2.5二次函数与一元二次方程第2课时（教学课件）数学北师大版九年级下册

该初中数学课件聚焦二次函数图象与一元二次方程近似解的关系，通过知识回顾（二次函数与方程根的关系、判别式表格）搭建旧知支架，结合情境引入（方程x²+2x-10=0根与函数图象交点的思考），引导学生从旧知自然过渡到新知探究。 其亮点在于以问题驱动探究，通过“估算范围—表格计算—求根公式验证”培养数学思维（推理意识），结合图象观察发展数学眼光（几何直观）。典例分析步骤清晰（如例1作图象、定范围、算近似根），分层练习适配不同水平，课堂小结结构化归纳方法。学生能提升运算能力与探究意识，教师可直接使用分层资源和流程，提高教学效率。

北师大版·九年级下册 2.5 二次函数与一元二次方程 第2课时 第二章 二次函数 学 习 目 标 1.利用二次函数的图象求一元二次方程近似解;（重点） 2.经历探索用二次函数图象求解一元二次方程近似解的过程，体会用二次函数函数图象求一元二次方程解的方法.（难点） 知识回顾 1.二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系? 二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式Δ=b2-4ac 有两个交点 两个相异的实根 b2-4ac > 0 有一个交点 两个相等的实根 b2-4ac = 0 没有交点 没有实数根 b2-4ac < 0 2.抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的 就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根． 横坐标 情境引入 思考:一元二次方程x2＋2x－10＝0的根与二次函数y＝x2＋2x－10的图象(右图所示)与x轴交点的横坐标有什么关系？能否从图象中直接得到方程的根呢？ 一元二次方程x2＋2x－10＝0的根是二次函数y＝x2＋2x－10的图象与x轴交点的横坐标． 这样，我们在不解方程的情况下，只要知道二次函数图象与x轴交点的横坐标即可，但是根据图象我们很难准确地求出方程的解，所以要进行估算，本节课我们将学习利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根． 新知探究 探究：利用图象法求一元二次方程的近似根 右图是二次函数y＝x2＋2x－10的图象.你能利用二次函数的图象估计一元二次方程x2＋2x－10＝0的根吗？ 由图象可知方程x2＋2x－10＝0有两个根，一个根在-5和-4之间，另一个在2和3之间. 议一议：这只是大概范围，如何确定它们的十分位呢？ （1）先求-5和-4之间的根.利用计算器进行探索： x -4.1 -4.2 -4.3 -4.4 y -1.39 -0.76 -0.11 0.56 因此，x=-4.3是方程的一个近似根. 注意：之所以取 x=-4.3 作为方程的近似根而不是 x=-4.4，是因为当x=-4.3时,其函数值更接近0. 新知探究 （2）另一个根可以类似的求出： x 2.1 2.2 2.3 2.4 y -1.39 -0.76 -0.11 0.56 因此，x=2.3是方程的另一个近似根. （3）我们得出的结论是否正确？你能用我们学过的知识进行验证吗？ 可以利用一元二次方程的求根公式进行验证. . ∴x1=,x2=. 用图象法求一元二次方程的近似根时，结果只取到十分位. 新知探究 利用图象法求一元二次方程的近似根 知识归纳 (1)画出二次函数的图象； (2)确定抛物线与x轴的交点的横坐标在哪两个数之间； (3)列表或直接取值代入方程计算，哪一个值能使方程近似成立，则这个值就是方程的近似根． 新知探究 判断方程 ax2+bx+c =0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是（ ） A. 3< x < 3.23 B. 3.23 < x < 3.24 C. 3.24 <x< 3.25 D. 3.25 <x< 3.26 x 3.23 3.24 3.25 3.26 y=ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09 C 1.根据下列表格的对应值: 新知探究 图1 （1）请利用图1求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根. 求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根，即求方程x2+2x-13=0的近似根. 也就是估计抛物线y=x2+2x-13和x轴的交点的横坐标； 由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约为-4.7和2.7. ∴方程x2+2x-10=3的近似根为：x1≈-4.7，x2≈2.7. 做一做 新知探究 （2）你还能利用图2求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根吗？ 图2 y=3 ①作直线y=3； ②观察估计抛物线y=x2+2x-10和直线y=3的交点的横坐标； 由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约为-4.7和2.7(可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值). ∴方程x2+2x-10=3的近似根为：x1≈-4.7，x2≈2.7. 新知探究 2.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的近似根为(　　) A．x1≈－2.1，x2≈0.1 B．x1≈－2.5，x2≈0.5 C．x1≈－2.9，x2≈0.9 D．