精品解析：宁夏回族自治区石嘴山市平罗中学2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题

平罗中学2024-2025学年第二学期第一次月考试卷 高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数在区间上的平均变化率是（ ） A. B. C. D. 2. 双曲线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 4. 在等差数列中，，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. “”是“方程表示椭圆”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知函数在处取得极小值，则的极大值为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 7. 若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 8. 函数，若存在，使有解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、不定项选择题：本大题共3小题，共18分． 9. 已知函数的导函数的图象大致如图所示，下列结论正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 在上单调递增 C. 曲线在处的切线的斜率为0 D. 曲线在处的切线的斜率为4 10. 函数满足，则正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则下列选项中正确的是（ ） A. 函数在区间上单调递增 B. 函数在的值域为 C. 函数在点处的切线方程为 D. 关于的方程有2个不同的根当且仅当 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数满足，则______. 13. 某学校开设4门球类运动课程、5门田径类运动课程和2门水上运动课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有_____________种. 14. 曲线过点的切线方程为__________. 四、解答题：本题共5小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数且在处取得极值. （1）求a，b的值； （2）求函数在的最大值与最小值. 16. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上. （1）求点的坐标和抛物线的准线方程； （2）过点的直线与抛物线交于两个不同点，若的中点为，求的面积. 17. 已知等比数列的公比. （1）求的通项公式； （2）令，求的前项和. 18. 某校高二年级某小组开展研究性学习，主要任务是对某产品进行市场销售调研，通过一段时间的调查，发现该商品每日的销售量单位：千克与销售价格单位：元千克近似满足关系式，其中，，，为常数，已知销售价格为元千克时，每日可售出千克，销售价格为元千克时，每日可售出千克． （1）求的解析式； （2）若该商品的成本为元千克，请你确定销售价格的值，使得商家每日获利最大． 19. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）当时，恒成立，求实数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平罗中学2024-2025学年第二学期第一次月考试卷 高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数在区间上的平均变化率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平均变化率的定义计算． 【详解】由题意平均变化率为． 故选：A． 2. 双曲线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的性质即可求解. 【详解】的焦点在轴上，且则， 故焦点为， 故选：B. 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】据函数乘法求导公式进行求导即可. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 4. 在等差数列中，，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列项的性质计算即可. 【详解】因为是等差数列， 所以,所以. 故选：D. 5. “”是“方程表示椭圆”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由方程表示椭圆可得，求解可判断结论. 【详解】若方程表示椭圆，则，解得且， 所以“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件． 故选：B. 6. 已知函数在处取得极小值，则的极大值为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由求出，再检验是否符合题意即可. 【详解】由题得，因为函数在处取得极小值， 所以或， 当时，，， 所以当时，，当时，， 所以函数在处取得极小值，符合题意， 所以函数在处取得极大值为； 当时，，， 所以当时，，当时，， 所以函数在处取得极大值，不符合题意； 综上，的极大值为4. 故选：A 7. 若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先分析出当切线与直线平行时，点到直线距离最小，设出切点，求导后利用斜率得到切点坐标，求出答案. 【详解】过点作曲线的切线，当切线与直线平行时，点到直线距离最小. 设切点为， 所以切线斜率为，由题知，解得或（舍）， ，此时点到直线距离. 故选：D 8. 函数，若存在，使有解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，利用导数求最值，进而得的取值范围. 【详解】若存在，使得有解，即． 设，，则． 令，解得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减，所以． 故的取值范围为． 故选：A 二、不定项选择题：本大题共3小题，共18分． 9. 已知函数的导函数的图象大致如图所示，下列结论正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 在上单调递增 C. 曲线在处的切线的斜率为0 D. 曲线在处的切线的斜率为4 【答案】BD 【解析】 【分析】根据导数的正负与函数单调性的关系可判断A，B；根据导数的几何意义可判断C，D. 