重难点06 全等三角形中辅助线模型（6大题型+高分技巧+限时提升练）-2025年中考数学【热点·重点·难点】专练（四川专用）

重难点06 全等三角形中辅助线模型综合训练 中考数学中《全等三角形中辅助线模型综合训练》部分主要考向分为七类： 一、“倍长中线”模型 二、“截长补短”模型 3、 “角平分线+垂直”模型 四、“一线三等角”模型 五、“手拉手”模型 六、“半角”模型 全等三角形是四川数学中考必考知识点，但是往往它不会进行单独考查，出现在几何题中某一个步骤，很多学生之所以觉得全等三角形难，是因为不知道如何做辅助线，本小节内心主要是对全等三角形中常见的六种辅助线进行详细讲解。 考向一：“倍长中线”模型 利用“倍长中线法”造全等 （1）直接用“倍长中线法”构造全等 倍长中线法：如图所示，D点为AC的中点，延长BD至点E，使得BD=DE，连接AE 结论：△BCD≌△ADE（条件：AD=DC；BD=DE；∠BDC=∠ADE） （2）间接用“倍长中线法”构造全等 作法：延长BD至点N，过点C、点A分别作AE⊥ND，垂足为点E，CF⊥BD，垂足为F。 结论：△AED≌△CFD 1．如图，是斜边上的中线，分别在直角边上，连接，使．若，，则的长为（   ） A．3 B． C．5 D． 2．如图，是△ABC的边上的中线，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在△ABC中，，，是的中点，则边上的中线的长度可能是（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 4．如图，在△ABC中，，是边的中线，点在上，，与相交于点，则的值为 ． 5．如图，在△ABC中，为边上的中线，为上一点，连接并延长交于点，若，，，则的长为 ． 6．如图，是的中线，，分别在边，上，不与端点重合），且，则三边数量关系是 ． 7．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在△ABC中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，请补充完整证明．“∴”的推理过程． （1）求证：∴； 证明：∵延长到点，使， 在和中（已作）， （______）， （中点定义）， ∴（______）， （2）由（1）的结论，根据与之间的关系，探究得出的取值范围； （3）【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 如图2，△ABC中，∠B=90°，，是△ABC的中线，，，且，求的长． 8．为探究三角形中线的应用，小丽做了如下操作：如图1，在△ABC中，延长边上的中线至点，使，连接． 【探究发现】如图1，的理由是（    ） A．                B．                C．                D． 【初步应用】如图2，在中，，，中线的取值范围是（    ） A．        B．        C．        D． 【方法感悟】解题时，遇到“中点”、“中线”等条件，可以尝试“倍长”中线构造全等三角形，把条件和结论整合到同一个三角形中； 【问题解决】如图3，已知是△ABC的中线，与分别交于点，．求证：． 9．在解答几何题目时，常常用到“中线倍长法”． (1)证明体验：如图，在△ABC中，为边上的中线，延长至，使，连接．求证：． (2)迁移应用：如图，在中，∠ABD=90°，是的中点，是边上一点，连接交于点．若．求的长． 10．某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在△ABC中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，请你写出证明“”的推理过程． (1)求证：； (2)由（1）的结论，根据与之间的关系，求的取值范围； (3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】如图2中，，，是△ABC的中线，，，且，求的长． 11．【特例感知】 如图1，在△ABC中，，求边上的中线的取值范围． （1）中线的取值范围是______． 【类比迁移】 （2）如图2，在四边形中，为的中点，点在上，，，求证：平分． 【拓展应用】 （3）如图3，在△ABC中，是边上的中线，E是上一点，连接并延长交于点F，，求证：． 12．在△ABC中，点D为边上的中点，连接． (1)如图1，若，，点M，N分别在上，将沿折叠，使得点C与点A重合，求折痕的长； (2)如图2，若，，，求的长． 考向二：“截长补短”模型 截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想。所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段等于已知的两条较短线段中的一条，然后证明其中的另一段与已知的另一条线段相等;所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另 一个已知的较短的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系。有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解。 如图一所示，AD∥BC，AE、BE平分∠DAB、∠CBA，交DC与E，试说明：AB=AD+BC (截长法)如图2所示，在AB上截取AF=AD，证明：∵AE是∠BAD的角平分线，∴∠1=∠2，在△AFE和△ADE中，∠1=∠2，AE=AE，AF=AD，∴△AFE≌△ADE，∴∠AFE=∠ADE，∵AD∥BC，∴∠ADE+∠C=180°，∵∠AFE+∠EFB=180°,∴∠EFB=∠C，∵BE是∠FBC的平分线，∴∠3=∠4，在△FEB和△CEB中，∠3=∠4，BE=BE，∠EFB=∠C，△FEB≌△CEB，∴BF=BC，AB=AF+FB=AD+BC。 （补短法）如图3所示，延长BC、AE相交于F，∵AD∥BF，∴∠F=∠2，∵AE是∠DAB的角平分线，∴∠1=∠2，∴∠=1=∠F，∴AB=BF，三线合一得到BE垂直平分AF，∴AE=EF，可证得△ADE≌△FCE，AD=CF，即可证AB=AD+BC 1．通过类比联想、引申拓展典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整． 【解决问题】 如图，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，，连接EF，则，试说明理由． 证明：延长CD到G，使， 在与中， ∴理由：（SAS） 进而证出：___________，理由：（__________） 进而得． 【变式探究】 如图，四边形ABCD中，，点E、F分别在边BC、CD上，．若、都不是直角，则当与满足等量关系________________时，仍有．请证明你的猜想． 【拓展延伸】 如图，若，，，但，，连接EF，请直接写出EF、BE、DF之间的数量关系． 2．如图，已知，的平分线与的平分线相交于点，连接并延长交于点，试说明：． 3．在四边形中，点C是边的中点． (1)如图①，平分，，写出线段，，间的数量关系及理由； (2)如图②，平分，平分，，写出线段，，，间的数量关系及理由． 4．阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题： 如图1，在△ABC中，平分，．求证：； 小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法一：如图2，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题． 方法二：如图3，延长到点E，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题．       (1)根据阅读材料，任选一种方法证明，根据自己的解题经验或参考小明的方法，解决下面的问题； (2)如图4，四边形中，E是上一点，，，，探究之间的数量关系，并证明． (3)活学活用 如图5，是四边形的对角线，，求证：． (4)思维拓展 如图6，在△ABC中，，点D是的中点，交于点E，点O在上，，请直接写出，，三者之间的数量关系 ． 5．如下图，△ABC是等边三角形，D是三角形外一动点，满足．若点D不在的垂直平分线上时，试说明：． 5．【课本再现】 （1）如图1，△ABC是等边三角形，是中线，延长至点E，使． 求证：． 【拓展】 （2）如图2，△ABC是等边三角形，点D在上，延长至点E，使． 求证：． 【探究】 （3）在等边△ABC中，若点D在线段的延长线上，点E在直线上，且，请判断和之间是否还存在上述等量关系，并说明理由． 6．【定义】 如果一个四边形的其中一组对角互补，那么这个四边形叫做“对补四边形”．如图1，在四边形中，若，则四边形是对补四边形． 【应用】 (1)如图1，在对补四边形中，，则_____； (2)如图2，在对补四边形中，，，，，则_____； (3)如图3，在对补四边形中，平分． ①求证：； ②若，请探究的数量关系并说明理由． 考向三：“角平分线+垂直”模型 “角平分线+垂直”模型 遇到角平分线(AC为∠BCD的平分线)作双垂线，构建旋转型全等 可证△ABE≌△AFD 遇到角平分线(BP、PC分别为∠EBC、∠BCF的平分线)作双垂线，构建旋转型全等 可证AP平分∠EAF 遇到角平分线(AP为∠BAC的平分线)作双垂线，构建旋转型全等 可证：△PEB≌△PCF 三角形三条角平分线交于一点（已知BP、PC分别为∠B、∠C的平分线） 可证的：AP是∠A的平分线 1．如图，在△ABC中，，是边上一点，连接，在右侧作，且，连接，若△ABC的面积为，则四边形的面积是（    ） A．10 B．14 C．15 D．16 2．如图，在等腰△ABC中，的角平分线交于点D，过点D分别作，垂足分别是点，下列结论：①；②；③点E是的中点；④．其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 3．如图，是△ABC的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为48和26，则的面积为（    ） A．11 B．22 C．26 D．37 4．我们定义：如图1，在四边形中，如果，，对角线平分，我们称这种四边形为“分角对补四边形”． 【特例感知】（1）如图1，在“分角对补四边形”中，当时，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是_________；（填序号） ①垂线段最短；②垂直平分线的性质；③角平分线的性质；④三角形内角和定理； 【清想论证】（2）如图2，当为任意角时，猜想与的数量关系，并给予证明； 【探究应用】（3）请利用（2）中的结论解决问题，如图3，在中，，．