x1≈－3，x2≈1 B 解析：由图象可得二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－1，而对称轴右侧图象与x轴交点到原点的距离约为0.5， ∴x2≈0.5；又∵对称轴为x＝－1，则＝－1， ∴x1＝2×(－1)－0.5＝－2.5.故x1≈－2.5，x2≈0.5.故选B. 典例分析 利用二次函数的图象估计一元二次方程x2－2x－1＝0的近似根(结果精确到0.1)． 例1 解：方程x2－2x－1＝0的根是函数y＝x2－2x－1的图象与x轴交点的横坐标． 作出二次函数y＝x2－2x－1的图象，如图所示. 由图象可知方程有两个根，一个在－1和0之间，另一个在2和3之间. 先求－1和0之间的根，当x＝－0.4时，y＝－0.04；当x＝－0.5时，y＝0.25.因此，x≈－0.4是方程的一个近似根， 同理，x≈2.4是方程的另一个近似根.即方程x2－2x－1＝0的近似根为x1≈－0.4，x2≈2.4. 利用二次函数的图象求一元二次方程－x 2＋2x－3＝－8的近似根． 例2 典例分析 分析：当 y＝－x2＋2x－3的函数值为－8时，对应点的横坐标即为一元二次方程－x2＋2x－3＝－8的根，如图所示． 解：在平面直角坐标系内作函数 y＝－x 2＋2x－3的图象，如图，由图象可知方程－x 2＋2x－3＝－8的根是抛物线y＝－x 2＋2x－3与直线y＝－8的公共点的横坐标，左边的公共点横坐标在－1与－2之间，右边的公共点横坐标在3和4之间． 典例分析 (1)先求在－1和－2之间的根，利用计算器进行探索： x －1.1 －1.2 －1.3 －1.4 －1.5 y －6.41 －6.84 －7.29 －7.76 －8.25 ∴x＝－1.4是方程－x2＋2x－3＝－8的一个近似根． (2)另一根可以类似地求出： x 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 y －6.41 －6.84 －7.29 －7.76 －8.25 ∴x＝3.4是方程－x2＋2x－3＝－8的另一个近似根． 一元二次方程－x 2＋2x－3＝－8的近似根为：x1≈-1.4，x2≈3.4. 巩固练习 基础巩固题 2.小颖用计算器探索方程ax2+bx+c=0的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根x=-3.4，则方程的另一个近似根（精确到0.1）为（　　） A．4.4 B．3.4 C．2.4 D．1.4 D x 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 y －0.80 －0.54 －0.20 0.22 0.72 1.下表是满足二次函数y＝ax2＋bx＋c的五组数据，x1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个解，则下列选项中正确的是(　　) A.1.6＜x1＜1.8 B.1.8＜x1＜2.0 C.2.0＜x1＜2.2 D.2.2＜x1＜2.4 C 巩固练习 基础巩固题 4.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示，顶点坐标为(－1，－3.2)，由图象可知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别是x1＝1.3，x2＝________． 3.观察下表: 则一元二次方程x2－2x－2＝0在精确到0.1时的一个近似根是 ，利用抛物线的对称性，可推知该方程的另一个近似根是 . x 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 y＝x2－2x－2 －1.31 －1.04 －0.75 －0.44 －0.11 0.24 0.61 2.7 -0.7 －3.3 巩固练习 基础巩固题 6.二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示,则方程ax²+bx+c=0的两个根是____________,若函数y＜0,则对应x的取值范围是___________. 5.下表是一组二次函数 y＝x 2＋3x－5的自变量x 与函数值y 的对应值： 那么方程x 2＋3x－5＝0的一个近似根是 . x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 y －1 －0.49 0.04 0.59 1.16 1.2 x1=1, x2=3 1＜x＜3 巩固练习 基础巩固题 7.用图象法求一元二次方程x2+x-1＝0的近似根（精确到0.1）. 解：画出x2+x-1=0的图象，如图所示，由图象知，方程有两个根，一个在-2和-1之间，另一个在0到1之间.通过计算器估算，可得到抛物线与x轴交点的横坐标大约为-1.6和0.6. 即一元二次方程的实数根为x1≈-1.6，x2≈0.6. 巩固练习 基础巩固题 8.求一元二次方程x2-2x-1=3的近似根（精确到0.1）. 解：y=x²-2x-4的图象如图所示. 由图象可知方程的一根在3到4之间，另一根在-1到-2之间. (1)先求3到4之间的根.利用计算器进行探索： x … 3.2 3.3 … y … -0.16 0.29 … 因此，x=3.2是方程的一个近似根. (2)可类似地求出另一个根为x=-1.2. 2 4 x y O -4 -2 课堂小结 利用二次函数y=ax2+bx+c的图象求一元二次方程ax2+bx+c=0的近似根的一般步骤是怎样的？ ①用描点法作二次函数y=ax2+bx+c的图象； ②观察估计二次函数的图象与x轴的交点的横坐标； ③确定一元二次方程ax2+bx+c=0的解。 作业布置 1.必做题：习题2.11第1-2题。 2.探究性作业：习题2.11第3题。 感谢聆听! $