【详解】由导函数的图象可知当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增，A错误； 由图象可知当时，，在上单调递增，B正确； 由于，根据导数的几何意义可知在处的切线的斜率为4，C错误，D正确， 故选：BD 10. 函数满足，则正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数探讨单调，再比较大小即得. 【详解】依题意，令函数，求导得，函数在R上递减， 对于A，，，则，A正确； 对于B，，，则，B错误； 对于C，，，则，C正确； 对于D，，，则，D错误. 故选：AC 11. 已知函数，则下列选项中正确的是（ ） A. 函数在区间上单调递增 B. 函数在的值域为 C. 函数在点处的切线方程为 D. 关于的方程有2个不同的根当且仅当 【答案】BC 【解析】 【分析】A通过判断在上是否恒大于等于0可得选项正误；B利用导数求出在上的单调性，据此可得值域；C由导数知识可得在点处的切线；D将问题转化为图象与直线有两个交点. 【详解】对于A，，，则在上单调递减，故A错误； 对于B，由A分析，，则在上单调递增， 则， 故函数在上的值域为； 对于C，由题，， 则点处的切线方程为，故C正确； 对于D，即图象与直线有两个交点，由上述分析可得大致图象如下， 则要使图象与直线有两个交点，，故D错误. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数满足，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的运算法则，求得，令，得到关于的方程，即可求解. 【详解】由函数，可得， 令，可得，即，解得. 故答案为：. 13. 某学校开设4门球类运动课程、5门田径类运动课程和2门水上运动课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有_____________种. 【答案】11 【解析】 【分析】直接根据分类加法计数原理得答案. 【详解】根据分类加法计数原理得不同的选法共有种. 故答案为：11. 14. 曲线过点的切线方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】求导，根据点斜式求解直线方程，代入即可求解，进而可求解. 【详解】设切点为，则， 故切线方程为， 将代入可得，解得， 故切线方程为，即， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数且在处取得极值. （1）求a，b的值； （2）求函数在的最大值与最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用来求得的值. （2）结合（1）求得在区间上的最值，由此确定正确结论. 【小问1详解】 ， 依题意，解得. ， 所以在区间上递增； 在区间上递减. 所以在处取得极大值，在处取得极小值，符合题意. 【小问2详解】 ， ， 由（1）知，在区间上的最大值为，最小值为. 16. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上. （1）求点的坐标和抛物线的准线方程； （2）过点的直线与抛物线交于两个不同点，若的中点为，求的面积. 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】 （1）因为在抛物线上，可得，由抛物线的性质即可求出结果； （2）由抛物线的定义可知，根据点斜式可求直线的方程为 ，利用点到直线距离公式求出高，进而求出面积. 【详解】（1）∵在抛物线上，， ∴点的坐标为，抛物线的准线方程为； （2）设 的坐标分别为，则， ，∴直线的方程为 ， 点到直线的距离， . 【点睛】本题主要考查了抛物线的基本概念，直线与抛物线的位置关系，属于基础题. 17. 已知等比数列的公比. （1）求的通项公式； （2）令，求的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出等比数列的公比，利用已知条件列出关系式，即可求解公比，可求数列的通项公式； （2）通过， 得到数列通项公式，然后利用裂项相消法求解数列的前项和. 【小问1详解】 设的公比为，因为， 所以，所以， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 因为， 所以 故. 18. 某校高二年级某小组开展研究性学习，主要任务是对某产品进行市场销售调研，通过一段时间的调查，发现该商品每日的销售量单位：千克与销售价格单位：元千克近似满足关系式，其中，，，为常数，已知销售价格为元千克时，每日可售出千克，销售价格为元千克时，每日可售出千克． （1）求的解析式； （2）若该商品的成本为元千克，请你确定销售价格的值，使得商家每日获利最大． 【答案】（1）， （2）元千克 【解析】 【分析】（1）依题意可得当时，，当时，，即可得到关于、的方程组，解得即可； （2）设每日销售该商品获利元，即可得到的解析式，再利用导数求出函数的单调性，即可求出函数的最大值，从而得解. 【小问1详解】 由题意可知，当时，， 当时，， 即，解得， 所以，， 【小问2详解】 设每日销售该商品获利元，则 ， 则， 令，得或舍去， 所以时，，为增函数， 时，，为减函数， 所以时，取得最大值， ， 所以销售价格定为元千克，商家每日获利最大． 19. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）当时，恒成立，求实数的最小值． 【答案】（1）； （2） 当时，函数的递增区间为，递减区间为； 当时，函数的递增区间为上单调递增，递减区间为； 当时，函数的递增区间为； 当时，函数的递增区间为，递减区间为. （3）. 【解析】 【分析】（1）把代入，求出导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）求出导数，再按分类求出函数的单调区间. （3）由（2）的信息，求出函数的最大值，再由已知建立恒成立的不等式并分离参数，构造函数并利用导数求出最大值即可. 【小问1详解】 当时，函数，求导得，则，而， 所以所求切线方程为. 【小问2详解】 函数的定义域为，求导得， 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，由，得或；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，恒成立，函数在上单调递增； 当时，由，得或；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数的递增区间为，递减区间为； 当时，函数的递增区间为上单调递增，递减区间为； 当时，函数的递增区间为； 当时，函数的递增区间为，递减区间为. 【小问3详解】 由（2）知当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 则， 依题意，，即恒成立， 令函数，求导得， 当时，，当时，，函数在上递增，在上递减， 即，因此， 所以最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $