角形，则实数可取值的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 ( 题型0 5 )距离问题 17．（23-24高二下·上海·期中）点到直线的距离为 . 18．（24-25高二上·上海·期中）平行直线与之间的距离是 . 19．（23-24高二下·上海·期中）设，若直线与直线之间的距离为，则的值为 ． 20．（23-24高二上·上海奉贤·期中）已知直线l：，则原点到直线l的距离的最大值是 ． ( 题型0 6 ) 直线的夹角问题及求参 21．（24-25高二上·上海·期中）直线与直线的夹角的大小是 . 22．（23-24高二下·上海·期中）两条直线，夹角的大小是 ．（结果用反余弦函数值表示） 23．（23-24高二下·上海·期中）已知直线经过点，与直线的夹角为.则直线的方程 . 24．（23-24高二上·上海奉贤·期中）直线与直线的夹角，则a的取值范围是 ． ( 题型0 7 ) 直线的其他应用 25．（23-24高二下·上海·期中）已知点，则线段的垂直平分线的一般式方程为 . 26．（22-23高二上·上海闵行·期中）已知直线，则直线恒过定点 . 27．（23-24高二上·上海浦东新·期中）已知x，y为实数，代数式的最小值是 ． 28．（24-25高二上·上海·期中）平面直角坐标系中的点集，则集合中任意一点到坐标原点距离的最小值为 . ( 题型0 8 ) 圆的有关概念及求参 29．（23-24高三上·上海黄浦·期中）圆的圆心坐标为 ； 30．（24-25高三上·上海宝山·期中）已知圆的一般方程为，则圆的半径为 . 31．（23-24高二下·上海·期中）已知点，，以线段为直径的圆的标准方程为 . 32．（23-24高二下·上海·期中）方程表示圆的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 ( 题型0 9 ) 圆的周长、面积 33．（24-25高二上·上海·期中）圆的周长为 .（结果保留） 34．（23-24高三下·上海·期中）已知圆的面积为，则实数的值为 . ( 题型 10 ) 圆的位置关系及求参 35．（24-25高二上·上海·期中）若直线与圆相切.则实数 . 36．（23-24高二下·上海·期中）已知直线与圆，点，则下列说法错误的是（    ） A．若点在圆上，则直线与圆相切 B．若点在圆内，则直线与圆相离 C．若点在圆外，则直线与圆相离 D．若点在直线上，则直线与圆相切 37．（24-25高二上·上海·期中）已知坐标原点在圆的外部，则实数a的取值范围为 ． 38．（23-24高二下·上海·期中）已知圆和圆，观察可得它们都经过坐标原点，除此之外，它们还相交于一点，这点的坐标是 ． 39．（23-24高三下·上海浦东新·期中）已知圆，圆，若两圆相交，则实数的取值范围为 . ( 题型 11 ) 根据圆的位置关系求直线方程 40．（24-25高二上·上海·期中）经过点且与圆相切的直线方程为 . 41．（22-23高二下·上海·期中）设两圆与圆的公共弦所在的直线方程是 ( 题型 12 ) 圆的综合应用 42．（24-25高二上·上海·期中）若圆的圆心到直线的距离为，则实数的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 43．（24-25高二上·上海松江·期中）若圆：关于直线对称，则实数 . 44．（24-25高三上·上海·期中）经过坐标原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为 . 45．（24-25高二上·上海·期中）若圆与直线相交于A、B两点，则弦的长为 ． 46．（23-24高二下·上海·期中）若直线与曲线只有一个公共点，则实数b的取值范围是 . 47．（21-22高二下·上海普陀·期中）已知实数、满足方程，那么的最大值为（    ） A． B． C． D． 48．（23-24高二下·上海·期中）已知实数满足，则的取值范围是 ． 49．（23-24高二下·上海·期中）古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知点满足，则点的轨迹与圆的位置关系是 . ( 题型 13 ) 解答题 50．（24-25高二上·上海奉贤·期中）已知直线， (1)求该直线的斜率； (2)若点的坐标为，求过点且垂直于直线的直线方程． 51．（21-22高二下·上海宝山·期中）求解下列问题： (1)已知两点，求线段的中垂线所在直线方程； (2)已知直线与直线平行，直线与两坐标轴所构成的三角形的面积为12，求直线的方程． 52．（23-24高二下·上海·期中）已知圆． (1)求直线被圆截得弦长； (2)已知圆过点且与圆相切于原点，求圆的方程． 53．（23-24高二下·上海·期中）已知的顶点坐标分别为.圆为的外接圆. (1)求圆的方程； (2)若直线，求证：不论为何值，直线与圆相交. 一、填空题 1．（24-25高二上·上海·期中）已知P是直线上一点，直线绕点P逆时针旋转角得直线： ，若将直线绕点P继续逆时针旋转角得直线：， 则直线的方程为 . 2．（21-22高二下·上海徐汇·期中）在平面直角坐标系中，已知圆和圆，且圆和圆相交于两点，若在直线上存在一点，使得，则的取值范围是 ． 二、单选题 3．（24-25高二上·上海·期中）已知点在直线上，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·上海·期中）已知动圆的方程为，其中为常数，，有下列两个命题： ①存在，使圆与圆相切； ②对任意，直线上都存在点，圆上都存在两点、，使.则（    ） A．①②都为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①②都为假命题 三、解答题 5．（24-25高二上·上海奉贤·期中）在平面直角坐标系中，已知射线，过点作直线分别交射线、轴正半轴于点、. (1)当的中点为时，求直线的方程； (2)已知点在线段（包括端点）上运动，求的取值范围； (3)求面积的最小值． 6．（24-25高二上·上海·期中）已知圆和圆. (1)若圆与圆相交，求的取值范围； (2)若直线与圆交于，两点，且，求实数的值； (3)若，设为平面上的点，且满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点的坐标. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 坐标平面上的直线+圆 题型概览 题型01倾斜角及求参问题 题型02 直线的法向量、点法式方程等 题型03 直线的其他方程 题型04 直线的平行、垂直及求参 题型05 距离问题 题型06直线的夹角问题及求参 题型07直线的其他应用 题型08圆的有关概念及求参 题型09圆的周长、面积 题型10圆的位置关系及求参 题型11根据圆的位置关系求直线方程 题型12圆的综合应用 题型13解答题 ( 题型01 )倾斜角及求参问题 1．（24-25高二上·上海奉贤·期中）直线的倾斜角为 ． 【答案】/ 【分析】由直线方程计算斜率，由斜率得倾斜角. 【解析】由直线方程得直线斜率，故直线的倾斜角为. 故答案为：. 2．（24-25高二上·上海·期中）直线的倾斜角的大小是 （用表示）. 【答案】 【分析】由直线方程求得斜率，利用直线斜率与倾斜角的关系，可得答案. 【解析】由直线可得斜率， 设直线的倾斜角为， 则，解得. 故答案为：. 3．（24-25高二上·上海·期中）经过两点和的直线l的倾斜角是（   ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】B 【分析】利用斜率公式求斜率，然后可得倾斜角. 【解析】由斜率公式得， 记直线l的倾斜角为，则，得. 故选：B 4．（23-24高二下·上海浦东新·期中）若直线：的倾斜角为，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】由已知结合直线的斜率与倾斜角关系即可求解． 【解析】由题意可得，， 故. 故答案为： 5．（24-25高二上·上海·期中）若直线的倾斜角的取值范围是，则其斜率的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据斜率与倾斜角的关系求斜率范围. 【解析】由，则. 故答案为： ( 题型02 )直线的法向量、点法式方程等 6．（24-25高二上·上海·期中）直线的一个法向量为 ． 【答案】 【分析】先求得直线的斜率，由此求出与其垂直的直线的斜率，进而求得直线的一个法向量. 【解析】直线的斜率为， 故与其垂直的直线的斜率为， 故直线的一个法向量为. 故答案为：. 7．（23-24高二下·上海·期中）直线过点，法向量为，则的一般式方程为 . 【答案】 【分析】首先得到直线的方向向量，从而得到直线的斜率，再利用点斜式求出直线方程，最后化为一般式即可. 【解析】因为直线过点，法向量为， 所以直线的方向向量可取， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为，即. 故答案为： 8．（24-25高二上·上海·期中）过点且平行于向量的直线的点法式方程是 【答案】 【分析】根据给定条件，求出直线的一个法向量，再求出点法式方程. 【解析】依题意，直线的方向向量为，则该直线的法向量为， 所以该直线的点法式方程是. 