平分，求证：． 5．（1）①如图1，平分，，，求证：． ②由①可得到命题：“角平分线上的点到角两边的距离相等”．请把该命题写成“如果……那么……”的形式． （2）如图2，平分，，，（1）中的结论是否成立？请作出判断并给予证明． （3）如图3，在四边形中，，，，于点，请直接写出，，的数量关系． 6．如图，是△ABC的角平分线，，垂足为E，是△ABC的中线，，，．求的面积．    7．如图，在△ABC中，是它的角平分线．求证． (1)在图1中完成上面的证明过程； (2)在图2中，如果，，， 求的长． 8．如图，和的平分线交于点，过作交的延长线于点，交于点．    (1)求证：； (2)连接，求证：． 9．【问题初探】 (1)在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在四边形中，，平分．求证∶． ①如图2，小刚同学从条件的角度出发，利用角平分线的性质，过点 D作于点F，交的延长线于点E，从而构造含线段的两个三角形全等． ②如图3，小昀同学在上截取，连接，构造出以角平分线上的线段为公共边的两个三角形全等，将与之间的数量关系转化为与之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 (2)李老师发现之前两名同学都构造全等三角形，为了巩固提升同学们作辅助线构造全等三角形的能力，李老师提出下面的问题，请你解答． 如图4，在△ABC中，点D在边上，，点E在边上，．求证∶． 【学以致用】 (3)如图5，在△ABC中，，，过C作，点E在上，且，连接交于点F，连接．写出线段之间的数量关系，并证明． 10．问题提出 （1）如图1，在△ABC中，，，为△ABC的角平分线，则图中相等的线段是______，的值是______． 问题解决 （2）如图2，现有一块四边形板材，，，，，工人师傅想用这块板材裁出一个三角形部件，使得点P在四边形的边上，且的一个内角等于另一个内角的2倍，他在这块板材上的作法如下： 第一步：作边的垂直平分线交于点R； 第二步：作的平分线交于点O； 第三步：连接并延长交于点P，得． 若按上述作法，裁得的三角形部件是否符合要求？若符合，请求出的面积．若不符合，请给出一种符合要求的作法． 11．如图，是△ABC的中线，，交于点F，且． (1)如图1，求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，在（1）的条件下，，设对角线交于点O，过点O作交的角平分线于点Q．与交于P点．求证； (3)如图3，在（2）的条件下，若，求的长． 考向四：“一线三等角”模型 “一线三等角”模型 （1）垂直模型 题型一：如图一、二所示，∠1+∠3=90°，∠1+∠2=90°，∠2+∠4=90°，利用等角的余角相等可得∠3=∠2，∠1=∠4； 题型二：如图三所示，∠1+∠3=90°；∠1+∠2=90°；利用等角的余角相等可得∠3=∠2。 （二）不垂直题型 题型三：已知∠B=∠C=∠EDF可得∠1=∠4；∠2=∠3。 1．在中，，点、分别是边、上一点，连接、交于点． (1)如图1，点是上一点，连接，若，求证：； (2)如图2，若，于点，交延长线于点，若，求证：． 2．已知：如图，四边形中，∠B=90°，，为的中点，平分．求证：   (1)平分； (2)． 3．如图，在△ABC中，，，直线经过点A，过点B，C分别作的垂线，垂足分别为点，延长交于点，若，求的面积． 4．在中，，，，将△ABC绕着点A顺时针旋转，得到．    (1)如图①，当点落在边上时，连接，求的长； (2)如图②，连接，直线与交于点，求证：点是的中点． 5．【模型学习】如图①，在中，，，直线l经过点C，分别过点A、B作于点D，于点E．求证：． 【模型应用】如图②，在中，，，，，直线l经过点D（不与重合）．动点P从点D出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段向点B运动，同时动点Q从点C出发，以每秒4个单位的速度沿折线向点A运动，其中一个动点到达终点时，整个运动停止．当点P、Q不与点D重合时，分别过点P、Q作于点M，于点N．设运动时间为t秒． （1）求线段的长度； （2）线段的长度为 ；当点Q在线段上运动时，线段的长度为 ；（用含t的代数式表示） （3）当与全等时，求出t的值． 6．如图，在△ABC中，，点D、E、F分别在、、边上，且，． (1)求证：； (2)当时，求的度数． 7．如图，在△ABC中，，点是边上一点，，点在边上． (1)若，求证：； (2)若，，求的度数； (3)若，，求证：． 8．【常见类型】 （1）如图1，已知：，且．求证：． 【变式拓展】 （2）某同学改变（1）中的条件和图形，提出下面的问题，请你解答． 如图2，△ABC是等腰直角三角形，，为中点，交延长线于点于点． 求证：；． 9．如图，△ABC是边长为12厘米的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿射线运动，且它们的速度都为2厘米/秒，设运动时间为（秒）． (1)如图1，点P，Q分别在线段上运动时，相交于点，请直接写出的度数； (2)如图2，当点P，Q分别运动到线段的延长线上时，的延长线相交于占，的度数会变化吗？若改变，请说明理由；若不变，请写出求解过程； (3)如图3，若点的速度不变，点的速度为3厘米/秒，点P，Q分别在线段上运动时，连接，当△BPQ为直角三角形时，求的值． 10．如图（），，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段和线段的位置关系； (2)如图（），将图（）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点的运动速度为，是否存在实数，使得与△BPQ全等？若存在，求出相应的、的值；若不存在，请说明理由． 11．如下图，在△ABC中，，，点D在线段上运动（点D不与点，重合），连接，作，交线段于点E． (1)点D从点B向点C运动时，逐渐变_______（填“大”或“小”）； (2)当等于多少时，？请说明理由； (3)在点D的运动过程中，△ADE的形状也在发生改变．判断当等于多少度时，是等腰三角形． 12．（1）如图1，已知于点A，于点B，P是上一点，，，求证：； （2）如图2，已知，，点D，E分别在边和上，P是上一点，且，，求的值． 考向五：“手拉手”模型 “手拉手”模型 题型一：解题关键，已知∠BAC=∠DAE=60°，∠BAC-∠1=∠DAE-∠1，可得∠2=∠3；在通过已知条件求解； 题型二：解题关键，已知∠BAC=∠DAE=90°，∠BAC-∠1=∠DAE-∠1，可得∠2=∠3；在通过已知条件求解； 题型三：解题关键，已知∠BAC=∠DAE=60°，∠BAC+∠1=∠DAE+∠1，可得∠BAE=∠CAD；在通过已知条件求解； 题型四：解题关键，已知∠BAC=∠DAE=90°，∠BAC+∠1=∠DAE+∠1，可得∠BAE=∠CAD；在通过已知条件求解； 1．在学习全等三角形知识时、数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： (1)如图1、两个等腰三角形和中， 连接、、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是手拉手模型，在这个模型中，和全等的三角形是 ，此时和的数量关系是 ； (2)如图2、两个等腰直角三角形和中， 连接，，两线交于点 ，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)如图3，已知， 以、为边分别向外作等边和等边，连接，，两线交于点 ，请直接写出线段 和的数量关系及的度数． 2．如图1，都是等腰三角形，，，，连接和相交于点E，连接． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)如图2，若，点F为上一点，，连接，，交于点G，求证：． 3．综合与实践 【建立模型】 （1）如图（1），△ABC为等边三角形，点D在的延长线上，在的同侧以为边构造等边三角形，连接，交于点F． 求证：，并直接写出的度数． 【应用模型】 （2）①如图（2），在△ABC中，平分，且，点E在的延长线上，且，连接，，求证：． ②如图（3），△ABC和△ADE都是等腰三角形，，点C恰好在延长线上，连接，若，，求的面积．    4．综合实践 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶角顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在两个等腰三角形位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形．数学兴趣小组称此图形为“手拉手模型”．请你和数学兴趣小组的同学一起研究下面的问题． 【探究发现】 （1）如图1，在和中，，，，点在上，连接、，且、、三点共线，则图中与线段相等的线段是 ， ． 【初步运用】 （2）如图2，在和中，，，，连接、交于点．找出图中与相等的线段，并证明； 【迁移应用】 （3）如图3，在四边形中，点是四边形内一点，且，，，请计算的值． 5．两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，把它们的底角顶点连接起来形成一组可证得全等的三角形，我们把连接的那两条线段叫做“友好”线段．例如：如图1，△ABC中，，△ADE中，，且，连接，则可证得，此时线段和线段就是一对“友好”线段． (1)如图2，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，且． ①图中线段的“友好”线段是 ； ②连接，若，求的长； (2)如图3，△ABC是等腰直角三角形，是外一点，，，求线段的长． 6．在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形． (1)如图①，△ABC和△ADE都是等腰三角形，，，，连接、，与全等的三角形是________，和的数量关系是_______； (2)如图②，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，，，，连接、交于点P，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)如图③，在△ABC中，以、为边分别向△ABC外作等边三角形和等边三角形，连接、交于点P，请直接写出线段和的数量关系及的度数． 7．两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形． (1)发现问题：如图1，△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，、分别是底边．求证：； (2)解决问题：如图2，若△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，请判断线段，，之间的数量关系并说明理由． (3)尝试探究：如图3，在（2）问的条件下，延长交于点P，与交于点N，连接，，，，求的长度． 8．如图1，和均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接． (1)求证：； (2)如图2，和均为等腰三角形，且，点A，D，E在同一直线上，为中边上的高，连接，请求出线段，，之间的数量关系，并说明理由． 9．综合实践 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶角顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在两个等腰三角形位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形．数学兴趣小组成员称此图形为“手拉手模型”．请你和数学兴趣小组的同学一起研究下面的问题． (1)如图1，在△ABC和△ADE中，，点D在边上，连接、，且B、D、E三点共线，则图中与线段相等的线段是______，______； (2)如图2，在△ABC和△ADE中，，连接、相交于点O． ①找出图中与相等的线段，并证明； ②求的度数（用含的代数式表示）． (3)如图3，在△ABC和△ADE中，，连接、交于点F． ①探究线段与之间的关系，并证明； ②如图4，连接，连接并延长交于点G，求的度数． 考向六：“半角”模型 “半角”模型中常见的几何模型 题型一：如图1所示，正方形ABCD，E、F是AD、DC上任意一点，∠EBF=45°，则AE+FC=EF 证明方法：延长EA至点F1，使得AF1=FC，可证的△AF1B≌△CFB，△EF1B≌△EFB，可得AE+FC=EF 题型二：如图2所示，BD=CD，∠BDC =120°，∠MDN =60°延长MB至点N1，使得BN1=NC，则△DBN1≌△DCN △DMN1≌△DMN，MN =MB+BN1 =MB+CN 题型三：如图3所示，已知AB=AD，∠EAF=∠BAD，再结合题干可证得：BE+DF=EF 1．如图1，四边形是正方形，分别在边和上，且（此时），我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．小明为了解决线段之间的关系，将绕点A顺时针旋转后解决了这个问题． (1)①请直接写出线段之间的关系___________． ②若正方形边长为12，点E为中点，则________． (2)如图3，等腰直角三角形，点E、F在边上，且，请写出之间的关系，并说明理由． (3)如图4，在△ABC中，，点在边上，且，当时，则的长为_________． 2．阅读理解 （1）如图1，在正方形中，若、分别是，边上的点，，则我们常会想到：把△ADE绕点顺时针旋转得到，易证______，得出线段，，之间的数量关系为______； 类比探究 （2）如图2，在等边△ABC中，，为边上的点，，，，求线段的长； 拓展应用 （3）如图3．在△ABC中，，，点，在边上，，若是等腰△ADE的腰长，请求出的值．    3．旋转变换是解决数学问题中一种重要的思想方法，通过旋转变换可以将分散的条件集中到一起，从而方便解决问题.已知，中，，，点、在边上，且. （1）如图，当时，将绕点顺时针旋转到的位置，连接， ①求的度数； ②求证：； （2）如图，当时，猜想、、的数量关系，并说明理由； （3）如图，当，，时，请直接写出的长为________. （建议用时：60分钟） 1．如图1和2，在四边形中，，，平分． (1)如图1，若，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是___________； (2)问题解决：如图2，求证：； (3)问题拓展：如图3，在等腰△ABC中，，平分，求证：． 2．综合与实践： 【问题情境】 (1)八上课本中有这样一道习题：如图1，和都是等边三角形，连接，．同学们发现以下结论：与的数量关系是______； 【变式思考】 (2)如图2，和都是等腰直角三角形，．若，，则四边形面积的最大值是______； 【拓展运用】 (3)如图3，在等腰直角三角形中，，是边上一点，连接，以为边向上作等腰直角三角形且，连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 3．如图1，在△ABC中，，，点D是直线上一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转α得到线段，连接，． (1)如图2，当，且点D在线段上时，证明：； (2)如图3，当，且点D在线段上时，猜想线段、、之间的数量关系，并加以证明； (3)当，，时，画出图形并求出的长． 4．综合与实践 如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在△ABC中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点． (1)【观察感知】如图2，通过观察，线段与的数量关系是_____； (2)【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点，若，，求△BDF的面积； (3)【类比迁移】在（2）的条件下，连接交于点，则_____； 5．（1）感知：如图1，平分，，∠B=90°，易知的数量关系为 ． （2）应用：如图2，在四边形中，平分，，，求证：． （3）在（2）的条件下，如图3，过点D作于点E，试判断之间的数量关系，并说明理由． 6．【问题显现】某同学在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，点E、F分别是正方形的边上的动点，连接和，．若．试求的长度． 【问题解决】该同学的思路是：如图②，将绕点A逆时针旋转，可以得出和全等，然后再证明，从而得到．请你帮助该同学完成余下的解题过程． 是绕点A逆时针旋转得到的， ． 四边形是正方形，．…… 【方法应用】如图③，中，．点D、E在边上，且．若，，则线段的长为__________． 【拓展提升】如图④，在△ABC中，．于点D．若，则△ABC的面积为__________． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点06 全等三角形中辅助线模型综合训练 中考数学中《全等三角形中辅助线模型综合训练》部分主要考向分为七类： 一、“倍长中线”模型 二、“截长补短”模型 3、 “角平分线+垂直”模型 四、“一线三等角”模型 五、“手拉手”模型 六、“半角”模型 全等三角形是四川数学中考必考知识点，但是往往它不会进行单独考查，出现在几何题中某一个步骤，很多学生之所以觉得全等三角形难，是因为不知道如何做辅助线，本小节内心主要是对全等三角形中常见的六种辅助线进行详细讲解。 考向一：“倍长中线”模型 利用“倍长中线法”造全等 （1）直接用“倍长中线法”构造全等 倍长中线法：如图所示，D点为AC的中点，延长BD至点E，使得BD=DE，连接AE 结论：△BCD≌△ADE（条件：AD=DC；BD=DE；∠BDC=∠ADE） （2）间接用“倍长中线法”构造全等 作法：延长BD至点N，过点C、点A分别作AE⊥ND，垂足为点E，CF⊥BD，垂足为F。 结论：△AED≌△CFD 1．如图，是斜边上的中线，分别在直角边上，连接，使．若，，则的长为（   ） A．3 B． C．5 D． 【答案】D 【详解】解：延长至点G，使，连接，， ∵是中线，即点是的中点， ∴， ∵在和△BDF中 ∴， ∴，， ∵在中，， ∴，即， ∴在中，． ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴． 故选：D 2．如图，是△ABC的边上的中线，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：倍长至点，连接，则， ∴， ∵是△ABC的边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； 故选A． 3．如图，在△ABC中，，，是的中点，则边上的中线的长度可能是（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【详解】解：如图所示，延长到E，使得，连接， ∵是的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四个选项中，只有B选项符合题意， 故选：B． 4．如图，在△ABC中，，是边的中线，点在上，，与相交于点，则的值为 ． 【答案】3 【详解】解：如图，延长至点，使得，连接， 又∵是边的中线， ∴， ∵ ∴ ∴，， ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴． 5．如图，在△ABC中，为边上的中线，为上一点，连接并延长交于点，若，，，则的长为 ． 【答案】3.2 【详解】解：如图，延长至，使，连接， ∵为边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：3.2． 6．如图，是的中线，，分别在边，上，不与端点重合），且，则三边数量关系是 ． 【答案】 【详解】解：如图，延长至点，使，连接，， 是△ABC的中线，，分别在边，上， ， 又，， 是的垂直平分线， ， 又 ， ， ， ． 故答案为： 7．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在△ABC中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，请补充完整证明．“∴”的推理过程． （1）求证：∴； 证明：∵延长到点，使， 在和中（已作）， （______）， （中点定义）， ∴（______）， （2）由（1）的结论，根据与之间的关系，探究得出的取值范围； （3）【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 如图2，△ABC中，∠B=90°，，是△ABC的中线，，，且，求的长． 【答案】（1）对顶角相等，；（2）；（3） 【详解】证明：（1）∵延长到点，使， 在和中，（已作）， （对顶角相等）， （中点定义）， ∴， 故答案为：对顶角相等，； （2）∵， ∴， ∴， 则， 故， 即； （3）延长交的延长线于点，如图； ∵，， ∴， ∵是△ABC的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，； 又∵， ∴垂直平分， ∴． 8．为探究三角形中线的应用，小丽做了如下操作：如图1，在△ABC中，延长边上的中线至点，使，连接． 【探究发现】如图1，的理由是（    ） A．                B．                C．                D． 【初步应用】如图2，在中，，，中线的取值范围是（    ） A．        B．        C．        D． 【方法感悟】解题时，遇到“中点”、“中线”等条件，可以尝试“倍长”中线构造全等三角形，把条件和结论整合到同一个三角形中； 【问题解决】如图3，已知是△ABC的中线，与分别交于点，．求证：． 【答案】[问题解决]B；[初步应用] C；[探究发现]见解析． 【详解】解：【探究发现】∵延长边上的中线至点，且， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：B． 【初步应用】如图，延长边上的中线至点，且， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， 即， ∴， ∴， 故答案为：C． 【问题解决】延长至点，使，连接． ∵是的中线， ∴． 在和中， ∵， ∴ ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 9．在解答几何题目时，常常用到“中线倍长法”． (1)证明体验：如图，在△ABC中，为边上的中线，延长至，使，连接．求证：． (2)迁移应用：如图，在中，∠ABD=90°，是的中点，是边上一点，连接交于点．若．求的长． 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）证明：∵为边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：如图，延长到，使得，连接， 由（）可得，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， 在中由勾股定理得，， ， 解得， ． 10．某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在△ABC中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，请你写出证明“”的推理过程． (1)求证：； (2)由（1）的结论，根据与之间的关系，求的取值范围； (3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】如图2中，，，是△ABC的中线，，，且，求的长． 【答案】(1)见解析(2)(3)12 【详解】（1）证明：延长到点E，使， 在和中， ， ∴， （2）解：∵， ∴， 在中，， ∴， ∴； （3）解：如图3，延长，交于点， ∵， ∴， ∴， ∵是中线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴． 11．【特例感知】 如图1，在△ABC中，，求边上的中线的取值范围． （1）中线的取值范围是______． 【类比迁移】 （2）如图2，在四边形中，为的中点，点在上，，，求证：平分． 【拓展应用】 （3）如图3，在△ABC中，是边上的中线，E是上一点，连接并延长交于点F，，求证：． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析 【详解】（1）解：如图1，延长到点，使得，连接． 为边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ， ， 即， ； 故答案为：； （2）证明：如图2，延长交的延长线于点， ， ， ，， 为的中点， ， ， ，， ， ， 即， 平分； （3）证明：如图3，延长到点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 12．在△ABC中，点D为边上的中点，连接． (1)如图1，若，，点M，N分别在上，将沿折叠，使得点C与点A重合，求折痕的长； (2)如图2，若，，，求的长． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：，，点D为边上的中点， ， ． 将△ABC沿折叠，使得点C与点A重合， ， 设，则， 在中，由勾股定理得∶， 即， 解得：， 即， 在中，由勾股定理得： ． （2）解：延长到，使，连接，作，垂足分别是E、F， 在和中， ， ， ， 设，则， 在中，， ， ， 在中，， 解得：， ， ， ． 考向二：“截长补短”模型 截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想。所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段等于已知的两条较短线段中的一条，然后证明其中的另一段与已知的另一条线段相等;所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另 一个已知的较短的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系。有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解。 如图一所示，AD∥BC，AE、BE平分∠DAB、∠CBA，交DC与E，试说明：AB=AD+BC (截长法)如图2所示，在AB上截取AF=AD，证明：∵AE是∠BAD的角平分线，∴∠1=∠2，在△AFE和△ADE中，∠1=∠2，AE=AE，AF=AD，∴△AFE≌△ADE，∴∠AFE=∠ADE，∵AD∥BC，∴∠ADE+∠C=180°，∵∠AFE+∠EFB=180°,∴∠EFB=∠C，∵BE是∠FBC的平分线，∴∠3=∠4，在△FEB和△CEB中，∠3=∠4，BE=BE，∠EFB=∠C，△FEB≌△CEB，∴BF=BC，AB=AF+FB=AD+BC。 （补短法）如图3所示，延长BC、AE相交于F，∵AD∥BF，∴∠F=∠2，∵AE是∠DAB的角平分线，∴∠1=∠2，∴∠=1=∠F，∴AB=BF，三线合一得到BE垂直平分AF，∴AE=EF，可证得△ADE≌△FCE，AD=CF，即可证AB=AD+BC 1．通过类比联想、引申拓展典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整． 【解决问题】 如图，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，，连接EF，则，试说明理由． 证明：延长CD到G，使， 在与中， ∴理由：（SAS） 进而证出：___________，理由：（__________） 进而得． 【变式探究】 如图，四边形ABCD中，，点E、F分别在边BC、CD上，．若、都不是直角，则当与满足等量关系________________时，仍有．请证明你的猜想． 【拓展延伸】 如图，若，，，但，，连接EF，请直接写出EF、BE、DF之间的数量关系． 【答案】（1），理由：SAS；（2），证明见解析；（3）BE+DF=EF． 【详解】（1），， 则， ，， 在与中， ，理由：（） ； （2）满足即可，证明如下： 如图，延长至，使， ，， ， 在与中， ， ， 则， ，， 在与中， ，理由：（） ； （3）BE+DF=EF．证明如下： 如图，延长至，使， 在与中， ， ， 则， ，， 在与中， ，理由：（） ； ． 2．如图，已知，的平分线与的平分线相交于点，连接并延长交于点，试说明：． 【答案】证明见解析 【详解】证明：如图，在上截取，连接， 平分， ， 又， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 3．在四边形中，点C是边的中点． (1)如图①，平分，，写出线段，，间的数量关系及理由； (2)如图②，平分，平分，，写出线段，，，间的数量关系及理由． 【答案】(1)，见解析(2)，理由见解析 【详解】（1），理由如下： 在上取一点F，使，连接． ∵平分， ∴， 在和中 ∴． ∴ ，， ∵C是边的中点． ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中 ∴． ∴ ． ∵， ∴． （2），理由如下： 在上取，，连接，． 与（1）同理，可得，． ∴，，，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴为等边三角形． ∴． ∵， ∴．    4．阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题： 如图1，在△ABC中，平分，．求证：； 小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法一：如图2，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题． 方法二：如图3，延长到点E，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题．       (1)根据阅读材料，任选一种方法证明，根据自己的解题经验或参考小明的方法，解决下面的问题； (2)如图4，四边形中，E是上一点，，，，探究之间的数量关系，并证明． (3)活学活用 如图5，是四边形的对角线，，求证：． (4)思维拓展 如图6，在△ABC中，，点D是的中点，交于点E，点O在上，，请直接写出，，三者之间的数量关系 ． 【答案】(1)见解析(2)，见解析(3)见解析(4) 【详解】（1）证明：方法一：∵平分， ∴， 在和中，，，， ∴ ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 方法二：如图3，延长到点E，使得，连接， ∴，则， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：， 证明：在上截取，使得，连接，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中，，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，则， ∴； （3）解：如图5所示：延长到E，使，连接，    ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形，∴， ∵， ∴， ∴ ，， ∴，又，， ∴， ∴，， ∴是等边三角形，则， ∵， ∴； （4）解：如图6，连接，过点O作，    ∵，， ∴，， ∵点D是的中点，， ∴，又， ∴，又， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．如下图，△ABC是等边三角形，D是三角形外一动点，满足．若点D不在的垂直平分线上时，试说明：． 【答案】见解析 【详解】解：如图，在上截取． ∵， ∴△ADE是等边三角形， ∴． ∵△ABC是等边三角形， ∴， ∴，即． 