精品解析：上海市高境第一中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

2024学年第二学期月考高一数学测试卷 注意：本试卷共有20道试题，满分100分，考试时间90分钟. 一.填空题（本大题满分33分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分. 1. 若函数（其中常数）最小正周期为，则______. 【答案】6 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦函数的周期公式求解即得. 【详解】依题意，，所以. 故答案为：6 2. 若，则是第______象限的角. 【答案】一或第三 【解析】 【分析】由已知的 和  必须同号.根据正余弦的符号分类讨论可得. 【详解】当  时， 和  必须同号. 第一象限： 且 ，满足条件 第三象限： 且 ，乘积仍为正，满足条件. 第二、四象限中， 和  异号，乘积为负，不满足条件. 综上， 是第一或第三象限的角. 故答案为：一或第三 3. 若，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】 利用两角差正切公式即可得到. 【详解】 由两角差的正切公式. 故答案为：. 4. 已知扇形的圆心角为，且弧长为，则该扇形的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求得半径，再根据扇形面积公式即可得解. 【详解】由题意设圆心角、弧长、半径分别为，则，解得， 所以该扇形的面积为. 故答案为：. 5 已知，，则______. 【答案】或 【解析】 【分析】利用余弦函数的性质求解. 【详解】根据余弦函数的性质，当时，在第一象限和第四象限. 因为，所以第一象限的解为，第四象限的解为. 故答案为：或. 6. 已知三角形的三边长分别为5，6，7，那么此三角形的面积等于________． 【答案】 【解析】 【分析】首先利用余弦定理求出，从而可得，再利用面积公式即可得到答案． 【详解】在中，设，，， 由余弦定理可得： 由于在中，，则， 所以 故答案为 【点睛】本题考查余弦定理以及面积公式，属于基础题． 7. 在中，，则这个三角形一定是__________三角形 【答案】等腰 【解析】 【分析】利用正弦定理边化角，进而利用进行化简可得的关系，从而可判断三角形的形状. 【详解】因为，利用正弦定理边化角，得， 又， 所以，即， 化简得，又，得， 所以△ABC为等腰三角形. 故答案为：等腰. 8. 函数图像的对称轴方程是______. 【答案】（其中为整数）. 【解析】 【分析】根据正弦函数的对称性，结合伸缩变换与平移变换的影响得出. 【详解】正弦函数对称轴是直线（其中为整数）. 因为纵坐标的伸缩变换与上下平移变换均不影响水平方向的对称性. 函数的对称轴方程为（其中为整数）. 故答案为：为（其中为整数）. 9. 若锐角满足则______. 【答案】 【解析】 【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求，的值，利用两角差的余弦公式即可计算得解． 【详解】、为锐角，， ，， ，， ． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题． 10. 已知，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】 把已知等式两边平方，求出的值，再利用完全平方公式求出的值，联立求解再结合同角三角函数间的基本关系可求得的值． 【详解】已知，平方得，得， ，，， ，，解得. 故答案为： 【点睛】本题考查同角三角函数间的基本关系，齐次方程的求解，属于中档题． 11. 对于集合（，）及常数，称为集合相对于常数的“余弦方差”，那么集合相对于常数的“余弦方差”的值为______. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】利用余弦的二倍角公式降幂后，利用两角和差的余弦公式进一步化简计算可得. 【详解】对于集合相对于常数的“余弦方差”，根据题目定义，其值为： , 我们使用三角恒等式对每一项进行展开： ，，. 将这三个展开式相加： , 因此，余弦方差化简为：, 无论取何值，结果都为. 故答案为：. 二.选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个是正确的.选对得4分，不选，选错或者选出的代号超过一个，一律得零分. 12. 以下四个命题中，正确的是（ ）. A. 若，则与的终边相同 B. C. 若与的始边与轴正半轴重合，终边互相垂直，则 D. 第四象限角的集合为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，，则与的终边相同或即可判断，对于B，即可判断，对于C，与的始边与轴正半轴重合，终边互相垂直，则即可判断，对于D，第四象限的集合为即可判断. 【详解】对于A：若，则与的终边相同或，故A错误； 对于B：，所以 ，故B正确； 对于C：若与的始边与轴正半轴重合，终边互相垂直，则，故C正确； 对于D：第四象限的集合为，故D错误. 