精品解析：河南省郑州市管城区2024-2025学年九年级下学期第一次联考数学试题试卷

郑州市管城区2024-2025学年九年级下学期联考试卷 数 学 (满分120分，考试时间100分钟) 一 、选择题(每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的) 1. 给出四个实数，2，0，-1，其中无理数是（ ） A. B. 2 C. 0 D. -1 2. 如图，一个角的三角板的直角顶点在直线上，其斜边与直线平行，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 如图是由6个同样大小的正方体摆成的几何体．将正方体①移走后，所得几何体（ ） A. 主视图改变，左视图改变 B. 俯视图不变，左视图不变 C. 俯视图改变，左视图改变 D. 主视图改变，左视图不变 4. 某种分子的直径是厘米，用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 厘米 D. 厘米 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题中，真命题是（ ） A. 对角线相等四边形是平行四边形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 7. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（ ） A 8 B. 9 C. 10 D. 11 8. 省实验校史馆中五位讲解员的年龄（单位：岁）分别为12，13，14，14，15，则3年后这五位讲解员的年龄数据中一定会改变的是（ ） A. 极差 B. 众数 C. 方差 D. 标准差 9. 把边长为5的正方形绕点A顺时针旋转得到正方形，边与交于点O，则四边形的周长是（ ） A. B. 10 C. D. 10. 以下四个选项的平面直角坐标系中的图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆(前三个图形的一个顶点在点处，圆与轴相切)，垂直于轴的直线从轴出发，向右平行移动，直线在移动过程中扫过图形的面积为(选项中的阴影部分)，若与的函数关系的图象如图所示，则平面图形的形状不可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题(每小题3分，共15分) 11. 写出一个经过点（1，－1）的函数的表达式________． 12. 不等式组的整数解的和是_________________________． 13. 从甲、乙、丙三名同学中随机抽取两名同学去参加义务劳动，则甲与乙恰好被选中的概率为______． 14. 如图1，在中，点D为的中点，动点P从点D出发，沿着D→A→B的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点B，在此过程中线段的长度y随着运动时间x的函数关系如图2所示，则m的值为___________． 15. 如图，M是等边三角形的边的中点，P是平面内一点，连接，将线段以点A为中心逆时针旋转，得到线段，连接．若，点M，P之间的距离为1，则的最小值为________，的最大值为________．  三、解答题(本大题共8个小题，共75分) 16. （1）计算： （2）化简：． 17. 省实验中学积极推进校园文学创作，倡导每名学生每学期向校刊编辑部至少投1篇稿件．学期末，学校对七、八年级的学生投稿情况进行调查．分别从两个年级随机抽取50名的学生，统计每人在本学期投稿的篇数，制作了频数分布表，并对数据进行了整理，信息如下： 投稿篇数（篇） 1 2 3 4 5 七年级频数（人） 7 10 15 12 6 八年级频数（人） 2 10 13 21 4 统计量 中位数 众数 平均数 方差 七年级 3 3 1.48 八年级 4 3.3 101 根据上述信息回答下列问题： （1）表格中的____________；____________． （2）从中位数、众数、平均数、方差中，任选两个统计量，对七、八年级学生的投稿情况进行比较，并做出评价． 18. 已知有按顺序排列的若干个数：，，，…，，（n是正整数），从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面的那个数的差的倒数，即：，，……，例如：若，，……，根据上述信息完成下列问题． （1）若时，则__________，__________，__________，__________； （2）若（），求证：． 19. 如图，已知反比例函数（）与正方形交于点M，，连接，以点O为圆心，ON长为半径作四分之一圆，分别交x轴，y轴正半轴于点D，E． （1）求反比例函数的解析式； （2）求证：； （3）如图所示，阴影部分面积和：____________． 20. 郑州市雾霾天气趋于严重，丹尼斯商场根据民众健康需要，代理销售每台 进价分别为600元、560元的A、B两种型号的空气净化器，如表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 4台 5台 7100元 第二周 6台 10台 12600元 （进价、售价均保持不变，利润=销售收入﹣进货成本） （1）求A、B两种型号的空气净化器的销售单价； （2）若商场准备用不多于17200元的金额再采购这两种型号的空气净化器共30台，超市销售完这30台空气净化器能否实现利润为6200元的目标，若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 21. 在一次数学探究活动中，王老师设计了一份活动单： 已知线段，使用作图工具作，尝试操作后思考： （1）这样的点唯一吗？ （2）点的位置有什么特征？你有什么感悟？ “追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点的位置不唯一，它在以为弦的圆弧上（点、除外），…小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）． （1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决． ①该弧所在圆的半径长为  ； ②面积的最大值为  ； （2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为，请你利用图1证明． （3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形的边长，，点在直线的左侧，且． 若，则线段长为  ． 22 已知二次函数． （1）用含a的式子写出二次函数的对称轴和顶点坐标： （2）当时，二次函数的最小值是，求此时二次函数的解析式； （3）已知点，，线段与二次函数的图像有公共点，直接写出a的取值范围． 23 （1）初步探究 如图①，在矩形中，点是边上的一个动点，连接，将沿翻折，使点落在上处，若，，求的值； （2）类比探究 如图②，在矩形中，点是边上的一个动点，将沿翻折，使点落在矩形外部一点处，和与分别交于点，若，，，求的值； （3）延伸探究 如图③，在矩形中，点是边上的一个动点，将沿翻折，使点落在平面上一点处，到边的距离等于1，若，，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 郑州市管城区2024-2025学年九年级下学期联考试卷 数 学 (满分120分，考试时间100分钟) 一 、选择题(每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的) 1. 给出四个实数，2，0，-1，其中无理数是（ ） A. B. 2 C. 0 D. -1 【答案】A 【解析】 【分析】无限不循环小数是无理数，根据定义即可判断. 【详解】是无限不循环小数，是无理数； 2是整数，是有理数； 0是有理数； -1是有理数， 故选：A. 【点睛】此题考查无理数的定义，熟记定义是解题的关键. 2. 如图，一个角的三角板的直角顶点在直线上，其斜边与直线平行，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质以及垂线的定义的应用，正确合理的使用平行线的性质是解决本题的关键． 先由平行线的性质：两直线平行，内错角相等得，再由以及平角的意义可求的度数． 【详解】解： 由题意得，， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 3. 如图是由6个同样大小的正方体摆成的几何体．将正方体①移走后，所得几何体（ ） A. 主视图改变，左视图改变 B. 俯视图不变，左视图不变 C. 俯视图改变，左视图改变 D. 主视图改变，左视图不变 【答案】D 【解析】 【详解】解：将正方体①移走前的主视图正方形的个数为1，2，1；正方体①移走后的主视图正方形的个数为1，2；发生改变． 将正方体①移走前的左视图正方形的个数为2，1，1；正方体①移走后的左视图正方形的个数为2，1，1；没有发生改变． 将正方体①移走前的俯视图正方形的个数为1，3，1；正方体①移走后的俯视图正方形的个数，1，3；发生改变． 故选D． 4. 某种分子的直径是厘米，用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 厘米 D. 厘米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的运用，掌握科学记数法的表示形式，正确确定的值是关键． 科学记数法的表示形式为，确定值的方法：当原数的绝对值大于等于时，把原数变为时，小数点向左移动位数即为的值；当原数的绝对值小于时，把原数变为时，小数点向右移动位数的相反数是的值，由此即可求解． 【详解】解：厘米（厘米）， 故选：D ． 5. 下列运算正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的意义、绝对值、单项式乘多项式、完全平方公式．根据算术平方根的意义、绝对值、单项式乘多项式和完全平方公式逐一计算． 详解】解：A、，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项符合题意； D、，本选项不符合题意； 故选：C． 6. 下列命题中，真命题是（ ） A. 对角线相等的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，解题的关键是熟练掌握相关判定定理．根据平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定即可进行解答． 【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A不符合题意； B、对角线相等的平行四边形是矩形，故B符合题意； C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C不符合题意； D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故D不符合题意； 故选：B． 7. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】先根据判别式＞0，求出m的范围，进而即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，解得：m＜9， m的值可能是：8． 故选：A. 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式与根的情况的关系，掌握一元二次方程有两个不等的实数解，则，是解题的关键． 8. 