6.2.3 组合与6.2.4组合数课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册

6.2排列与组合 第六章 计算原理 课时3 组合与组合数 新知探究 探究一：组合的概念 情境设置 问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动,其中1名同学参加上午的活动,另1名同学参加下午的活动,有几种不同的选法? 问题2：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？ 甲乙 甲乙，乙甲 甲丙 甲丙，丙甲 乙丙 乙丙，丙乙 组合 排列 2 新知生成 知识点一 组合的概念 1.排列 一般地，从𝑛个不同的元素中取出𝑚(𝑚≤𝑛) 个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫作从𝑛个不同元素中取出𝑚 个元素的一个排列. 2.组合 一般地，从𝑛个不同元素中取出𝑚(𝑚≤𝑛)个元素作为一组，叫作从𝑛 个不同元素中取出𝑚 个元素的一个组合.我们把有关求组合的个数的问题叫作组合问题. 3.排列与组合的区别 排列需要考虑元素的顺序，组合不需要考虑元素的顺序. 3 一、组合概念的理解 例题1 判断下列问题是排列问题，还是组合问题. (1) 10人相互写一封信，共写出了多少封信？ (2) 10人相互通一次电话，共通了多少次电话？ (3) 10支球队以单循环的方式进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场次？ (4) 从10人中选出3人担任不同学科的科代表，有多少种选法？ 【解析】(1)是排列问题，因为写信人与收信人是有顺序区别的. (2)是组合问题，因为甲与乙通一次电话，也就是乙与甲通一次电话，没有顺序的区别. (3)是组合问题，因为每两支球队比赛一次，没有顺序的区别. (4)是排列问题，因为3人担任哪一科的科代表是有顺序区别的. 4 反思感悟 方法总结 判断一个问题是否是组合问题的方法技巧： 区分排列与组合的关键是看结果是否与元素的顺序有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，而交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，也就是说排列问题与选取元素的顺序有关，组合问题与选取元素的顺序无关. 5 新知运用 跟踪训练1 判断下列问题是排列问题，还是组合问题. (1)把当日动物园的4张门票分给5个人，每人至多分1张，而且票必须分完，有多少种分配方法？ (2)从2，3，5，7，11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数，共能构成多少个不同的分数？ (3)从9名学生中选出4名参加一个联欢会，有多少种不同的选法？ 【解析】(1)是组合问题，由于4张票是相同的（都是当日动物园的门票），不同的分 配方法取决于从5人中选择哪4人，这和顺序无关. (2)是排列问题，选出的2个数作分子或分母，结果是不同的. (3)是组合问题，选出的4人无角色差异，不需要排列他们的顺序. 6 新知探究 探究二：组合数公式 情境设置 问题：你能根据排列数的定义，总结出组合数的定义吗？ 组合数 排列数 把从𝒏个不同元素中取出𝒎(𝒎≤𝒏)个元素的所有不同排列的个数，叫做从𝒏个不同元素中取出𝒎个元素的排列数， 符号 : 从𝒏个不同元素中取出𝒎(𝒎≤𝒏)个元素的所有不同组合的个数，叫做从𝒏个不同元素中取出𝒎个元素的组合数， 符号：. 7 新知生成 知识点二 组合数与组合数公式 问题1：从3个不同元素中取出2个元素： 排列： 𝑎𝑐,𝑐𝑎 𝑏𝑐,𝑐𝑏 组合： 𝑏𝑐 问题2：从4个不同元素中取出3个元素: 𝑎𝑏𝑐 𝑎𝑐𝑏 𝑏𝑎𝑐 𝑏𝑐𝑎 𝑐𝑎𝑏 𝑐𝑏𝑎 a 组合 排列 8 新知生成 知识点二 组合数与组合数公式 1. 乘积式 2.阶乘式 注意：，且；②规定 9 一、利用组合数公式计算 例题2 (1) 计算： . (2) 解关于的不等式 . 【解析】(1) . (2)由，得，所以，解得 .因 为且，所以，7，8，9，所以的取值集合为，7，8， . 10 反思感悟 方法总结 (1)公式 一般用于求值计算. (2)公式一般用于化简、证明或，较大的计算. 11 新知运用 跟踪训练2 若，则的取值集合为________________________. 【解析】由 ， 可得，解得 . 又，且，所以，6，7，8，9，10， . {5,6,7,8,9,10,11} 12 二、利用组合数公式解简单的组合问题 例题3 在一次物理竞赛中，某学校有10人通过了初试，学校要从中选出4人参加县级培 训，其中甲、乙二人必须参加，有多少种不同的选法？ 【解析】由于甲、乙二人必须参加，则只需要从另外8人中选2人即可，共有 种 不同的选法. 13 反思感悟 方法总结 解简单的组合应用题的策略 (1)解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的 顺序无关； (2)要注意两个计数原理的运用，即分类加法计数原理与分步乘法计数原理的 灵活运用. 提醒:在分类和分步时，一定要注意有无重复或遗漏. 14 新知运用 跟踪训练3 一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球. (1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？ (2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ (3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？ 【解析】(1) 从口袋内的8个球中取出3个球，取法种数是 . (2)从口袋内取出的3个球中有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是 . (3)从口袋内取出的3个球中不含有黑球，于是要从7个白球中取出3个，取法种数是 . 15 新知探究 探究三：组合数的性质 情境设置 问题1：试用两种方法求：从𝑎，𝑏，𝑐，𝑑，𝑒 这5人中选出3人参加数学竞赛，2人参加英语竞赛，共有多少种选法.你有什么发现？你能得到一般结论吗？ 问题2：从含有队长的10名排球队员中选出6人参加比赛，共有多少种选法？若队长必须参加，有多少种选法？若队长不能参加，有多少种选法？你有什么发现？你能推广到一般结论吗？ 16 新知生成 知识点三 组合数的性质 (1) ； (2) . 17 三、组合数的性质 例4 (1) 求的值； (2) 证明： . 【解析】(1) (法一)原式 . (法二)原式 . (2)利用公式推导得，左边 右边. 18 反思感悟 方法总结 要注意的正用、逆用及其变形应用.正用是将一个组合数拆 成两个，逆用则是“合二为一”，变形一般为，它为某些项相互抵消提供了方便，在解题中要注意灵活运用. 19 新知运用 跟踪训练4 (1) 化简： . (2) 已知，求 的值. 【解析】(1) 原式 . (2)由，可得 ， 则，故，解得 . 20 随堂检测 1.现有如下问题： ①将图案不同的4张扑克牌分给2人，每人2张，有几种分法？ ②将图案不同的4张扑克牌分给4人，每人1张，有几种分法？ ③空间中有10个点，其中任何3个点不共线，能构成多少个以这些点为顶点的三角形？ 其中组合问题的个数为( ). A.0 B.1 C.2 D.3 2. 若，则 ( ). A.8 B.5或6 C.3或4 D.4 A C 21 随堂检测 3.北斗七星是夜空中的七颗亮星，我国汉代纬书《春秋运斗枢》就有记载，它们组成的图形类似我国古代舀酒的斗，故命名为北斗七星.北斗七星不仅是天上的星象，也是古人判断季节的依据之一.如图，用点𝐴,𝐵,𝐶,𝐷,𝐸,𝐹,𝐺表示某一时期的北斗七星，其中𝐵, 𝐷,𝐸,𝐹 四点看作共线，其他任何三点均不共线，过这七个点中任意两个点作直线，所得直线的条数为____. 4.证明： . 16 【解析】 . 22 课堂小结 1.知识清单： (1)组合的概念； (2)组合数公式； (3)组合数的性质. 23 $$