故选：BC. 13. 若且，则的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用半角公式和化简等式，再利用三角函数值的正负即可得到的取值范围. 【详解】 由半角公式和化简得 ，且， 得，所以. 故选：C. 14. “”是“”的（ ）条件 A. 充要 B. 充分非必要 C. 必要非充分 D. 既非充分也非必要 【答案】B 【解析】 【分析】由时，，结合充分、必要条件的定义，分析即得解. 【详解】由题意，若，必有，故充分性成立； 反之若，比如时，有，故必要性不成立； 故“”是“”的充分非必要条件. 故选：B 15. 已知，化简的结果为（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角角公式和辅助角公式即可求解. 【详解】由， ， 故选：B. 三.解答题（本大题满分51分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 16. 化简：. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用诱导公式及同角公式化简得解. 【详解】 . 17. 已知，且为第二象限角，求的值. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用同角公式、二倍角公式及差角的余弦公式求解. 【详解】由，且为第二象限角，得， 则， 所以. 18. 在中，，，，求这个三角形其他各边，各角. 【答案】当的时，；当的时，. 【解析】 【分析】由于给的条件是边边角，又因为，则该三角形具有两解，先根据正弦定理求出的大小，再利用内角和可求解，最后利用正弦定理分别求出两个边 【详解】因为，则该三角形具有两解， 由正弦定理可得：， 解得，则或， 当时，， 又因为， 由正弦定理可得， 当时，，， 同上可得， 则可得， 综上，当的时，； 当的时，. 19. 已知，，且，，求：的值. 【答案】 【解析】 【分析】 求出和的范围，再根据和的值，可以求出和，再根据，利用两角和的正弦公式即可求解. 【详解】 ，， ，， ，, 又，，且， . 20. 已知. （1）化简为形式； （2）求函数的单调减区间； （3）求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1）； （2）； （3）最大值和最小值分别为2和1. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简即得. （2）利用正弦函数的单调性列出不等式，求出单调递减区间. （3）求出相位所在区间，再利用正弦函数的性质求出最大值和最小值. 【小问1详解】 依题意，. 【小问2详解】 由（1）知，，解得， 所以函数的单调减区间是. 【小问3详解】 当时，，则当，即时，， 当，即时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期月考高一数学测试卷 注意：本试卷共有20道试题，满分100分，考试时间90分钟. 一.填空题（本大题满分33分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分. 1. 若函数（其中常数）的最小正周期为，则______. 2. 若，则是第______象限的角. 3. 若，，则______. 4. 已知扇形的圆心角为，且弧长为，则该扇形的面积为__________. 5. 已知，，则______. 6. 已知三角形三边长分别为5，6，7，那么此三角形的面积等于________． 7. 在中，，则这个三角形一定是__________三角形 8. 函数图像的对称轴方程是______. 9 若锐角满足则______. 10. 已知，，则________. 11. 对于集合（，）及常数，称为集合相对于常数的“余弦方差”，那么集合相对于常数的“余弦方差”的值为______. 二.选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个是正确的.选对得4分，不选，选错或者选出的代号超过一个，一律得零分. 12. 以下四个命题中，正确是（ ）. A. 若，则与的终边相同 B. C. 若与的始边与轴正半轴重合，终边互相垂直，则 D. 第四象限角的集合为 13. 若且，则的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 14. “”是“”的（ ）条件 A. 充要 B. 充分非必要 C. 必要非充分 D. 既非充分也非必要 15. 已知，化简的结果为（ ）. A. B. C. D. 三.解答题（本大题满分51分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 16 化简：. 17. 已知，且为第二象限角，求的值. 18. 在中，，，，求这个三角形其他各边，各角. 19. 已知，，且，，求：的值. 20. 已知. （1）化简为形式； （2）求函数的单调减区间； （3）求函数在区间上最大值和最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $