精品解析：上海市育才初级中学2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

育才初级中学2024学年第二学期九年级数学学科阶段跟踪练习 （满分150分，完卷时间100分钟） 请注意：本试卷共25题．请将所有答案做在答题纸的指定位置上，做在试卷上一律不计分． 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 已知的直径是6，直线l是的切线，则圆心O到直线l的距离是（ ）． A 3 B. 4 C. 6 D. 12 2. 已知平面内有和点，，若半径为，线段，，则直线与位置关系为（ ） A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 相交或相切 3. 如图，直角坐标系中，，，经过A，B，C三点的圆，圆心为M，若线段，则点D与的位置关系为（ ） A. 点D在上 B. 点D在外 C. 点D在内 D. 无法确定 4. 如图，，，是某社区的三栋楼，若在中点处建一个基站，其覆盖半径为，则这三栋楼中在该基站覆盖范围内的是（    ） A. ，，都不在 B. 只有 C. 只有， D. ，， 5. 下列命题中，真命题是（） A. 内含两圆的圆心距大于零 B. 没有公共点的两圆叫两圆外离 C. 联结相切两圆圆心的线段必经过切点 D. 相交两圆的交点关于这两个圆的连心线对称 6. 如图，的半径于点，连接并延长交于点，连接．若，，则为(　　) A. B. C. D. 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 正十边形的中心角的度数为_____． 8. 如图，是以为底边的等腰三角形，点为的外心，连接，交于点．若，则的长为_____． 9. 已知点P为平面内一点，若点P到上的点的最长距离为5，最短距离为1，则的半径为______． 10. 已知点P在半径为5的⊙O外，如果设OP＝x，那么x的取值范围是___________． 11. 如图，、和分别为⊙内接正方形，正六边形和正边形的一边，则是_____． 12. 如图，已知的半径为1，圆心在抛物线上运动，当⊙与轴相切时，圆心的坐标为_____． 13. 以点为圆心，为半径画圆，与坐标轴恰好有三个公共点，则的值为__________． 14. 如图，沿弦折叠扇形纸片，圆心O恰好落在上的点C处，，则四边形的面积为___． 15. 在中，，，，若以为直径作⊙，则点在⊙_____．（填“内”、“外”、“上”） 16. 已知同一个圆的内接正六边形与内接正三角形的面积之差为，则该圆的半径为_____． 17. 如图，直线与轴、轴分别相交于A、B两点，点，点，圆心的坐标为，圆与轴相切于点．若将圆沿轴向左移动，当圆与线段有公共点时，令圆心的横坐标为，则的取值范围是________． 18. 如图，在梯形中，，，，，，点在边上，以为半径的交边于点，当四边形是一个等腰梯形，且与有公共点时，则的半径长的取值范围是______． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19. 如图，已知⊙O的直径AB=10，点P是弦BC上一点，联结OP，∠OPB=45°，PC=1，求弦BC的长． 20. 如图，⊙和⊙相交于、两点，与交于点，的延长线交⊙于点，点为的中点，，连接．求证：； 21. 已知：如图，⊙O1与⊙O2外切于点T，经过点T的直线与⊙O1、⊙O2分别相交于点A和点B． （1）求证：O1AO2B； （2）若O1A＝2，O2B＝3，AB＝7，求AT的长． 22. 如图1是一张乒乓球桌，其侧面简化结构如图2所示，台面（台面厚度忽略不计）与地面平行，且高度为（台面与地面之间的距离），直线型支架与的上端、与台面下方相连，与的下端、接触地面，直线型支架与的上端、与台面下方相连，下端、与、相连，圆弧形支架分别与、在点、相连，且，，，，，，已知，，． （1）求的长度． （2）所在圆经过点P、Q时，求所在的圆的圆心到台面之间的距离． 23. 已知：⊙的直径，⊙与相交于点，D，⊙的直径与⊙相交于点，设⊙的半径为，的长为， （1）如图，当点在线段上时，求关于的函数解析式，并写出定义域； （2）当点在线段上时，如果的长为3，求公共弦的长； 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴负半轴交于点，与轴的正半轴交于点，⊙经过点、点（圆心在轴负半轴上），已知，． （1）求点到直线的距离； （2）求直线的解析式； （3）在⊙上是否存在点，使得四边形为菱形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，cosC＝，DC＝5，BC＝6，以点B为圆心，BD为半径作圆弧，分别交边CD、BC于点E、F． （1）求sin∠BDC值； （2）联结BE，设点G为射线DB上一动点，如果△ADG相似于△BEC，求DG长； （3）如图2，点P、Q分别为边AD、BC上动点，将扇形DBF沿着直线PQ折叠，折叠后的弧D'F'经过点B与AB上的一点H（点D、F分别对应点D'，F'），设BH＝x，BQ＝y，求y关于x的函数关系式（不需要写定义域）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 育才初级中学2024学年第二学期九年级数学学科阶段跟踪练习 （满分150分，完卷时间100分钟） 请注意：本试卷共25题．