精品解析：安徽省蚌埠市2025届高三第二次教学质量检查考试数学试卷

蚌埠市2025届高三年级第二次教学质量检查考试 高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：高考范围. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 小胡同学测得连续10天的最低气温分别为（单位：），则这组数据的 分位数为（ ） A. 8 B. 8.5 C. 12 D. 13 4. 已知公差不为0的等差数列的前项和为，若，则正整数的值为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 5. “ ”是“函数为奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 6. 已知函数在区间上单调递减，直线和为函数的图象的两条对称轴，则（ ） A. 1 B. C. D. 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与的右支交于两点，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 函数的定义域为，且对任意的实数，都有，且，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机变量，若，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 在棱长为2的正方体中，点分别为棱的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 直线与 所成角的余弦值为 C. 点 到平面的距离为 D. 三棱锥的外接球的表面积为 11. 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为为 上的任意三点（异于点），且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 存在点 ，使得 C. 若直线 的斜率分别为，则 D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，常数项为__________. 13. 键线式可以简洁直观地描述有机物的结构，在有机化学中极其重要.有机物萘可以用如图所示的键线式表示，其结构简式可以抽象为如图所示的图形.已知六边形与六边形为全等的正六边形，且，点 为正六边形内的一点（包含边界），则的取值范围是__________. 14. 柯西不等式（Cauchy-SchwarzLnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.已知，直线与曲线相切，则的最小值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 记 的内角 的对边分别为 ，且. （1）求角 的大小； （2）若边上的高为，求 的周长. 16. 如图，在四棱锥 中，是边长为2的等边三角形， ，点 是棱上的一点，且满足 . （1）求证：平面 平面 ； （2）求平面与平面 的夹角的余弦值. 17. 已知函数. （1）若，求的极值； （2）若对任意的恒成立，求的取值范围. 18. 某大学排球社团为了解性别因素是否对学生喜欢排球有影响，随机调查了男、女生各200名，得到如下数据： 性别 排球 喜欢 不喜欢 男生 78 122 女生 112 88 （1）依据小概率值 的独立性检验，能否认为是否喜欢排球与性别有关联？ （2）在某次社团活动中，甲、乙、丙这三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人.记次传球后球在乙手中的概率为. （i）求； （ii）若随机变量服从两点分布，且，则.记前次（即从第1次到第次传球）中球在乙手中的次数为随机变量，求的数学期望. 附：，其中. 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 19. 椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.记椭圆的“特征三角形”为，椭圆的“特征三角形”为，若，则称椭圆与相似，并将与的相似比称为椭圆与的相似比.已知椭圆 与椭圆相似，且与的相似比为. （1）求的方程； （2）已知点 是的右焦点，过点 的直线与交于两点，直线与交于两点，其中点在轴上方. （i）求证：； （ii）若过点 与直线垂直的直线交于 两点，其中点在轴上方，分别为， 的中点，设为直线与直线的交点，求 面积的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 蚌埠市2025届高三年级第二次教学质量检查考试 高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：高考范围. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先分别求解集合和集合，再根据并集的定义求出与的并集. 【详解】因为，所以. 故选：D. 2. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法运算求得，根据共轭复数概念得到对应点坐标，即可判定象限. 【详解】因为复数满足，所以， 所以在复平面内对应的点为，位于第一象限. 故选A. 3. 小胡同学测得连续10天的最低气温分别为（单位：），则这组数据的 分位数为（ ） A. 8 B. 8.5 C. 12 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】利用百分位数的定义即可得解. 【详解】将这组数据从小到大排列为：， 又，所以这组数据的 分位数为13. 故选：D. 4. 已知公差不为0的等差数列的前项和为，若，则正整数的值为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的前项和公式以及等差数列的性质求出，再结合已知条件列出关于的方程，进而求出的值. 【详解】设等差数列的公差为， 由，得， 所以，又，所以 . 