第12讲 简单几何体的表面积与体积（八大考点）-2024-2025学年高一数学考点剖析及精准练习（人教A版2019必修第二册）

2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第二册） 第12讲 简单几何体的表面积与体积 学习目标： 1．了解柱体、锥体、台体的侧面展开图，掌握柱体、锥体、台体、球的表面积和体积的计算公式； 2．会利用公式解决简单的实际问题 重点难点： 重点：圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积； 难点：与圆柱、圆锥、圆台、球有关的组合体的表面积与体积会解决球的切、接问题。 一、多面体的表面积与体积 1．多面体的侧面积和表面积 几何体 棱柱 棱锥 棱台 侧面展开图 侧面积公式 ch (c为底面周长，h为侧棱长) ch′ (c为底面周长，h′为侧面等腰三角形底边上的高) (c+c′)h′ (c′，c分别为上、下底面周长，h′为侧面等腰梯形的高) 表面积公式 2．多面体的体积 几何体 体积 棱柱 (S为底面面积，h为高) 棱锥 (S为底面面积，h为高)， 棱台 (S′、S分别为上、下底面面积，h为高)， 二、旋转体的表面积和体积 1.旋转体的侧面积和表面积 几何体 圆柱 圆锥 圆台 球 侧面展开图 侧面积公式 表面积公式 2．旋转体的体积 几何体 体积 圆柱 (S为底面面积，h为高) 圆锥 (S为底面面积，h为高)， 圆台 (S′、S分别为上、下底面面积，h为高)， 球 (为球的半径) 考点01 多面体的表面积 1．底面边长为，且侧棱长为的正四棱锥的侧面积为（    ） A．20 B．16 C．24 D．6 【答案】C 【详解】 由正四棱锥底面边长为，可得底面对角线长为4， 则棱锥的高，斜高为， 侧面积为． 故选：C. 2．如图所示，一个正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该正四棱台的高为（    ） A． B．2 C．6 D．3 【答案】A 【详解】设，则， 因为该四棱台为正四棱台，所以各个侧面都为等腰梯形，上､下底面为正方形， 如图1，在四边形中，过点作于点， ，所以， 所以，解得， 在平面中，过点作于点，则为正四棱台的高， 则， 所以， 即该正四棱台的高为. 故选：A. 3．如图，在正方体的八个顶点中，有四个顶点A，，C，恰好是正四面体的顶点，则此正四面体的表面积与正方体的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设正方体的棱长为，则正方体的表面积是， 正四面体的棱长为，它的表面积是， 因此正四面体的表面积与正方体的表面积之比为． 故选：D． 4．将一个棱长为a的正方体切成64个全等的小正方体，其表面积增加了 . 【答案】 【详解】由题意可知正方体的表面积为， 小正方体的棱长为， 小正方体的表面积为， 64个全等的小正方体的表面积为， 表面积增加了 故答案为： 5．正三棱锥侧棱长为1，E，F分别是SA，SC上的动点，当△BEF周长的最小值为时，三棱锥的侧面积为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【详解】将正三棱锥的侧面沿侧棱剪开并展开在同一平面内，如图， 连接，当分别为与的交点时，的周长最小， 此时，而，，则，， 所以三棱锥的侧面积为. 故选：A 考点02 多面体的体积 6．已知某正四棱台的上、下底面面积分别为1，16，高为2，则该正四棱台的体积为（    ） A．12 B．14 C．15 D．16 【答案】B 【详解】. 故选：B. 7．已知正三棱锥的体积为，其底面三角形的斜二测直观图面积为，则三棱锥的高为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【详解】设底面三角形面积为，三棱锥的高为， 由直观图的性质得，解得， 因为正三棱锥的体积为，所以，解得，故A正确. 故选：A 8．冰淇淋蛋筒是大家常见的一种食物，有种冰淇淋蛋筒可以看作是由半径为10cm，圆心角为的扇形蛋卷坯卷成的圆锥，假设高出蛋筒部分的奶油和包裹在蛋筒内部的奶油体积相等，则该种冰淇淋中奶油的总体积约为（    ）（忽略蛋筒厚度） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设圆锥底面面积为， 由题意可知， 所以， 设圆锥得高为，则， 所以圆锥的体积为：， 所以该种冰淇淋中奶油的总体积约为， 故选：D 9．已知圆锥的轴截面为正三角形，外接球的半径为，则圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设圆锥的底面半径为，由于圆锥轴截面为等边三角形，则外接球半径即为轴截面等边三角形的外接圆半径， 由正弦定理可得，则， 易知该圆锥的高为，故该圆锥的体积为. 故选：A. 10．已知一个圆锥与一个圆台的高相等，圆锥的底面积和圆台的一个底面的面积相等．若圆台的体积是圆锥的体积的7倍，则圆台的上、下底面的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设圆锥的底面面积为，圆台另一个底面的面积为，高为， 则圆台的体积为：，圆锥的体积为：， 由题意可知：， 即：，变形可得：， 解得：（负值舍去），则. 故选：B 考点03 旋转体的表面积 11．已知圆锥的母线长是底面半径的2倍，则该圆锥的侧面积与表面积的比值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】设圆锥底面圆的半径为，则母线长为， ，， . 故选：B. 12．已知圆台上下底面圆的半径分别为1，3，母线长为4，则该圆台的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设上下底面圆半径分别为，母线长为， 则圆台表面积. 故选：B 13．已知圆锥的高为4，侧面积是底面积的3倍，则圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h， 由题意知，所以，又， 所以，所以圆锥的体积． 故选：D 14．如图，底面半径为4的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则圆锥的表面积为 ． 【答案】 【详解】设圆锥母线长，底面半径为，由题意，即， 侧面展开的扇形的弧长是，于是侧面积为， 底面积为，故表面积为. 故答案为： 15．如图，过圆锥的轴的截面边长为4的正三角形，过的中点作平行于底面的截面，以截面为底面挖去一个圆柱，则余下几何体的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】作出圆锥PO的轴截面，此截面截挖去的圆柱得圆柱的轴截面矩形，如图， 矩形是等腰内接矩形，圆柱底面圆直径在圆锥底面圆直径上， 依题意，截面是边长为4的正三角形，所以， 因为是PO中点，则，，圆锥母线， 圆柱的侧面积，圆锥PO的表面积， 剩余几何体的表面中，圆锥底面圆挖去以CF为直径的圆（圆柱下底面圆），而挖去圆柱后， 圆柱上底面圆（以DE为直径的圆）成了表面的一部分，它与圆柱下底面圆全等， 所以剩余几何体的表面积是. 故选：D. 考点04 旋转体的体积 16．圆台上､下底面半径分别是1，2，高为，这个圆台的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意有：， 所以 故选：D. 17．已知圆锥的侧面积是底面积的3倍，体积是，则圆锥的底面半径为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为， 则，可得， 则， 由圆锥的体积为，则，可得． 故选：D．    18．如图，侧面展开图为扇形AOD的圆锥和侧面展开图为扇环ABCD的圆台的体积相等，且，则（   ） A．2 B． C．4 D．8 【答案】A 【详解】设侧面展开图为扇形的圆锥的底面半径为r，高为h， 则该圆锥的体积. 侧面展开图为扇形的圆锥的底面半径为，高为， 则该圆锥的体积. 由题可知，从而. 故选：A. 19．底面相同的圆柱和圆锥有相等的侧面积，且圆柱的高恰好是其底面的直径，则圆柱与圆锥的体积之比为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，令圆锥的高为，底面圆的半径为，则圆柱的高， 所以，根据侧面积相等有，即， 综上，圆柱体积，圆锥体积， 所以. 故选：D 20．已知圆柱与圆锥的体积与侧面积均相等，若的轴截面为等腰直角三角形，则与的底面半径之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆锥和圆柱的底面半径分别为，高分别为， 因为圆锥的轴截面是等腰直角三角形，所以圆锥的母线长为，所以， 所以圆锥的体积为，圆柱的体积为， 所以圆锥的侧面积为，圆柱的侧面积为， 所以，化简得， 所以圆柱和圆锥的底面半径之比为, 故选:C. 考点05 组合体的体积与表面积 21．如图，一个三阶魔方由27个单位正方体组成，把魔方的中间一层转动了45°之后，表面积增加了（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题设分析  如下图，转动了45°后，此时魔方相对原来多出了16个小三角形的面积， 显然小三角形为等腰直角三角形且周长为3，设其直角边为x， 则斜边为，则，解得． 由几何关系得1个小三角形的面积为， 所以增加的面积为． 故选：A 22．小明同学在通用技术课上，制作了一个半正多面体模型．他先将正方体交于同一顶点的三条棱的中点分别记为，如图1所示，然后截去以为底面的正三棱锥，截后几何体如图2所示，按照这种方法共截去八个正三棱锥后得到如图3所示的半正多面体模型．若原正方体的棱长为6，则此半正多面体模型的体积为（    ）    A．108 B．162 C．180 D．189 【答案】C 【详解】设此半正多面体模型的体积为， 则. 