在和中， ∴， ∴， ∴． 5．【课本再现】 （1）如图1，△ABC是等边三角形，是中线，延长至点E，使． 求证：． 【拓展】 （2）如图2，△ABC是等边三角形，点D在上，延长至点E，使． 求证：． 【探究】 （3）在等边△ABC中，若点D在线段的延长线上，点E在直线上，且，请判断和之间是否还存在上述等量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）与的等量关系不存在．证明见解析 【详解】解：（1）证明：∵是等边△ABC的中线， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （2）证明：如图1，过点作，交于点． ∵△ABC是等边三角形，， ∴，，， ∴， ∴为等边三角形， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴． （3）不存在 分为两种情况讨论． ①如图2，当点在的延长线上，点在的延长线上时，过点作，交于点． 又∵△ABC是等边三角形，， ∴，， ∴△CDM是等边三角形， ∴， ∴． ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴． ②如图3，当点在的延长线上，点在的延长线上时． ∵是等边三角形的外角，故． ∵是的外角， ∴， 即是的最大内角， ∴，即与的等量关系不存在． 6．【定义】 如果一个四边形的其中一组对角互补，那么这个四边形叫做“对补四边形”．如图1，在四边形中，若，则四边形是对补四边形． 【应用】 (1)如图1，在对补四边形中，，则_____； (2)如图2，在对补四边形中，，，，，则_____； (3)如图3，在对补四边形中，平分． ①求证：； ②若，请探究的数量关系并说明理由． 【答案】(1)(2)(3)①见解析；②，见解析 【详解】（1）解：在对补四边形中，， ∴； （2）解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵四边形为对补四边形， ∴， ∵， ∴； （3）解：①过点作于，作于． 平分， ， ， ， 四边形是对补四边形， ， ， ， ， ． ②，理由见解析： 平分， ， ， ， ． ， ， ， 在中，， ∴，， ． ． 考向三：“角平分线+垂直”模型 “角平分线+垂直”模型 遇到角平分线(AC为∠BCD的平分线)作双垂线，构建旋转型全等 可证△ABE≌△AFD 遇到角平分线(BP、PC分别为∠EBC、∠BCF的平分线)作双垂线，构建旋转型全等 可证AP平分∠EAF 遇到角平分线(AP为∠BAC的平分线)作双垂线，构建旋转型全等 可证：△PEB≌△PCF 三角形三条角平分线交于一点（已知BP、PC分别为∠B、∠C的平分线） 可证的：AP是∠A的平分线 1．如图，在△ABC中，，是边上一点，连接，在右侧作，且，连接，若△ABC的面积为，则四边形的面积是（    ） A．10 B．14 C．15 D．16 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， 过点作，， ∴， ∵，且， ∴， ∴四边形的面积， 故选：A． 2．如图，在等腰△ABC中，的角平分线交于点D，过点D分别作，垂足分别是点，下列结论：①；②；③点E是的中点；④．其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【详解】解：①是的角平分线，， ，选项①正确； ②，， ． ， ． ，选项②正确． ③，， 垂直平分，选项③正确． ④，， ． 又， ，选项④正确． 综上，①②③④正确． 故选：D． 3．如图，是△ABC的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为48和26，则的面积为（    ） A．11 B．22 C．26 D．37 【答案】A 【详解】解：如图，作于， 是的角平分线，，， ， 在和中， ， ， 同理，， 设的面积为，由题意得， ， 解得， 即的面积为11， 故选：A 4．我们定义：如图1，在四边形中，如果，，对角线平分，我们称这种四边形为“分角对补四边形”． 【特例感知】（1）如图1，在“分角对补四边形”中，当时，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是_________；（填序号） ①垂线段最短；②垂直平分线的性质；③角平分线的性质；④三角形内角和定理； 【清想论证】（2）如图2，当为任意角时，猜想与的数量关系，并给予证明； 【探究应用】（3）请利用（2）中的结论解决问题，如图3，在中，，．平分，求证：． 【答案】（1）③ ；（2），证明见解析；（3）见解析 【详解】解：（1）∵平分，，， ∴， ∴根据角平分线的性质定理可知， 故答案为：③； （2）解：，理由如下： 如图2中，作交延长线于点E，于点F， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）证明：如图3，在上截取，连接， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， 由（2）的结论得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．（1）①如图1，平分，，，求证：． ②由①可得到命题：“角平分线上的点到角两边的距离相等”．请把该命题写成“如果……那么……”的形式． （2）如图2，平分，，，（1）中的结论是否成立？请作出判断并给予证明． （3）如图3，在四边形中，，，，于点，请直接写出，，的数量关系． 【答案】（1）①见解析；②如果一点在一个角平分线上，那么这个点到这个角两边的距离相等 （2）结论成立，理由见解析 （3）． 【详解】（1）①证明：∵平分， ∴ ，， ， 在和中， ， ， ； ②解：如果一点在一个角平分线上，那么这个点到这个角两边的距离相等； （2）解：（1）中的结论成立；理由如下： 如图②中，作于E，于， 平分，，， ， ，， ， 在和中， ， ， ； （3）；理由如下： 如图③中，连接．作于． ，， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ∴， ， ， 即． 6．如图，是△ABC的角平分线，，垂足为E，是△ABC的中线，，，．求的面积．    【答案】 【详解】解：过点D作于点M．    ∵是△ABC的角平分线，， ∴， ∴，， ∴， ∵是△ABC的中线， ∴， ∴． 7．如图，在△ABC中，是它的角平分线．求证． (1)在图1中完成上面的证明过程； (2)在图2中，如果，，， 求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：过D作于E，于F，如图所示： ∵平分， ∴， ∵，， ∴． 即． （2）解：如图，过点A作于E， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴ ∴． 8．如图，和的平分线交于点，过作交的延长线于点，交于点．    (1)求证：； (2)连接，求证：． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）作，垂足为点    平分，，（已知） （在角平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等） 平分，，（已知） （在角平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等） （等量代换） （2），（已知） ，（垂直的意义） 在和中， （全等三角形对应角相等） 9．【问题初探】 (1)在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在四边形中，，平分．求证∶． ①如图2，小刚同学从条件的角度出发，利用角平分线的性质，过点 D作于点F，交的延长线于点E，从而构造含线段的两个三角形全等． ②如图3，小昀同学在上截取，连接，构造出以角平分线上的线段为公共边的两个三角形全等，将与之间的数量关系转化为与之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 (2)李老师发现之前两名同学都构造全等三角形，为了巩固提升同学们作辅助线构造全等三角形的能力，李老师提出下面的问题，请你解答． 如图4，在△ABC中，点D在边上，，点E在边上，．求证∶． 【学以致用】 (3)如图5，在△ABC中，，，过C作，点E在上，且，连接交于点F，连接．写出线段之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3），证明见解析 【详解】解：（1）选择小刚同学的解题思路，证明如下： 证明：如图2，过点 D作于点F，交的延长线于点E， ∵平分， ∴， ∵，四边形中，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在△ADE和△CDF中， ， ∴， ∴； 选择小昀同学的解题思路，证明如下： 证明：如图3，在上截取，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，即， ∵，四边形中，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图4：过点 C作于点M，过点C作交的延长线于点N，即， ∵， ∴， ∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3），证明如下： 如图5：过E作，过C作交延长线于H， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 10．问题提出 （1）如图1，在△ABC中，，，为△ABC的角平分线，则图中相等的线段是______，的值是______． 问题解决 （2）如图2，现有一块四边形板材，，，，，工人师傅想用这块板材裁出一个三角形部件，使得点P在四边形的边上，且的一个内角等于另一个内角的2倍，他在这块板材上的作法如下： 第一步：作边的垂直平分线交于点R； 第二步：作的平分线交于点O； 第三步：连接并延长交于点P，得． 若按上述作法，裁得的三角形部件是否符合要求？若符合，请求出的面积．若不符合，请给出一种符合要求的作法． 