故答案为： ( 题型03 ) 直线的其他方程 9．（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知两点、，则直线的斜截式方程是 ． 【答案】 【分析】直接利用两点的坐标求出直线的方程，进一步转换为斜截式． 【解析】已知两点、，故直线的斜率， 则方程为：，整理得， 转化为直线的斜截式为． 故答案为：． 10．（22-23高二下·上海徐汇·期中）经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线l为 ． 【答案】或 【分析】根据给定条件，利用直线l过原点和不过原点分类，结合直线方程的截距式求解作答. 【解析】依题意，当直线过原点时，直线在两坐标轴上的截距相等，方程为，即； 当直线不不过原点时，设直线的方程为，于是，解得，方程为， 所以直线的方程为或. 故答案为：或    11．（24-25高二上·上海·期中）已知直线经过点，倾斜角为，则该直线的方程为 【答案】 【分析】根据倾斜角可得斜率，即可根据斜截式求解方程. 【解析】由于倾斜角为，故斜率为， 故直线方程为， 故答案为： ( 题型04 ) 直线的平行、垂直及求参 12．（24-25高二上·上海·期中）直线与平行，则实数 . 【答案】 【分析】根据直线平行满足的系数关系即可求解. 【解析】由于直线与平行， 故，解得， 故答案为： 13．（24-25高二上·上海·期中）已知直线，，若，则实数的值为 . 【答案】 【分析】根据直线平行的结论得，求解即可. 【解析】因为直线，，， 所以，解得. 故答案为：. 14．（24-25高三上·上海·期中）已知直线，若，则实数的值为 . 【答案】 【分析】直接根据两直线垂直的公式计算即可. 【解析】由，得，解得. 故答案为：. 15．（20-21高二上·上海长宁·期中）已知直线，动直线，则下列结论错误的是（    ） A．存在，使得的倾斜角为； B．对任意的，与都有公共点； C．对任意的，与都不重合； D．对任意的，与都不垂直； 【答案】C 【分析】根据倾斜角与斜率的关系取特殊值判断A；联立与的方程，由恒有解判断B；取时，与重合，判断C；由两直线垂直斜率的关系判断D. 【解析】解：当时，的倾斜角为，此时的方程为，故A正确； 联立方程组，得，此方程恒有解， 故对任意的，与都有公共点，B正确； 当时，，此时与重合，故C错误； 因为的斜率为1，当时，与不垂直； 当时，的斜率，所以对任意的，与都不垂直，D正确； 故选：C. 16．（23-24高二下·上海·期中）直线，若三条直线无法构成三角形，则实数可取值的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】分、、及三条直线相交于一点四种情况讨论，分别求出所对应的的值，即可得解. 【解析】①时，则，解得，经检验符合题意； ②时，则，解得，经检验符合题意； ③时，则，解得，经检验符合题意； ④三条直线交于一点，解得或， 则实数可取值的集合为，即符合题意的实数共6个. 故选：D ( 题型0 5 )距离问题 17．（23-24高二下·上海·期中）点到直线的距离为 . 【答案】 【分析】直接利用点到直线的距离公式计算可得. 【解析】点到直线的距离. 故答案为： 18．（24-25高二上·上海·期中）平行直线与之间的距离是 . 【答案】/ 【分析】根据平行线间的距离公式即可求得答案. 【解析】由题意得即， 则平行直线与之间的距离是. 故答案为：. 19．（23-24高二下·上海·期中）设，若直线与直线之间的距离为，则的值为 ． 【答案】2或 【分析】根据平行线间距离公式即可求解. 【解析】由题意可得，解得或， 故答案为：2或 20．（23-24高二上·上海奉贤·期中）已知直线l：，则原点到直线l的距离的最大值是 ． 【答案】5 【分析】求出动直线所过定点，可知原点与定点的距离即为所求. 【解析】直线l：可化为， 当时，即时方程恒成立， 所以直线l恒过定点， 所以当直线l与垂直时，原点到直线的距离最大，最大值为. 故答案为：5 ( 题型0 6 ) 直线的夹角问题及求参 21．（24-25高二上·上海·期中）直线与直线的夹角的大小是 . 【答案】/ 【分析】利用两直线夹角公式去求解即可. 【解析】线与直线的斜率分别为， 由直线的夹角公式可得，又，所以. 故答案为：. 22．（23-24高二下·上海·期中）两条直线，夹角的大小是 ．（结果用反余弦函数值表示） 【答案】 【分析】设直线与直线的夹角为，根据题意结合向量夹角公式可得，进而可得结果. 【解析】设直线与直线的夹角为， 由题意可知：直线的斜率，其方向向量可以为， 直线的斜率，其方向向量可以为， 则， 所以直线与直线的夹角为. 故答案为：. 23．