故选：C. 23．一个如图所示的密闭容器，它的下部是一个底面半径为1m，高为2m的圆锥体，上半部是个半球，则这个密闭容器的表面积是 ，体积为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示， 该组合体的表面积是: ; 体积是． 故答案为：；. 24．在一个如图所示的直角梯形内挖去一个扇形，恰好是梯形的下底边的中点，将所得平面图形绕直线旋转一圈， (1)说明所得几何体的结构特征； (2)求所得几何体的表面积和体积． 【答案】(1)所得几何体是上部是圆锥，下部是圆柱挖去一个半球体的组合体 (2)表面积为；体积为． 【详解】（1）根据题意知，将所得平面图形绕直线旋转一圈后， 所得几何体是上部是圆锥，下部是圆柱挖去一个半球体的组合体； （2）该组合体的表面积为 ， 组合体的体积为 ． 25．如图，在直三棱柱中，底面是边长为的正三角形，以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，若圆柱的体积为，求： (1)剩余部分几何体的体积； (2)剩余部分几何体的表面积. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）因为直三棱柱底面是边长为的正三角形， 所以底面圆的半径为， 设圆柱高为，则圆柱体积为，解得， 所以剩余几何体的体积为. （2）剩余部分几何体的表面积为 . 考点06 外接球 26．已知圆台的上､下底面面积分别为，其外接球球心满足，则圆台的外接球体积与圆台的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设圆台的高为，外接球半径为，作出轴截面如图： 的上､下底面面积分别为，则圆，的半径分别为2，6， 则，解得， 故所求体积之比为 故选：B    27．已知正方体的棱长为2，其各面的中心分别为点E，F，G，H，M，N，则连接相邻各面中心构成的几何体的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图所示：设正方体的中心满足： 所以该几何体的外接球的球心为，半径为1 则外接球表面积为 故选：A 28．已知正三棱锥中，侧棱长为，底面边长为，则该三棱锥的外接球表面积为 . 【答案】 【详解】过点作平面，垂足为，连接， 由已知得，， 设外接球的球心为，因为，所以在的延长线上， 设外接球的半径为，则， 由得，解得， 所以外接球的表面积为. 故答案为： 29．在直三棱柱中，，，若该直三棱柱的外接球表面积为，则此直三棱柱的高为（    ）． A．4 B．3 C． D． 【答案】D 【详解】解：因为，所以将直三棱柱补成长方体，则直三棱柱的外接球就是长方体的外接球，外接球的直径等于长方体的体对角线， 设球的半径为，则，解得， 设直三棱柱的高为，则，即， 解得，所以直三棱柱的高为， 故选：D    30．已知直三棱柱的顶点都在球上，且，，，则此直三棱柱的外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设点为外接圆的圆心，根据，得到是等边三角形，求得外接圆的半径r，再根据直三棱柱的顶点都在球上，由求得，直三棱柱的外接球的半径即可. 【详解】如图所示： 设点为外接圆的圆心， 因为， 所以，又， 所以是等边三角形， 所以， 又直三棱柱的顶点都在球上， 所以外接球的半径为， 所以直三棱柱的外接球的表面积是， 故选：C 考点07 内切球 31．已知一个圆台的上、下底面半径分别为2和4，母线长为6，则此圆台外接球与内切球表面积之比为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【详解】取圆台轴截面如图所示， 外接球球心在中轴线上． 由勾股定理可知，，设，， 则, 解得． 先设的中点到的距离为， 再用等面积法可得：， 则有：， 此时， 从而可知内切球半径， 所以，该圆台外接球和内切球表面积之比为， 故选：C． 32．若底面边长为2的正六棱柱存在内切球，则其外接球体积是 . 【答案】 【详解】如图，在过球心与棱柱棱垂直的截面中，内切球的半径为，为边长是2的正三角形， 则，即内切球的半径为，所以正六棱柱的高为. 其外接球半径为， 则其体积为. 故答案为： 33．已知体积为的圆柱存在内切球．则该内切球的表面积为（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设内切球的半径为，依题意可知圆柱的高和底面直径均为， 圆柱的体积，解得， 故圆柱内切球的表面积为, 故选：C. 34．已知一圆台内切球与圆台各个面均相切，记圆台上、下底面半径为，若，则圆台的体积与球的体积之比为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】如图为该几何体的轴截面， 其中圆是等腰梯形的内切圆， 设圆与梯形的腰相切于点，与上、下底的分别切于点， 设球的半径为，圆台上下底面的半径为．