故选：B. 5. “ ”是“函数为奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用奇函数的定义列式求出，再利用充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若函数为奇函数，则，即， 整理得，即，解得 ， 当 时，函数的定义域为；当时，函数的定义域为，都符合题意， 所以“ ”是“函数为奇函数”的充分不必要条件. 故选：A 6. 已知函数在区间上单调递减，直线和为函数的图象的两条对称轴，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据函数的对称轴与单调区间求出函数的周期，进而得到的值，再结合对称轴求出的值，最后代入求出的值. 【详解】因为函数在区间上单调递减，直线和为函数的图象的两条对称轴， 所以，所以 ，即，所以或. 又，所以或， 所以或，解得或， 所以或， 所以或. 故选：C. 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与的右支交于两点，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系可得，再根据双曲线的定义，设，则，结合余弦定理计算可得与，进而可得，从而得到. 【详解】如图，因为直线的斜率为，所以， 所以，. 设，则，又， 所以，在中， 由余弦定理得， 即，整理得. 在中，由余弦定理得， 即，整理得， 所以，即，所以，所以. 故选：B. 8. 函数的定义域为，且对任意的实数，都有，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由得，用 替换得，即，用 替换得，即，得，即是以6为周期的周期函数，只需计算一个周期内值即可. 【详解】因为，所以，令，得； 令，得），所以； 用 替换，可得，所以， 所以函数为偶函数.令，得， 所以； 用 替换，可得， 所以，所以， 所以， 即.所以， 故是以6为周期的周期函数，又， 所以. 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机变量，若，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用正态分布曲线的对称性，结合期望、方差的性质求解即可. 【详解】因为随机变量，所以，故A正确； ，故B正确； 随机变量，所以， 所以，故C错误，D正确. 故选：ABD. 10. 在棱长为2的正方体中，点分别为棱的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 直线与 所成角的余弦值为 C. 点 到平面的距离为 D. 三棱锥的外接球的表面积为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，判断FG与平面关系：正方体棱长 ，、为特定棱中点，得FG与平行，FG不在平面内，在该平面内，所以FG平行平面.  对于B，求AE与FG所成角余弦值：连BG、BF，AE与BG平行， 是所成角或补角，由棱长算BG、GF、BF长，用余弦定理得值，取绝对值得正确值.  对于C，求点 到平面距离：算边长和面积，设距离为，利用求出.  对于D，求外接球表面积：算正方体相关线段长，确定射影位置，设半径和球心，根据关系求，再算表面积. 【详解】在棱长为2的正方体中，点 分别为棱的中点， 所以 ，又 平面平面，所以 平面，故A正确； 连接，易得 ，所以 为直线与 所成的角或补角，又易得， 由余弦定理得，所以直线与 所成角的余弦值为，故B错误； 在中，，所以， 设点 到平面的距离为，又， 所以，解得，即点 到平面的距离为，故C正确； 易得，所以为直角三角形，所以在底面的射影为的中点，设为， 设外接球半径为，球心为，由，解得，所以外接球的表面积为，故D错误. 故选：AC. 11. 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为为 上的任意三点（异于点），且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 存在点，使得 C. 若直线 的斜率分别为，则 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A：利用抛物线焦半径公式，结合前面得到的，计算的值来判断对错. 选项B：通过进行变形，结合均值不等式以及抛物线方程 （即与的关系），得出的范围，进而判断的范围. 选项C：根据抛物线方程 ，通过两式相减得到直线斜率公式，进而计算的值. 选项D：先对进行合理假设，结合和联立方程组，经过多次平方、化简等操作，计算的值. 【详解】因为 为 上的任意三点，且，所以为的重心，，所以，， 所以，故A正确； ，所以，解得，所以，故B错误； 因为两式相减，得， 所以，同理可得，所以 ，故C正确； 不妨设，则，代入0，得， 所以，由得， 所以，故D正确. 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，常数项为__________. 【答案】672 【解析】 【分析】利用二项式展开式的通项公式，计算即可得结果. 【详解】由题意得， 令，解得 ，故常数项为. 故答案为： 13. 键线式可以简洁直观地描述有机物的结构，在有机化学中极其重要.有机物萘可以用如图所示的键线式表示，其结构简式可以抽象为如图所示的图形.已知六边形与六边形为全等的正六边形，且，点为正六边形内的一点（包含边界），则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】过点作直线的垂线，垂足为，则,当点与点重合时，取最小值，当点与点 重合时，取最大值. 【详解】过点作直线的垂线，垂足为，则,, 所以， 当点与点重合时，取最小值， 当点与点 重合时，取最大值， 所以的取值范围是. 故答案为：. 14. 柯西不等式（Cauchy-SchwarzLnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.已知，直线与曲线相切，则的最小值为__________. 【答案】10 【解析】 【分析】首先根据函数的导数求出切点横坐标，再结合切点在函数图象和直线上得到a与b的关系，然后对所求式子进行变形，利用均值不等式来求解最小值. 【详解】由，所以，设切点为，则，故， 又，所以，所以， 所以， 当且仅当， 即时等号成立，所以的最小值为10. 故答案为：10 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 记的内角 的对边分别为 ，且. （1）求角的大小； （2）若边上的高为，求的周长. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）利用三角形内角和代换，再利用诱导公式和正弦定理边化角，即可得； （2）利用等面积公式求出 ，再结合余弦定理可解得，即可求解周长. 【小问1详解】 因为，所以， 由正弦定理得， 所以， 又，所以，又，所以. 【小问2详解】 因为边上的高为，所以的面积, 又由的面积，解得 ， 由余弦定理得， 即，解得. 所以的周长. 16. 如图，在四棱锥 中，是边长为2的等边三角形， ，点 是棱上的一点，且满足 . （1）求证：平面 平面； （2）求平面与平面 的夹角的余弦值. 【答案】（1） 证明：取 的中点，连接 ，如图所示，又 ，所以 ， 因为是边长为2的等边三角形，点是 的中点，所以 ， 又 平面 ，所以 平面 ， 又 平面 ，所以 ， 又 平面 ，所以 平面 ， 又 平面，所以平面 平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）先应用线面垂直判定定理得出 平面 得出 ，进而 平面 ，最后应用面面垂直判定定理得出面面垂直； （2）先应用面面垂直性质定理得出 平面，再建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面 的法向量进而求出面面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知 平面 ，又 平面 ，所以 ， 又 ，所以 . 取的中点，连接，则，由（1）可知，平面 平面， 平面 平面 平面 ，所以 平面. 以为坐标原点， 所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 所以， 设平面的一个法向量为， 又 ，所以 令，解得 ，所以平面的法向量为. 设平面 的一个法向量为，又， 所以 令，解得 ，所以平面 的法向量为， 设平面与平面 的夹角为， 所以， 即平面与平面 的夹角的余弦值为. 17. 已知函数. （1）若，求的极值； （2）若对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）极大值为，无极小值. （2）. 【解析】 【分析】（1）先求出导函数，再根据导函数正负得出函数的单调性，进而求出函数极值即可； （2）先把恒成立问题转化为，再构造函数根据导函数分类讨论分，，讨论单调性计算求参. 【小问1详解】 若，则，所以， 令，解得，令，解得，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为，无极小值. 【小问2详解】 对任意的恒成立，即对任意的恒成立， 令，所以， 令，所以， 当时，，又，所以， 所以在上恒成立， 所以即在区间上单调递增， 所以，所以在区间上单调递增， 所以 ，符合题意； 当时，令，解得， 则即在区间上单调递减； 所以当时，，所以在区间上单调递减， 所以当时，，不符合题意； 当时，又，所以，所以即在区间上单调递减， 所以，所以在区间上单调递减，所以，不符合题意. 综上，的取值范围为. 18. 某大学排球社团为了解性别因素是否对学生喜欢排球有影响，随机调查了男、女生各200名，得到如下数据： 性别 排球 喜欢 不喜欢 男生 78 122 女生 112 88 （1）依据小概率值 的独立性检验，能否认为是否喜欢排球与性别有关联？ （2）在某次社团活动中，甲、乙、丙这三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人.记次传球后球在乙手中的概率为. （i）求； （ii）若随机变量服从两点分布，且，则.记前次（即从第1次到第次传球）中球在乙手中的次数为随机变量，求的数学期望. 附：，其中. 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）可以认为是否喜欢排球与性别有关联. （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）计算卡方结合表中数据判断即可； （2）（i）由题意构造可得，进而可得数列的通项公式，从而求得； （ii）由题意可得，再根据等比数列求和即可. 【小问1详解】 零假设为：是否喜欢排球与性别无关联. 根据表中的数据，经计算得到 所以依据小概率值 的独立性检验，我们推断不成立，可以认为是否喜欢排球与性别有关联. 【小问2详解】 （i）由题意知， 设，所以，所以，解得， 所以， 又，故数列是以为首项，为公比的等比数列，所以， 所以，即第次传球后球在乙手中的概率为. （ii）因为， 所以当时，的数学期望 ，即的数学期望为 19. 椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.记椭圆的“特征三角形”为，椭圆的“特征三角形”为，若，则称椭圆与相似，并将与的相似比称为椭圆与的相似比.已知椭圆 与椭圆相似，且与的相似比为 . （1）求的方程； （2）已知点是的右焦点，过点的直线与交于两点，直线与交于两点，其中点在轴上方. （i）求证：； （ii）若过点与直线垂直的直线交于 两点，其中点在轴上方，分别为，的中点，设为直线与直线的交点，求 面积的最小值. 【答案】（1） （2）（i）证明：由（1）知，显然直线的斜率不为0，设直线的方程为 ， 由，得 ， 方程 的判别式 设， 所以， 故中点的纵坐标为 中点的横坐标， 即中点的坐标为. 由，得 ， 方程 的判别式 设，所以， 故中点的纵坐标为 中点的横坐标，即中点的坐标为. 所以的中点与的中点重合，所以. （ii）. 【解析】 【分析】（1）由椭圆，的方程求椭圆，的长轴长和短轴长，结合椭圆相似的定义列方程求 ，由此可得结论； （2）（i）设直线的方程为 ，联立与椭圆求线段的中点坐标，联立与椭圆求线段的中点坐标，由此证明结论； （ii）连接，取的中点，证明，联立方程组结合弦长公式求，，由此可得 的面积解析式，再结合基本不等式求其最值. 【小问1详解】 由题意知椭圆 的长轴长为，短轴长为4， 椭圆的长轴长为，短轴长为 ， 又与的相似比为 ，所以 ，解得 ， 所以的方程为 . 【小问2详解】 （i）略 （ii）如图，连接，取的中点，连接 ，又分别为 的中点，所以 ，所以，， 所以 的面积. 显然直线的斜率不为0，设直线的方程为 ，由 得 ，设，所 以， 所以 同理可得， 所以， 当且仅当，即 时等号成立，所以 面积的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $