16.1一元二次方程同步练习 2024-2025学年北京版数学八年级下册

16.1一元二次方程 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知、、分别是等腰三角形三边的长，且是关于的一元二次方程的一个根，则的值等于（　　） A．1 B． C．1或2 D．1或 2．方程是关于x的一元二次方程，则（    ） A． B． C． D． 3．已知方程①2x+y=0；②x+y=2；③x2﹣x+1=0；④2x+y﹣3z=7是二元一次方程的是（  ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．① 4．关于x的方程ax2-3x+2=0是一元二次方程，则（   ） A．a >0 B．a≠0 C．a=0 D．a＞0 5．方程2x2﹣5x＝4的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A．2，5，4 B．2，﹣5，4 C．﹣2，﹣5，4 D．2，﹣5，﹣4 6．把一元二次方程化成一般形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 7．下面关于x的方程中①；②；③；④；⑤；⑥是一元二次方程的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．若是的一个根，则的值是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 9．若关于x的方程（m+3）+（3m﹣5）x+5＝0是一元二次方程，那么m的值为（　　） A．±3 B．3 C．﹣3 D．都不对 10．若(1－a)x2＋bx＋c＝0是关于x的一元二次方程，则(　　) A．a＝0 B．a≠0 C．a≠1 D．a≠－1 11．将一元二次方程化成一般形式后，一次项系数、常数项分别为（    ） A．1， B．，1 C．1，5 D．5，1 12．关于x的方程（a2＋1）x2＋2ax﹣6＝0是一元二次方程，则a的取值范围是（    ） A．a≠±1 B．a≠0 C．a 为任何实数 D．不存在 二、填空题 13．若关于x的一元二次方程的一个根是x=1，则m的值是 ． 14．已知关于的一元二次方程，则应满足 . 15．定义新运算：，若，是关于一元二次方程的两实数根，则的值为 ． 16．下列数中﹣1，2，﹣3，﹣2，3是一元二次方程x2﹣2x=3的根是 17．若关于的方程 是一元二次方程，则 ． 三、解答题 18．方程是含有未知数的等式，使等式成立的未知数的值称为方程的“解”．方程的解的个数会有哪些可能呢？ （1）根据“任何数的偶数次幂都是非负数”可知：关于x的方程x2+1＝0的解的个数为　 　； （2）根据“几个数相乘，若有因数为0，则乘积为0”可知方程（x+1）（x﹣2）（x﹣3）＝0的解不止一个，直接写出这个方程的所有解； （3）结合数轴，探索方程|x+1|+|x﹣3|＝4的解的个数；（写出结论，并说明理由） （4）进一步可以发现，关于x的方程|x﹣m|+|x﹣3|＝2m+1（m为常数）的解的个数随着m的变化而变化…请你继续探索，直接写出方程的解的个数与对应的m的取值情况． 19．已知一元二次方程 的两个根为和 ，求这个方程 20．若关于x的一元二次方程x2﹣4mx+2m2＝0的一个根是x＝2，求代数式2（m﹣2）2﹣5的值． 21．k为何值时，(k2－1)x2＋(k＋1)x－2＝0；（1）是一元一次方程？（2）是一元二次方程？ 22．已知是一元二次方程的一个根，求代数式的值． 23．填表： 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 24．先化简，再求值：，其中，是方程的根． 《16.1一元二次方程》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B A B D B A C B C 题号 11 12 答案 B C 1．C 【分析】分当或时，两种情况进行讨论，再将的值代入方程计算即可． 【详解】解：因为、、分别是等腰三角形三边的长， ①当，即， 方程为， 解得：， ②当时，即， 方程为 解得：， 综上所述，的值等于或， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，等腰三角形的性质，正确的理解题意分类讨论是解题的关键． 2．B 【分析】根据一元二次方程的定义即可得． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， 且， 解得， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，解题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程． 3．A 【详解】试题分析：直接利用二元一次方程的定义分析得出答案． 解：∵①2x+y=0是二元一次方程； ②x+y=2是二元一次方程； ③x2﹣x+1=0是一元二次方程； ④2x+y﹣3z=7是三元一次方程； 故选A． 考点：二元一次方程的定义． 4．B 【分析】直接根据一元二次方程的概念进行求解即可． 【详解】关于x的方程ax2-3x+2=0是一元二次方程， ， 故选：B． 