第五章导数的应用专题讲义五 双变量能成立恒成立问题-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

选择性必修第二册第五章导数的应用 专题五-----双变量恒成立、能成立问题 1、 类型归纳 类型一 双变量恒成立、能成立求参数范围问题 一般地，已知函数， ①若，，总有成立，故； ②若，，有成立，故； ③若，，有成立，故； ④若，，有，则的值域是值域的子集 ． 类型二 双变量构造函数法解决参数范围问题 2、 类型应用 【例1】（24-25高二上·陕西西安·期末）已知函数（其中e为自然对数的底数）． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在上的最值； (3)设函数，若对，不等式恒成立，求a的取值范围． 【跟踪训练1-1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)设，当时，对任意的，总存在，使，求实数m的取值范围． 【跟踪训练1-2】（23-24高二下·天津·期中）已知函数 (1)求的单调区间和极值； (2)若在单调递增，求实数的取值范围； (3)当时，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 【例2】（23-24高二下·天津·期中）已知函数，，． (1)求函数的导数； (2)若对任意的，，使得成立，求a的取值范围； (3)设函数，若在区间上存在零点，求a的最小值． 【跟踪训练2-1】（23-24高二下·山东临沂·期中）已知函数， (1)当时，讨论的单调性； (2)若任意，，都有恒成立，求实数的取值范围. 【跟踪训练2-2】（23-24高三上·云南曲靖·阶段练习）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)（），若对任意，均存在，使得，求实数a的取值范围． 【例3】（23-24高二下·天津·期中）设函数. (1)若，求在处的切线方程 (2)若，，求的取值范围 (3)若对任意的，恒成立，求的取值范围. 【跟踪训练3-1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若对任意，都有，求的取值范围． 【跟踪训练3-2】（24-25高二上·江苏南京·期末）设函数，. (1)当（为自然对数的底数）时，求的极小值； (2)若对任意，恒成立，求的取值范围. 【例4】（24-25高二下·福建龙岩·阶段练习）已知函数. (1)若，求的单调区间； (2)若对，都有恒成立，求实数的取值范围. 【跟踪训练4】（2025·黑龙江·模拟预测）函数， (1)讨论函数的单调性； (2)若不等式对任意的，恒成立，求的取值范围. 【例5】（20-21高二下·天津·期末）已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若的最大值为，求a的值； （3）若对于任意的，当时，都有不等式成立，求a的取值范围. 【跟踪训练5】（24-25高二下·全国·课后作业）已知函数，对于任意，当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 选择性必修第二册第五章导数的应用 专题五-----双变量恒成立、能成立问题 1、 类型归纳 类型一 双变量恒成立、能成立求参数范围问题 一般地，已知函数， ①若，，总有成立，故； ②若，，有成立，故； ③若，，有成立，故； ④若，，有，则的值域是值域的子集 ． 类型二 双变量构造函数法解决参数范围问题 2、 类型应用 【例1】（24-25高二上·陕西西安·期末）已知函数（其中e为自然对数的底数）． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在上的最值； (3)设函数，若对，不等式恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1)； (2)最小值为，最大值为1； (3). 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（不含参）、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数几何意义求出切线方程. （2）利用导数求出函数在指定区间上的最值. （3）由（2）的结论，将问题转化为成立，再分离参数构造函数求出最大值即可得解. 【详解】（1）数，求导得， 则，而， 所以曲线在点处的切线方程为：，即. （2）由（1）知，当时，，函数在上单调递增， 所以. （3）由（2）知，，， 由对，不等式恒成立， 得，而函数在上单调递减， 当时，，因此， 所以实数的取值范围为. 【跟踪训练1-1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)设，当时，对任意的，总存在，使，求实数m的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2)． 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）求导后，分和讨论即可； （2）先由函数的单调性求出的最大值，再将问题转化为，恒成立，然后分离参数，构造函数，利用导数分析单调性，求出最值即可； 【详解】（1）由题意得． 当时，由，得， 所以当时，； 当时，， 因此，当时，函数在上单调递减，在上单调递增． 当时，由，得， 所以当时，； 当时，， 因此，当时，函数在上单调递减，在上单调递增． （2）当时，由（1）知，函数在上单调递减， 所以当时，． 对任意的，总存在，使等价于，恒成立， 则，恒成立， 即，恒成立． 令， 则． 令，得， 所以当时，； 当时，， 即在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，， 因此． 故实数m的取值范围是． 【跟踪训练1-2】（23-24高二下·天津·期中）已知函数 (1)求的单调区间和极值； (2)若在单调递增，求实数的取值范围； (3)当时，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究能成立问题 【分析】（1）求导分析单调性，极值，即可求解. （2）根据题意可得，求导，由在上单调递增，可得在上恒成立，只需，即可求解. （3）若对任意的，总存在，使得，则当时，，即可求解. 【详解】（1），， 令，解得， 当时，，当时，， 所以单调递减区间为，单调递增区间为， 所以在处取得极小值，且极小值为，无极大值. （2），， 则， 因为在单调递增， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立，即， 设，， 所以在上单调递增， 所以， 所以，故的取值范围为. （3）若对任意的，总存在，使得， 则当时，， 由（1）知在上单调递增， 所以当时，， ，， ， 当时，，单调递减， ， ， ， 的取值范围为. 【点睛】方法点睛：不等式的恒成立、存在性问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，， （1）若，有成立，则； （2）若，有成立，则； （3）若，有成立，则. 【例2】（23-24高二下·天津·期中）已知函数，，． (1)求函数的导数； (2)若对任意的，，使得成立，求a的取值范围； (3)设函数，若在区间上存在零点，求a的最小值． 【答案】(1)； (2)； (3)1. 【知识点】简单复合函数的导数、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）求出函数，再结合复w合函数求导法则求导即得. （2）求出函数在上的最小值，在上的最大值，再由给定恒成立建立不等式求解. （3）求出函数，由分离参数，构造函数，利用导数探讨值域即可得解. 【详解】（1）函数，则， 由，求导得， 所以函数的导数是. （2）函数，求导得，， ，则，， 函数在上单调递增，于是． 又，则在上也是单调递增，， 由对任意的，，使成立，等价于， 因此，解得， 所以实数a的范围是． （3）依题意，，由，得， 令，，求导得， 令，，求导得，即函数在上单调递增， 显然，，则存在唯一的，使得，即， 即，，则当时，，当时，， 函数在上单调递减，函数在单调递增， 因此， 当时，令，求导得， 令，当时，，即函数在上递增， ，函数在上递增，， 于是当时，，而函数在上递减，值域为， 因此当时，函数无最大值，值域为，函数在的值域为， 要使在存在零点，则，所以a的最小值为1． 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， ①若，，总有成立，故； ②若，，有成立，故； ③若，，有成立，故； ④若，，有，则的值域是值域的子集 ． 【跟踪训练2-1】（23-24高二下·山东临沂·期中）已知函数， (1)当时，讨论的单调性； (2)若任意，，都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)函数在上单调递减. (2). 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）利用二次导数判断函数的单调性； （2）首先由单调性判断函数的最小值，转化为，再利用参变分离，转化为求函数的最值，即可求解. 【详解】（1）当时，，定义域为， 则， 令，则， 令，解得， ，解得. ∴函数在上单调递增，在上单调递减， ∴当时，函数取得最大值， ∴， ∴， ∴函数在上单调递减. （2）易知在上单调递增 ∴任意，都有， ∵任意，，都有恒成立 ∴在上恒成立， 当时，不等式可化为，恒成立， 当时，， 令，， 则， ∵当时，，即， ∴当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， ∴当时，函数取得最小值，∴， 综上，实数的取值范围是. 【跟踪训练2-2】（23-24高三上·云南曲靖·阶段练习）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)（），若对任意，均存在，使得，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究能成立问题 【分析】（1）先求出导函数，由得到切线斜率，再根据切点坐标即可得到切线方程； （2）转化问题为，结合二次函数性质可求得的最大值，构造，由的导函数判断的单调性，利用端点值和极值判断的正负，进而判断的单调性，求得，即可求解. 【详解】（1）由题意， 则，即切线的斜率， 且，即切点坐标为， 所以曲线在处的切线方程为，即. （2）由题意可知：， 因为的图象开口向上，对称轴为直线， 则在上单调递减，可得， 由（1）可设，则， 所以， 当时，；当时，， 则在区间上单调递减，在区间上单调递增. 且， 可知在区间上只有一个零点，设为， 当时，；当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 且，可得当时，， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题 （1）分离参数法 第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的最值； 第三步：根据要求得所求范围． （2）函数思想法 第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的极值； 第三步：构建不等式求解． 【例3】（23-24高二下·天津·期中）设函数. (1)若，求在处的切线方程 (2)若，，求的取值范围 (3)若对任意的，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究能成立问题 【分析】（1）求导，可得，结合导数的几何意义求切线方程； （2）分析可知原题意等价于，构建，利用导数求的单调性和最值，结合存在性问题分析求解； （3）由题意分析可知：在内单调递减，可得在内恒成立，参变分离结合恒成立问题分析求解. 【详解】（1）若，则， 可得， 即切点坐标为，斜率， 所以切线方程为，即. （2）若，，即，， 原题意等价于， 构建，则， 当时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则， 可得，所以的取值范围为. （3）因为，，整理得， 构建，可知在内单调递减， 则在内恒成立， 整理得在内恒成立， 对于可知：当时，取得最小值， 可得，所以的取值范围为. 【跟踪训练3-1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若对任意，都有，求的取值范围． 【答案】(1)单调增区间为，无单调减区间 (2) 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）求导，根据导数符号判断的单调区间； （2）构建，分析可知在单调递增，求导整理可得，利用基本不等式运算求解. 【详解】（1）当时，， 可知的定义域为，且， 所以的单调增区间为，无单调减区间． （2）因为， 则，即， 设函数，可知在单调递增． 且， 则在恒成立．即，可得， 又因为，当且仅当时等号成立， 可得，即． 所以的取值范围是． 【跟踪训练3-2】（24-25高二上·江苏南京·期末）设函数，. (1)当（为自然对数的底数）时，求的极小值； (2)若对任意，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、求已知函数的极值 【分析】（1）利用极小值点的定义求解即可； （2）原不等式可转化为对任意，恒成立，令，则在上单调递减，利用导数求的取值范围即可. 【详解】（1）当时，，， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以当时，取得极小值，极小值为. （2）因为对任意，恒成立， 即对任意，恒成立， 所以在上单调递减， 令，则， 所以在上恒成立， 又因为的对称轴为， 所以恒成立只需，解得， 所以的取值范围为. 【例4】（24-25高二下·福建龙岩·阶段练习）已知函数. (1)若，求的单调区间； (2)若对，都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）求出函数的导数，即可求出函数的单调区间； （2）由题意可得函数在上为减函数， ，令，讨论 的性质可得实数的取值范围. 【详解】（1）根据题意，函数定义域为， 且， 因为，当时，为减函数； 当时，为增函数； 所以的单调递减区间为和，单调递增区间为； （2）不防设， 由，可得， 即， 即函数在上为减函数， 由， 所以在上恒成立，也就是， 令， 恒成立， 所以当时，为减函数， 的最小值为，所以， 所以的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：第（2）问，由，得，即转化为函数在上为减函数， 再利用分离参数和导数求范围. 【跟踪训练4】（2025·黑龙江·模拟预测）函数， (1)讨论函数的单调性； (2)若不等式对任意的，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）求出，分四种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间； （2）若不等式对任意的，恒成立，等价于递增，即恒成立，即，其中，分离参数后利用基本不等式求最值，即可求的取值范围. 【详解】（1）， 所以， ， 当时或；， 所以此时在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，         当时或；， 所以此时在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，         当时恒成立，所以此时在上单调递增 ，            当时；， 所以此时在上单调递减，在上单调递增. （2）由对，恒成立，不妨设，则整理得： ，             设， 有，所以单调递增，即恒成立， 即，其中，             所以，又，当且仅当时等号成立， 同时时，不是常函数，所以. 【点睛】方法点睛：利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的； ② 利用导数转化为不等式或恒成立问题求参数范围 【例5】（20-21高二下·天津·期末）已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若的最大值为，求a的值； （3）若对于任意的，当时，都有不等式成立，求a的取值范围. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知函数最值求参数、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）求出和，写出切线方程； （2）求出导函数，对a讨论，利用单调性求出最大值，进而求出a的值； （3）对分离变量后转化为，构造函数，根据单调性，分离参数，即可求出a的取值范围. 【详解】（1）当时，. 所以. 所以，曲线在点处的切线方程为，即. （2）. （i）当时，在上恒成立， 所以在区间上单调递增，无最大值. （ii）当时，令，解得，令，解得. 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减. 所以，. 令，解得. （3）因为，所以，不等式可化为，即 设，所以，原不等式可化为. 故h在上单调递减. 因为， 所以，在上恒成立. 即在上恒成立. 因为， 所以，当时，. 所以，a的取值范围是. 【点睛】导数的应用主要有： （1）利用导函数几何意义求切线方程； （2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）； （3）利用导数求参数的取值范围. 【跟踪训练5】（24-25高二下·全国·课后作业）已知函数，对于任意，当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】将原不等式恒成立问题转换为由函数单调性求参问题，构造函数，，求导，又将问题转换为恒成立问题，参变分离即可进一步求解. 【详解】不等式可变形为， 即． 因为，且，所以函数在上单调递减． 令，， 则在上恒成立且等号不恒成立， 即在上恒成立． 设，则． 因为当时，，所以函数在上单调递减， 所以， 所以，因此实数m的取值范围为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$