请将所有答案做在答题纸的指定位置上，做在试卷上一律不计分． 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 已知的直径是6，直线l是的切线，则圆心O到直线l的距离是（ ）． A. 3 B. 4 C. 6 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆与直线的位置关系可得：当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径；当直线与圆相交时，圆心到直线的距离小于半径；当直线与圆相离时，圆心到直线的距离大于半径． 【详解】解∶由⊙O的直径是6，可知的半径是3，直线l是的切线，那么点O到直线l的距离是3． 故选：A 【点睛】本题考查圆与直线的位置关系，记忆理解判定条件是解题的关键． 2. 已知平面内有和点，，若半径为，线段，，则直线与的位置关系为（ ） A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 相交或相切 【答案】D 【解析】 【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断． 【详解】解：∵⊙O的半径为2cm，线段OA=3cm，线段OB=2cm， 即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径， ∴点A在⊙O外．点B在⊙O上， ∴直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切， 故选：D． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，正确的理解题意是解题的关键． 3. 如图，直角坐标系中，，，经过A，B，C三点的圆，圆心为M，若线段，则点D与的位置关系为（ ） A. 点D在上 B. 点D在外 C. 点D在内 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】连接，作和的垂直平分线，交点为，则圆心的坐标为，然后求出的半径，比较即可解答． 【详解】解：如图： 连接，作和的垂直平分线，交点为， ∴圆心M的坐标为， ∵， ∴， ∵线段， ∴半径， ∴点D在内， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，坐标与图形的性质，点与圆的位置关系，勾股定理的应用，确定圆心的位置是解题的关键． 4. 如图，，，是某社区的三栋楼，若在中点处建一个基站，其覆盖半径为，则这三栋楼中在该基站覆盖范围内的是（    ） A. ，，都不在 B. 只有 C. 只有， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形特征，点与圆的位置关系，根据勾股定理的逆定理证得是直角三角形，可以根据直角三角形斜边中线的性质求得的长，然后与比较大小，即可解答本题；掌握勾股定理，点与圆的位置关系的判断方法，求出三角形三个顶点到点的距离是解题的关键． 【详解】解：，，， ， 是直角三角形，且， 点是斜边的中点， ，， 如图，以为圆心，为半径画圆，    ， 点A，B，C都不在覆盖范围内， 故选：A． 5. 下列命题中，真命题是（） A. 内含两圆的圆心距大于零 B. 没有公共点的两圆叫两圆外离 C. 联结相切两圆圆心的线段必经过切点 D. 相交两圆的交点关于这两个圆的连心线对称 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了真假命题，圆的有关知识，根据圆与圆的位置关系逐一判断即可． 【详解】解：A．内含两圆的圆心距大于或等于零，故原命题是假命题； B．没有公共点的两圆叫两圆外离或内含，故原命题是假命题； C．连接相切两圆圆心的线段可能不经过切点，原命题是假命题； D．相交两圆的交点关于这两个圆的连心线对称，原命题是真命题； 故选：D． 6. 如图，的半径于点，连接并延长交于点，连接．若，，则为(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，过作于，根据垂径定理求出，根据圆周角定理求出，根据勾股定理求出的半径，求出，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式求出，根据勾股定理求出，再解直角三角形求出答案即可． 【详解】解：连接，过作于，设的半径为， ，过， ，， 由勾股定理得：， 即， 解得：， 即， 为的直径， ， ， ， ， ， 解得：， 由勾股定理得： ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，三角形的面积，解直角三角形等知识点，能求出CE的长度是解此题的关键． 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 正十边形的中心角的度数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆，根据正多边形的中心角的定义解决问题即可． 【详解】解：正十边形中心角的度数， 故答案为：． 8. 如图，是以为底边的等腰三角形，点为的外心，连接，交于点．