（23-24高二下·上海·期中）已知直线经过点，与直线的夹角为.则直线的方程 . 【答案】或 【分析】设直线的倾斜角为，两直线夹角为，可得，分类讨论的斜率是否存在，结合两直线的夹角公式分析求解. 【解析】由题意可知：直线斜率为， 设直线的倾斜角为， 则，解得，或（舍去）， 设两直线夹角为，则， 可得，所以. ①当的斜率不存在，则， 此时，可得，符合题意； ②当的斜率存在，设的斜率为， 则，解得， 所以直线，即； 综上所述：的方程为或． 故答案为：或． 24．（23-24高二上·上海奉贤·期中）直线与直线的夹角，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用两条直线的夹角公式求解即可. 【解析】由题知直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线与直线的夹角， 所以，即， 解得. 故答案为：. ( 题型0 7 ) 直线的其他应用 25．（23-24高二下·上海·期中）已知点，则线段的垂直平分线的一般式方程为 . 【答案】 【分析】求出的中点坐标以及垂直平分线的斜率，由点斜式得出其方程并整理可得一般式方程. 【解析】易知的中点坐标为，且， 所以线段的垂直平分线的斜率为2， 可得所求直线方程为，即. 故答案为： 26．（22-23高二上·上海闵行·期中）已知直线，则直线恒过定点 . 【答案】 【分析】本题主要考查直线过定点问题，将直线方程进行整理变形即可求解. 【解析】因为直线可化为， 令，解得：，所以直线过定点， 故答案为：. 27．（23-24高二上·上海浦东新·期中）已知x，y为实数，代数式的最小值是 ． 【答案】5 【分析】利用两点间的距离公式的几何意义，将代数问题转化为几何问题求解，即可得到答案. 【解析】即，几何意义为点与点的距离； 即，几何意义为点与点的距离； 即，几何意义为点与点的距离， 分别作关于轴的对称点，关于轴的对称点， 连接，则， ∴ ， 当且仅当分别为与轴，轴的交点时，等号成立， 故答案为：5. 28．（24-25高二上·上海·期中）平面直角坐标系中的点集，则集合中任意一点到坐标原点距离的最小值为 . 【答案】/ 【分析】根据点到直线的距离公式，结合辅助角公式，即可求解. 【解析】表示直线上的点构成的集合， 故原点到直线的距离为，其中为锐角且， 故的最小值为，故集合中任意一点到坐标原点距离的最小值为， 故答案为： ( 题型0 8 ) 圆的有关概念及求参 29．（23-24高三上·上海黄浦·期中）圆的圆心坐标为 ； 【答案】/ 【分析】直接化成标准方程即可求出. 【解析】圆的方程可化为 则圆心的坐标为 故答案为： 30．（24-25高三上·上海宝山·期中）已知圆的一般方程为，则圆的半径为 . 【答案】 【分析】将圆的方程配成标准式，即可得到圆的半径. 【解析】圆：，即， 所以圆的半径为. 故答案为： 31．（23-24高二下·上海·期中）已知点，，以线段为直径的圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】求出圆心坐标和半径可得. 【解析】根据题意，圆心坐标为，半径为， 所以圆的标准方程为. 故答案为：. 32．（23-24高二下·上海·期中）方程表示圆的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据圆的一般式方程的充要条件为，代入运算求解即可. 【解析】由题意可得：，解得或， 所以方程表示圆的充要条件是或. 故选：D. ( 题型0 9 ) 圆的周长、面积 33．（24-25高二上·上海·期中）圆的周长为 .（结果保留） 【答案】 【分析】求出圆的半径后可求其周长. 【解析】方程即为， 故圆的半径为，故其周长为， 故答案为：. 34．（23-24高三下·上海·期中）已知圆的面积为，则实数的值为 . 【答案】 【分析】根据圆的面积可求出圆的半径，再根据圆的标准式即可求解. 【解析】设圆的半径为r，则由题意， 故，将圆一般式化为标准式得， 则， 故答案为：2. ( 题型 10 ) 圆的位置关系及求参 35．（24-25高二上·上海·期中）若直线与圆相切.则实数 . 【答案】 【分析】由圆心到直线距离等于半径即可求解. 【解析】由题意可得：， 解得：， 故答案为： 36．（23-24高二下·上海·期中）已知直线与圆，点，则下列说法错误的是（    ） A．若点在圆上，则直线与圆相切 B．若点在圆内，则直线与圆相离 C．若点在圆外，则直线与圆相离 D．若点在直线上，则直线与圆相切 【答案】C 【分析】利用点与圆的位置关系和直线与圆的位置关系求解. 【解析】圆心到直线的距离， 若点在圆上， 则，所以， 则直线与圆相切，故A正确; 若点在圆内， 则，所以， 则直线与圆相离，故B正确； 若点在圆外， 则，所以， 则直线与圆相交， 故C错误； 若点在直线上， 则，即，所以直线与圆相切， 故D正确， 故选：C． 37．（24-25高二上·上海·期中）已知坐标原点在圆的外部，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据方程为圆可得，再根据原点在圆外可得，故可求参数的取值范围. 【解析】由圆的方程可得即， 而原点在圆的外部，故即， 故，即 故答案为：. 38．（23-24高二下·上海·期中）已知圆和圆，观察可得它们都经过坐标原点，除此之外，它们还相交于一点，这点的坐标是 ． 【答案】 【分析】将两圆方程联立解方程组即可求得该点坐标. 【解析】联立两圆方程，解得或， 即可得这点的坐标为. 故答案为： 39．（23-24高三下·上海浦东新·期中）已知圆，圆，若两圆相交，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】先求出两圆得圆心及半径，再根据两圆相交，可得，解之即可. 【解析】圆化为标准方程得， 则圆心，半径， 圆化为标准方程得， 则，半径， 因为两圆相交， 所以， 即，解得（舍去）， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. ( 题型 11 ) 根据圆的位置关系求直线方程 40．（24-25高二上·上海·期中）经过点且与圆相切的直线方程为 . 【答案】或 【分析】分斜率存在和不存在两种情况讨论，切线斜率存在时，利用圆心到直线的距离等于半径计算可求得直线斜率，即可求得切线方程. 【解析】由题意知，圆心坐标为，半径为5， 当过点的直线斜率不存在时，直线方程为，符合题意； 当过点的直线斜率存在时，设直线方程为， 即， 依题意有，解得， 此时直线方程为，即， 所以所求切线的方程为或. 故答案为：或. 41．（22-23高二下·上海·期中）设两圆与圆的公共弦所在的直线方程是 【答案】 【分析】利用两圆的方程相减即可求解. 【解析】由题意， 因为圆，圆， 由得，， 所以两圆的公共弦所在的直线方程为. 故答案为：. ( 题型 12 ) 圆的综合应用 42．（24-25高二上·上海·期中）若圆的圆心到直线的距离为，则实数的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】求出圆心坐标，利用点到直线的距离公式可求得实数的值. 【解析】圆的圆心为， 由题意可得，即，解得或. 故选：C. 43．（24-25高二上·上海松江·期中）若圆：关于直线对称，则实数 . 【答案】 【分析】根据圆关于直线对称，可得直线过圆心，即可代入求值. 【解析】由题知，直线过圆的圆心， 则，解得. 故答案为： 44．（24-25高三上·上海·期中）经过坐标原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为 . 【答案】2 【分析】先计算直线方程，再根据直线与圆相交的弦长计算公式可算出弦长. 【解析】如图所示， 过原点且倾斜角为的直线斜率为， 故直线方程：，即， 又圆心坐标，半径为， 圆心到直线距离， 所以根据圆的弦长计算公式可得， 弦长为. 故答案为：2. 45．（24-25高二上·上海·期中）若圆与直线相交于A、B两点，则弦的长为 ． 【答案】 【分析】根据题意，求得圆心坐标和半径，结合圆的弦长公式，即可求解. 【解析】由圆，可化为，可得圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 所以弦长. 故答案为：. 46．（23-24高二下·上海·期中）若直线与曲线只有一个公共点，则实数b的取值范围是 . 【答案】 【分析】作出简图，结合图象可求答案. 【解析】因为，所以，； 其图象是以为圆心，2为半径的下半个圆弧， 当直线与圆弧相切时，恰有一个公共点，此时由可求，（舍去）； 当直线过图中点时，由可得， 当直线过图中点时，由可得， 所以直线截距位于和3之间时也符合题意， 综上可得实数b的取值范围是. 故答案为： 47．（21-22高二下·上海普陀·期中）已知实数、满足方程，那么的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将看作原点和圆上的点的连线的斜率，利用相切时圆心到直线的距离等于半径，求得k，即可确定答案. 【解析】由圆，得圆心，半径为1， 令，即，则可看作原点和圆上的点的连线的斜率， 当直线和圆相切时，k取得最大或最小值； 故由，解得，所以的取值范围为， 即的最大值为， 故选：C． 48．