省实验校史馆中五位讲解员的年龄（单位：岁）分别为12，13，14，14，15，则3年后这五位讲解员的年龄数据中一定会改变的是（ ） A. 极差 B. 众数 C. 方差 D. 标准差 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了众数，方差，极差，标准差的定义，根据众数，方差，极差，标准差的定义判断即可．众数是一组数据中出现次数最多的数，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，数据的波动程度不变，方差就不变．极差是一组数据中的最大数据与最小数据的差，标准差是方差的算术平方根．标准差能反映一个数据集的离散程度．平均数相同的两组数据，标准差未必相同． 【详解】解：省实验校史馆中五位讲解员的年龄分别为12，13，14，14，15， 3年后五位讲解员的年龄分别为：15，16，17，17，18． ∴会改变的是众数， 故选：B． 9. 把边长为5的正方形绕点A顺时针旋转得到正方形，边与交于点O，则四边形的周长是（ ） A. B. 10 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在中，利用勾股定理的知识求出的长，再根据等腰直角三角形的性质，在中，由勾股定理可求，，从而可求四边形的周长．本题考查了旋转的性质，正方形的性质以及等腰直角三角形的性质．此题难度适中，注意连接构造等腰是解题的关键，注意旋转中的对应关系． 【详解】解：连接， 四边形是正方形， ， 旋转角，， ， 在对角线上， ， 在中，， ， 在等腰中，， 在中，， ， 四边形的周长是：， 故选：A． 10. 以下四个选项的平面直角坐标系中的图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆(前三个图形的一个顶点在点处，圆与轴相切)，垂直于轴的直线从轴出发，向右平行移动，直线在移动过程中扫过图形的面积为(选项中的阴影部分)，若与的函数关系的图象如图所示，则平面图形的形状不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，由函数图象可得知随的增大增长的速度是“慢快慢”，据此判断即可求解，看懂函数图象是解题的关键． 【详解】解：由关于函数的图象可知随的增大增长的速度是“慢快慢”，选项中面积增长速度是先慢再快然后不变，其他三个选项中的图形均符合这种趋势， 故选：． 二、填空题(每小题3分，共15分) 11. 写出一个经过点（1，－1）的函数的表达式________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【详解】解：设函数的解析式为， 把点（1，﹣1）代入得k=﹣1， 故函数的表达式． 故答案为： 12. 不等式组的整数解的和是_________________________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了求不等式组的解集及其最大整数解，正确求出不等式组的解集是解题的关键． 分别求出两个不等式的解集，然后再求出不等式组的解集，即可求出整数解，进而求出所有的整数解的和． 【详解】解：由，得：； 由，得：， 不等式组的解集为：； 整数解是、、、、， 整数解之和为． 故答案为：5． 13. 从甲、乙、丙三名同学中随机抽取两名同学去参加义务劳动，则甲与乙恰好被选中的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】画出树状图求解即可． 【详解】解：如图， 一共有6种等可能选法，甲与乙恰好被选中的有2种， ∴甲被选中的概率为： 故答案为：． 【点睛】本题考查了树状图法或列表法求概率，解题的关键是正确画出树状图或表格，然后用符合条件的情况数m除以所有等可能发生的情况数n即可，即． 14. 如图1，在中，点D为的中点，动点P从点D出发，沿着D→A→B的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点B，在此过程中线段的长度y随着运动时间x的函数关系如图2所示，则m的值为___________． 【答案】4 【解析】 【分析】此题考查的是根据函数图象解决问题，掌握图象和图形的对应关系、垂线段最短和勾股定理是解决此题的关键．根据图象和图形的对应关系即可求出的长，从而求出，然后根据图象和图形的对应关系和垂线段最短即可求出时，根据勾股定理即可求出，即可解答． 【详解】解：∵动点从点出发，线段的长度为，运动时间为的，根据图象可知，当时， ∴， ∵点为边中点， ∴， 由图象可知，当运动时间时，y最小，即最小， ∴根据垂线段最短，此时， 如图所示，此时点P运动的路程， ∴， ∴在中，， 即． 故答案为：4 15. 如图，M是等边三角形的边的中点，P是平面内一点，连接，将线段以点A为中心逆时针旋转，得到线段，连接．若，点M，P之间的距离为1，则的最小值为________，的最大值为________．  【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，，，由等边三角形的性质和勾股定理求出，证明是等边三角形，得到，再证明，得到，得出点在以点为圆心、1 为半径的圆上运动，点圆位置关系即可得解． 【详解】解：如图所示，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，，， 点是等边三角形边的中点， ，， ， 由旋转的性质可得，，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 点在以点为圆心、1 为半径的圆上运动， 如图， 当点在线段上时，的值最小，最小值为， 当点在射线上时，有最大值，最大值为， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，点圆位置关系等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加助线是解决此题的关键． 