若，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形外心性质、垂径定理性质的应用，等边三角形的判定与性质，连接，证明为等边三角形，求出，求出后再求即可． 【详解】解：连接， ∵O为的外心， ∴， ∵， ∴ ∴为等边三角形， ∴， ∵，O为的外心， ∴， ∴ ∴， 在中，， ∴． 故答案为：． 9. 已知点P为平面内一点，若点P到上的点的最长距离为5，最短距离为1，则的半径为______． 【答案】3或2 【解析】 【分析】本题应分两种情况进行讨论，当P在圆内，直径长度为，半径为3；当P在圆外，直径长度为，半径为2． 【详解】解：∵当P在圆内，直径长度为，半径为3， 当P在圆外，直径长度为，半径为2， ∴的半径为3或2． 故答案为：3或2． 【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，在解答此题时要注意分类讨论． 10. 已知点P在半径为5的⊙O外，如果设OP＝x，那么x的取值范围是___________． 【答案】x＞5 【解析】 【详解】解：根据点在圆外的判断方法，由点P在半径为5的⊙O外，可得OP＞5，即x＞5． 故答案为：x＞5． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． 11. 如图，、和分别为⊙内接正方形，正六边形和正边形的一边，则是_____． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形与圆，熟练掌握正多边形边数与中心角的关系是解题的关键．分别求出和，从而得到，由此即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接，，， ∵和分别是正方形和正六边形的一边， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：12． 12. 如图，已知的半径为1，圆心在抛物线上运动，当⊙与轴相切时，圆心的坐标为_____． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，二次函数图象上点的坐标特征．当与x轴相切时，点P的纵坐标是1或，把点P的坐标代入函数解析式，即可求得相应的横坐标． 【详解】解：∵的半径为1，⊙与轴相切， ∴点P的纵坐标为， 当时，， 解得， ∴点P的坐标或； 当时，， 解得， ∴点P的坐标为， 综上，点P的坐标为或或， 故答案为：或或． 13. 以点为圆心，为半径画圆，与坐标轴恰好有三个公共点，则的值为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】作轴，连结，根据勾股定理计算出，然后根据直线与圆的位置关系即可得到满足条件的的取值为且． 【详解】作轴，连结，如图， ∵点的坐标为， ∴，， ∴， ∵以点为圆心，为半径的圆与坐标轴恰好有三个公共点， ∴过点或者与轴相切， ∴或． 故答案为或． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：设的半径为，圆心到直线的距离为：①直线和相交⇔；②直线和相切⇔；③直线和相离⇔．也考查了坐标与图形性质． 14. 如图，沿弦折叠扇形纸片，圆心O恰好落在上的点C处，，则四边形的面积为___． 【答案】 【解析】 【分析】由折叠可得四边形是菱形，得出四边形是菱形，根据直角三角形的边角关系求出，进而得出半径，由菱形的面积公式可求答案． 【详解】解：如图，连接交于点D， 由折叠可知，，，而， ∴， ∴四边形是菱形； ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆的基本性质，折叠的性质，锐角三角函数的应用，掌握折叠的性质、以及直角三角形的边角关系是正确解答的前提． 15. 在中，，，，若以为直径作⊙，则点在⊙_____．（填“内”、“外”、“上”） 【答案】上 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，勾股定理，直角三角形的性质等知识，根据勾股定理求出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，最后根据点与圆的位置关系判断即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵为⊙的直径， ∴点O为的中点，半径为， ∴， ∴点C在⊙上， 故答案为：上． 16. 已知同一个圆的内接正六边形与内接正三角形的面积之差为，则该圆的半径为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查正多边形与圆，三角形的面积公式，设该圆半径为，根据等边三角形的性质得到；，根据三角形的面积公式得到正三角形的面积；根据勾股定理得到，求得圆的内接正六边形，解方程即可得到结论． 【详解】解：设该圆半径为， 如图1，∵为等边三角形， ∵， ∴；， ∴内接正三角形的面积； 如图2，∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴圆的内接正六边形的面积， ∵一个圆的内接正六边形与内接正三角形的面积之差为， ∴， ∴（负值舍去）， 故答案为：4． 17. 