（23-24高二下·上海·期中）已知实数满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据条件得到点在以为圆心，为半径的半圆上，而表示半圆上的点与点连线的斜率，根据图形，利用几何关系，即可求出结果. 【解析】由得到，所以是以为圆心，为半径的半圆，如图所示， 令，即， 由图知，当过点时，最小，将代入，得到， 当与半圆相切时，最大，由，得到，解得或（舍）， 所以的取值范围是， 故答案为：. 49．（23-24高二下·上海·期中）古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知点满足，则点的轨迹与圆的位置关系是 . 【答案】相交 【分析】由题意得轨迹为圆：，再由圆心距和、比较，即能得到两圆位置关系. 【解析】设，因为，化简得到圆：，是以为圆心，2为半径的圆； 圆是以为圆心为半径的圆，则，，所以两圆相交. 故答案为：相交. ( 题型 13 ) 解答题 50．（24-25高二上·上海奉贤·期中）已知直线， (1)求该直线的斜率； (2)若点的坐标为，求过点且垂直于直线的直线方程． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）分、两种情况讨论，结合直线的方程可得结果； （2）设所求直线的方程为，将点的坐标代入所求直线的方程，求出的值，即可得出所求直线的方程. 【解析】（1）当时，即当时，直线的方程为，此时，直线的斜率不存在； 当时，即当时，此时，直线的斜率为. 综上所述，当时，直线的斜率不存在； 当时，直线的斜率为. （2）过点且垂直于直线的直线的方程为， 将点的坐标代入所求直线的方程可得，解得， 因此，所求直线的方程为. 51．（21-22高二下·上海宝山·期中）求解下列问题： (1)已知两点，求线段的中垂线所在直线方程； (2)已知直线与直线平行，直线与两坐标轴所构成的三角形的面积为12，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据中点和斜率求得线段的中垂线所在直线方程. （2）设，根据直线与两坐标轴所构成的三角形的面积求得，从而求得直线的方程. 【解析】（1）线段中点的坐标为， 线段所在直线的斜率为， 所以线段的中垂线所在直线的斜率为， 所以线段的中垂线所在直线方程为， 即. （2）设，则直线过点， 所以， 所以直线的方程为：. 52．（23-24高二下·上海·期中）已知圆． (1)求直线被圆截得弦长； (2)已知圆过点且与圆相切于原点，求圆的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出圆心和半径，结合勾股定理可得答案； （2）利用待定系数法和相切可求圆的方程. 【解析】（1）由可得，圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 所以直线被圆截得弦长为. （2）设， 则，解得，； 因为圆与圆相切于原点，且圆过点， 所以，， 两边平方整理可得，平方可求， 代入可得，所以圆的方程为. 53．（23-24高二下·上海·期中）已知的顶点坐标分别为.圆为的外接圆. (1)求圆的方程； (2)若直线，求证：不论为何值，直线与圆相交. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设圆的方程为一般方程，代入三点坐标可得答案； （2）判断出直线过定点，且定点在圆内可得答案. 【解析】（1）设圆的方程为， 因为在圆上， 所以，解得，满足， 所以圆的方程为； （2）直线，对于， 可得，解得，所以直线过定点， 因为，所以点在圆内， 所以不论为何值，直线与圆总相交. 一、填空题 1．（24-25高二上·上海·期中）已知P是直线上一点，直线绕点P逆时针旋转角得直线： ，若将直线绕点P继续逆时针旋转角得直线：， 则直线的方程为 . 【答案】 【分析】可设直线的倾斜角为，利用旋转之后的直线方程可得交点坐标以及斜率，再由点斜式方程可求得直线的方程. 【解析】根据题意可设直线的倾斜角为， 由易知直线： 的斜率为1，因此可得， 由可得直线：的斜率为，可得； 即，解得； 因此可知直线的斜率为， 又点为与的交点，联立，解得，即； 所以直线的方程为，即. 故答案为： 2．（21-22高二下·上海徐汇·期中）在平面直角坐标系中，已知圆和圆，且圆和圆相交于两点，若在直线上存在一点，使得，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求出两圆的圆心、半径.根据已知，可得在直线两侧或在直线上，进而即可得出的取值范围. 【解析】由已知可得，圆的圆心，半径； 圆的圆心为，半径. 所以，. 因为两圆相交，所以，所以. 