专题16 线面、面面平行和垂直的核心考点（8大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（人教A版2019必修第二册）

专题16 线面、面面平行和垂直的核心考点 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 7 题型一、中位线、平行四边形证线面平行 7 题型二、四点共面问题 9 题型三、线面平行的性质定理 10 题型四、面面平行证线面平行 12 题型五、线段成比例证线面平行 13 题型六、证线面垂直的常用方法 15 题型七、面面垂直的性质定理应用 18 题型八、全等、相似在垂直问题中的应用 20 压轴能力测评（24题） 22 ①证明平行之中位线 1.可以拿一把直尺放在位置（与平齐），如图一； 2.然后把直尺平行往平面方向移动，直到直尺第一次落在平面内停止，如图二； 3.此时刚好经过点（这里熟练后可以直接凭数感直接找到点），此时直尺所在的位置就是我们要找的平行线，直尺与相交于点，连接，如图三； 4.此时长度有长有短，连接并延长刚好交于一点，刚好构成型模型（为中点，则也为中点，若为等分点，则也为对应等分点），，如图四． ②证明平行之平行四边形 1.可以拿一把直尺放在位置，如图一； 2.然后把直尺平行往平面方向移动，直到直尺第一次落在平面内停止，如图二； 3.此时刚好经过点（这里熟练后可以直接凭数感直接找到点），此时直尺所在的位置就是我们要找的平行线，直尺与相交于点O，连接， 如图三； 4.此时长度相等（感官上相等即可，若感觉有长有短则考虑法一A型的平行），连接，刚好构成平行四边形型模型（为中点，O也为中点，为三角形中位线），，如图四． 图一 图二 图三 图四 ③证明垂直的常见方法 ①等腰三角形（等边三角形）的“三线合一” 如图：AB=AC,D为BC中点，则 ②勾股定理的逆定理 如图：如果，则 ③正方形、菱形的对角线互相垂直。 如图：四边形ABCD是菱形，所以 ④直径所对的圆周角是 如图：AB是圆的直径， ⑤通过证线面垂直证线线垂直 注：若题目要证已知且是异面直线，要证，一般是证所在的平面。 ⑥平移法：通过三角形的中位线或者构造平行四边形进行平移 ⑦面面垂直性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 _ _ a ④证明线线垂直的思路 一、直线和平面平行 1、定义 直线与平面没有公共点，则称此直线与平面平行，记作∥ 2、判定方法（文字语言、图形语言、符号语言） 文字语言 图形语言 符号语言 线∥线线∥面 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行（简记为“线线平行线面平行 面∥面线∥面 如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都平行于另一个平面 3、性质定理（文字语言、图形语言、符号语言） 文字语言 图形语言 符号语言 线∥面线∥线 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 二、两个平面平行 1、定义 没有公共点的两个平面叫作平行平面，用符号表示为：对于平面和，若，则∥ 2、判定方法（文字语言、图形语言、符号语言） 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理线∥面面∥面 如果一个平面内有两条相交的直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（简记为“线面平行面面平行 线面面∥面 如果两个平面同垂直于一条直线，那么这两个平面平行 ∥ 3、性质定理（文字语言、图形语言、符号语言） 文字语言 图形语言 符号语言 面//面 线//面 如果两个平面平行，那么在一个平面中的所有直线都平行于另外一个平面 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行（简记为“面面平行线面平行”） 面//面 线面 如果两个平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线 三、直线与平面垂直的定义 如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相互垂直． 四、直线与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判断定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 面⊥面⇒线⊥面 两个平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 _ _ a 平行与垂直的关系 一条直线与两平行平面中的一个平面垂直，则该直线与另一个平面也垂直 _ 平行与垂直的关系 两平行直线中有一条与平面垂直，则另一条直线与该平面也垂直 _ b _ a 五、直线与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 垂直于同一平面的两条直线平行 _ b _ a 垂直与平行的关系 垂直于同一直线的两个平面平行 _ 线垂直于面的性质 如果一条直线垂直于一个平面，则该直线与平面内所有直线都垂直 六、平面与平面垂直的定义 如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直．（如图所示，若，且，则） 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． 七、平面与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 _ 八、平面与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 _ _ a 【题型一 中位线、平行四边形证线面平行】 一、解答题 1．（2024高一·全国·专题练习）如图所示，四棱锥中，四边形是矩形，平面平面，，点是线段的中点，点在线段上，且，求证：平面.    2．（24-25高一上·吉林四平·开学考试）如图，正三棱柱中．，、分别为棱、的中点，且． (1)证明：∥平面； (2)三棱柱被平面截得的两部分．令三棱锥的体积为．多面体的体积为，求． 3．（2025高一下·全国·专题练习）在四棱锥中，四边形为矩形，点E，F分别在线段CB，AP上，且.求证：平面. 4．（2025高一·全国·专题练习）在如图所示的五面体中，四边形与均为等腰梯形，，，，，，、分别为、的中点，与相交于点．求证：平面． 5．（24-25高一上·北京·期中）如图，三棱柱中，，分别为，的中点. (1)求证：平面； (2)若点在线段上，且平面，求证：点为中点. 【题型二 四点共面问题】 一、解答题 1．（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在正四棱台中分别为棱，的中点.证明：    (1)四点共面； (2)多面体是三棱台. 2．（2024高一·全国·专题练习）如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，，的中点 (1)求证：平面； (2)求证：、、、四点共面； 3．（2024高一·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，平面，，点在棱上，，点，是棱上的三等分点，点是棱的中点．，．证明：//平面，且，，，四点共面； 【题型三 线面平行的性质定理】 一、解答题 1．（2024高一·全国·专题练习）如图，两个正三角形，所在平面互相垂直，分别为的中点，点在棱上，，直线与平面相交于点.证明：； 2．（2025高一·全国·专题练习）如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，点为棱的中点．设平面与直线相交于点，求证：平面． 3．（23-24高一下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）如图，在正方体中，，F为AD的中点，点E为的动点.若平面，求线段的长度.    4．（2024高一下·全国·专题练习）如图，是圆的直径，点在圆所在平面上的射影恰是圆上的点，且，点是的中点，与交与点，点是上的一个动点． (1)若平面，求的值； (2)若点为的中点，且，求三棱锥的体积. 5．（2024·河南·模拟预测）如图，三棱柱各棱长均相等，为棱上一点，为棱的中点，平面． (1)求的值； (2)若平面将三棱柱分为两部分，较小部分的体积为，较大部分的体积为，求的值． 【题型四 面面平行证线面平行】 一、解答题 1．（2024高一·全国·专题练习）如图，在直三棱柱中，分别为棱的中点．证明：平面. 2．（2025高一·全国·专题练习）由正棱锥截得的棱台称为正棱台.如图，正四棱台中，分别为的中点，，侧面与底面所成角为.求证：平面；    3．（2024高一·全国·专题练习）如图，以正方形的边所在直线为旋转轴，其余三边旋转120°形成的面围成一个几何体．设是弧上的一点，，分别为线段，的中点．证明：平面. 4．（23-24高一下·广东深圳·期中）如图所示正四棱锥，，，为侧棱上的点，且，求： (1)若为的中点，求证：平面； (2)侧棱上是否存在一点，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 5．（24-25高一上·浙江杭州·阶段练习）在底面是菱形的四棱锥中，，， ，点E在PD上，且，平面平面． (1)证明：； (2)在棱PC上是否存在一点F，使平面？证明你的结论． 【题型五 线段成比例证线面平行】 一、解答题 1．（2024高一·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，侧面是矩形，分别为棱的中点，为线段的中点.证明：平面.    2．（2024高一·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，底面是边长为2的等边三角形，平面，点是的中点，点在线段上且，为三角形的重心.求证：平面 3．（2024高一·全国·专题练习）如图1，在平行四边形中，，，为的中点，，，沿将翻折到的位置，如图2.证明：平面.    4．（23-24高一下·江苏泰州·阶段练习）如图，四棱锥的底面为梯形，，，点在棱上，且． (1)证明：平面； (2)设平面与棱交于点，证明：． 5．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）已知正四面体，M，N分别在棱上，且，，P为棱AC上任意一点（P不与A重合）． (1)求证：直线平面； (2)若正四面体的各棱长均为6．求三棱锥的体积． 【题型六 证线面垂直的常用方法】 一、解答题 1．（2024高一·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，平面，底部为菱形，E为的中点. 求证：平面；    2．（2024高一·全国·专题练习）如图，、、为圆锥三条母线，.证明： 3．（2024高一·全国·专题练习）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，E为边CD的中点，沿AE把折起，使点D到达点P的位置，且．求证：平面； 4．（2025高一·全国·专题练习）如图，平面，底面为矩形，于点．求证：平面； 5．（24-25高一上·北京海淀·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，分别为，的中点. (1)求证：平面； (2)若，平面，求证：平面. 6．（24-25高一上·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，，，点E、F分别为、的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：； 7．（24-25高一上·北京·期中）如图，在四棱锥中，底面为矩形，点E，F分别为，的中点，平面.    (1)求证:平面； (2)求证:; (3)若，，求四面体的体积. 8．（2024高一·全国·专题练习）如图，在五面体中，平面ABC，，，.问：在线段CD上是否存在点P，使得平面ACD?若存在，请指出点P的位置，并证明；若不存在，请说明理由. 9．（24-25高一上·上海宝山·期末）如图，在棱长为1的正方体中，及分别为棱和的中点． (1)求证：平面； (2)若为棱的中点，求证：平面． 10．（24-25高一上·江苏苏州·期中）已知直三棱柱，F为BC中点，，与交于点 (1)求证：平面 (2)若是等边三角形且，求证：平面 【题型七 面面垂直的性质定理应用】 一、解答题 1．（2025高一·全国·专题练习）如图所示，在三棱锥中，平面平面，，为锐角.证明：； 2．（24-25高一下·全国·课前预习）如图所示，在四棱锥中，底面是的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，G为AD边的中点.求证：平面. 3．（2024高一·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，， (1)设分别为的中点，求证：平面； (2)求证：平面； 4．（2024高一·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，且，，，平面平面.求证：平面平面； 5．（2025高一·全国·专题练习）在三棱柱中，侧面平面，，侧面为菱形，且为中点.证明：平面. 6．（2025高一·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，平面平面，，为棱的中点，点在棱上，，且，证明：平面. 7．（2025高一·全国·专题练习）如图，在几何体中，互相平行，四边形与四边形 是全等的等腰梯形，平面平面，，点分别为的中点.证明：平面平面.    【题型八 全等、相似在垂直问题中的应用】 一、解答题 1．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，侧面底面．与是否互相垂直？请证明你的结论． 2．（2024高一·全国·专题练习）四棱锥中，，底面为等腰梯形，，，为线段的中点，.证明：平面；    3．（2025高一·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，.证明：是等腰三角形. 4．（24-25高一上·贵州毕节·阶段练习）如图，在四棱锥中，，底面是直角梯形，.    (1)求证：平面平面； (2)求证：； 5．（24-25高一上·安徽阜阳·开学考试）如图，已知在矩形中，，，点是边的中点，与相交于点，现将沿折起，点的位置记为，此时，是的中点． (1)求证：平面； (2)求证：面； 6．（23-24高一下·福建莆田·期末）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，为棱的中点，，，直线与所成的角的大小为． (1)证明：平面； (2)证明：平面； 7．（23-24高一上·河南漯河·阶段练习）如图，在矩形中，，，M是线段AD上的一动点，将沿着BM折起，使点A到达的位置，满足点平面且点在平面内的射影E落在线段BC上.    (1)当点M与端点D重合时，证明：⊥平面； (2)求三棱锥的体积的最大值. 一、解答题 1．（2024高一·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，是边长为2的正三角形，，，，，，分别是线段，的中点，求证：平面 2．（2025高一·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，四边形为菱形，，，平面，分别是，的中点．证明：直线平面； 3．（2025高一·全国·专题练习）如图，且，，且，且，平面，. (1)设平面与平面的交线为，求证：； (2)证明: 4．（23-24高一下·山东威海·期末）在正三棱柱中，，分别为，的中点.    (1)证明：平面； (2)证明：平面. 5．（2024高一·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，，平面平面，平面平面，点是的中点，求证：平面；    6．（2024高一·全国·专题练习）如图，三棱柱中，侧面是边长为2的正方形，，．证明：； 7．（24-25高一上·湖南长沙·开学考试）如图，已知，直线平面，为的中点． (1)求证：直线平面； (2)若，求证：平面平面． 8．（23-24高一下·江苏淮安·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点． (1)求证：平面平面PAC； (2)棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由． 9．（23-24高一下·天津西青·期末）如图，直三棱柱中，，E、F分别为AB、的中点． (1)求证：平面； (2)求证：； 10．（2024高一·全国·专题练习）如图，在长方体中，AB=4，，G为AB的中点，E，F分别在线段，AC上，且，求证：平面. 11．（23-24高一下·贵州黔西·期末）如图，在正方体中． (1)求证：∥平面； (2)求证：平面． 12．（2024高一·全国·专题练习）如图，已知在三棱柱中，，，F是线段BC的中点，点O在线段AF上，.D是侧棱中点，.证明：平面. 13．（23-24高一下·江苏淮安·阶段练习）如图，在三棱柱中，． (1)若平面平面，求证：∥； (2)若平面平面，，求证：平面. 14．（23-24高一下·江苏常州·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，底面是平行四边形，点为的中点，点分别在上，且平面平面． (1)求证：为线段中点； (2)若点在棱上，猜想：当为何值时，有平面平面，并证明你的猜想． 15．（23-24高一下·吉林长春·期中）如图，已知等腰梯形ABCD中（图1），是BC的中点，，将沿着AE翻折（图2），使得直线AB与CD不在同一个平面，得到四棱锥 (1)求直线与所成的角的大小； (2)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 16．（23-24高一上·四川·阶段练习）几何体是四棱锥，为正三角形，，，为线段的中点. (1)求证：平面； (2)线段上是否存在一点，使得四点共面？若存在，请求出的值；若不存在，并说明理由. 17．（23-24高一下·青海海南·期末）如图，在四棱柱中，底面是菱形，. (1)求证：平面； (2)求证：. 18．（23-24高一下·河北承德·阶段练习）如图，正方体的棱长为3，点在棱上，点在棱上，在棱上，且是棱上一点.    (1)求证：四点共面； (2)若平面∥平面，求证：为的中点. 19．（23-24高一下·河北廊坊·期末）如图，四棱柱的底面是正方形，． (1)证明：平面∥平面； (2)证明：平面平面． 20．（23-24高一下·山东菏泽·阶段练习）在四棱锥中，为与的交点，平面，是正三角形，，.    (1)求异面直线和所成角的大小； (2)若点为棱上一点，且平面，求的值； (3)求证：平面平面. 21．（23-24高一下·海南海口·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，点，分别为，的中点，设平面平面. (1)证明：平面； (2)证明：； (3)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 22．（24-25高一上·安徽·开学考试）如图，在四棱锥中，，，底面是直角梯形，，，． (1)求证：平面平面； (2)求证：； 23．（23-24高一下·辽宁沈阳·期末）如图，正三棱柱中，，点为的中点. (1)证明：平面平面 (2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 24．（23-24高一下·广东深圳·期中）如图，长方体中，，，点是棱的中点． (1)求异面直线与所成的角的大小； (2)当实数，证明：直线与平面垂直； (3)若．设是线段上的一点（不含端点），满足，求的值，使得三棱锥与三棱锥的体积相等． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题16 线面、面面平行和垂直的核心考点 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 7 题型一、中位线、平行四边形证线面平行 7 题型二、四点共面问题 13 题型三、线面平行的性质定理 16 题型四、面面平行证线面平行 20 题型五、线段成比例证线面平行 25 题型六、证线面垂直的常用方法 30 题型七、面面垂直的性质定理应用 38 题型八、全等、相似在垂直问题中的应用 44 压轴能力测评（24题） 52 ①证明平行之中位线 1.可以拿一把直尺放在位置（与平齐），如图一； 2.然后把直尺平行往平面方向移动，直到直尺第一次落在平面内停止，如图二； 3.此时刚好经过点（这里熟练后可以直接凭数感直接找到点），此时直尺所在的位置就是我们要找的平行线，直尺与相交于点，连接，如图三； 4.此时长度有长有短，连接并延长刚好交于一点，刚好构成型模型（为中点，则也为中点，若为等分点，则也为对应等分点），，如图四． ②证明平行之平行四边形 1.可以拿一把直尺放在位置，如图一； 2.然后把直尺平行往平面方向移动，直到直尺第一次落在平面内停止，如图二； 3.此时刚好经过点（这里熟练后可以直接凭数感直接找到点），此时直尺所在的位置就是我们要找的平行线，直尺与相交于点O，连接， 如图三； 4.此时长度相等（感官上相等即可，若感觉有长有短则考虑法一A型的平行），连接，刚好构成平行四边形型模型（为中点，O也为中点，为三角形中位线），，如图四． 图一 图二 图三 图四 ③证明垂直的常见方法 ①等腰三角形（等边三角形）的“三线合一” 如图：AB=AC,D为BC中点，则 ②勾股定理的逆定理 如图：如果，则 ③正方形、菱形的对角线互相垂直。 如图：四边形ABCD是菱形，所以 ④直径所对的圆周角是 如图：AB是圆的直径， ⑤通过证线面垂直证线线垂直 注：若题目要证已知且是异面直线，要证，一般是证所在的平面。 ⑥平移法：通过三角形的中位线或者构造平行四边形进行平移 ⑦面面垂直性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 _ _ a ④证明线线垂直的思路 一、直线和平面平行 1、定义 直线与平面没有公共点，则称此直线与平面平行，记作∥ 2、判定方法（文字语言、图形语言、符号语言） 文字语言 图形语言 符号语言 线∥线线∥面 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行（简记为“线线平行线面平行 面∥面线∥面 如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都平行于另一个平面 3、性质定理（文字语言、图形语言、符号语言） 文字语言 图形语言 符号语言 线∥面线∥线 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 二、两个平面平行 1、定义 没有公共点的两个平面叫作平行平面，用符号表示为：对于平面和，若，则∥ 2、判定方法（文字语言、图形语言、符号语言） 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理线∥面面∥面 如果一个平面内有两条相交的直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（简记为“线面平行面面平行 线面面∥面 如果两个平面同垂直于一条直线，那么这两个平面平行 ∥ 3、性质定理（文字语言、图形语言、符号语言） 文字语言 图形语言 符号语言 面//面 线//面 如果两个平面平行，那么在一个平面中的所有直线都平行于另外一个平面 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行（简记为“面面平行线面平行”） 面//面 线面 如果两个平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线 三、直线与平面垂直的定义 如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相互垂直． 四、直线与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判断定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 面⊥面⇒线⊥面 两个平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 _ _ a 平行与垂直的关系 一条直线与两平行平面中的一个平面垂直，则该直线与另一个平面也垂直 _ 平行与垂直的关系 两平行直线中有一条与平面垂直，则另一条直线与该平面也垂直 _ b _ a 五、直线与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 垂直于同一平面的两条直线平行 _ b _ a 垂直与平行的关系 垂直于同一直线的两个平面平行 _ 线垂直于面的性质 如果一条直线垂直于一个平面，则该直线与平面内所有直线都垂直 六、平面与平面垂直的定义 如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直．（如图所示，若，且，则） 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． 七、平面与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 _ 八、平面与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 _ _ a 【题型一 中位线、平行四边形证线面平行】 一、解答题 1．（2024高一·全国·专题练习）如图所示，四棱锥中，四边形是矩形，平面平面，，点是线段的中点，点在线段上，且，求证：平面.    【答案】证明见解析 【分析】连接交于，先根据中位线性质证明线线平行，得出，再根据线面平行的判定定理证明平面. 【详解】连接交于，连接，   四边形是矩形,是的中点， 是线段的中点， 是的中位线，， 又平面，平面， 平面. 2．（24-25高一上·吉林四平·开学考试）如图，正三棱柱中．，、分别为棱、的中点，且． (1)证明：∥平面； (2)三棱柱被平面截得的两部分．令三棱锥的体积为．多面体的体积为，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据直三棱柱的性质以及中位线定理可得线线平行，利用线面平行判定定理，可得答案； （2）由相似三角形求得三棱柱体高，利用三棱柱与三棱锥的体积公式，可得答案. 【详解】（1）连接交于，连接，如图： ∵三棱柱为正三棱柱， ∴为的中点，又为的中点， ∴为的中位线，∴， 又平面，平面， ∴平面. （2）三棱柱被平面截得的两部分为三棱锥与多面体． ∵三棱柱为正三棱柱， ∴四边形为矩形，又， ∴，∴，解得. ∴三棱柱的体积为， 故三棱锥的体积为，即. 多面体的体积为．即， 所以. 3．（2025高一下·全国·专题练习）在四棱锥中，四边形为矩形，点E，F分别在线段CB，AP上，且.求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】先证明平行四边形得出线线平行，再应用线面平行判定定理证明即可. 【详解】如图，取PD的中点G，连接GF，GC. 在中，点G，F分别为PD，AP的中点， 且. 在矩形ABCD中，点E为BC的中点， 且， 且. 四边形是平行四边形， . 又平面，平面， 平面. 4．（2025高一·全国·专题练习）在如图所示的五面体中，四边形与均为等腰梯形，，，，，，、分别为、的中点，与相交于点．求证：平面． 【答案】证明见解析 【分析】连接，取的中点，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立. 【详解】连接，取的中点，连接、， 结合已知可得且， 所以四边形为平行四边形， 所以为中点， 因为为的中点，为中点， 则，且， 因为为的中点， 则，且， 则，且， 故四边形为平行四边形， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面． 5．（24-25高一上·北京·期中）如图，三棱柱中，，分别为，的中点. (1)求证：平面； (2)若点在线段上，且平面，求证：点为中点. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）取的中点，构造平行四边形，可得，根据判定定理即可得证； （2）分别取的中点，构造过点且与平面平行的平面，可得，即可得证. 【详解】（1） 证明：取的中点，连接，在三棱柱中， 因为分别为的中点，则，且，为的中点， 则，且，则且， 则四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，则平面. （2） 证明：分别取的中点，连接， 设，则，且， 则则四点共面， 因为，又平面，平面 则平面，又平面，平面， 则平面，又， 则平面平面，又平面， 则平面，又平面平面， 平面平面，则， 又为的中点，则为的中点. 【题型二 四点共面问题】 一、解答题 1．（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在正四棱台中分别为棱，的中点.证明：    (1)四点共面； (2)多面体是三棱台. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析. 【分析】（1）作出辅助线，得到线线平行，得到四点共面； （2）作出辅助线，得到四边形EFHG为梯形，延长GE、HF，则GE与HF必相交，不妨设，由点线面的关系得到，故交于一点，由平面平面，得到多面体是三棱台. 【详解】（1）连接，如图所示，    在正四棱台中，， 分别为棱的中点， ， 四点共面. （2），且， 四边形EFHG为梯形， 延长GE、HF，则GE与HF必相交，不妨设， 平面平面， 平面平面， 又平面平面， 交于一点. 又平面平面， ∴多面体是三棱台. 2．（2024高一·全国·专题练习）如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，，的中点 (1)求证：平面； (2)求证：、、、四点共面； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先证四点共面，再证明，由线线平行得到线面平行. （2）连接，结合条件可证，从而证明. 【详解】（1）如图： 连接，因为分别为的中点，所以 在三棱柱中，.所以四点共面. 因为分别为的中点，所以，. 所以四边形为平行四边形. 所以.因为平面平面， 所以平面. （2）如图： 连接，因为为直三棱柱，且分别为的中点， 所以，又，所以，所以、、、四点共面. 3．（2024高一·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，平面，，点在棱上，，点，是棱上的三等分点，点是棱的中点．，．证明：//平面，且，，，四点共面； 【答案】证明见解析 【分析】由中位线得，结合线面平行的判定定理即可证得∥平面，要证，，，四点共面，只需，只需，连接，结合条件证明四边形是平行四边形即可； 【详解】证明：因为F，G分别为的中点， 所以， 又平面CFG，平面， 所以平面． 连接HE，在中，， 所以，且， 因为，， 所以，且， 所以四边形为平行四边形． 所以， 又，所以， 故C，E，F，G四点共面． 【题型三 线面平行的性质定理】 一、解答题 1．（2024高一·全国·专题练习）如图，两个正三角形，所在平面互相垂直，分别为的中点，点在棱上，，直线与平面相交于点.证明：； 【答案】证明见解析 【分析】首先利用线面平行判定定理证明平面，再由线面平行的性质证明即可. 【详解】因为、分别为、的中点，所以， 又平面，平面，则平面， 由直线与平面相交于点， 则平面，且平面， 又点在棱上，则平面，又平面， 所以平面平面，又平面， 所以. 2．（2025高一·全国·专题练习）如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，点为棱的中点．设平面与直线相交于点，求证：平面． 【答案】证明见解析 【分析】根据证明平面，利用线面平行的性质可得，从而可证平面. 【详解】因底面为平行四边形，故， 因平面，平面，故平面， 又因平面平面，平面，故， 因平面，平面， 故平面． 3．（23-24高一下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）如图，在正方体中，，F为AD的中点，点E为的动点.若平面，求线段的长度.    【答案】 【分析】根据线面平行得出线线平行，再结合中点得出线段长度即可. 【详解】因为平面, 平面,平面平面， 所以, 又因为F为的中点，所以是的中点， . 4．（2024高一下·全国·专题练习）如图，是圆的直径，点在圆所在平面上的射影恰是圆上的点，且，点是的中点，与交与点，点是上的一个动点． (1)若平面，求的值； (2)若点为的中点，且，求三棱锥的体积. 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）先证明，再证明点为的重心，即得解； （2）分析得到，再求出即得解. 【详解】（1）因为平面，平面，平面平面 所以，所以． 因为，分别为，的中点， 所以点为的重心， 所以，即，所以. （2）点为的重心，所以, 又点为的中点，所以, 所以，所以. 在直角中，, 所以 所以. 所以三棱锥的体积为. 5．（2024·河南·模拟预测）如图，三棱柱各棱长均相等，为棱上一点，为棱的中点，平面． (1)求的值； (2)若平面将三棱柱分为两部分，较小部分的体积为，较大部分的体积为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）线面平行的性质定理，根据已知的平行关系推出线段比例关系； （2）通过构建三棱台求出相应体积，进而得出体积比. 【详解】（1）连接，与交于，连接. 因为平面，平面平面， 根据线面平行的性质定理，所以. 又因为，在和中， 由于平行线分线段成比例定理，可得. 因为，所以. （2）在上取一点，使，连接， 因为，所以四边形即为过三点的截面. 设三棱柱的底面积为，高为，体积为，则. 因为，且，所以与相似，相似比为， 根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得的面积为. 对于三棱台，根据体积公式.   因为，，， 所以. 则. 【题型四 面面平行证线面平行】 一、解答题 1．（2024高一·全国·专题练习）如图，在直三棱柱中，分别为棱的中点．证明：平面. 【答案】证明见解析 【分析】根据题意可证平面，平面，可得平面平面，结合面面平行的性质分析证明即可得. 【详解】如图，取的中点，连接， 因为都是所在棱的中点，则，， 所以，且平面，平面，所以平面． 因为分别是和的中点，则，， 可得，，可知四边形是平行四边形，则， 且平面，平面，所以平面， 且，平面， 所以平面平面， 又因为平面， 所以平面． 2．（2025高一·全国·专题练习）由正棱锥截得的棱台称为正棱台.如图，正四棱台中，分别为的中点，，侧面与底面所成角为.求证：平面；    【答案】证明见解析 【分析】由面面平行的判定定理可证得平面平面，再由线面平行的判定定理即可证得. 【详解】连接、，由分别为的中点，则， 又平面，平面，故平面， 正四棱台中，且， 则四边形为平行四边形，故， 又平面，平面，故平面， 又，且平面，平面， 故平面平面，又平面，故平面；    3．（2024高一·全国·专题练习）如图，以正方形的边所在直线为旋转轴，其余三边旋转120°形成的面围成一个几何体．设是弧上的一点，，分别为线段，的中点．证明：平面. 【答案】证明见解析 【分析】证法一：在正方形中，连接并延长，交的延长线于点，连接，通过证明可得，进而利用线面平行的判定定理即可证明； 证法二：取的中点，连接，，通过证明四边形是平行四边形可得，进而利用线面平行的判定定理即可证明； 证法三：取的中点，连接，，利用面面平行的判定定理证明平面平面，从而即可得证平面. 【详解】证法一：在正方形中，连接并延长，交的延长线于点，连接． 因为，分别为线段，中点， 所以，所以， 所以，所以． 又平面，平面，所以平面． 证法二：取的中点，连接，， 因为，分别为线段，的中点， 所以，， 又因为，， 所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面． 证法三：取的中点，连接，． 因为，分别为线段，的中点， 所以，， 又平面，平面，所以平面． 因为平面，平面，所以平面． 又因为，平面，平面， 所以平面平面，又因为平面， 所以平面． 4．（23-24高一下·广东深圳·期中）如图所示正四棱锥，，，为侧棱上的点，且，求： (1)若为的中点，求证：平面； (2)侧棱上是否存在一点，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，． 【分析】（1）根据线面平行的判定即可证明； （2）分析可得在侧棱上是否存在一点，使平面，满足．证得平面平面，根据面面平行的性质定理即可证出结论. 【详解】（1） 如图，连接交于点，连接，，，则为的中点， 当为的中点时，， 又平面，平面，所以平面； （2）在侧棱上存在点，使得平面，满足， 理由如下：取的中点，由，得， 过作的平行线交于，连接，，中，有， 又平面，平面，所以平面， 由，得， 又，又平面，平面， 所以平面，又，，平面， 所以平面平面，而平面， 所以平面， 即在侧棱上存在点，使得平面，满足． 5．（24-25高一上·浙江杭州·阶段练习）在底面是菱形的四棱锥中，，， ，点E在PD上，且，平面平面． (1)证明：； (2)在棱PC上是否存在一点F，使平面？证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，证明见解析. 【分析】（1）利用线面平行的判断、性质推理得证. （2）取PE的中点M，利用线面平行的判定、面面平行的判定、性质推理得解. 【详解】（1）由四边形为菱形，得， 又平面，平面PCD，则平面， 又平面，平面平面，则，所以． （2）存在．当F是PC的中点时，平面， 如图，取PE的中点M，连接FM，得，又平面，平面，于是平面， 由M为PE的中点，，得，E是MD的中点， 连接BM，BD，设，由四边形是菱形，得O为BD的中点， 则，又平面，平面，于是平面， 又，平面，则平面平面， 又平面，所以平面. 【题型五 线段成比例证线面平行】 一、解答题 1．