精品解析：河北省邯郸市大名县第一中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

高一下第一次月考数学试题 命题人：张利艳 一、单选题(本题共8小题，每题5分，共40分） 1. 在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出复数共轭复数，再判断象限即可. 【详解】设，则， 复数对应的点为，所以对应的点位于第四象限. 故选：D. 2. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据任意角的三角函数的定义求出，再化简可求得结果. 【详解】由题意得， 所以. 故选：B 3. 已知，若与的夹角为120°，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量的定义，结合数量积的运算即可求解. 【详解】， 在上的投影向量为， 故选：C 4. 在中，，，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理建立一元二次方程进行求解即可． 【详解】解：中，， ， 即，化简得， 解得或（不合题意，舍去）， ， 故选：B． 5. 要得到的图象，需要将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数图象变换可得出结论. 【详解】因为， 为了得到的图象，需要将函数的图象向右平移个单位. 故选：D. 6. 如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】题意可得，即可得到，再根据平面向量线性运算计算即可. 【详解】依题意在平行四边形中，， 又是的中点，则， 又与交于点， 所以，则， 所以， 又， 所以 故选：A. 7. 定义运算：，将函数的图像向左平移个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则的可能取值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数图象的变换求得变换后的解析式，再根据偶函数的定义求解. 【详解】由题可知，， 将的图像向左平移个单位，所得函数为， 因为所得图像对应函数为偶函数， 所以，解得， 因为，所以 故选:C. 8. 若的三个内角均小于120°，点满足，则点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被人们称为费马点．根据以上性质，已知是平面内的任意一个向量，向量，满足，且，，则的最小值是（ ） A. 9 B. C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，，，，，，，则即为点到，，三点的距离之和，由费马点的性质可得当点 位于的中心时，取最小值，即可求解. 【详解】设，，，，，，， 则，，， 所以， 因为为等边三角形，由题意，等边的费马点为的中心， 此时取最小值， 所以， 故选：C． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）. 9. 下列说法，正确的是（ ） A. B. 若角与角的终边在同一条直线上，则 C. 若角的终边经过点，则 D. 若扇形的弧长为2，圆心角为，则该扇形的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用平方差公式即同角的平方关系计算可判断A；角与角的终边可能重合可判断B；由已知可求得，可得，代入求值可判断C；设扇形的半径为，可求得，由扇形的面积可求面积判断D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，因为角与角的终边在同一条直线上，所以角与角的终边可能重合，此时，故B错误； 对于C，因为角的终边经过点，所以且， 所以，故C正确； 对于D，设扇形的半径为，又扇形的弧长为2，圆心角为， 所以，解得，所以该扇形的面积为，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知复数满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】在复数范围内求解一元二次方程，利用模的运算即可判断A，结合复数的运算代入计算，即可判断BC，由即可判断D. 【详解】对于A，由已知得，所以，所以， 所以，故A正确； 对于B，，故B不正确； 对于C，当时，，，此时， 当时，，，此时，故C正确； 对于D，由已知得，即，故D不正确. 故选：AC. 11. 已知的内角所对的边分别为，，，下列四个命题中正确的命题是（ ） A. 在中，若，则 B. 若，，，则有两个解 C. 若，则是等腰三角形或直角三角形 D. 若，则角 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A：利用正弦定理边化角即可得结果；对于B：利用正弦定理可得，结合即可得结果；对于C：由倍角公式可得，即可得结果；对于D：利用余弦定理边化角即可得结果. 【详解】对于A，在中，由正弦定理知，， 结合大边对大角可得，故A正确； 对于B，因为，，， 由正弦定理，得， 由知，只有一解，所以有一个解，故B错误； 对于C，因为，由正弦定理得：，则， 因为，可知或，即或， 所以是等腰三角形或直角三角形，故C正确； 对于D，因为， 由余弦定理得：，即， 因为，所以或，故D错误. 故选：AC. 三、填空题（本题共3个小题，每题5分，共15分） 12. 复数的虚部为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的除法化简复数值，然后根据定义得出复数的虚部. 【详解】，即虚部为. 故答案为： 13. 已知单位向量，的夹角为，则_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数量积的定义及运算律计算即得. 【详解】由单位向量，的夹角为，得， 所以. 故答案： 14. 已知函数的图象的一条对称轴为直线，则函数的零点的最小正值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据辅助角公式可得，即可根据对称求解，进而根据求解. 【详解】，， 令，则， 得，所以， 所以， 令，则，得，由可得． 故答案为：． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知向量. （1）若，求实数； （2）若向量与所成角为锐角，求实数的范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据向量坐标运算得，结合，求得实数； （2）根据向量与所成角为锐角，，解得.结合时，可得实数的范围. 小问1详解】 ， ，解得 【小问2详解】 由（1）知，， 向量与所成角为锐角， ，解得. 又当时，，可得实数的范围为. 16. 现定义“维形态复数”：，其中为虚数单位，，. （1）当时，证明：“2维形态复数”是“1维形态复数”的平方； （2）若“2维形态复数”与“3维形态复数”相等，求的值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据“维形态复数”的概念，分别把时的“2维形态复数”和“1维形态复数”表示出来，再根据复数的计算法则进行计算，即可证明； （2）由“2维形态复数”与“3维形态复数”相等，根据复数相等的条件可求得，结合三角函数的诱导公式，可求解. 【小问1详解】 当时，， 设“1维形态复数”为，则， “2维形态复数”为，则， 因为， 故“2维形态复数”是“1维形态复数”平方. 【小问2详解】 因为“2维形态复数”与“3维形态复数”相等， 所以， 因此， 解，得或， 解，得或， 由于两个方程同时成立，故只能有，即. 所以. 17. 已知函数的最小值为1． （1）求的值和的最小正周期； （2）求在上的单调递增区间； （3）若成立，求的取值范围． 