若在直线上存在一点，使得， 所以在直线两侧或在直线上. 当在直线两侧时，显然有成立. 如图1，只需，即，所以， 当在直线上时，如图2. 此时由，可知，显然此时值最大. 从而的取值范围是． 故答案为：． 二、单选题 3．（24-25高二上·上海·期中）已知点在直线上，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】问题转化为直线上的点到点和的距离之和最小，利用对称点求解可得. 【解析】因为 表示到点和的距离之和. 又在直线上，关于的对称点为， 所以，三点共线时等号成立， 所以，所求最小值为：. 故选：B 4．（24-25高二上·上海·期中）已知动圆的方程为，其中为常数，，有下列两个命题： ①存在，使圆与圆相切； ②对任意，直线上都存在点，圆上都存在两点、，使.则（    ） A．①②都为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①②都为假命题 【答案】C 【分析】对于①，求得两圆的圆心距与两圆的半径，可得两圆总相交，可判断①；对于②，当与圆相切时，可得，可判断②. 【解析】由，可得圆心，半径为， 由，可得，半径， 由，所以， 所以两圆相交，故不存在，使圆与圆相切， 故①为假命题； 因为，所以直线过点， 当与圆相切时，可得，所以， 所以对任意，直线上都存在点， 圆上都存在两点、，使.故②正确. 故选：C. 【点睛】方法点睛：判断圆与圆的位置关系，常常求得两圆圆心之间的距离，并与半径和差之间的关系判断. 三、解答题 5．（24-25高二上·上海奉贤·期中）在平面直角坐标系中，已知射线，过点作直线分别交射线、轴正半轴于点、. (1)当的中点为时，求直线的方程； (2)已知点在线段（包括端点）上运动，求的取值范围； (3)求面积的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意可设、，根据中点坐标公式可得，，进而可得直线方程； （2）由直线的方程得，代入消元可得关于的二次函数，进而求最值； （3）根据直线斜率是否存在分类讨论，求得，的坐标，进一步用坐标表示三角形的面积，利用换元法和二次函数的性质可得最值. 【解析】（1）由题意可设、，且，． 当AB的中点为P时，则，解得，， 所以、． 所以直线AB的方程为，即一般式方程为：． （2）由、，得线段的方程为：， 因为点在线段（包括端点）上运动，所以，则， 因此， 因为二次函数的开口向上，对称轴方程为， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 因此，当时，有最小值，最小值， 当时，有最大值，最大值， 故的取值范围是. （3）当过点的直线斜率不存在时，、， 此时． 当过点的直线斜率存在时， 设直线AB的方程为，即． 直线AB与相交，可得， 直线AB与x轴正半轴相交于B，可得． 由，解得或． 则． 令，则（或）， 可得， 由或，可得或， 根据二次函数的单调性可知，当，有最大值，最大值为， 此时面积有最小值，且，此时，、符合题意． 综上所述，面积的最小值为． 6．（21-22高二上·上海浦东新·阶段练习）已知圆和圆. (1)若圆与圆相交，求的取值范围； (2)若直线与圆交于，两点，且，求实数的值； (3)若，设为平面上的点，且满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点的坐标. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由圆的一般方程得到圆的标准方程进而得到圆心和半径，根据两圆相交得到，进而得到的取值范围； （2）设，，联立圆与直线的方程，由有两个交点得到的取值范围，由韦达定理得到和，代入，解出的值； （3）设，由分别写出与的方程，根据弦长和半径相等得到圆心到直线的距离相等，再根据有无数多条直线，得到关于的方程有无数多组解，从而解出，即得到的坐标. 【解析】（1）圆的标准方程为，则圆心，， 圆的标准方程为，则圆心， ， 圆与圆相交，，即，解得， 的取值范围. （2）已知直线与圆交于，两点，设，， 联立，得， 所以，得 ， 解得，因为，所以. （3） 设点坐标为，直线、的方程分别为：，， 即：，， 因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等且两圆半径相等， 由垂径定理得，圆心到直线与直线的距离相等． 故有：， 化简得：或， 因为存在过点的无穷多对互相垂直的直线和， 所以关于的方程有无穷多解，从而有或， 解得或， 所以点P坐标为或． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$