【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程的概念，一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a，b，c是常数，且a≠0），熟练掌握知识点是解题的关键． 5．D 【分析】根据一元二次方程的概念及一般形式即可判断，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：∵方程2x2﹣5x＝4化成一般形式是2x2﹣5x﹣4＝0， ∴二次项系数为2，一次项系数为﹣5，常数项为﹣4． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． 6．B 【分析】直接利用完全平方公式以及平方差公式去括号，进而得出答案． 【详解】解：， 去括号得：x2-5+4x2-4x+1=0， 整理得：5x2-4x-4=0． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确应用乘法公式是解题关键． 7．A 【分析】根据一元二次方程的定义对各小题进行逐一判断即可． 【详解】解：①当时，是一元一次方程，故错误； ②是一元二次方程，故正确； ③是分式方程，故错误； ④是一元三次方程，故错误； ⑤可化为是一元一次方程，故错误； ⑥是一元一次方程，故错误． 故选：A． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键． 8．C 【分析】把代入方程得，然后移项即可求值． 【详解】解：把代入方程得， 所以． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解决本题的关键是熟练掌握一元二次方程解的概念：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 9．B 【分析】根据一元二次方程的定义，得到关于m的方程，求解即可． 【详解】解：因为方程（m+3）+（3m﹣5）x+5＝0是一元二次方程， 所以 ， 解得m＝3． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义和解法，解题的关键是掌握一元二次方程的定义． 10．C 【详解】分析：本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数． 详解：由题意得：1-a≠0， 解得a≠1． 故选C． 点睛：本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2＋bx＋c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点． 11．B 【分析】将一元二次方程化成一般形式，再进行判断即可． 【详解】解：， 整理，得：， ∴一次项系数为：，常数项为：； 故选B． 【点睛】本题考查一元二次方程的一次项系数和常数项．将一元二次方程正确的转化为：的形式，是解题的关键． 12．C 【分析】直接利用一元二次方程的定义分析得出答案．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 【详解】解：∵关于x的方程（a2+1）x2+2ax﹣6＝0是一元二次方程，a2+1不可能为0， ∴a 为任何实数． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，理解一元二次方程的定义是解题的关键． 13．0 【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=1代入已知方程，列出关于m的新方程，通过解该方程即可求得m的值． 【详解】解：∵x=1是关于x的一元二次方程得1–1– m=0， 解得，m=0． 故答案为：0． 【点睛】本题主要考查了方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立． 14． 【分析】一元二次方程的二次项系数不为0． 【详解】∵(m+1)x2+2x−1=0是关于x的一元二次方程， ∴m+1≠0， 解得，m≠−1； 故答案是：m≠−1. 【点睛】此题考查一元二次方程的定义，解题关键在于掌握其定义. 15．0 【分析】由a、b是关于一元二次方程的两实数根，可得出a2-a=-m、b2-b=-m，根据定义新运算的定义式，将b*b-a*a展开，代入数据即可得出结论． 【详解】解：∵a、b是关于一元二次方程的两实数根， ∴a2-a=-m，b2-b=-m， ∴b*b-a*a=b（b-1）-a（a-1）=b2-b-（a2-a）=-m-（-m）=0． 故答案为：0． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及实数的运算，根据一元二次方程的解找出a2-a=-m，b2-b=-m，是解题的关键． 16．﹣1，3 【分析】用代入法逐一验证即可． 【详解】当x=-1时，方程左边=(-1)2-2×(-1)=3=右，故x=-1是方程x2-2x=3的解； 当x=2时，方程左边=22-2×2=0≠右，故x=2不是方程x2-2x=3的解； 当x=-3时，方程左边=(-3)2-2×(-3)=15≠右，故x=-3不是方程x2-2x=3的解； 当x=-2时，方程左边=(-2)2-2×(-2)=8≠右，故x=-2不是方程x2-2x=3的解； 当x=3时，方程左边=32-2×3=3=右，故x=3是方程x2-2x=3的解. 故答案为−1，3． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.方程根的定义是解方程中验根的依据. 17．3 【分析】根据题意，由于原方程是一元二次方程，那么有x的次数是2，即，系数不等于0，即m+3≠0，即可求解． 【详解】解：根据题意可得，， 解得或， 又因为， 所以， 因此符合题意． 故答案为：． 【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件． 18．（1）0；（2）x1＝﹣1，x2＝2，x3＝3；（3）有无数个，理由见解析；（4）当m＝时，方程有无数个解；当m≥3时，方程有2个解；m＜时无解． 【分析】（1）根据“任何数的偶数次幂都是非负数”进行解答即可得； （2）根据“几个数相乘，若有因数为0，则乘积为0”进行解答即可得； （3）分情况讨论：当x≤﹣1时，有﹣x﹣1+3﹣x＝4，解得x＝﹣1，当﹣1＜x≤3时，有x+1+3﹣x＝4，x为﹣1＜x≤3中任意一个数，当x＞3时，有x+1+x﹣3＝4，解得x＝3（舍）即可得； （4）根据题意分两种情况：①m＜3时和②m≥3进行解答即可得． 【详解】解：（1）关于x的方程x2+1＝0的解的个数为0， 故答案为0； （2）∵（x+1）（x﹣2）（x﹣3）＝0， ∴x+1＝0或x﹣2＝0或x﹣3＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝2，x3＝3； （3）有无数个，理由如下： |x+1|+|x﹣3|＝4， 当x≤﹣1时，有﹣x﹣1+3﹣x＝4，解得x＝﹣1， 当﹣1＜x≤3时，有x+1+3﹣x＝4，x为﹣1＜x≤3中任意一个数， 当x＞3时，有x+1+x﹣3＝4，解得x＝3（舍）， 综上，方程的解为：﹣1≤x≤3中任意一个数； （4）根据题意分两种情况： ①m＜3时，如图①数轴， 当m≤x≤3时，|x﹣m|+|x﹣3|＝2m+1，即3﹣m＝2m+1， 解得m＝， 即≤x≤3，x有无数个解； ②m≥3，如图②数轴， ∵3≤x≤m时，|x﹣m|+|x﹣3|＝m﹣3＝2m+1，解得m＝﹣4（与m≥3矛盾，故舍去）， ∴x在3的左侧或m的右侧， 当x1在3左侧时，|x1﹣m|+|x1﹣3|＝m﹣x1+3﹣x1＝2m+1，解得， 当x2在m右侧时，|x2﹣m|+|x2﹣3|＝x2﹣m+x2﹣3＝2m+1，解得， 综上所述：方程的解的个数与对应的m的取值情况为： 当m＝时，方程有无数个解； 当m≥3时，方程有2个解；m＜时无解． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，数轴，绝对值，解题的关键是综合掌握以上知识． 19． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即可求得b，c的值，从而求解． 【详解】解∶根据题意得： ，即；，即， 所以这个方程为： 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题关键是一定要知道究竟是用哪个关系，并会利用方程的两个根求得方程的系数． 20． 【分析】把代入方程，整理后可得，然后将其代入所求代数式进行求值即可． 【详解】解：把代入方程， 得：， 整理得：， 所以． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的解． 21．（1）k＝1时，原方程为一元一次方程，（2）k≠±1，原方程为一元二次方程. 【分析】由一元一次方程或一元二次方程的定义解答即可. 【详解】（1）当，即k＝1时，原方程为一元一次方程， （2）依据题意，有k2－1≠0，∴k≠±1，即k≠±1，原方程为一元二次方程． 【点睛】本题考查了一元一次方程和一元二次方程的定义，灵活运用定义解决问题是解答本题的关键. 22． 【分析】本题考查了一元二次方程的解，求代数式的值，先根据是一元二次方程的一个根得出，再将式子化简为，整体代入进行计算即可得出答案． 【详解】解：是一元二次方程的一个根， ， ， ． 23．见解析 【分析】根据一元二次方程的一般形式：，进行填写即可． 【详解】解： 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 1 2 0 0 0 3 9 【点睛】本题考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握：，其中，分别为二次项系数，一次项系数，常数项，是解题的关键． 24．， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，一元二次方程的解的定义，先把小括号内的式子同分，再把除法变成乘法后约分化简，接着根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值得到，最后代值计算即可． 【详解】解： ， ∵是方程的根， ∴， ∴， ∴原式． 学科网（北京）股份有限公司 $$