注意到与均为角平分线， 因此，从而，故． 设圆台的体积为，球的体积为，则 故选：A． 35．如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，且圆柱的体积与内切球的体积之比及圆柱的表面积与内切球的表面积之比均为．若圆柱的体积为，则该球的内接正方体的体积为 ． 【答案】 【详解】设圆柱的内切球的半径为，因为圆柱的体积为，所以，解得， 设该球的内接正方体的棱长为，则，即， 所以该球的内接正方体的体积为． 故答案为： 考点08 体积或表面积的最值问题 36．已知四面体ABCD的顶点均在半径为3的球面上，若，则四面体ABCD体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，设为AB的中点，为CD的中点，为四面体ABCD外接球的球心， 因为， 所以，又， 所以，当且仅当AB与CD垂直，且均与EF垂直时取等号． 故选：B． 37．如图1是唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯，它的盛酒部分可以近似的看作是半球与圆柱的组合体（如图2）．当这种酒杯内壁的表面积为，半球的半径为时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积（厚度忽略不计）的3倍，则的取值范围是 ．（取3） 【答案】 【详解】设圆柱的高为h，则，故， 酒杯的体积为， 半球积分为，由题意可得， 则，又， 则，故， 而取3，故， 故答案为： 38．将一个棱长为1的正方体放入一个圆柱内，正方体可自由转动，则该圆柱体积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知，当圆柱底面直径和高刚好等于正方体的的体对角线时体积最小， 正方体的体对角线长为 所以，此时圆柱的底面半径为，高为， 所以该圆柱体积的最小值为. 故选：B. 39．已知直三棱柱外接球的直径为6，且，，则该棱柱体积的最大值为 ． 【答案】16 【详解】如图，将直三棱柱外补全成长方体， 则直三棱柱外接球的直径即为该长方体的对角线， 设，，则，， 直三棱柱的体积为， 当且仅当时，等号成立， 该棱柱体积的最大值为16． 故答案为：16． 40．已知某长方体的上底面周长为16，与该长方体等体积的一个圆柱的轴截面是面积为16的正方形，则该长方体高的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】不妨设该长方体底面的长和宽分别为a，b，高为h，则， 轴截面是面积为16的正方形的圆柱，其底面圆的半径为2，高为4， 体积为，则，又因为，所以， 故． 故选：C. 基础试炼 1．已知圆柱的底面半径与球的半径均为1，且圆柱的侧面积等于球的表面积，则该圆柱的母线长等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】设圆柱的母线长为，则，解得. 故选：B. 2．《九章算术》中记载：“今有台，上广二尺，下广四尺，高五尺．”其大致意思为：“现有一个棱台，上底面为边长为2的正方形，下底为边长为4的正方形，高为5”，则这个棱台的体积为（   ） A． B． C．100 D．140 【答案】B 【详解】由题可得上底面积为，下底面积为，高为， 则棱台体积为：. 故选：B 3．如图，将底面半径为1高为3的圆锥截去体积为的锥尖，剩余圆台的侧面积为（  ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设锥尖的半径为，高为， 则锥尖的体积为，解得. 又因为， 所以. 所以圆台侧面积. 故选：A 4．若正六棱台的高为6，且，，则该正六棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设正六棱台上、下底面的面积分别为、， 因为，，高为， 所以，， 所以该棱台的体积 . 故选：C. 5．（多选）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，高相等，侧面积也相等，则（    ） A．圆柱和圆锥的体积之比为3 B．圆柱的底面半径和高之比为 C．圆锥的母线和高之比为2 D．圆柱和圆锥的表面积之比为 【答案】ABC 【详解】设圆柱和圆锥的底面半径为，高为，则，， 所以，故A正确； 圆锥的母线，又圆柱和圆锥的侧面积相等，所以， 所以，则，即圆柱的底面半径和高之比为，故B正确； 所以圆锥的母线，则圆锥的母线和高之比为，故C正确； 圆柱的表面积， 圆锥的表面积， 所以，故D错误. 故选：ABC 6．（多选）已知圆台的上底半径为，下底半径为，球与圆台的两个底面和侧面都相切，则下列命题中正确的有（   ） A．圆台的母线长为 B．圆台的体积为 C．圆台的表面积为 D．