【答案】（1），；（2）符合， 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∵为△ABC的角平分线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：∵垂直平分， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴裁得的三角形部件符合要求； ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴四边形是矩形， ∴， 由勾股定理得，， 如图，作于， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， 由勾股定理得，， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， ∴符合，的面积为． 11．如图，是△ABC的中线，，交于点F，且． (1)如图1，求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，在（1）的条件下，，设对角线交于点O，过点O作交的角平分线于点Q．与交于P点．求证； (3)如图3，在（2）的条件下，若，求的长． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)的长为． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是△ABC的中线， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：过点Q作于M，作于N，连接，如图： ∵平分， ∴， ∴， ， 由（1）得，四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ， ∴， ∴， 即； （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴， 由（2）得：， ∴， 过C作于K，连接，如图： ∵， ∴， ∴， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为． 考向四：“一线三等角”模型 “一线三等角”模型 （1）垂直模型 题型一：如图一、二所示，∠1+∠3=90°，∠1+∠2=90°，∠2+∠4=90°，利用等角的余角相等可得∠3=∠2，∠1=∠4； 题型二：如图三所示，∠1+∠3=90°；∠1+∠2=90°；利用等角的余角相等可得∠3=∠2。 （二）不垂直题型 题型三：已知∠B=∠C=∠EDF可得∠1=∠4；∠2=∠3。 1．在中，，点、分别是边、上一点，连接、交于点． (1)如图1，点是上一点，连接，若，求证：； (2)如图2，若，于点，交延长线于点，若，求证：． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）证明：，， ， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：过点作交的延长线于点，如图所示： 在中，，， ， ， ，， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ． 2．已知：如图，四边形中，∠B=90°，，为的中点，平分．求证：   (1)平分； (2)． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）证明：过点作于点， ∵∠B=90°， ∴． ∵平分， ∴． ∵为的中点， ∴． ∴． ∵， ∴ ∴． ∵，， ∴平分． （2）由（1）得， ∵，， ∴． ∴． 同理，， ∵， ∴． 3．如图，在△ABC中，，，直线经过点A，过点B，C分别作的垂线，垂足分别为点，延长交于点，若，求的面积． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴==， ∴， ∴， ∴． 4．在中，，，，将△ABC绕着点A顺时针旋转，得到．    (1)如图①，当点落在边上时，连接，求的长； (2)如图②，连接，直线与交于点，求证：点是的中点． 【答案】(1)(2)见解析 【详解】（1）如图①，过点作的延长线于， 则，     ，，， ，， 将△ABC绕点顺时针旋转得到， ，， ， ， ， ， 在中， ， 在中， ； （2）证明：如图②，过点作交的延长线于， 则，      由旋转得：，，， ，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 点是的中点； 5．【模型学习】如图①，在中，，，直线l经过点C，分别过点A、B作于点D，于点E．求证：． 【模型应用】如图②，在中，，，，，直线l经过点D（不与重合）．动点P从点D出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段向点B运动，同时动点Q从点C出发，以每秒4个单位的速度沿折线向点A运动，其中一个动点到达终点时，整个运动停止．当点P、Q不与点D重合时，分别过点P、Q作于点M，于点N．设运动时间为t秒． （1）求线段的长度； （2）线段的长度为 ；当点Q在线段上运动时，线段的长度为 ；（用含t的代数式表示） （3）当与全等时，求出t的值． 【答案】【模型学习】见解析；【模型应用】（1）；（2），；（3）1或3 【详解】模型学习，， ， ， ， ， ， ， ； 模型应用（1）， ， 在中，由勾股定理得：， ； （2）动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点运动， ， 动点从点出发，以每秒个单位的速度沿折线向点运动， 当点在线段上运动时，线段的长度为， 故答案为：；； （3）当时，， ， 则， 解得； 当时，， ， 则， 解得， 综上所述：的值为或． 6．如图，在△ABC中，，点D、E、F分别在、、边上，且，． (1)求证：； (2)当时，求的度数． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵，， ∴． ∴． （2）解： ∵， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 7．如图，在△ABC中，，点是边上一点，，点在边上． (1)若，求证：； (2)若，，求的度数； (3)若，，求证：． 【答案】(1)见解析(2)(3)见解析 【详解】（1）证明：， ， ， ， 在和中， ， ， ． （2）解：，且，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 的度数是． （3）证明：，， ， ， ， ， ． 8．【常见类型】 （1）如图1，已知：，且．求证：． 【变式拓展】 （2）某同学改变（1）中的条件和图形，提出下面的问题，请你解答． 如图2，△ABC是等腰直角三角形，，为中点，交延长线于点于点． 求证：；． 【答案】（1）详见解析 （2）①详见解析；②详见解析 【详解】（1）证明：在△ABC和中， ， ， ； （2）证明：①交延长线于点，于点， ， 为中点， ， ， ， ； ②如图，连接，过点作交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 9．如图，△ABC是边长为12厘米的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿射线运动，且它们的速度都为2厘米/秒，设运动时间为（秒）． (1)如图1，点P，Q分别在线段上运动时，相交于点，请直接写出的度数； (2)如图2，当点P，Q分别运动到线段的延长线上时，的延长线相交于占，的度数会变化吗？若改变，请说明理由；若不变，请写出求解过程； (3)如图3，若点的速度不变，点的速度为3厘米/秒，点P，Q分别在线段上运动时，连接，当△BPQ为直角三角形时，求的值． 【答案】(1)的度数为 (2)不变化，理由见解析 (3)的值为或 【详解】（1）解：是等边三角形， ，， ， ∴， ∴， ∴ ， 即的度数为； （2）解：不变化，理由如下： 是等边三角形， ，， ； ， ， 即， 在和△QCA中，， ， ； ∵， ， ； （3）解：根据题意得，，， ， ①当时， ， ， ，即， 解得，， ②当时， ， ， ，即， 解得，， 综上可得，的值为或． 10．如图（），，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段和线段的位置关系； (2)如图（），将图（）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点的运动速度为，是否存在实数，使得与△BPQ全等？若存在，求出相应的、的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)与△BPQ全等，线段，理由见解析； (2)，或，． 【详解】（1）解：与全等，线段，理由： 当时，，， 由题意得， 在和△BPQ中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：若， ∴，， ， 解得； 若， ∴，， ， 解得， 综上所述，存在或使得与△BPQ全等． 11．如下图，在△ABC中，，，点D在线段上运动（点D不与点，重合），连接，作，交线段于点E． (1)点D从点B向点C运动时，逐渐变_______（填“大”或“小”）； (2)当等于多少时，？请说明理由； (3)在点D的运动过程中，△ADE的形状也在发生改变．判断当等于多少度时，是等腰三角形． 【答案】(1)小(2)，理由见解析(3)或 【详解】（1）解：， 且点D从点B向点C运动时，逐渐变小而保持不变， 点D从点B向点C运动时，逐渐变小， 故答案为：小； （2）解：当时，，理由如下：     ，， ， ， ， 当时，， 答：当时，； （3）解：， ， 分三种情况讨论： ①当时， 则， 又， 相互矛盾，故此种情况不符合题意； ②当时， 则， ； ③当时， 则， ； 综上，当或时，△ADE是等腰三角形． 12．（1）如图1，已知于点A，于点B，P是上一点，，，求证：； （2）如图2，已知，，点D，E分别在边和上，P是上一点，且，，求的值． 【答案】（1）见解析，（2） 【详解】解：（1）∵，， ∴ ∴ ∵ ∴； （2）分别过点作，如图 ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即 ∴， 设 ∵ ∴ ∴ 在和中 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴； 考向五：“手拉手”模型 “手拉手”模型 题型一：解题关键，已知∠BAC=∠DAE=60°，∠BAC-∠1=∠DAE-∠1，可得∠2=∠3；在通过已知条件求解； 题型二：解题关键，已知∠BAC=∠DAE=90°，∠BAC-∠1=∠DAE-∠1，可得∠2=∠3；在通过已知条件求解； 题型三：解题关键，已知∠BAC=∠DAE=60°，∠BAC+∠1=∠DAE+∠1，可得∠BAE=∠CAD；在通过已知条件求解； 题型四：解题关键，已知∠BAC=∠DAE=90°，∠BAC+∠1=∠DAE+∠1，可得∠BAE=∠CAD；在通过已知条件求解； 1．