【答案】（1），最小正周期 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式与辅助角公式化简函数解析式，再根据最值待定的值与最小正周期； （2）利用整体角代换求解函数单调区间即可； （3）将有解问题转化为函数最值问题求解参数范围. 【小问1详解】 ， 由题意，解得，的最小正周期． 【小问2详解】 令，则． 因为的单调递增区间是， 由，得； ，得； 所以，在的单调递增区间是． 【小问3详解】 由题意知，，即， 当时，， 所以当，即． 所以，即． 所以的取值范围是． 18. 在临港滴水湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图ABCD所示.为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形ABCD区域中，将三角形ABD区域设立成花卉观赏区，三角形BCD区域设立成烧烤区，边AB、BC、CD、DA修建观赏步道，对角线BD修建隔离防护栏，其中米，米，. （1）如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏？ （2）考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形ABCD区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，求满足上述条件时AB的长度. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由三角形的面积公式解得，因为C是钝角，所以，利用余弦定理即可求解； （2）由烧烤区的占地面积最大得到，利用正弦定理解得AB和AD，代入三角形面积公式利用三角函数性质即可求解． 【小问1详解】 ，解得， 由C是钝角，得， ， 所以需要修建的隔离防护栏. 【小问2详解】 题意，，当且仅当时取到等号，此时， 设，在中，， ， 由，得，当，即时，， 此时. 19. 极化恒等式实现了向量与数量的转化，阅读以下材料，解答问题. 1.极化恒等式：，公式推导：； 2.平行四边形模式：如图，平行四边形，是对角线交点，则； 3.三角形模式：如图，在中，设为的中点，则.推导过程：由. （1）如图，在边长为2的正方形中，其对称中心平分线段，且，点为的中点，求的值； （2）“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦.”太极和八卦组合成了太极八卦图（如图1）.某太极八卦图的平面图如图2所示，其中正八边形的中心与圆心重合，是正八边形的中心，是圆的一条直径，且正八边形内切圆的半径为，.若点是正八边形边上的一点，求的取值范围； （3）已知中，，且的最小值为，若为边上任意一点，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由极化恒等式即可求解； （2）连接，根据三角形模式可得，即可求解； （3）由题意可得是等边三角形，所以，再根据向量极化恒等式即可求解. 【小问1详解】 . 由极化恒等式可得：. 【小问2详解】 如图，连接. 因为，， 所以. 因为正八边形内切圆的半径为，， 所以. 因为，所以，所以， 即的取值范围是. 【小问3详解】 令（其中）， 则三点共线（如图）， 从而的几何意义表示点到直线的距离为， 这说明是等边三角形，为边上的高，故. 取的中点，则由向量极化恒等式可得， 其中为点到边的距离. 即当点在垂足（非端点）处时，达到最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一下第一次月考数学试题 命题人：张利艳 一、单选题(本题共8小题，每题5分，共40分） 1. 在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，若与的夹角为120°，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，，则值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 要得到的图象，需要将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 6. 如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，设，，则（ ） A. B. C. D. 7. 定义运算：，将函数的图像向左平移个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则的可能取值是（ ） A. B. C. D. 8. 若的三个内角均小于120°，点满足，则点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被人们称为费马点．根据以上性质，已知是平面内的任意一个向量，向量，满足，且，，则的最小值是（ ） A. 9 B. C. 6 D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）. 9. 下列说法，正确是（ ） A. B. 若角与角的终边在同一条直线上，则 C. 若角的终边经过点，则 D. 若扇形的弧长为2，圆心角为，则该扇形的面积为 10. 已知复数满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知的内角所对的边分别为，，，下列四个命题中正确的命题是（ ） A. 在中，若，则 B. 若，，，则有两个解 C. 若，则是等腰三角形或直角三角形 D. 若，则角 三、填空题（本题共3个小题，每题5分，共15分） 12. 复数虚部为________. 13. 已知单位向量，的夹角为，则_____________. 14. 已知函数的图象的一条对称轴为直线，则函数的零点的最小正值为___________． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知向量. （1）若，求实数； （2）若向量与所成角为锐角，求实数的范围. 16. 现定义“维形态复数”：，其中为虚数单位，，. （1）当时，证明：“2维形态复数”是“1维形态复数”的平方； （2）若“2维形态复数”与“3维形态复数”相等，求的值. 17. 已知函数的最小值为1． （1）求的值和的最小正周期； （2）求在上单调递增区间； （3）若成立，求的取值范围． 18. 在临港滴水湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图ABCD所示.为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形ABCD区域中，将三角形ABD区域设立成花卉观赏区，三角形BCD区域设立成烧烤区，边AB、BC、CD、DA修建观赏步道，对角线BD修建隔离防护栏，其中米，米，. （1）如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏？ （2）考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形ABCD区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，求满足上述条件时AB的长度. 19. 极化恒等式实现了向量与数量的转化，阅读以下材料，解答问题. 1.极化恒等式：，公式推导：； 2.平行四边形模式：如图，平行四边形，对角线交点，则； 3.三角形模式：如图，在中，设为的中点，则.推导过程：由. （1）如图，在边长为2的正方形中，其对称中心平分线段，且，点为的中点，求的值； （2）“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦.”太极和八卦组合成了太极八卦图（如图1）.某太极八卦图的平面图如图2所示，其中正八边形的中心与圆心重合，是正八边形的中心，是圆的一条直径，且正八边形内切圆的半径为，.若点是正八边形边上的一点，求的取值范围； （3）已知中，，且的最小值为，若为边上任意一点，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$