球的表面积为 【答案】ACD 【详解】画出圆台的轴截面，如图所示： 则四边形是等腰梯形，且，，内切圆圆心即球心； 所以圆台的母线长为，选项A正确； 连接、和，则是直角三角形，且， 所以球的半径为， 所以圆台的体积为，故选项B错误； 圆台的表面积为，故选项C正确； 球的表面积为，故选项D正确． 故选：ACD． 7．已知圆锥的轴截面是一个顶角为，腰长为2的等腰三角形，则该圆锥的体积为 . 【答案】 【详解】因圆锥的轴载面是一个顶角为，腰长为2的等腰三角形， 则此等腰三角形底边上的高即为圆锥的高， 因此，圆锥底面圆半径， 所以圆雗的体积为. 故答案为： 8．棱长为2的正方体中，分别为棱，的中点，则三棱锥的体积为 . 【答案】1 【详解】如图，由正方体棱长为2及分别为，的中点， 得， 又易知为三棱锥的高，且， . 故答案为：. 9．一个封闭的正三棱柱容器的高为，内装水若干（如图甲，底面处于水平状态），将容器放倒（如图乙，一个侧面处于水平状态），这时水面与各棱交点，，，分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为 . 【答案】/ 【详解】设的面积为， 因，，，分别为所在棱的中点， 则，， ， 设图甲中水面高度为，则，解得，， 即图甲中水面的高度为. 故答案为：. 10．一个直角梯形的两底长为2和5，高为4，将其绕较长的底旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积. 【答案】表面积为，体积为． 【详解】由题意，，， 该旋转体是共底面的圆锥与圆柱组合体， 表面积为， 体积为． 所以旋转体表面积为，体积为． 11．如图是一个奖杯的直观图，它由球､长方体和正四棱台构成．已知球的半径为，长方体的长､宽和高分别为，正四棱台的上､下底面边长和高分别为．    (1)求下部分正四棱台的侧面积； (2)求奖杯的体积．（结果取整数，取3） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为正四棱台的上、下底面边长和高分别为，，， 则该四棱台的斜高为， 所以正四棱台的侧面积为； （2）因为， ，， 所以这个奖杯的体积. 所以这个奖杯的体积约为. 12．如图，一个圆台型花盆盆口直径为20cm，盆底直径为10cm，盆壁长（指圆台的母线长）13cm．    (1)求这个圆台型花盆的体积； (2)现在为了美化花盆的外观，决定给花盆的侧面涂上一层油漆，每平方米需要花费10元，给这批1万个花盆全部涂上油漆，预计花费多少元？（第（2）问中取3.14） 【答案】(1)体积为； (2)预计花费6123元． 【详解】（1）圆台型花盆的上底半径，下底半径，母线长，则高， 体积，所以这个圆台型花盆的体积为.    （2）由（1）知，圆台型花盆的侧面积， 则（元），所以给1万个同样的花盆全部涂上油漆预计花费6123元. 高阶突破 1．在棱长为2的正四面体中，为棱AD上的动点，当最小时，三棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将侧面如图展开，由平面几何性质可得，当为AD的中点时，满足题意. 又如图，过A向平面BCD作垂线，垂足为O，则O为中心， 连接OC，则OC为外接圆半径，由正弦定理，. 则正四面体的高为， 又E为AD中点，所以． 故选：A． 2．已知长方体的体积为16，且，则长方体外接球表面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，由长方体的体积为16可得： ，即， 长方体外接球的半径为， 所以， 当且仅当“”时取等，所以， 当，长方体外接球表面积的最小值为. 故选：C. 3．已知四棱锥，，平分，点在上且满足，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意，设点到平面的距离为，到平面的距离为， 则有， 而，， 又由，，平分，则， 则； 故，而， 则有， 又由点在上且满足，故到平面的距离为， 则有， 故． 故选：B． 4．如图，已知正四面体的棱长为1，过点B作截面α分别交侧棱，于E，F两点，且四面体的体积为四面体体积的，则 ，的最小值为 . 【答案】 / / 【详解】因为，则， 记， 因为，即。 又因为， 当且仅当，即时，取等号. 所以a的最小值为. 故答案为：；. 5．将一个底面边长为2cm，高为的正四棱锥铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的表面积为 . 【答案】/ 【详解】底面边长为2cm，高为的正四棱锥的斜高， 因此该四棱锥的表面积， 依题意，制作的球体零件表面积最大时，该球为正四棱锥的内切球，设其半径为， 则，解得，该球的表面积为. 故答案为： 6．如图所示，在三棱柱中，若点E，F分别满足，，平面将三棱柱分成的左、右两部分的体积分别为和，则＝ . 【答案】 【详解】在三棱柱中，设的面积为S，三棱柱的高为h， 则三棱柱的体积为，由，， 得，则，且，于是的面积为， 则三棱台的体积为，从而， 所以. 故答案为： 7．