在学习全等三角形知识时、数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： (1)如图1、两个等腰三角形和中， 连接、、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是手拉手模型，在这个模型中，和全等的三角形是 ，此时和的数量关系是 ； (2)如图2、两个等腰直角三角形和中， 连接，，两线交于点 ，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)如图3，已知， 以、为边分别向外作等边和等边，连接，，两线交于点 ，请直接写出线段 和的数量关系及的度数． 【答案】(1)， (2)且，理由见解析 (3)， 【详解】（1）解：∵， ∴． ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴和全等的三角形是，此时和的数量关系是． 故答案为：，； （2）且； 理由如下：∵， ∴． ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， 综上所述：且． （3）和都为等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ； ，， ∴ ， ∴． 2．如图1，都是等腰三角形，，，，连接和相交于点E，连接． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)如图2，若，点F为上一点，，连接，，交于点G，求证：． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析 【详解】（1）证明：∵ ∴ 即， 在和中， ∴， ∴； （2）证明：过点O作于M，于N，如下图， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分； （3）证明：∵； ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰三角形， 由（2）知， ∵， ∴， 由（2）知平分， ∴， ∴， ∴ 3．综合与实践 【建立模型】 （1）如图（1），△ABC为等边三角形，点D在的延长线上，在的同侧以为边构造等边三角形，连接，交于点F． 求证：，并直接写出的度数． 【应用模型】 （2）①如图（2），在△ABC中，平分，且，点E在的延长线上，且，连接，，求证：． ②如图（3），△ABC和△ADE都是等腰三角形，，点C恰好在延长线上，连接，若，，求的面积．    【答案】（1）证明见解析，；（2）①见解析；② 【详解】（1）证明：都是等边三角形， ∴，， ，即， ， ； ∵， ， ∵， ； （2）①证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②解：∵△ABC和△ADE都是等腰三角形，， ∴， ，即， ， ； ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点C恰好在延长线上， ∴， 设，则， 在中，， ∴，即， ∴的面积为． 4．综合实践 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶角顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在两个等腰三角形位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形．数学兴趣小组称此图形为“手拉手模型”．请你和数学兴趣小组的同学一起研究下面的问题． 【探究发现】 （1）如图1，在和中，，，，点在上，连接、，且、、三点共线，则图中与线段相等的线段是 ， ． 【初步运用】 （2）如图2，在和中，，，，连接、交于点．找出图中与相等的线段，并证明； 【迁移应用】 （3）如图3，在四边形中，点是四边形内一点，且，，，请计算的值． 【答案】 （1）和，（2），证明见解析（3） 【详解】（1）解：在△ABC和△ADE中，，，，、、三点共线， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 图中与线段相等的线段是和，， 故答案为：和，； （2）， 证明：在△ABC和△ADE中，，，， ， 即：， 在和中， ， ， ； （3）解：如图，连接，交于，设、交于， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 5．两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，把它们的底角顶点连接起来形成一组可证得全等的三角形，我们把连接的那两条线段叫做“友好”线段．例如：如图1，△ABC中，，△ADE中，，且，连接，则可证得，此时线段和线段就是一对“友好”线段． (1)如图2，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，且． ①图中线段的“友好”线段是 ； ②连接，若，求的长； (2)如图3，△ABC是等腰直角三角形，是外一点，，，求线段的长． 【答案】(1)①；②3(2) 【详解】（1）解：①如图2， 和都是等腰直角三角形，， ， 图中线段的“友好”线段是， 故答案为：； ②连接， 是等腰直角三角形， ， ， 由①知，， ∴； （2）如图3，以为直角边在的下面作等腰直角三角形，则，， ∵, ， ∴， ∴， ∴线段的长为． 6．在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形． (1)如图①，△ABC和△ADE都是等腰三角形，，，，连接、，与全等的三角形是________，和的数量关系是_______； (2)如图②，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，，，，连接、交于点P，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)如图③，在△ABC中，以、为边分别向△ABC外作等边三角形和等边三角形，连接、交于点P，请直接写出线段和的数量关系及的度数． 【答案】(1)； (2)且，理由见解析 (3)， 【详解】（1）解：∵， ∴． ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：且； 理由如下：∵， ∴． ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述：且； （3）解：，，理由如下： ∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴ ， ∴． 7．两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形． (1)发现问题：如图1，△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，、分别是底边．求证：； (2)解决问题：如图2，若△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，请判断线段，，之间的数量关系并说明理由． (3)尝试探究：如图3，在（2）问的条件下，延长交于点P，与交于点N，连接，，，，求的长度． 【答案】(1)见解析(2)，见解析(3) 【详解】（1）证明：和是顶角相等的等腰三角形 ，，， 即 在和中， ， ， ； （2）解：由（1）知且， 是等腰直角三角形，且， ， ， ； （3）作，垂直于的延长线于， ， ， ，同理， 在和中， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ∵， ∴， 在和中， ， ， ，，， 设， ， ， ， ， 解得， ． 8．如图1，和均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接． (1)求证：； (2)如图2，和均为等腰三角形，且，点A，D，E在同一直线上，为中边上的高，连接，请求出线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【详解】（1）证明：和均为等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ； （2）解：，理由如下： 和均为等腰三角形， ∴，， ， ∴，即． 在和中， ， ， ∴． ∵为等腰直角三角形，，， ∴， ∴， ∴． 9．综合实践 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶角顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在两个等腰三角形位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形．数学兴趣小组成员称此图形为“手拉手模型”．请你和数学兴趣小组的同学一起研究下面的问题． (1)如图1，在△ABC和△ADE中，，点D在边上，连接、，且B、D、E三点共线，则图中与线段相等的线段是______，______； (2)如图2，在△ABC和△ADE中，，连接、相交于点O． ①找出图中与相等的线段，并证明； ②求的度数（用含的代数式表示）． (3)如图3，在△ABC和△ADE中，，连接、交于点F． ①探究线段与之间的关系，并证明； ②如图4，连接，连接并延长交于点G，求的度数． 【答案】(1)和，30； (2)①，证明见解析；②； (3)①，，证明见解析；② 【详解】（1）解：， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 图中与线段相等的线段是和，， 故答案为：和，30； （2）解：①，证明如下： ， ，即， 在和中， ， ， ； ②， ， ， ， ， ， ， ， （3）解：①，，证明如下： ， ，即， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ； ②如图，过点作于点，于点, ， ， ， 在和中， , ， ， ，， 平分， 由①可知，， ， ． 考向六：“半角”模型 “半角”模型中常见的几何模型 题型一：如图1所示，正方形ABCD，E、F是AD、DC上任意一点，∠EBF=45°，则AE+FC=EF 证明方法：延长EA至点F1，使得AF1=FC，可证的△AF1B≌△CFB，△EF1B≌△EFB，可得AE+FC=EF 题型二：如图2所示，BD=CD，∠BDC =120°，∠MDN =60°延长MB至点N1，使得BN1=NC，则△DBN1≌△DCN △DMN1≌△DMN，MN =MB+BN1 =MB+CN 题型三：如图3所示，已知AB=AD，∠EAF=∠BAD，再结合题干可证得：BE+DF=EF 1．