（2024高一·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，侧面是矩形，分别为棱的中点，为线段的中点.证明：平面.    【答案】证明见解析 【分析】利用平行线段成比例及线面平行的判定定理证明即可. 【详解】在三棱柱中，连接，交于点，连接，如图，    四边形为平行四边形，有，而为的中点，则， 由，得，又分别为的中点，则有， 因此，则，而平面，平面， 所以平面. 2．（2024高一·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，底面是边长为2的等边三角形，平面，点是的中点，点在线段上且，为三角形的重心.求证：平面 【答案】证明见解析 【分析】根据重心性质以及线段比可知是的重心，再利用线段比例关系以及线面平行判定定理可得结论. 【详解】连接交于点，由重心性质可得是的中点， 又点是的中点，点在线段上且，可知是的重心； 连接，可知点在上，如下图所示： 由重心性质可得，，所以； 又平面，平面， 所以平面 3．（2024高一·全国·专题练习）如图1，在平行四边形中，，，为的中点，，，沿将翻折到的位置，如图2.证明：平面.    【答案】证明见解析 【分析】确定为正三角形，，证明，得到证明. 【详解】，，为正三角形， ，则为中点， 设，，，故，故为的三等分点，    ，为的三等分点，即F为的中点，故， 平面，平面，故平面. 4．（23-24高一下·江苏泰州·阶段练习）如图，四棱锥的底面为梯形，，，点在棱上，且． (1)证明：平面； (2)设平面与棱交于点，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接，交于点，连接，通过证明与相似得即可； （2）先证明平面，再通过线面平行的性质得，得即可. 【详解】（1）连接，交于点，连接 因为，且， 则， 又， 则， 所以， 又平面，平面， 所以平面． （2）因为，平面，平面， 所以平面， 又平面，平面平面， 所以， 则有，即． 5．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）已知正四面体，M，N分别在棱上，且，，P为棱AC上任意一点（P不与A重合）． (1)求证：直线平面； (2)若正四面体的各棱长均为6．求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）由，得出，再由线面平行的判定定理证明即可； （2）设G为底面的重心，由平面得出三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，再由等体积法求出三棱锥的体积． 【详解】（1）∵，∴，∵， ∴，又平面，平面，∴平面． （2）设G为底面的重心，Q为AC的中点，如图所示 则，，， 所以． 由（1）可知，且平面，平面，故平面， 所以点M与点N到平面的距离相等， 所以三棱锥的体积与三棱锥的体积相等， 又三棱锥的体积与三棱锥的体积相等， 所以， 所以三棱锥的体积为． 【题型六 证线面垂直的常用方法】 一、解答题 1．（2024高一·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，平面，底部为菱形，E为的中点. 求证：平面；    【答案】证明见解析 【分析】利用线面垂直性质以及菱形性质可得，，根据线面垂直判定定理即可得出平面. 【详解】因为平面，平面， 所以， 因为底面是菱形，所以， 因为，平面， 所以平面. 2．（2024高一·全国·专题练习）如图，、、为圆锥三条母线，.证明： 【答案】证明见解析 【分析】应用线面垂直的判定定理证明平面，进而得出线线垂直即可. 【详解】取中点，连接、， 因为、、为圆锥三条母线，， 所以， 又因为平面平面，所以平面， 因为平面，所以. 3．（2024高一·全国·专题练习）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，E为边CD的中点，沿AE把折起，使点D到达点P的位置，且．求证：平面； 【答案】证明见解析 【分析】由勾股定理得出，再由线面垂直的判定定理可得答案. 【详解】由题可知， ，， ，， 为等边三角形， ， ， ． ，平面， 平面． 4．（2025高一·全国·专题练习）如图，平面，底面为矩形，于点．求证：平面； 【答案】证明见解析 【分析】由为矩形及线面垂直的性质得、，再应用线面垂直的判断和性质有，最后应用线面垂直的判定证平面. 【详解】为矩形， 平面平面 ， 又，平面， 平面，又平面， ， 又，平面， 平面. 5．（24-25高一上·北京海淀·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，分别为，的中点. (1)求证：平面； (2)若，平面，求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接，进而根据线面平行的判定定理证明即可； （2）由平面，可得，进而结合可得面，再结合即可求证. 【详解】（1）证明：连接， ∵四边形是平行四边形，且是的中点， ∴是的中点， ∵E为PC的中点， ∴， ∵平面，平面， ∴平面. （2）证明：∵平面，平面， ∴， ∵，，平面， ∴面， ∵， ∴平面. 6．（24-25高一上·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，，，点E、F分别为、的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）取的中点，连接，证明，利用线线平行推出线面平行即可； （2）利用勾股定理证明，再利用题设条件证明平面，由线面垂直的性质即可证得. 【详解】（1）如图，取的中点，连接，因分别为、的中点，    则 又故 即四边形是平行四边形，则， 因为平面，平面，故平面； （2）因为，，，所以，可得， 在直三棱柱中，因平面，平面，则， 又平面，故平面， 因平面，故； 7．（24-25高一上·北京·期中）如图，在四棱锥中，底面为矩形，点E，F分别为，的中点，平面.    (1)求证:平面； (2)求证:; (3)若，，求四面体的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）取中点，证明四边形是平行四边形，可得，根据线面平行的判定定理得证； （2）先证明平面，再证明平面，得证； （3）取中点，连接，可证平面，求出，求出四面体的体积. 【详解】（1）取中点，连接，.    因为为中点，所以， 因为为中点，所以， 又因为矩形中，， 所以， 所以四边形是平行四边形 所以， 因为平面平面， 所以平面. （2）因为平面，平面，所以， 因为矩形中，平面， 所以平面，平面， 所以. 因为，是平面内两条相交直线， 所以平面， 因为平面，所以. （3）取中点，连接. 因为为中点，所以， 因为平面，所以平面. 因为直角三角形中，为中点，所以，所以. 四面体体积. 8．（2024高一·全国·专题练习）如图，在五面体中，平面ABC，，，.问：在线段CD上是否存在点P，使得平面ACD?若存在，请指出点P的位置，并证明；若不存在，请说明理由. 【答案】存在，即当P为线段CD的中点时，平面ACD；证明见解析 【分析】先判断出结论；证明时分别取的中点为，连接，证明，根据线面垂直的性质证明，则，再根据线面垂直的判定定理即可得出结论. 【详解】当P为线段CD的中点时，平面ACD； 证明：分别取的中点为，连接， 则，而，， 故，即四边形为平行四边形， 则， 因为平面ABC，平面，故，则， 由，O为AC中点，故，则， 又平面， 故平面. 当P为线段CD的中点时，平面. 9．（24-25高一上·上海宝山·期末）如图，在棱长为1的正方体中，及分别为棱和的中点． (1)求证：平面； (2)若为棱的中点，求证：平面． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用中位线定理与线面平行的判定定理即可得证； （2）利用线面垂直的性质与判定定理即可得解. 【详解】（1）在正方体中，E，F，G分别为棱和的中点， ，且，则四边形是平行四边形，， 而平面平面DEG，所以平面DEG. （2）在正方体中，平面，面，则， 由是正方形边的中点，得，则， 为棱的中点，在正方形中，， 则，即，则， 又平面DEG，所以平面DEG. 10．（24-25高一上·江苏苏州·期中）已知直三棱柱，F为BC中点，，与交于点 (1)求证：平面 (2)若是等边三角形且，求证：平面 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接，利用相似比相等可证得，结合线面平行的判定定理即可证明； （2）根据线面垂直的性质可得，由线面垂直的判定定理与性质可得，由三角形的性质可得，结合线面垂直的判定定理即可证明. 【详解】（1）连接，且， 又在中，， ， 又平面，平面， 平面 （2）因为直三棱柱， 平面ABC，又平面ABC， ， 又是等边三角形，F为BC中点， ，又，BC，平面， 平面，又平面， 在中，，， 在中，，， ， ，即， 又，，，平面， 平面 【题型七 面面垂直的性质定理应用】 一、解答题 1．（2025高一·全国·专题练习）如图所示，在三棱锥中，平面平面，，为锐角.证明：； 【答案】证明见解析 【分析】利用面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理及性质定理，并结合图形进行证明即可. 【详解】在平面中，过点作的垂线，垂足为. 则，又平面平面，且平面平面，平面，故平面. 又平面，所以， 又，，平面，平面， 所以平面，又平面，故. 2．（24-25高一下·全国·课前预习）如图所示，在四棱锥中，底面是的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，G为AD边的中点.