如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为2cm，底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm.    (1)以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积； (2)求该三棱柱的外接球的表面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm， 所以底面三角形为直角三角形，两直角边分别为3cm，4cm， 又因为三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为2cm， 所以.    设圆柱底面圆的半径为， 则， 圆柱体积. 所以剩下的几何体的体积. （2）由（1）直三棱柱可补形为棱长分别为3cm，4cm，2cm的长方体， 它的外接球的球半径满足，即. 所以，该直三棱柱的外接球的表面积为.    8．如图，设E、F、G分别是正方体的共点的三条棱、、的中点，过这三个点的平面截正方体得到的一个“角”是四面体. 设正方体的棱长为1.    (1)在四面体中，求顶点到底面的距离； (2)如果将正方体按照题设的方法截去八个“角”，那么剩余的多面体有几个顶点、几条棱、几个面？并求这个剩余多面体的表面积与体积. 【答案】(1) (2)12个顶点，24条棱，共14个面，表面积为，体积为 【详解】（1）解：设点到底面的距离为， 则， 即，得； （2）如图所示：    将正方体按照题设的方法截去八个“角”后 其有12个顶点，24条棱，共14个面， 其中6个面是以为边长的正方形，8个面是以为边长的正三角形， 故其表面积为； 体积为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第二册） 第12讲 简单几何体的表面积与体积 学习目标： 1．了解柱体、锥体、台体的侧面展开图，掌握柱体、锥体、台体、球的表面积和体积的计算公式； 2．会利用公式解决简单的实际问题 重点难点： 重点：圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积； 难点：与圆柱、圆锥、圆台、球有关的组合体的表面积与体积会解决球的切、接问题。 一、多面体的表面积与体积 1．多面体的侧面积和表面积 几何体 棱柱 棱锥 棱台 侧面展开图 侧面积公式 ch (c为底面周长，h为侧棱长) ch′ (c为底面周长，h′为侧面等腰三角形底边上的高) (c+c′)h′ (c′，c分别为上、下底面周长，h′为侧面等腰梯形的高) 表面积公式 2．多面体的体积 几何体 体积 棱柱 (S为底面面积，h为高) 棱锥 (S为底面面积，h为高)， 棱台 (S′、S分别为上、下底面面积，h为高)， 二、旋转体的表面积和体积 1.旋转体的侧面积和表面积 几何体 圆柱 圆锥 圆台 球 侧面展开图 侧面积公式 表面积公式 2．旋转体的体积 几何体 体积 圆柱 (S为底面面积，h为高) 圆锥 (S为底面面积，h为高)， 圆台 (S′、S分别为上、下底面面积，h为高)， 球 (为球的半径) 考点01 多面体的表面积 1．底面边长为，且侧棱长为的正四棱锥的侧面积为（    ） A．20 B．16 C．24 D．6 2．如图所示，一个正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该正四棱台的高为（    ） A． B．2 C．6 D．3 3．如图，在正方体的八个顶点中，有四个顶点A，，C，恰好是正四面体的顶点，则此正四面体的表面积与正方体的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 4．将一个棱长为a的正方体切成64个全等的小正方体，其表面积增加了 . 5．正三棱锥侧棱长为1，E，F分别是SA，SC上的动点，当△BEF周长的最小值为时，三棱锥的侧面积为（   ） A． B．1 C． D．2 考点02 多面体的体积 6．已知某正四棱台的上、下底面面积分别为1，16，高为2，则该正四棱台的体积为（    ） A．12 B．14 C．15 D．16 7．已知正三棱锥的体积为，其底面三角形的斜二测直观图面积为，则三棱锥的高为（    ） A．2 B． C．1 D． 8．冰淇淋蛋筒是大家常见的一种食物，有种冰淇淋蛋筒可以看作是由半径为10cm，圆心角为的扇形蛋卷坯卷成的圆锥，假设高出蛋筒部分的奶油和包裹在蛋筒内部的奶油体积相等，则该种冰淇淋中奶油的总体积约为（    ）（忽略蛋筒厚度） A． B． C． D． 9．已知圆锥的轴截面为正三角形，外接球的半径为，则圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 10．已知一个圆锥与一个圆台的高相等，圆锥的底面积和圆台的一个底面的面积相等．若圆台的体积是圆锥的体积的7倍，则圆台的上、下底面的面积之比为（    ） A． B． C． D． 考点03 旋转体的表面积 11．