三、解答题(本大题共8个小题，共75分) 16. （1）计算： （2）化简：． 【答案】（1） 8；（2） 【解析】 【分析】（1）分别根据零指数幂及负整数指数幂的计算法则、实数的立方根分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可； （2）根据分式混合运算的法则把原式进行化简即可． 【详解】解：（1） 原式； （2） ． 【点睛】本题考查的是实数的混合运算，分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 17. 省实验中学积极推进校园文学创作，倡导每名学生每学期向校刊编辑部至少投1篇稿件．学期末，学校对七、八年级的学生投稿情况进行调查．分别从两个年级随机抽取50名的学生，统计每人在本学期投稿的篇数，制作了频数分布表，并对数据进行了整理，信息如下： 投稿篇数（篇） 1 2 3 4 5 七年级频数（人） 7 10 15 12 6 八年级频数（人） 2 10 13 21 4 统计量 中位数 众数 平均数 方差 七年级 3 3 1.48 八年级 4 3.3 1.01 根据上述信息回答下列问题： （1）表格中的____________；____________． （2）从中位数、众数、平均数、方差中，任选两个统计量，对七、八年级学生的投稿情况进行比较，并做出评价． 【答案】（1）；3 （2）见解析（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表，平均数，中位数，众数，方差，掌握相关概念的意义，并能从统计图表中获取相关信息是解题分关键． （1）分别根据中位数，平均数的意义算出即可； （2）根据所得数据选择两个统计量进行比较，做出评价即可． 【小问1详解】 由表格可知，八年级投稿篇数数据由小到大排列的第25、26个数据分别为3，4， 七年级投稿平均数： 故答案：；3 【小问2详解】 从平均数来看，八年级学生的平均数高于七年级学生的，而且从方差来看，八年级学生的小于七年级学生的，说明八年级波动较小，则八年级学生的投稿情况比七年级学生的投稿情况好． 18. 已知有按顺序排列的若干个数：，，，…，，（n是正整数），从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面的那个数的差的倒数，即：，，……，例如：若，，……，根据上述信息完成下列问题． （1）若时，则__________，__________，__________，__________； （2）若（），求证：． 【答案】（1），，， （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律探究，分式的混合运算； （1）根据规律写出前几数，得出三个数字一循环，即可求解； （2）根据分式的性质化简，分别求得，进行计算即可求解． 小问1详解】 解： ∵ ∴，，， 三个数字一循环， ∴； 【小问2详解】 若（）则， ∴． 19. 如图，已知反比例函数（）与正方形交于点M，，连接，以点O为圆心，ON长为半径作四分之一圆，分别交x轴，y轴正半轴于点D，E． （1）求反比例函数的解析式； （2）求证：； （3）如图所示，阴影部分面积和：____________． 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）． 【解析】 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）求出的长度即可求证； （）连接，利用三角函数可得，再分别求出的值即可求解； 本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数比例系数的几何意义，三角函数，扇形的面积，坐标与图形，勾股定理，掌握反比例函数的性质及特殊角的三角函数值是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵反比例函数（）与正方形交于点，， ∴将代入（）中，得， 解得， ∴反比例函数的解析式为：； 【小问2详解】 证明：∵，四边形是正方形， ∴， ∴点的横坐标为， 把，代入中得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：连接， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ∴， 故答案为：． 20. 郑州市雾霾天气趋于严重，丹尼斯商场根据民众健康需要，代理销售每台 进价分别为600元、560元的A、B两种型号的空气净化器，如表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 4台 5台 7100元 第二周 6台 10台 12600元 （进价、售价均保持不变，利润=销售收入﹣进货成本） （1）求A、B两种型号的空气净化器的销售单价； （2）若商场准备用不多于17200元的金额再采购这两种型号的空气净化器共30台，超市销售完这30台空气净化器能否实现利润为6200元的目标，若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】（1）A型号空气净化器单价为800元，B型号空气净化器单价780元 （2）最多能采购A型号空气净化器10台，即可实现目标． 【解析】 【分析】（1）设A型号空气净化器单价为x元，B型号空气净化器单价y元，根据4台A型号，5台B型号的销售收入为7100元，6台A型号10台B型号的销售收入为12600元，列方程组求解； （2）设采购A种型号空气净化器a台，则采购B种型号空气净化器台，根据金额不多余17200元，列不等式求解； 本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用． 