如图，直线与轴、轴分别相交于A、B两点，点，点，圆心的坐标为，圆与轴相切于点．若将圆沿轴向左移动，当圆与线段有公共点时，令圆心的横坐标为，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，进行分类讨论：①当点P在点A右边，且与线段只有一个交点时，；②当点P在点A左边，且与线段只有一个交点时，与线段相交于点A． 【详解】解：∵点，点， ∴， ∴， ∴， 当点P在点A右边，且与线段只有一个交点时，如图中： ∵与线段只有一个交点， ∴， ∴， 则； 当点P在点A左边，且与线段只有一个交点时，如图中： ∵与线段只有一个交点， ∴与线段相交于点A， ∴，， 则； 综上：的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了切线的定义，解直角三角形，解题的关键是掌握解直角三角形的方法和步骤，圆与直线的位置关系． 18. 如图，在梯形中，，，，，，点在边上，以为半径的交边于点，当四边形是一个等腰梯形，且与有公共点时，则的半径长的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】作交于，过点作于点，设，则，所以，证明四边形是平行四边形，则，即，再证明，所以，即，求出，则，然后根据圆与圆的关系即可求解． 【详解】解：如图，作交于，过点作于点， 设， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，即， ∵四边形是等腰梯形， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， 即， ∴， 当两圆外切时， ，即（舍去）， 当两圆内切时，，即（舍去），， 即两圆相交时，， ∴与有公共点时，的半径长的取值范围， 故答案为：． 【点睛】本题考查了梯形的性质，圆与圆的关系，垂径定理，平行四边形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19. 如图，已知⊙O的直径AB=10，点P是弦BC上一点，联结OP，∠OPB=45°，PC=1，求弦BC的长． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，则，根据垂径定理可得，根据∠OPB=45°，可得是等腰直角三角形，在中，勾股定理建立方程，解方程求解即可求得，然后即可求得的长． 【详解】解：如图，过点作，则， ∠OPB=45°， ∴等腰直角三角形， ∴， 设，由 ∵⊙O的直径AB=10， ∴ 在中， ． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质，掌握垂径定理是解题的关键． 20. 如图，⊙和⊙相交于、两点，与交于点，的延长线交⊙于点，点为的中点，，连接．求证：； 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，线段垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，根据，，可判断垂直平分，根据垂径定理的推论可得，然后根据证明，最后根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：连接，，， ∵，， ∴，在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 21. 已知：如图，⊙O1与⊙O2外切于点T，经过点T的直线与⊙O1、⊙O2分别相交于点A和点B． （1）求证：O1AO2B； （2）若O1A＝2，O2B＝3，AB＝7，求AT的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）联结O1O2，即O1O2为连心线，欲证明O1AO2B，只需推知∠A＝∠B； （2）利用（1）中的结论，结合平行线截线段成比例得到，通过计算求得AT的值． 【小问1详解】 证明：联结O1O2，即O1O2为连心线， 又∵⊙O1与⊙O2外切于点T， ∴O1O2经过点T． ∵O1A＝O1T，O2B＝O2T． ∴∠A＝∠O1TA，∠B＝∠O2TB． ∵∠O1TA＝∠O2TB， ∴∠A＝∠B． ∴O1AO2B； 【小问2详解】 ∵O1AO2B， ∴． ∵O1A＝2，O2B＝3，AB＝7， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，平行线分线段成比例，平行线的判定，掌握圆与圆的位置关系是解题的关键． 22. 如图1是一张乒乓球桌，其侧面简化结构如图2所示，台面（台面厚度忽略不计）与地面平行，且高度为（台面与地面之间的距离），直线型支架与的上端、与台面下方相连，与的下端、接触地面，直线型支架与的上端、与台面下方相连，下端、与、相连，圆弧形支架分别与、在点、相连，且，，，，，，已知，，． （1）求的长度． （2）所在的圆经过点P、Q时，求所在的圆的圆心到台面之间的距离． 【答案】（1） （2）距离为 【解析】 【分析】本题考查垂径定理及解直角三角形的应用，正确进行计算是解题关键． （1）过点G作，交于点M，连接，根据已知条件求出再根据解直角三角形即可求解； （2）设点O为圆心．连接，过点O作，交于点K，交于点N．由垂径定理求得，由勾股定理和半径相等列方程，求出，进而求出圆心到的距离． 