求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】根据面面垂直的性质可得平面，即可得，结合，即可由线面垂直的判定求证. 【详解】由题意知为正三角形，是AD的中点，． 又平面平面，平面平面，平面， 平面，平面，. 又四边形是菱形且， 是正三角形，.又，，平面， 平面. 3．（2024高一·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，， (1)设分别为的中点，求证：平面； (2)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接，结合平行四边形的性质，以及三角形中位线的性质，得到，利用线面平行的判定定理证得结果； （2）取棱的中点，连接，依题意，得，结合面面垂直的性质以及线面垂直的性质得到，利用线面垂直的判定定理证得结果； 【详解】（1）由题意， 连接，易知，， ∴点为的中点，∵为为的中点， 在中，，， 又因为平面，平面， 所以平面． （2）由题意证明如下， 取棱的中点，连接， 在等边三角形中，， ∵平面平面，平面平面， 所以平面， 又平面，故， 又已知，，平面,所以平面． 4．（2024高一·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，且，，，平面平面.求证：平面平面； 【答案】证明见解析 【分析】先应用面面垂直性质定理得出线面垂直，再应用线面垂直判定定理得出线面垂直最后应用面面垂直判定定理证明. 【详解】取PB的中点M，连接AM.∵，∴. 又平面平面，平面平面，平面， ∴平面，又平面，∴. ∵底面ABCD是直角梯形，且， ∴，∴. 又，，平面，∴平面. 又平面，∴平面平面. 5．（2025高一·全国·专题练习）在三棱柱中，侧面平面，，侧面为菱形，且为中点.证明：平面. 【答案】证明见解析 【分析】由条件，结合面面垂直的性质定理证明面，再由线面垂直的判定定理证明平面. 【详解】根据题意，即， 又侧面平面，平面平面，平面， 所以面， 而平面，所以， 因为侧面为菱形，，所以为等边三角形，又为中点， 所以， 又平面， 所以平面. 6．（2025高一·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，平面平面，，为棱的中点，点在棱上，，且，证明：平面. 【答案】证明见解析 【分析】取靠近的三等分点构造平面，通过推理、计算证明，得到平面，继而得，最后利用面面垂直的性质证得. 【详解】 如图，取棱靠近的三等分点，连结，则是的中点， 因为为棱的中点，所以，因为，所以， 设，因，故， 作于，则，因为，所以． 在中，由余弦定理得， 由可得，．由上， 又平面，则平面， 因为平面，所以，又平面平面，平面平面，面， 平面. 7．（2025高一·全国·专题练习）如图，在几何体中，互相平行，四边形与四边形 是全等的等腰梯形，平面平面，，点分别为的中点.证明：平面平面.    【答案】证明见解析. 【分析】根据已知有，结合面面垂直的性质有平面，进而有，取的中点M，连接，易得，最后由线面、面面垂直的判定证结论. 【详解】如图，因为四边形是等腰梯形，点G为的中点，点H为的中点， 所以，又平面平面，平面， 平面平面， 所以平面， 又平面， 所以， 取的中点M，连接， 则四边形是边长为2的菱形， 所以， 又， 所以， 因为且都在面内， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面.    【题型八 全等、相似在垂直问题中的应用】 一、解答题 1．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，侧面底面．与是否互相垂直？请证明你的结论． 【答案】互相垂直，证明见解析 【分析】取的中点，连接，，先根据面面垂直的性质定理得到底面，进一步根据线面垂直得到，再证明，根据线面垂直的判定定理得到平面，最后根据线面垂直的定义可得. 【详解】与互相垂直．证明如下：如图，取的中点，连接，． ，， 又侧面底面，平面平面，平面， 底面， 又平面，． 在和中，，,， 所以：. 所以，， ，， 又，且，平面，平面， 又平面，，即与互相垂直． 2．（2024高一·全国·专题练习）四棱锥中，，底面为等腰梯形，，，为线段的中点，.证明：平面；    【答案】证明见解析 【分析】借助等腰三角形三线合一可得线线垂直，再结合相似三角形的性质与线面垂直判定定理及性质定理即可证明. 【详解】因为为线段的中点，所以， 在等腰梯形中，作于， 则由得， 所以，所以， 因为，所以，则， 所以，所以，所以， 因为，平面，所以平面， 因为在平面内，所以， 因为在平面内，所以平面    3．（2025高一·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，.证明：是等腰三角形. 【答案】证明见解析 【分析】取为中点，先证平面，即可证，再通过平面平面，证得，再通过线线垂直，证得平面，从而证得，由此即可求证是等腰三角形. 【详解】设为的中点，连接，，如图所示. 因为，，， 所以，所以， 故，即， 又，，平面，， 所以平面，因为平面，所以， 因为平面平面，平面平面， ，所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面，所以平面. 因为平面，所以， 在中，，为的中点， 所以，即是等腰三角形. 4．（24-25高一上·贵州毕节·阶段练习）如图，在四棱锥中，，底面是直角梯形，.    (1)求证：平面平面； (2)求证：； 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； 【分析】（1）取的中点，连接、，即可得到，再说明，即可得到平面，从而得证. （2）由（1）可知，再说明，得到平面，即可得证. 【详解】（1）取的中点，连接、，由，得， 又，则，在直角梯形中，，， 则，又，有，于是， 又，平面，因此平面，又平面， 所以平面平面.    （2）由（1）知平面，平面，则， 在梯形中，，，， 则，，而， 因此，即，又，平面， 则平面，又平面， 所以. 5．（24-25高一上·安徽阜阳·开学考试）如图，已知在矩形中，，，点是边的中点，与相交于点，现将沿折起，点的位置记为，此时，是的中点． (1)求证：平面； (2)求证：面； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）法一：利用线面平行的判断定理，构造中位线，即可证明；法二：构造面面平行，即可证明线面平行； （2）由几何关系，证明，，即可证明线面垂直； 【详解】（1）法一：在矩形中，连接，交于点，则易知四边形为矩形， 所以与互相平分，即点为中点，又因为点为中点， 所以在三棱锥中，，平面，平面， 所以平面 法二：取线段的中点，连接、， 翻折前，在矩形中，为的中点，， 则，所以，， 翻折后，在三棱锥中，、分别为、的中点， 则，平面，平面，平面， 为的中点，且，则， 所以，为的中点，又因为为的中点，所以，， ∵平面，平面，所以，平面， ∵，所以，平面平面， 因为平面，∴平面； （2）在矩形ABCD中，，， ，， 因为，则， 因为，为的中点，所以，，则 所以，，所以，， 所以，即， 在三棱锥中，则有，， 因为，所以，平面． 6．（23-24高一下·福建莆田·期末）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，为棱的中点，，，直线与所成的角的大小为． (1)证明：平面； (2)证明：平面； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）设与相交于点，连接，证明，利用线面平行的判定即可证明； （2）利用正弦定理得，再证明，最后利用线面垂直的判定定理即可证明； 【详解】（1）连接，设与相交于点，连接. 四边形是菱形，为的中点. 是棱的中点，. 又平面平面， 平面. （2）直线与所成的角为，且， 就是直线与所成的角或其补角. ，，， 在中，由正弦定理得，， 即，解得. ，即，从而. 四边形是菱形，且，, 是等边三角形，从而. 又，. ，从而. 又平面平面， 平面. 7．（23-24高一上·河南漯河·阶段练习）如图，在矩形中，，，M是线段AD上的一动点，将沿着BM折起，使点A到达的位置，满足点平面且点在平面内的射影E落在线段BC上.    (1)当点M与端点D重合时，证明：⊥平面； (2)求三棱锥的体积的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）作出辅助线，得到平面，，再设，则，利用勾股定理，求出和各边长，得到，由勾股定理逆定理得到，从而证明出线面垂直； （2）作出辅助线，证明出三点共线，得到三角形相似，从而设，则，并且，求出，求出最大值. 【详解】（1）连接，，则⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为，，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为，， 所以，， 设，则， 由勾股定理得， ， 又，所以， 解得，则， 则， 故， 由勾股定理逆定理得， 又⊥，，平面， 所以⊥平面；    （2）在矩形中作，垂足为，折起后得，    由⊥平面，平面，得到⊥， 且平面，，可得⊥平面， 由平面，可得⊥，可知三点共线， 则与相似，故， 设，则， 可得，， 点在平面内的射影E落在线段BC上. 则，故， 所以， 当时，三棱锥的体积取得最大值，最大值为. 【点睛】方法点睛：立体几何中体积最值问题，一般可从三个方面考虑：一是构建函数法，即建立所求体积的目标函数，转化为函数的最值问题进行求解；二是借助基本不等式求最值，几何体变化过程中两个互相牵制的变量（两个变量之间有等量关系），往往可以使用此种方法；三是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值. 一、解答题 1．（2024高一·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，是边长为2的正三角形，，，，，，分别是线段，的中点，求证：平面 【答案】证明见解析. 【分析】取中点，连，，根据给定条件，结合线面平行的判定，面面平行的判定、性质推理作答. 【详解】取中点，连，，如图， 因是的中点，则，又平面，平面，因此平面， 在梯形中，，是线段的中点，则，又平面，平面， 因此平面，而平面，，则平面平面，又平面， 所以平面． 2．（2025高一·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，四边形为菱形，，，平面，分别是，的中点．证明：直线平面； 【答案】证明见解析 【分析】连接，可得，结合平面，可得，即可证明直线平面. 【详解】连接， 因为四边形为菱形，， 所以为正三角形， 又是的中点，所以， 又，所以， 又平面，平面， 所以，又，平面， 所以平面. 3．（2025高一·全国·专题练习）如图，且，，且，且，平面，. (1)设平面与平面的交线为，求证：； (2)证明: 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由线面平行的判定定理和性质定理证明即可； （2）由线面垂直的判定定理和性质定理证明即可； 【详解】（1）因为，，所以， 又平面，平面， 所以平面，又平面，平面平面， 所以. （2） 连接，因为且，所以四边形为平行四边形， 又，所以四边形为菱形，所以. 因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以，又， 平面，所以平面，又平面， 所以. 4．（23-24高一下·山东威海·期末）在正三棱柱中，，分别为，的中点.    (1)证明：平面； (2)证明：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线面平行判定定理证明即可； （2）先证明线面垂直再应用平行得出结论. 【详解】（1）    取的中点，连接，， 因为为的中点， 所以且，    又因为且， 所以且， 所以四边形为平行四边形，      所以，    又因为平面，平面， 所以平面. （2）因为为直三棱柱， 所以平面，因为面， 所以，       因为为等边三角形，所以， 又平面， 所以平面，又， 所以平面. 5．（2024高一·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，，平面平面，平面平面，点是的中点，求证：平面；    【答案】证明见解析 【分析】先应用面面垂直得出线面垂直，再根据线面垂直的判定定理得出平面，进而得出线线平行进而得出线面平行. 【详解】 延长交于，连接，面面， 由面面，过C作交线的垂线,平面平面, 平面,得出， 面面，过B作交线的垂线,平面,平面, 平面,得出， 平面,且相交，所以面， 由于平面平面，两个平面的交线为， 由于，是的中点，所以，平面， 故平面，所以， 由平面，面，则平面. 6．（2024高一·全国·专题练习）如图，三棱柱中，侧面是边长为2的正方形，，．证明：； 【答案】证明见解析 【分析】由余弦定理求出得是直角三角形，再由线面垂直的判定定理、性质定理可得答案. 【详解】侧面是边长为2的正方形， ，，， 侧面是平行四边形， ， 在中，由余弦定理有， 解得，所以，， 是直角三角形， ，，，平面， 平面，又平面， . 7．（24-25高一上·湖南长沙·开学考试）如图，已知，直线平面，为的中点． (1)求证：直线平面； (2)若，求证：平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）欲证平面，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证与平面内一直线平行，设，连接，根据中位线定理可知，而平面，平面，满足定理所需条件； （2）欲证平面平面，根据面面垂直的判定定理可知在平面内一直线与平面垂直，根据线面垂直的判定定理可证得直线平面，而，则直线平面，而直线平面，满足定理条件． 【详解】（1）设，连接． 由四边形为平行四边形，得是的中点． 又是中点，在中，． 平面，平面，平面 （2），． 又直线平面，平面． 又，平面直线平面． 由（1）知，，直线平面． 又直线平面，平面平面． 8．（23-24高一下·江苏淮安·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点． (1)求证：平面平面PAC； (2)棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由． 【答案】(1)证明见详解 (2)存在点F为的中点，使得CF∥平面PAE 【分析】（1）根据题意可得，，可得平面PAC，即可得面面垂直； （2）取的中点，可证平面CMN∥平面PAE，结合平行性质分析求解. 【详解】（1）因为平面ABCD，平面ABCD，则， 又因为底面ABCD为菱形，则， 且，平面PAC，可得平面PAC， 由平面，可得平面平面PAC. （2）存在，理由如下： 取的中点，连接， 则∥，则平面PAE，平面PAE，则∥平面PAE， 因为分别为的中点，则∥，， 可知为平行四边形，则∥， 且平面PAE，平面PAE，则∥平面PAE， 又因为，平面CMN，可得平面CMN∥平面PAE， 由题意可知：平面，， 若CF∥平面PAE，则平面CMN，可知点即为点N， 所以存在点F为的中点，使得CF∥平面PAE. 9．（23-24高一下·天津西青·期末）如图，直三棱柱中，，E、F分别为AB、的中点． (1)求证：平面； (2)求证：； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用线面平行的判定定理，即可证明结论； （2）取BC中点为H，先证明平面，再根据线面垂直的性质定理，即可证明结论； （3）证明平面，根据等体积法即可求得答案. 【详解】（1）连接交于O点，连接， 则直三棱柱中，四边形为平行四边形， 则O为的中点，又E为AB的中点，故， 平面，平面， 故平面； （2）取BC中点为H，连接, F为的中点，故，而底面， 故底面，底面，故; 又E为AB的中点，则，而，即， 故，而平面， 故平面，平面，故，即； 10．（2024高一·全国·专题练习）如图，在长方体中，AB=4，，G为AB的中点，E，F分别在线段，AC上，且，求证：平面. 【答案】证明见解析. 【分析】根据给定条件，结合线面平行的判定、面面平行的判定证得平面平面，再利用面面平行的性质推理作答. 【详解】在长方体中，取的中点，连接，如图， 因G为AB的中点，则，而平面，平面，从而平面， 四边形为矩形，而，则有，又， 即有四边形为平行四边形，则，而平面，平面， 从而平面，而，平面，因此平面平面，又平面， 从而平面. 11．（23-24高一下·贵州黔西·期末）如图，在正方体中． (1)求证：∥平面； (2)求证：平面． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）根据题意可得∥，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）连接，可得，，结合线面垂直的判定定理分析证明. 【详解】（1）因为为正方体，则∥，且， 可知为平行四边形，则∥， 且平面，平面，所以∥平面. （2）连接， 因为为正方形，则， 又因为平面，平面，则， 且，平面， 可得平面， 由平面，可得， 同理可得：， 且，平面， 所以平面. 12．（2024高一·全国·专题练习）如图，已知在三棱柱中，，，F是线段BC的中点，点O在线段AF上，.D是侧棱中点，.证明：平面. 【答案】证明见解析 【分析】由线面平行的判定定理可知，只需在平面内找到一条和平行的直线即可. 【详解】连接，并延长交于G，连接， ∵，，F是线段BC的中点， ∴，又， ∴O是的重心，∴， 又D是侧棱中点，∴， ∴， 又平面，平面， ∴平面. 13．（23-24高一下·江苏淮安·阶段练习）如图，在三棱柱中，． (1)若平面平面，求证：∥； (2)若平面平面，，求证：平面. 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）根据题意可证∥平面，结合线面平行的性质分析证明； （2）连接，根据面面垂直的性质可得平面，即可得，根据题意结合线面垂直的判定定理分析证明. 【详解】（1）因为∥，且平面，平面，可得∥平面， 又因为平面，平面平面， 所以∥. （2）连接， 由题意可知：为菱形，则， 且平面平面，平面平面，平面， 可知平面，且平面，可得， 且，，平面， 所以平面. 14．（23-24高一下·江苏常州·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，底面是平行四边形，点为的中点，点分别在上，且平面平面． (1)求证：为线段中点； (2)若点在棱上，猜想：当为何值时，有平面平面，并证明你的猜想． 【答案】(1)证明见解析 (2)当时，有平面平面 【分析】（1）根据面面平行的性质定理证得，由此证得为线段中点. （2）当为中点时，由面面垂直上可得平面，进而可得平面，可得结论. 【详解】（1）依题意平面平面， 由于平面平面，平面平面， 所以，由于底面是平行四边形，点为的中点， 所以为线段中点. （2）存在，，即为中点时，平面平面， 证明如下：连接交于点，连接． 因为，所以四边形为平行四边形， 所以是的中点．又因为为中点，所以． 因为为等边三角形，点为的中点，所以， 因为平面平面，平面平面， 所以平面，又，所以平面， 又平面，所以平面平面． 