9.4 矩形、菱形、正方形 同步训练 -2024-2025学年苏科版八年级数学下册

9.4 矩形、菱形、正方形 一、选择题： 1.矩形不一定具有的性质是(    ) A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 是轴对称图形 2.已知菱形的周长为，两条对角线的长度之比是，则两条对角线的长分别为(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 3.已知四边形是平行四边形，下列条件中，不能判定为矩形的是(    ) A. B. C. D. 4.如图，在中，，，点为的中点，则(    ) A. B. C. D. 5.如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形若正方形、、、的边长分别是、、、，则最大的正方形的面积是(    ) A. B. C. D. 6.如图，将一张矩形纸片对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，得到两部分，将展开后，得到的四边形一定是(    ) A. 梯形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 7.如图，四边形是平行四边形，下列结论中错误的是(    ) A. 当时，是矩形 B. 当时，是菱形 C. 当是正方形时， D. 当是菱形时， 8.小美同学按如下步骤作四边形：画；以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交、于点、；分别以点、为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点；连接、、若，则的大小是(    ) A. B. C. D. 9.如图，将矩形纸片折叠，使点落在上的点处，折痕为若沿剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是  (    ) A. 邻边相等的矩形是正方形 B. 对角线相等的菱形是正方形 C. 两个全等的直角三角形构成正方形 D. 轴对称图形是正方形 10.如图，在中，点是的中点，点、分别在线段及其延长线上，在下列条件中，使四边形是菱形的是(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 11.平行四边形的对角线与相交于点，，请添加一个条件：          ，使得平行四边形为正方形． 12.如图，延长矩形的边至点，使，连接，若，则            13.如图，在中，，点在边上，，，则当          时，四边形是矩形． 14.如图，方格纸中有一个四边形、、、均在格点上，若方格纸中每个最小正方形的边长为，则该四边形           填“是”或“不是”菱形，面积是          ． 15.如图，菱形的周长为为，对角线相交于点，点为的中点，则的长为          ． 16.如图，正方形的边长为，点在边上，且，若点在对角线上移动，则的最小值是______． 三、解答题： 17. 在下列由边长为的小正方形组成的网格中，仅用无刻度的直尺完成下列画图． 在图中，在上画点，使得． 18. 如图，四边形是平行四边形，，，是边的延长线上的动点，连接，过点作于点． 求证：四边形是正方形． 当是的中点，且时，求的面积． 19. 如图，在四边形中，，，点是的中点，请仅用无刻度的直尺按要求作图保留作图痕迹： 在图中，作出的垂直平分线； 在图中，作出的垂直平分线． 20.如图，在菱形中，、是上两点，． 求证：四边形是菱形． 21.如图，将一张长方形纸片沿折叠，使、两点重合，点落在点处已知，． 求证：是等腰三角形； 求线段的长． 答案和解析 1.【答案】  2.【答案】  3.【答案】  4.【答案】  【解析】本题考查直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 【详解】解：，点为的中点， ， 故选A． 5.【答案】  【解析】解：设中间两个正方形、的边长分别为、，最大正方形的边长为， 则由勾股定理得： ； ； ； 即最大正方形的面积． 分别设中间两个正方形、和最大正方形的边长为，，，由勾股定理得出，，，即最大正方形的面积为：． 本题考查了勾股定理、正方形的面积；采用了设“中间变量法”，分别由勾股定理求出，，再由勾股定理求出大正方形边长的平方是解决问题的关键． 6.【答案】  【解析】解：由第三个图可以看出：最后从两次折叠的交点处剪去一个直角三角形， 由于是两次折叠得到的图形，那么所得到图形的条边都是所剪直角三角形的斜边．故得到的四边形是菱形． 故选：． 对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．用到的知识点为：四条边相等的四边形是菱形． 本题考查剪纸问题，菱形的判定等知识，解题的关键是理解题意，学会动手操作． 7.【答案】  【解析】根据矩形、菱形、正方形的判定和性质逐个分析判断即可． 【详解】解：、当时，由有一个角为直角的平行四边形是矩形可得四边形是矩形，故该选项不符合题意； B、当时，由对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得四边形是菱形，故该选项不符合题意； C、当是正方形时，由正方形的对角线可得，故该选项不符合题意； D、当是菱形时，可得，不能得到，故该选项符合题意． 故选：． 8.【答案】  9.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了正方形的判定定理，邻边相等的矩形是正方形，和翻折变换．将长方形纸片折叠，使点落上的处，可得到，，即有三个角为直角，故四边形为矩形，且有一组邻边相等，故四边形为正方形． 【解答】 解：将长方形纸片折叠，点落在上的处， ，， ， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形邻边相等的矩形是正方形． 故选A． 10.【答案】  【解析】解：，， 四边形是平行四边形， 要使得四边形是菱形，对角线必须垂直， 只有时，， ， 此时四边形是菱形， 故选：． 首先证明四边形是平行四边形，根据对角线垂直的平行四边形是菱形，即可判断． 本题考查菱形的判定、平行四边形的判定．等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 11.【答案】  【解析】解：判定一个菱形是正方形，只需一个角是或对角线相等即可答案不唯一． 12.【答案】  13.【答案】  14.【答案】是 15.【答案】  【解析】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质；由菱形性质求得菱形边长为；再由菱形性质及直角三角形斜边中线的性质求得． 【详解】解：四边形是菱形，且周长为， ，； 点为的中点， ； 故答案为：． 16.【答案】  【解析】【分析】 此题考查了轴对称最短线路问题，以及正方形的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 作出点关于的对称点交于，连接与交于点，此时最小，求出的长即为最小值． 【解答】 解：作出点关于的对称点交于，连接与交于点，此时最小， ， ， 在中，，， 根据勾股定理得：， 则的最小值为． 故答案为：． 17.【答案】  18.【答案】证明：四边形是平行四边形，，， 菱形为正方形； 解：如图，连接， 是边的延长线上的动点，于点，点为的中点，， 为线段的垂直平分线， ，， ， 四边形为正方形， ，， 在中，由勾股定理得：， ， 负值舍去， ．  【解析】根据四边形是平行四边形，得平行四边形为菱形，再根据即可得出结论； 连接，根据于点，点为的中点得为线段的垂直平分线，则，，进而得到，在中由勾股定理得，据此可求的面积． 此题主要考查了正方形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握正方形的判定和性质是解决问题的关键． 19.【答案】解：如图：直线即为所求； ，连接交于点，连接并延长交于，连接、相交于点过、作直线即为所求， 直线即为所求；   【解析】如图：连接、相交于点，连接、相交于点，过、作直线即为所求； 如图：连接、相交于点，连接交于点，连接并延长交于，过、作直线即为所求． 本题主要考查了作图复杂作图、垂直平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 20.【答案】证明：连接交于点， 四边形为菱形， ，，， ， ，即， 四边形为平行四边形， ， 四边形为菱形．  【解析】连接交于点，由菱形的性质可求得，，且，则可证得四边形为菱形． 本题主要考查菱形的判定和性质，掌握菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键． 21.【答案】证明：由折叠性质可知，， 由长方形性质可得， ， ． ， 故为等腰三角形． 解：由折叠可得，设， 则， ， 在中，有， 即，解得：． 由结论可得， 故FD．  【解析】由折叠性质可知，由可得，所以，由等角对等边即可得证； 由折叠性质并结合中结论可设，则，在中，根据勾股定理建立方程，即，解得，则． 本题考查了矩形的性质，图形折叠的性质，等腰三角形的证明，平行线的性质，勾股定理，根据勾股定理建立方程求解线段长是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$