【小问1详解】 解：过点G作，交于点M，连接． ∵， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设点O为所在圆的圆心．连接，过点O作，交于点K，交于点N． 由题意可得：， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴，即， 解得． ∴． ∴距离为． 23. 已知：⊙的直径，⊙与相交于点，D，⊙的直径与⊙相交于点，设⊙的半径为，的长为， （1）如图，当点在线段上时，求关于的函数解析式，并写出定义域； （2）当点在线段上时，如果的长为3，求公共弦的长； 【答案】（1）y关于x的函数解析式为，定义域为 （2）或 【解析】 【分析】本题是三角形相似的高难度应用，难度较大，还需要进行分类讨论． （1）连接利用三角形形似推导函数关系式； （2）通过点B向弦作垂线段，利用与的关系，分两种情况点E在上，在上求解． 【小问1详解】 解：连接， ∵直径， ∴． ∵，， ∴． ∴， ∴ ∵, ∴， ∴y关于x的函数解析式为，定义域为； 【小问2详解】 解：作，垂足为M， ∵是的弦， ∴． 设两圆的公共弦与相交于H，则垂直平分． ∴ 当点E在线段上时，， ∴， ∴， ∴． 当点E在线段上时，， ∴ ∴． ∴． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴负半轴交于点，与轴的正半轴交于点，⊙经过点、点（圆心在轴负半轴上），已知，． （1）求点到直线的距离； （2）求直线的解析式； （3）在⊙上是否存在点，使得四边形为菱形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查是一次函数的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用等相关知识，正确作辅助线是解答本题的关键． （1）作垂直于点C．求出的值后可求出的长． （2）证明，利用线段比求出．再利用勾股定理求得．继而用待定系数法求出直线的解析式． （3）假设存在点Q，求出的长．得出点Q在外． 【小问1详解】 解：作垂直于点C．    ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴，即． ∴， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴直线的解析式为． 【小问3详解】 解：当四边形菱形时，延长交于点Q，如图， 则． ∵，， ∴． 综上所述，上不存在点Q，使四边形为菱形． 25. 如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，cosC＝，DC＝5，BC＝6，以点B为圆心，BD为半径作圆弧，分别交边CD、BC于点E、F． （1）求sin∠BDC的值； （2）联结BE，设点G为射线DB上一动点，如果△ADG相似于△BEC，求DG的长； （3）如图2，点P、Q分别为边AD、BC上动点，将扇形DBF沿着直线PQ折叠，折叠后的弧D'F'经过点B与AB上的一点H（点D、F分别对应点D'，F'），设BH＝x，BQ＝y，求y关于x的函数关系式（不需要写定义域）． 【答案】（1）；（2）；（3）y＝ 【解析】 【分析】（1）如图1中，联结BE，过点D作DK⊥BC于K，过点B作BJ⊥CD于J．想办法求出BJ，BD即可解决问题． （2）分两种情形分别求解：①当△ADG∽△BCE时．②当△ADG∽△ECB时，分别利用相似三角形的性质求解即可． （3）如图3中，过点B作BJ⊥PQ交于J，联结BJ，JH，JQ，过点J作JG⊥BH于G，过点Q作QK⊥JH于K．由题意BQ＝QJ＝y，求出QK，KJ，在Rt△QKJ中，利用勾股定理即可解决问题． 【详解】（1）如图1中，联结BE，过点D作DK⊥BC于K，过点B作BJ⊥CD于J． 在Rt△CDK中，∵∠DKC＝90°，CD＝5，cos∠C＝＝， ∴CK＝3， ∵BC＝6， ∴BK＝CK＝3， ∵AD∥BC，∠ABC＝90°， ∴∠A＝90° ∵DK⊥BC， ∴∠A＝∠ABC＝∠DKB＝90°， ∴四边形ABKD是矩形， ∴AD＝BK＝3， ∴DB＝DC＝5，DK＝＝＝4， ∵S△DCB＝•BC•DK＝•CD•BJ， ∴BJ＝， ∴DJ＝＝＝， ∵BD＝BE，BJ⊥DE， ∴DJ＝JE＝， ∴EC＝CD﹣DJ＝JE＝5﹣＝， ∴sin∠BDC＝＝＝． （2）如图2中， ∵AD∥BC， ∴∠ADG＝∠DBC， ∵DB＝DC， ∴∠DBC＝∠C， ∴∠ADG＝∠C， ∵△ADG相似△BEC， ∴有两种情形：当△ADG∽△BCE时， ∴＝， ∴＝， ∴DG＝， 当△ADG∽△ECB时， ＝， ＝， ∴DG＝． （3）如图3中，过点B作BJ⊥PQ交于J，联结BJ，JH，JQ，过点J作JG⊥BH于G，过点Q作QK⊥JH于K． 由题意：QB＝QJ＝y，BJ＝BD＝5， ∵JB＝JH，JG⊥BH， ∴BG＝GH＝x， ∴JG＝＝， ∵∠GBQ＝∠BGK＝∠QKG＝90°， ∴四边形BGKQ是矩形， ∴BQ＝GK＝y，QK＝GB＝x， 在Rt△QKJ中， ∵JQ2＝QK2+KJ2， ∴y2＝x2+（﹣y）2， ∴y＝． 【点睛】本题属于圆综合题，考查了直角梯形的性质，矩形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$