已知圆锥的母线长是底面半径的2倍，则该圆锥的侧面积与表面积的比值为（   ） A． B． C． D．2 12．已知圆台上下底面圆的半径分别为1，3，母线长为4，则该圆台的表面积为（    ） A． B． C． D． 13．已知圆锥的高为4，侧面积是底面积的3倍，则圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 14．如图，底面半径为4的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则圆锥的表面积为 ． 15．如图，过圆锥的轴的截面边长为4的正三角形，过的中点作平行于底面的截面，以截面为底面挖去一个圆柱，则余下几何体的表面积为（   ） A． B． C． D． 考点04 旋转体的体积 16．圆台上､下底面半径分别是1，2，高为，这个圆台的体积是（    ） A． B． C． D． 17．已知圆锥的侧面积是底面积的3倍，体积是，则圆锥的底面半径为（   ） A． B． C．2 D．3 18．如图，侧面展开图为扇形AOD的圆锥和侧面展开图为扇环ABCD的圆台的体积相等，且，则（   ） A．2 B． C．4 D．8 19．底面相同的圆柱和圆锥有相等的侧面积，且圆柱的高恰好是其底面的直径，则圆柱与圆锥的体积之比为（   ） A．2 B． C． D． 20．已知圆柱与圆锥的体积与侧面积均相等，若的轴截面为等腰直角三角形，则与的底面半径之比为（    ） A． B． C． D． 考点05 组合体的体积与表面积 21．如图，一个三阶魔方由27个单位正方体组成，把魔方的中间一层转动了45°之后，表面积增加了（   ） A． B． C． D． 22．小明同学在通用技术课上，制作了一个半正多面体模型．他先将正方体交于同一顶点的三条棱的中点分别记为，如图1所示，然后截去以为底面的正三棱锥，截后几何体如图2所示，按照这种方法共截去八个正三棱锥后得到如图3所示的半正多面体模型．若原正方体的棱长为6，则此半正多面体模型的体积为（    ）    A．108 B．162 C．180 D．189 23．一个如图所示的密闭容器，它的下部是一个底面半径为1m，高为2m的圆锥体，上半部是个半球，则这个密闭容器的表面积是 ，体积为 ． 24．在一个如图所示的直角梯形内挖去一个扇形，恰好是梯形的下底边的中点，将所得平面图形绕直线旋转一圈， (1)说明所得几何体的结构特征； (2)求所得几何体的表面积和体积． 25．如图，在直三棱柱中，底面是边长为的正三角形，以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，若圆柱的体积为，求： (1)剩余部分几何体的体积； (2)剩余部分几何体的表面积. 考点06 外接球 26．已知圆台的上､下底面面积分别为，其外接球球心满足，则圆台的外接球体积与圆台的体积之比为（    ） A． B． C． D． 27．已知正方体的棱长为2，其各面的中心分别为点E，F，G，H，M，N，则连接相邻各面中心构成的几何体的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 28．已知正三棱锥中，侧棱长为，底面边长为，则该三棱锥的外接球表面积为 . 29．在直三棱柱中，，，若该直三棱柱的外接球表面积为，则此直三棱柱的高为（    ）． A．4 B．3 C． D． 30．已知直三棱柱的顶点都在球上，且，，，则此直三棱柱的外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 考点07 内切球 31．已知一个圆台的上、下底面半径分别为2和4，母线长为6，则此圆台外接球与内切球表面积之比为（    ） A．2 B． C． D．3 32．若底面边长为2的正六棱柱存在内切球，则其外接球体积是 . 33．已知体积为的圆柱存在内切球．则该内切球的表面积为（） A． B． C． D． 34．已知一圆台内切球与圆台各个面均相切，记圆台上、下底面半径为，若，则圆台的体积与球的体积之比为（    ） A． B． C．2 D． 35．如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，且圆柱的体积与内切球的体积之比及圆柱的表面积与内切球的表面积之比均为．若圆柱的体积为，则该球的内接正方体的体积为 ． 考点08 体积或表面积的最值问题 36．已知四面体ABCD的顶点均在半径为3的球面上，若，则四面体ABCD体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 37．如图1是唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯，它的盛酒部分可以近似的看作是半球与圆柱的组合体（如图2）．当这种酒杯内壁的表面积为，半球的半径为时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积（厚度忽略不计）的3倍，则的取值范围是 ．（取3） 38．将一个棱长为1的正方体放入一个圆柱内，正方体可自由转动，则该圆柱体积的最小值为（    ） A． B． C． D． 39．已知直三棱柱外接球的直径为6，且，，则该棱柱体积的最大值为 ． 40．已知某长方体的上底面周长为16，与该长方体等体积的一个圆柱的轴截面是面积为16的正方形，则该长方体高的取值范围是（    ） A． B． C． D． 基础试炼 1．已知圆柱的底面半径与球的半径均为1，且圆柱的侧面积等于球的表面积，则该圆柱的母线长等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．《九章算术》中记载：“今有台，上广二尺，下广四尺，高五尺．”其大致意思为：“现有一个棱台，上底面为边长为2的正方形，下底为边长为4的正方形，高为5”，则这个棱台的体积为（   ） A． B． C．100 D．140 3．如图，将底面半径为1高为3的圆锥截去体积为的锥尖，剩余圆台的侧面积为（  ）    A． B． C． D． 4．若正六棱台的高为6，且，，则该正六棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 5．（多选）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，高相等，侧面积也相等，则（    ） A．圆柱和圆锥的体积之比为3 B．圆柱的底面半径和高之比为 C．圆锥的母线和高之比为2 D．圆柱和圆锥的表面积之比为 6．（多选）已知圆台的上底半径为，下底半径为，球与圆台的两个底面和侧面都相切，则下列命题中正确的有（   ） A．圆台的母线长为 B．圆台的体积为 C．圆台的表面积为 D．球的表面积为 7．已知圆锥的轴截面是一个顶角为，腰长为2的等腰三角形，则该圆锥的体积为 . 8．棱长为2的正方体中，分别为棱，的中点，则三棱锥的体积为 . 9．一个封闭的正三棱柱容器的高为，内装水若干（如图甲，底面处于水平状态），将容器放倒（如图乙，一个侧面处于水平状态），这时水面与各棱交点，，，分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为 . 10．一个直角梯形的两底长为2和5，高为4，将其绕较长的底旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积. 11．如图是一个奖杯的直观图，它由球､长方体和正四棱台构成．已知球的半径为，长方体的长､宽和高分别为，正四棱台的上､下底面边长和高分别为．    (1)求下部分正四棱台的侧面积； (2)求奖杯的体积．（结果取整数，取3） 12．如图，一个圆台型花盆盆口直径为20cm，盆底直径为10cm，盆壁长（指圆台的母线长）13cm．    (1)求这个圆台型花盆的体积； (2)现在为了美化花盆的外观，决定给花盆的侧面涂上一层油漆，每平方米需要花费10元，给这批1万个花盆全部涂上油漆，预计花费多少元？（第（2）问中取3.14） 高阶突破 1．在棱长为2的正四面体中，为棱AD上的动点，当最小时，三棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 2．已知长方体的体积为16，且，则长方体外接球表面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．已知四棱锥，，平分，点在上且满足，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 4．如图，已知正四面体的棱长为1，过点B作截面α分别交侧棱，于E，F两点，且四面体的体积为四面体体积的，则 ，的最小值为 . 5．将一个底面边长为2cm，高为的正四棱锥铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的表面积为 . 6．如图所示，在三棱柱中，若点E，F分别满足，，平面将三棱柱分成的左、右两部分的体积分别为和，则＝ . 7．如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为2cm，底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm.    (1)以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积； (2)求该三棱柱的外接球的表面积. 8．如图，设E、F、G分别是正方体的共点的三条棱、、的中点，过这三个点的平面截正方体得到的一个“角”是四面体. 设正方体的棱长为1.    (1)在四面体中，求顶点到底面的距离； (2)如果将正方体按照题设的方法截去八个“角”，那么剩余的多面体有几个顶点、几条棱、几个面？并求这个剩余多面体的表面积与体积. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$