当时，有平面平面． 15．（23-24高一下·吉林长春·期中）如图，已知等腰梯形ABCD中（图1），是BC的中点，，将沿着AE翻折（图2），使得直线AB与CD不在同一个平面，得到四棱锥 (1)求直线与所成的角的大小； (2)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）根据折叠前后的图形几何性质以及异面直线夹角的求法即可得到答案； （2）平面公理与线面平行性质定理可得为中点，从而可得结论. 【详解】（1）因为，是的中点，所以，， 故四边形是菱形，从而， 所以沿着翻折成后，， 又因为，所以四边形为平行四边形，则， 则，则直线与所成的角的大小为. （2）存在，理由如下： 假设线段上是存在点，使得平面， 过点作交于，连接，，如下图， 所以，所以，，，四点共面， 又因为平面，平面平面，平面，所以， 综上，四边形为平行四边形，故， 所以为中点，故在线段上存在点，使得平面，且． 16．（23-24高一上·四川·阶段练习）几何体是四棱锥，为正三角形，，，为线段的中点. (1)求证：平面； (2)线段上是否存在一点，使得四点共面？若存在，请求出的值；若不存在，并说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）先由线面平行的判定理证得平面，再证得平面，由此利用面面平行的判定定理证得面面，从而得到平面； （2）先由线面平行的性质定理求得点位置，再由平面几何知识求得，从而利用平行线分线段成比例得到的值. 【详解】（1）记为的中点，连接，如图1， 因为分别为的中点，故， 因为平面平面 所以平面， 又因为为正三角形，所以 ，， 又为等腰三角形，，所以, 所以，即， 所以，又平面平面 所以平面，又，平面， 故平面平面， 又因为平面，故平面. （2）延长相交于点，连接交于点，连接，过点作交于点，如图2， 因为平面，平面，平面平面， 所以，此时四点共面， 由（1）可知，，得， 故，又因为，所以， 则有，故. 17．（23-24高一下·青海海南·期末）如图，在四棱柱中，底面是菱形，. (1)求证：平面； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用中位线定理与线面平行的判定定理即可得证； （2）利用线面垂直的判定与性质定理即可得证. 【详解】（1）连接，记，连接，如图所示. 因为在四棱柱，易得为的中点，为的中点， 所以， 又平面平面，所以平面； （2）连接，如图所示. 因为四边形是菱形，所以， 因为，所以， 所以，又为的中点，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以. 18．（23-24高一下·河北承德·阶段练习）如图，正方体的棱长为3，点在棱上，点在棱上，在棱上，且是棱上一点.    (1)求证：四点共面； (2)若平面∥平面，求证：为的中点. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）在上取一点，使得，连接，可得四边形和是平行四边形，则，，再由题意可得是平行四边形，从而得，所以，进而可得结论； （2）由面面平行的性质可得，则，然后在和中可求得结果. 【详解】（1）证明：在上取一点，使得， 连接，则， 因为，所以四边形是平行四边形， 所以， 同理，四边形是平行四边形，所以，且， 又，且，所以， 所以四边形是平行四边形，所以， 所以， 所以四点共面.    （2）因为平面平面，平面平面，平面平面， 所以. 所以. 在中，， 在中，， 所以，即为的中点. 19．（23-24高一下·河北廊坊·期末）如图，四棱柱的底面是正方形，． (1)证明：平面∥平面； (2)证明：平面平面． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）根据题意可证∥，∥，结合线面平行、面面平行的判定定理分析证明； （2）根据题意可证平面，结合面面垂直的判定定理分析证明. 【详解】（1）由题意可知：∥，，可知为平行四边形， 则∥，且平面，平面，可得∥平面， 又因为∥，，可知为平行四边形， 则∥，且平面，平面，可得∥平面， 且，平面，所以平面∥平面. （2）因为为正方形，则， 因为，则， 可得， 设，可知为的中点，则， 且，平面，可得平面， 由平面，所以平面平面. 20．（23-24高一下·山东菏泽·阶段练习）在四棱锥中，为与的交点，平面，是正三角形，，.    (1)求异面直线和所成角的大小； (2)若点为棱上一点，且平面，求的值； (3)求证：平面平面. 【答案】(1). (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据异面直线的定义可得为所求角，即可利用线面垂直的性质求解， （2）根据线面平行的性质可得，即可由相似求解， （3）根据线面垂直的判定求证平面，即可由面面垂直的判定求解. 【详解】（1）因为，所以异面直线和所成角为和所成角，即， 因为是正三角形，， 所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以，所以是等腰直角三角形， 所以，   即异面直线和所成角为. （2）因为平面，平面，平面平面， 所以，所以， 因为，， 所以， 所以. （3）取的中点，连接，，    因为是正三角形，，所以， 因为是中点，所以， 因为平面， 所以，，， 因为，所以，， 设，在等腰直角三角形中，， 在中，， 在直角梯形中，， 因为，点为的中点， 所以， 在中，， 在中，由，，，可知， 所以， 由，，，平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面. 21．（23-24高一下·海南海口·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，点，分别为，的中点，设平面平面. (1)证明：平面； (2)证明：； (3)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)1 【分析】 （1）取PB的中点Q，连接QF，EQ，由题意可证得四边形DEQF为平行四边形，可证得，进而可证得结论； （2）由（1）及线面平行的性质定理，可证得结论； （3）取AB的中点N，由中位线的性质可得，再由线面平行的判断定理可得平面DBF，并可得． 【详解】（1） 取PB的中点Q，连接QF，EQ， 因为点E，F分别为AD，PC的中点， 由题意可证得，且，， 所以，且， 所以四边形DEQF为平行四边形，所以， 而平面PBE，平面PBE， 所以平面PBE. （2） 设平面平面， 由（1）可得平面，平面， 所以. （3） 在棱AB上存在点N为AB的中点，连接EN，BD， 因为E为AD的中点，所以，平面，平面， 所以平面， 此时． 22．（24-25高一上·安徽·开学考试）如图，在四棱锥中，，，底面是直角梯形，，，． (1)求证：平面平面； (2)求证：； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）取的中点，连接、，即可得到，再说明，即可得到平面，从而得证； （2）由（1）可知，再说明，得到平面，即可得证； 【详解】（1）取的中点，连接、， 因为，所以，又，所以， 因为底面是直角梯形，，， 所以，又，所以，所以， 又，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面； （2）由（1）可知平面，平面，所以， 在梯形中，，，， 所以，所以， 又，所以，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以； 23．（23-24高一下·辽宁沈阳·期末）如图，正三棱柱中，，点为的中点. (1)证明：平面平面 (2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，7，理由见解析； 【分析】（1）由已知条件证明平面，即可证明平面平面；（2）在平面内过点作交于点，证明出与相似，从而，代入数据求解即可; （3）在平面上，过点作垂直垂足为，过点作的垂线垂足为，连接，证明为二面角的平面角，再求即可. 【详解】（1）在正三棱柱中，因为点为的中点， 则， 又平面，平面， 则有， 而，平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面， （2）在平面内过点作交于点， 因为平面平面，平面， 所以平面，则点即为所要找的点， 如下图所示，因为，， 所以与相似， 因此， 即有，于是，，所以. 24．（23-24高一下·广东深圳·期中）如图，长方体中，，，点是棱的中点． (1)求异面直线与所成的角的大小； (2)当实数，证明：直线与平面垂直； (3)若．设是线段上的一点（不含端点），满足，求的值，使得三棱锥与三棱锥的体积相等． 【答案】(1)； (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由线面垂直的判定证明平面即可； （2）由，及进行证明； （3）由，则，故，进行求解． 【详解】（1）连接，由四边形为正方形，可得， 在长方体中，平面， 又平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 又平面，所以， 即异面直线与所成的角的大小为； （2）当时，， 因为，所以， 所以，则， 所以，即， 在长方体中，平面， 又平面，所以， 因为且都在面内，所以平面， 又平面，所以，同理， 又且都在面内，所以直线平面； （3）设与平面的斜足为， 因为， 所以， 所以，则，故， 所以在线段上取一点，要使三棱锥与三棱锥的体积相等，则为的中点，即． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$