【小问1详解】 解：设A型号空气净化器单价为x元，B型号空气净化器单价y元，则 ， 解得：， 答：A型号空气净化器单价为800元，B型号空气净化器单价780元； 【小问2详解】 解：设A型空气净化器采购a台，采购B种型号空气净化器台． 则 解得：， ， 解得：， 则最多能采购A型号空气净化器10台，即可实现目标． 21. 在一次数学探究活动中，王老师设计了一份活动单： 已知线段，使用作图工具作，尝试操作后思考： （1）这样的点唯一吗？ （2）点的位置有什么特征？你有什么感悟？ “追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点的位置不唯一，它在以为弦的圆弧上（点、除外），…小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）． （1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决． ①该弧所在圆的半径长为  ； ②面积的最大值为  ； （2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为，请你利用图1证明． （3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形的边长，，点在直线的左侧，且． 若，则线段长为  ． 【答案】（1）① 2；② （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）①设为圆心，连接，，根据圆周角定理得到，证明是等边三角形，可得半径； ②过点作的垂线，垂足为，延长，交圆于，以为底，则当与重合时，的面积最大，求出，根据三角形面积公式计算即可； （2）延长，交圆于点，连接，利用三角形外角的性质和圆周角定理证明即可； （3）根据，和推出点在的平分线上，从而找到点的位置，过点作，垂足为，解直角三角形即可求出． 【小问1详解】 ①设为圆心，连接，， ， ，又， 是等边三角形， ，即半径为； ②以为底边，， 当点到的距离最大时，的面积最大， 如图，过点作的垂线，垂足为，延长，交圆于， ，， ， ， 的最大面积为； 【小问2详解】 如图，延长，交圆于点，连接， 点在圆上， ， ， ， ，即； 【小问3详解】 ，， ∴， ∵， 中边上的高等于中边上的高， 即点到的距离和点到的距离相等，即点在的平分线上，如图， 过点作，垂足为， 平分， ， 为等腰直角三角形，又， ， ， ， ． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，三角形的面积，等边三角形的判定和性质，最值问题，解直角三角形，三角形外角的性质，勾股定理，知识点较多，难度较大，解题时要根据已知条件找到点的轨迹． 22. 已知二次函数． （1）用含a的式子写出二次函数的对称轴和顶点坐标： （2）当时，二次函数的最小值是，求此时二次函数的解析式； （3）已知点，，线段与二次函数的图像有公共点，直接写出a的取值范围． 【答案】（1）对称轴为直线，顶点坐标为 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求解析式，二次函数的性质； （1）根据对称轴公式与顶点坐标公式，即可求解； （2）根据题意得出时，最小为，待定系数法求解析式，即可求解； （3）分抛物线经过，，求得的临界值，即可求解． 小问1详解】 解： ∴对称轴为直线， 当时， ∴顶点坐标为； 【小问2详解】 解：∵，，在对称轴直线的左侧，随的增大而减小， ∴时，最小为 ∴ 解得： 又∵ ∴ ∴ 【小问3详解】 解：∵点，，线段与二次函数的图像有公共点， 当抛物线经过时， 解得： 当抛物线经过时， 解得： ∴． 23. （1）初步探究 如图①，在矩形中，点是边上的一个动点，连接，将沿翻折，使点落在上处，若，，求的值； （2）类比探究 如图②，在矩形中，点是边上的一个动点，将沿翻折，使点落在矩形外部一点处，和与分别交于点，若，，，求的值； （3）延伸探究 如图③，在矩形中，点是边上的一个动点，将沿翻折，使点落在平面上一点处，到边的距离等于1，若，，请直接写出的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 2或 【解析】 【分析】本题考查相似三角形判定及性质，勾股定理，矩形性质，翻折性质等． （1）根据题意得，，，再利用勾股定理可得，在列式计算即可得到本题答案； （2）过点作的垂线交直线于点，交直线于点，判定，再判定，利用相似三角形性质即可得到本题答案； （3）由题意可知分两种情况讨论，针对所在的位置不同，分别利用相似三角形判定及性质和勾股定理即可作答． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形， ∴，，， 由翻折性质得：，，， 在中，，， ∴， ∴，， ∴，， ∴； （2）如图，过点作的垂线交直线于点，交直线于点， ∵四边形是矩形， ∴，，， 由翻折性质得：，，， 在中，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴； （3）由题意得，分两种情况讨论： ①当在四边形内部时，如下图所示： 过点作，分别交直线于， ∵四边形是矩形， ∴，，， 由翻折性质得：，，， 又∵到边的距离等于1， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当在四边形外部时，如下图所示： 过点作，分别交直线于， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴在中，， 解得：， ∴， ∴， 综上所述：的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$