如图1，四边形是正方形，分别在边和上，且（此时），我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．小明为了解决线段之间的关系，将绕点A顺时针旋转后解决了这个问题． (1)①请直接写出线段之间的关系___________． ②若正方形边长为12，点E为中点，则________． (2)如图3，等腰直角三角形，点E、F在边上，且，请写出之间的关系，并说明理由． (3)如图4，在△ABC中，，点在边上，且，当时，则的长为_________． 【答案】(1)①；②①② (2)，理由见解析；(3) 【详解】（1）解：①， 理由如下：由旋转可得，，，， 四边形为正方形， ， ， 三点共线， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； 故答案为：； ②正方形边长为12，点E为中点， ， 设， 则， 在中，， ， 解得， 在中，， 故答案为：； （2）解：猜想∶， 理由如下： 把绕点顺时针旋转得到，连接， 如图3 ，，，， ， ， ，即， ， 又， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ； （3）解：把绕点顺时针旋转得到，连接， 如图4 ，，，， ，， ， ，即， 又， ， 在和中， ， ， ， 过点作，垂足为， ， ， ， ， ， ， ． 2．阅读理解 （1）如图1，在正方形中，若、分别是，边上的点，，则我们常会想到：把△ADE绕点顺时针旋转得到，易证______，得出线段，，之间的数量关系为______； 类比探究 （2）如图2，在等边△ABC中，，为边上的点，，，，求线段的长； 拓展应用 （3）如图3．在△ABC中，，，点，在边上，，若是等腰△ADE的腰长，请求出的值．    【答案】（1），；（2）；（3）的值为或 【详解】解：（1）由旋转的性质可得：，，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：，； （2）如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，   ， 是等边三角形， ， 由旋转的性质可得：，，，， ， ， ，， ， ， 作交的延长线于点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ； （3）当时，如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接，过点作，交于点；   ， 在中，，， ， ，， ， ， ， ， 由旋转的性质可得：，，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； 当时，如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接，过点作，交于点；   ， 在△ABC中，，， ， ，， ， ， ， ， 由旋转的性质可得：，，，，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 综上所述，的值为或． 3．旋转变换是解决数学问题中一种重要的思想方法，通过旋转变换可以将分散的条件集中到一起，从而方便解决问题.已知，中，，，点、在边上，且. （1）如图，当时，将绕点顺时针旋转到的位置，连接， ①求的度数； ②求证：； （2）如图，当时，猜想、、的数量关系，并说明理由； （3）如图，当，，时，请直接写出的长为________. 【答案】（1）①，②见解析；（2）；见解析，（3）. 【详解】（1）①由旋转得，，， ∵ ∴ ②∵∠DAE=30°，∠DAF=30°， ∴∠DAF=∠DAE 在和中 ∴ （2） 如图，将绕点顺时针旋转到的位置，连接 ∴， 由（1）得 ∴ ∵， ∴ ∴ ∴在中， ∴ （3）如图，将绕点顺时针旋转120°到△AGB的位置，连接过D作DH⊥BG于H， ∴BG=CE=5，∠C=∠ABG， ∵∠BAC=120°，AB=AC， ∴∠C=∠ABC=30°， ∴∠GBD=∠ABG+∠ABC=30°+30°=60°， ∵DH⊥BG， ∴∠BDH=30°， ∴BH=BD=4×=2，DH===2， ∴GH=BG-BH=5-2=3， 由（1）可知△AGD≌△AEC， ∴DG=DE， 在Rt△DHG中，DG===， ∴DE=DG=. 故答案为 （建议用时：60分钟） 1．如图1和2，在四边形中，，，平分． (1)如图1，若，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是___________； (2)问题解决：如图2，求证：； (3)问题拓展：如图3，在等腰△ABC中，，平分，求证：． 【答案】(1)角平分线上的点到角的两边距离相等(2)见解析(3)见解析 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∵平分， ∴（角平分线上的点到角的两边距离相等）． 故答案为：角平分线上的点到角的两边距离相等 （2）证明：如图，作于E，于F． ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）证明：如图，在上截取，连接． ∵在等腰中，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．综合与实践： 【问题情境】 (1)八上课本中有这样一道习题：如图1，和都是等边三角形，连接，．同学们发现以下结论：与的数量关系是______； 【变式思考】 (2)如图2，和都是等腰直角三角形，．若，，则四边形面积的最大值是______； 【拓展运用】 (3)如图3，在等腰直角三角形中，，是边上一点，连接，以为边向上作等腰直角三角形且，连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)(2)(3)，证明见解析 【详解】（1）解：和都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ． 故答案为：． （2）解：如图，连接和交于点，和交于点， 和都是等腰直角三角形， ，， ， ，即， 在和中， ， ， ，， 又， ， ， 四边形面积， ， ， 四边形面积的最大值是． 故答案为：． （3）解：，证明如下： 如图，延长至使得，连接， 等腰直角三角形， ， ，，， ， ，，， ， 等腰直角三角形且， ， ， ，即， 在和中， ， ， ， ． 3．如图1，在△ABC中，，，点D是直线上一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转α得到线段，连接，． (1)如图2，当，且点D在线段上时，证明：； (2)如图3，当，且点D在线段上时，猜想线段、、之间的数量关系，并加以证明； (3)当，，时，画出图形并求出的长． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 (3)见解析，或 【详解】（1）证明：，理由如下：如图： 将线段绕点A逆时针旋转得到线段， ，， ． 在与中， ， ， ； （2）证明：线段、、之间的数量关系为， 证明如下：如图： ，， ， 同（1）可证， ，， ， ， ； （3）解：∵，， ， ①当D在线段上时，如图： ， ， 由（2）知， ， ②当D在延长线上时，如图： ， ， ． 综上所述，DE的长度为或． 4．综合与实践 如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在△ABC中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点． (1)【观察感知】如图2，通过观察，线段与的数量关系是_____； (2)【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点，若，，求△BDF的面积； (3)【类比迁移】在（2）的条件下，连接交于点，则_____； 【答案】(1)(2)10(3) 【详解】（1）解：∵线段绕点B逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：线段绕点逆时针旋转得到线段， ，， ， ， ， ，， ，， ，， ， ， ， ， ，即， ， ， ； （3）解：如图，过作于点， 由得，，即， ， 由得，，即， 解得， 由得，， ， 故答案为：． 5．（1）感知：如图1，平分，，∠B=90°，易知的数量关系为 ． （2）应用：如图2，在四边形中，平分，，，求证：． （3）在（2）的条件下，如图3，过点D作于点E，试判断之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析；（3），见解析 【详解】解：（1）结论：． 理由：∵，∠B=90°， ∴， ∵，， ∴． ∴． 故答案为：； （2）结论成立． 理由：如图中，作于E，于F． ∵平分，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴； （3）结论：． 理由：如图中，连接． ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∴． 6．【问题显现】某同学在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，点E、F分别是正方形的边上的动点，连接和，．若．试求的长度． 【问题解决】该同学的思路是：如图②，将绕点A逆时针旋转，可以得出和全等，然后再证明，从而得到．请你帮助该同学完成余下的解题过程． 是绕点A逆时针旋转得到的， ． 四边形是正方形，．…… 【方法应用】如图③，中，．点D、E在边上，且．若，，则线段的长为__________． 【拓展提升】如图④，在△ABC中，．于点D．若，则△ABC的面积为__________． 【答案】[问题解决]5；[方法应用]；[拓展提升]15 【详解】[问题解决]： 解：∵四边形是正方形， ∴， 将绕点A逆时针旋转，得， 则， ∴， ∴、D、F在同一直线上， ∵正方形中，，， ∴， ∴ 又∵ ∴， ∴， ∴； [方法应用] 解：∵， ∴， ∴将绕点C逆时针旋转，得△BCF，连接， ∴， ∵， ∴， 在和中 ∴， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； [拓展提升] 解：∵， ∴， 如图，绕点A逆时针旋转，得，延长，交于点E，连接， 由旋转可得，， ∴， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵ ∴， ∴ 在和中 ∴ ∴， 设，则 在中， ∴ 解得（舍去）， ∴， ∴△ABC的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$